2024年武漢市初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)試卷第頁（共頁）2024年武漢市初中學(xué)業(yè)水平考試·數(shù)學(xué)一、選擇題(共10小題，每小題3分，共30分)1.現(xiàn)實(shí)世界中，對稱現(xiàn)象無處不在，中國的方塊字中有些也具有對稱性．下列漢字是軸對稱圖形的是()1.C2.小美和小好同學(xué)做“石頭、剪刀、布”的游戲，兩人同時(shí)出相同的手勢，這個(gè)事件是()A.

隨機(jī)事件 B.

不可能事件 C.

必然事件 D.

確定性事件2.A3.如圖是由兩個(gè)寬度相同的長方體組成的幾何體，它的主視圖是()3.B4.國家統(tǒng)計(jì)局2024年4月16日發(fā)布數(shù)據(jù)，今年第一季度國內(nèi)生產(chǎn)總值接近300000億元，同比增長5.3%，國家高質(zhì)量發(fā)展取得新成效．將數(shù)據(jù)300000用科學(xué)記數(shù)法表示是()A.

0.3×105 B.

0.3×106C.

3×105 D.

3×1064.C5.下列計(jì)算正確的是()A.a2·a3＝a6 B.

(a3)4＝a12C.

(3a)2＝6a2 D.

(a＋1)2＝a2＋15.B6.如圖，一個(gè)圓柱體水槽底部疊放兩個(gè)底面半徑不等的實(shí)心圓柱體，向水槽勻速注水．下列圖象能大致反映水槽中水的深度h與注水時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的是()6.D7.小美同學(xué)按如下步驟作四邊形ABCD：(1)畫∠MAN；(2)以點(diǎn)A為圓心，1個(gè)單位長為半徑畫弧，分別交AM，AN于點(diǎn)B，D；(3)分別以點(diǎn)B，D為圓心，1個(gè)單位長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C；(4)連接BC，CD，BD.若∠A＝44°，則∠CBD的大小是()A.

64° B.

66° C.

68° D.

70°7.C【解析】易知四邊形ABCD為菱形，∠A＝44°，則∠ABC＝180°－44°＝136°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝68°.8.經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，這三種可能性大小相同．若兩輛汽車經(jīng)過這個(gè)十字路口，則至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率是()A.19 B.C.49 D.8.D【解析】畫樹狀圖如解圖：共有9種等可能的結(jié)果，至少一輛車向右轉(zhuǎn)的結(jié)果有5種，∴至少一輛車向右轉(zhuǎn)的概率為59解圖9.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝60°，∠BAC＝∠CAD＝45°，AB＋AD＝2，則⊙O的半徑是()A.63 B.C.32 D.9.A【解析】如解圖，延長AB至點(diǎn)E，使BE＝AD，連接CE，BD，連接CO并延長交⊙O于點(diǎn)F，連接AF，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC＋∠ABC＝∠ABC＋∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，∵∠BAC＝∠CAD＝45°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∠DAB＝90°，∴BD是⊙O的直徑，∴∠DCB＝90°，∴△DCB是等腰直角三角形，∴DC＝BC，∵AD＝EB，∴△ADC≌△EBC(SAS)，∴∠ACD＝∠ECB，AC＝CE，∵AB＋AD＝2，∴AB＋BE＝AE＝2，∵∠DCB＝90°，∴∠ACE＝90°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝AE·cos45°＝2，∵∠ABC＝60°，∴∠AFC＝60°，∵∠FAC＝90°，∴CF＝ACsin60°＝263，∴OF＝OC＝12CF＝解圖10.如圖，小好同學(xué)用計(jì)算機(jī)軟件繪制函數(shù)y＝x3－3x2＋3x－1的圖象，發(fā)現(xiàn)它關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對稱．若點(diǎn)A1(0.1，y1)，A2(0.2，y2)，A3(0.3，y3)，…，A19(1.9，y19)，A20(2，y20)都在函數(shù)圖象上，這20個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)從0.1開始依次增加0.1，則y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20的值是()A.

－1 B.

－0.729 C.

0 D.

110.D【解析】∵函數(shù)y＝x3－3x2＋3x－1的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對稱，∴y1＋y19＝0，y2＋y18＝0，…，y9＋y11＝0，y10＝0，y20＝23－3×22＋3×2－1＝1，∴y1＋y2＋y3＋…＋y19＋y20＝1.

二、填空題(共6小題，每小題3分，共18分)11.中國是世界上最早使用負(fù)數(shù)的國家．負(fù)數(shù)廣泛應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中，例如，若零上3℃記作＋3℃，則零下2℃記作________℃.11.－212.某反比例函數(shù)y＝kx具有下列性質(zhì)：當(dāng)x>0時(shí)，y隨x的增大而減?。畬懗鲆粋€(gè)滿足條件的k的值是________12.1(答案不唯一)13.分式方程xx－3＝x13.x＝－3【解析】原方程去分母得：x2－x＝x2－2x－3，解得x＝－3，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－3時(shí)，(x－1)(x－3)≠0，∴原方程的解是x＝－3.14.黃鶴樓是武漢市著名的旅游景點(diǎn)，享有“天下江山第一樓”的美譽(yù)．在一次綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)小組用無人機(jī)測量黃鶴樓AB的高度．具體過程如下：如圖，將無人機(jī)垂直上升至距水平地面102m的C處，測得黃鶴樓頂端A的俯角為45°，底端B的俯角為63°，則測得黃鶴樓的高度是________m．(參考數(shù)據(jù)：tan63°≈2)14.51【解析】如解圖，延長BA交過C與地面平行的直線于點(diǎn)M，易知BM⊥CM，BM＝102

m，在Rt△CAM中，AM⊥CM，∠ACM＝45°，∴AM＝CM，在Rt△BMC中，BM⊥CM，∠BCM＝63°，∴tan63°＝BMCM＝102AM＝102102－AB，∵tan63°≈2，∴AB解圖15.如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD.直線MP交正方形ABCD的兩邊于點(diǎn)E，F(xiàn)，記正方形ABCD的面積為S1，正方形MNPQ的面積為S2.若BE＝kAE(k>1)，則用含k的式子表示S1S2的值15.k【解析】如解圖①所示，分別過點(diǎn)A和點(diǎn)D作直線EF的垂線AG與DH，垂足分別為點(diǎn)G和點(diǎn)H，易得△AGE∽△DHF，∴AGDH＝AEDF.易知BE＝DF，∴AGDH＝AEDF＝AEBE＝1k，∵Rt△AGM與Rt△DHM都是等腰直角三角形，∴AMDM＝2AG2DH＝1k.

設(shè)大正方形的邊長為1，MP＝x，AM＝PD＝y(tǒng)，∴AMDM＝y(tǒng)x＋y＝1k，即k·y＝x＋y①，在Rt△AMD中，由勾股定理得y2＋(x＋y)2＝1②，將①平方得：k2·y2＝(x＋y)2，代入②，得y2＝1k2＋1，再由①得：x＝(k(一題多解)

如解圖②所示，過點(diǎn)B作EM的平行線BS，與AN的延長線交于點(diǎn)S.設(shè)AE＝1，BE＝k，小正方形邊長為x，AM＝DP＝CQ＝BN＝y(tǒng).易知△BNS是等腰直角三角形，∴NS＝y(tǒng)，∵BS∥EM，∴AEBE＝AMMS，即yx＋y＝1k，∴(x＋y)2＝k2y2，x＝(k－1)y，在Rt△ANB中，由勾股定理得：y2＋(x＋y)2＝(k＋1)2，即y2＋k2y2＝(k＋1)2，解得y2＝（k＋1）2k2＋1，∴S2＝x2＝(k－1)2y2＝16.拋物線y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a<0)經(jīng)過(－1，1)，(m，1)兩點(diǎn)，且0<m<1.下列四個(gè)結(jié)論：①b>0；②若0<x<1，則a(x－1)2＋b(x－1)＋c>1；③若a＝－1，則關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2無實(shí)數(shù)解；④點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，若x1＋x2>－12，x1>x2，總有y1<y2，則0<m≤1其中正確的是________(填寫序號(hào))．16.②③④【解析】∵y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a<0)經(jīng)過(－1，1)，(m，1)兩點(diǎn)，且0<m<1，∴對稱軸為直線x＝－b2a＝－1＋m2，

－12<－1＋m2<0，∵x＝－b2a<0，a<0，∴b<0，故①錯(cuò)誤；∵0<m<1，∴m－(－1)>1，即(－1，1)，(m，1)兩點(diǎn)之間的距離大于1，∵a<0，∴x＝m－1時(shí)，y>1，∴若0<x<1，則a(x－1)2＋b(x－1)＋c>1，故②正確；由①可得－12<－1＋m2<0,

∴－12<b2<0，即－1<b<0，當(dāng)a＝－1時(shí)，拋物線解析式為y＝－x2＋bx＋c，設(shè)頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為t＝4ac－b24a＝－4c－b2－4，∵拋物線y＝－x2＋bx＋c(a，b，c是常數(shù)，a<0)經(jīng)過點(diǎn)(－1，1)，∴－1－b＋c＝1，∴c＝b＋2，∴t＝－4c－b2－4＝b2＋4c4＝14b2＋c＝14b2＋b＋2＝14(b＋2)2＋1，∵－1<b<0，14>0，對稱軸為直線b＝－2，∴當(dāng)b＝0時(shí)，t取得最大值為2，而b<0，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝2無解，故③正確；④∵a<0，拋物線開口向下，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，x1＋x2>－12，x1>x2，總有y1<y2，∵x三、解答題(共8小題，共72分)17.求不等式組x＋17.解：x由①得，x＞－2；由②得，x≤1，∴此不等式組的解集為：－2＜x≤1，∴不等式組x＋3＞1，2x－18.如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AF＝CE.(1)求證：△ABE≌△CDF；(2)連接EF.請?zhí)砑右粋€(gè)與線段相關(guān)的條件，使四邊形ABEF是平行四邊形．(不需要說明理由)18.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D，∵AF＝CE，∴AD－AF＝BC－CE，即DF＝BE，在△ABE與△CDF中，AB∴△ABE≌△CDF(SAS)；(2)解：添加AF＝BE(答案不唯一)．【解法提示】如解圖所示，連接EF.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，即AF∥BE，又∵AF＝BE，∴四邊形ABEF是平行四邊形.

解圖19.為加強(qiáng)體育鍛煉，增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校在“陽光體育一小時(shí)”活動(dòng)中組織九年級(jí)學(xué)生定點(diǎn)投籃技能測試，每人投籃4次，投中一次計(jì)1分．隨機(jī)抽取m名學(xué)生的成績作為樣本，將收集的數(shù)據(jù)整理并繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖表．測試成績頻數(shù)分布表成績/分頻數(shù)4123a2151b06測試成績扇形統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)直接寫出m，n的值和樣本的眾數(shù)；(2)若該校九年級(jí)有900名學(xué)生參加測試，估計(jì)得分超過2分的學(xué)生人數(shù)．19.解：(1)m＝60，n＝15，樣本的眾數(shù)為3；【解法提示】

由題意得，m＝15÷25%＝60，∴a＝60×30%＝18，∴b＝60－12－18－15－6＝9，∴n%＝960×100%＝15%，∴n＝15，樣本的眾數(shù)為(2)900×12＋1860＝450(答：估計(jì)得分超過2分的學(xué)生人數(shù)有450名.

20.如圖，△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，腰AC與半圓O相切于點(diǎn)D，底邊BC與半圓O交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．(1)求證：AB與半圓O相切；(2)連接OA.若CD＝4，CF＝2，求sin∠OAC的值．20.(1)證明：如解圖，連接OA，OD，過點(diǎn)O作ON⊥AB交AB于點(diǎn)N，∵△ABC為等腰三角形，O是底邊BC的中點(diǎn)，∴AO⊥BC，AO平分∠BAC，∵AC與半圓O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∵ON⊥AB，∴ON＝OD，∴ON是半圓O的半徑，∴AB是半圓O的切線，即AB與半圓O相切；解圖(2)解：由(1)可知AO⊥BC，OD⊥AC，∴∠AOC＝90°，∠ODC＝90°，∴∠OAC＋∠OCA＝180°－∠AOC＝90°，∠COD＋∠OCA＝180°－∠ODC＝90°，∴∠OAC＝∠COD，∴sin∠OAC＝sin∠COD＝CD∵OF＝OD，CF＝2，∴在Rt△ODC中，CD＝4，OC＝OF＋FC＝OD＋2，∵OC2＝CD2＋OD2，∴(OD＋2)2＝42＋OD2，解得OD＝3，∴sin∠OAC＝sin∠COD＝CDOC＝CDOD＋21.如圖是由小正方形組成的3×4網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成四個(gè)畫圖任務(wù)，每個(gè)任務(wù)的畫線不得超過三條．(1)在圖①中，畫射線AD交BC于點(diǎn)D，使AD平分△ABC的面積；(2)在(1)的基礎(chǔ)上，在射線AD上畫點(diǎn)E，使∠ECB＝∠ACB；(3)在圖②中，先畫點(diǎn)F，使點(diǎn)A繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到點(diǎn)C，再畫射線AF交BC于點(diǎn)G；(4)在(3)的基礎(chǔ)上，將線段AB繞點(diǎn)G旋轉(zhuǎn)180°，畫對應(yīng)線段MN(點(diǎn)A與點(diǎn)M對應(yīng)，點(diǎn)B與點(diǎn)N對應(yīng))．21.解：(1)如解圖①；【作法提示】作BC的中點(diǎn)D，作射線AD即可．解圖①(2)如解圖②；【作法提示】作點(diǎn)A關(guān)于BC的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與點(diǎn)C交射線AD于點(diǎn)E.解圖②(3)如解圖③；【作法提示】構(gòu)造一線三垂直，直接得到點(diǎn)F，再作射線AF交BC于點(diǎn)G.解圖③(4)如解圖④.【作法提示】兩次利用平行線分線段成比例．解圖④22.16世紀(jì)中葉，我國發(fā)明了一種新式火箭“火龍出水”，它是二級(jí)火箭的始祖．火箭第一級(jí)運(yùn)行路徑形如拋物線，當(dāng)火箭運(yùn)行一定水平距離時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭第二級(jí)，火箭第二級(jí)沿直線運(yùn)行．某科技小組運(yùn)用信息技術(shù)模擬火箭運(yùn)行過程．如圖，以發(fā)射點(diǎn)為原點(diǎn)，地平線為x軸，垂直于地面的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，分別得到拋物線y＝ax2＋x和直線y＝－12x＋b.其中，當(dāng)火箭運(yùn)行的水平距離為9km時(shí)，自動(dòng)引發(fā)火箭的第二級(jí)(1)若火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km，①直接寫出a，b的值；②火箭在運(yùn)行過程中，有兩個(gè)位置的高度比火箭運(yùn)行的最高點(diǎn)低1.35km，求這兩個(gè)位置之間的距離．(2)直接寫出a滿足什么條件時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)的水平距離超過15km.22.解：(1)①a＝－115，b＝8.1【解法提示】

∵火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)的高度為3.6km，∴拋物線y＝ax2＋x和直線y＝－12x＋b均經(jīng)過點(diǎn)(9，3.6)，∴3.6＝81a＋9，3.6＝－12×9＋b，解得a＝－115，b②由①知，直線y＝－12x＋8.1，拋物線y＝－115x2＋∵y＝－115x2＋x＝－115(x－152)2＋154，∴拋物線最高點(diǎn)的縱坐當(dāng)y＝154－1.35＝2.4時(shí)，即－115x2＋x＝2.4，解得x1＝12(舍去)，x2＝∵x＝9時(shí)，y＝3.6>2.4，∴當(dāng)y＝2.4時(shí)，即－12x＋8.1＝2.4，解得x＝11.411.4－3＝8.4(km)，∴這兩個(gè)位置之間的距離為8.4km；(2)－227<a【解法提示】

當(dāng)水平距離超過15km時(shí)，火箭第二級(jí)的引發(fā)點(diǎn)為(9，81a＋9)，將(9，81a＋9)，(15，0)代入y＝－12x＋b，得81a＋9＝－12×9＋b，0＝－12×15＋b，解得b＝7.5，a＝－227，∴當(dāng)a滿足－227<a<0時(shí)，火箭落地點(diǎn)與發(fā)射點(diǎn)23.問題背景：如圖①，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，連接BD，EF，求證：△BCD∽△FBE.問題探究：如圖②，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊BC上，AD＝2CF，EF與BD交于點(diǎn)G，求證：BG＝FG.問題拓展：如圖③，在“問題探究”的條件下，連接AG，AD＝CD，AG＝FG，直接寫出EGGF23.證明：在矩形ABCD中，∠EBF＝∠DCB＝90°，AB＝CD.

∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AB和BC的中點(diǎn)，∴CD＝AB＝2BE，即BECD＝12，BC＝2BF，即B∴BECD＝BFCB，又∵∠EBF＝∠DCB(一題多解)

如解圖①，連接AC，交BD于點(diǎn)O.顯然EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∴∠EFB＝∠OCB，∵點(diǎn)O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)，∴BO＝CO，∴在等腰△BOC中，∠OBC＝∠OCB，∴∠EFB＝∠OBC，∵∠EBF＝∠DCB，∴△EBF∽△DCB；解圖①證明：如解圖②，取BD的中點(diǎn)H，連接EH，CH.

∵點(diǎn)E，H分別為AB和BD的中點(diǎn)，∴EH為△BAD的中位線，∴EH∥AD，且EH＝12AD∵AD∥BC，∴EH∥BC，即EH∥FC，∵AD＝2FC，∴EH＝FC，∴四邊形EHCF是平行四邊形，∴EF∥HC，∴∠GFB＝∠HCB(兩直線平行，同位角相等)，在Rt△DCB中，CH為斜邊上的中線，∴BH＝CH，∴∠HBC＝∠HCB，∴∠HBC＝∠GFB，∴GBG＝FG；解圖②解：EGGF＝【解法提示】

如解圖③，取BD中點(diǎn)H，連接EH，AF.

過點(diǎn)F作AD的垂線，垂足為點(diǎn)R.∵BG＝FG，AG＝FG，∴BG＝AG，∵點(diǎn)E是AB中點(diǎn)，不難看出GE垂直平分AB，即FE垂直平分AB，∴BF＝AF.

令A(yù)D＝DC＝2，∴EH＝FC＝12AD＝1(參考問題探究的結(jié)論)，易知四邊形FCDR是矩形，∴RD＝FC＝1，∴AR＝AD－RD＝1，在Rt△ARF中，由勾股定理，得AF＝5，∴BF＝AF＝5.∵EH∥BF，∴EGGF＝EHBF解圖③24.拋物線y＝12x2＋2x－52交x軸于A，B兩點(diǎn)(A在B的右邊)，交y軸于點(diǎn)(1)直接寫出點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)；(2)如圖①，連接AC，BC，過第三象限的拋物線上的點(diǎn)P作直線PQ∥AC，交y軸于點(diǎn)Q.若BC平分線段PQ，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)如圖②，點(diǎn)D與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)C對稱，過原點(diǎn)的直線EF交拋物線于E，F(xiàn)兩點(diǎn)(點(diǎn)E在x軸下方)，線段DE交拋物線于另一點(diǎn)G，連接FG.若∠EGF＝90°，求直線DE的解析式．24.解：(1)A(1，0)，B(－5，0)，C(0，－52)【解法提示】

由y＝12x2＋2x－52，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝－52，則C(0，－52)，當(dāng)y＝0，即12x2＋2x－52＝0，解得x1＝－5，x2＝1.∵A在B的右邊，∴A(1，0)，B(2)設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將A(1，0)，C(0，－52)代入得，k＋b＝∴