專題21 相似三角形及其應(yīng)用（講義）

第21講相似三角形及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一相似三角形的性質(zhì)與判定 3題型01添加條件使兩個三角形相似 3題型02證明兩個三角形相似 4題型03確定相似三角形的對數(shù) 5題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形 6題型05利用相似的性質(zhì)求解 6題型06利用相似的性質(zhì)求點的坐標(biāo) 7題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形 9題型08證明三角形的對應(yīng)線段成比例 10題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題 11題型10利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象 12題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用 14題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用 15題型13平移與相似三角形綜合應(yīng)用 17題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值 19題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值 21題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動點問題 23題型17利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題 23考點二相似三角形的常見模型 27題型01A字模型 28題型028字模型 29題型03一線三垂直模型 30題型04三角形內(nèi)接矩形模型 33題型05旋轉(zhuǎn)相似模型 34考點三相似三角形的應(yīng)用 38題型01測量樹高 38題型02測量旗桿高度 39題型03測量樓高問題 41題型04測量河寬問題 41題型05杠桿問題 42題型06實驗問題 43題型07九章算經(jīng)問題 43題型08三角形內(nèi)接矩形問題 45考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測相似三角形的性質(zhì)與判定了解相似三角形的判定定理.了解相似三角形判定定理的證明.了解相似三角形的性質(zhì)定理.相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點，也是難度最大的一個考點.它不僅可以作為簡單考點單獨考察，還經(jīng)常作為壓軸題的重要解題方法，和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等問題一起考察.而且在很多壓軸題中，經(jīng)常通過相似三角形的判定以及性質(zhì)來得到角相等或者邊長間的關(guān)系，也是動點問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段.需要考生在復(fù)習(xí)的時候給予加倍的重視!相似三角形的常見模型相似三角形的應(yīng)用會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題.

考點一相似三角形的性質(zhì)與判定相似三角形的概念：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形.相似用符號“∽”，讀作“相似于”.相似三角形的判定方法：1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．2）兩個三角形相似的判定定理：①三邊成比例的兩個三角形相似；②兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；③兩角分別相等的兩個三角形相似．④斜邊和直角邊成比例的兩個直角三角形相似.相似三角形的性質(zhì)：1）相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.2）相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.3）相似三角形周長的比等于相似比.4）相似三角形面積比等于相似比的平方.判定兩個三角形相似需要根據(jù)條件選擇方法．有時條件不具備，需從以下幾個方面探求：1）條件中若有平行線，可考慮用平行線直接推出相似三角形；2）兩個三角形中若有一組等角，可再找一組等角，或再找夾這組等角的兩邊成比例；3）兩個三角形中若有兩邊成比例，可找這兩邊的夾角相等，或再找第三邊成比例；4）條件中若有一組直角，可再找一組等角或兩邊成比例．易混易錯判斷網(wǎng)格中三角形是否相似，先運用勾股定理計算出三邊的長度，再看對應(yīng)邊的比例是否相等。題型01添加條件使兩個三角形相似【例1】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（

）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．AC【變式1-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）如圖，要使△ACD～△ABC，則需要添加的條件是_______________________（填一個即可）

【變式1-2】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，已知ABAC=ACAD=k，請再添加一個條件，使△ABC∽△ACD題型02證明兩個三角形相似【例2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點A、D、C、E在同一直線上，滿足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求證：△ABD∽△AEB

【變式2-1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=2∠B．請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點M，使△CMA∽【變式2-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是(1)求證：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的長.【變式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，CE=BF，點Q在線段AB上，且AE求證：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．題型03確定相似三角形的對數(shù)【例3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72°

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【變式3-1】（2022·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情況下，則圖中相似三角形共有（

）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形【例4】（2019·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，八個完全相同的小長方形拼成一個正方形網(wǎng)格，連結(jié)小長方形的頂點所得的四個三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【變式4-1】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中有3個斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能與△ABC相似的是_________．（△ABC除外）題型05利用相似的性質(zhì)求解【例5】（2023·陜西榆林·?？既＃┤鐖D，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32，則

A．1 B．43 C．2 D．【變式5-1】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC中，DE∥BC，若ADBD

A．DEBC=23 B．AEAC=23【變式5-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，△ADE～△ACB，DE=5，S△ADE:S四邊形BCED

A．8 B．203 C．253【變式5-3】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在等邊三角形ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若△ABC的周長為12，則△ADE的周長為（

）A．3 B．4 C．6 D．9【變式5-4】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，則∠C的度數(shù)是（A．120° B．60° C．90° D．30°題型06利用相似的性質(zhì)求點的坐標(biāo)【例6】（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知點A、B的坐標(biāo)分別是0,1、0,3，點C為x軸正半軸上一動點，當(dāng)∠ACB最大時，點C的坐標(biāo)是（

）A．2,0 B．3,0 C．2,0 【變式6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點P，它與A,C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P

【變式6-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2?32x+c與x軸交于(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接AC，點P為拋物線上一點，且在y軸右側(cè)，過點P作PQ⊥x軸于Q，若△PAQ∽△ACO，請求出點【變式6-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=ax+2與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，與雙曲線y=kxx>0相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=4，點A(1)求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；(2)若點Q為雙曲線上點P右側(cè)的一點，且QH⊥x軸于H，當(dāng)△ABO～△CQH時，求點Q的坐標(biāo)．題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形【例7】（2023·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的6×8的正方形網(wǎng)絡(luò)，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，在給定的網(wǎng)絡(luò)中，只用無刻度直尺，按要求作圖，不要求寫畫法．

(1)在圖①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且點D、E、F均在格點上．(2)在圖②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，點G、H均在格點上，且相似比不為1．(3)在圖③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．【變式7-1】（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請按要求畫格點三角形（頂點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C重合．(1)在圖1中，作一個格點△DEF，使得△DEF與△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥(2)在圖2中，作一個格點△PQR，使得△PQR與△ABC全等，且每條對應(yīng)邊都互相垂直． 【變式7-2】（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)?？级＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點及線段MN的端點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)作出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A(2)畫出一個格點△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不為1）．題型08證明三角形的對應(yīng)線段成比例【例8】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE∶EC＝2∶3，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【變式8-1】（2020·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點H為邊BC的中點，點G為線段DH上一點，且∠BGC=90°，延長BG交CD于點E，延長CG交AD于點F，當(dāng)CD=4，DE=1時，則DF的長為（

）A．2 B．32 C．5 D．【變式8-2】（2023·上海松江·統(tǒng)考一模）如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC．E是邊AB上一點，CE與對角線BD交于點F，且求證：(1)△ABD～△FCB；(2)BD?BE=AD?CE．題型09利用相似三角形的性質(zhì)求解決折疊問題【例9】（2020·重慶·重慶八中?？寄M預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，點E在邊BC上，且BE=35a．連接AE，將△ABE沿AE折疊，若點B的對應(yīng)點B'落在矩形ABCDA．53 B．35 C．53或53 【變式9-1】（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，AB=4，BC=5，AC=6，點D、E分別是AC、AB邊上的動點，折疊△ADE得到△A'DE，且點A'落在BC邊上，若△A'DC恰好與△ABC

【變式9-2】（2020·河南平頂山·統(tǒng)考一模）如圖所示，已知等邊△ABC，邊長為3，點M為AB邊上一點，且BM=1，點N為邊AC上不與A、C重合的一個動點，連結(jié)MN，以MN為對稱軸，折疊△AMN，點A的對應(yīng)點為點P，當(dāng)點P落在等邊△ABC的邊上時，AN的長為__________．【變式9-3】（2022·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，E是AB的中點，F(xiàn)是為射線AD上的一個動點，將△AEF沿EF折疊得到△HEF，連接AC，分別交EF和直線EH于點N，M，已知∠BAC＝30°，BC=2，若△EMN與△AEF相似，則AF題型10利用相似三角形的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象【例10】（2023·河北邯鄲·?？既＃┰凇鰽BC中，AH⊥BC于點H，點P從B點出發(fā)沿BC向C點運動，設(shè)線段AP的長為y，線段BP的長為x（如圖1），而y關(guān)于x的函數(shù)圖象如圖2所示．Q1，3是函數(shù)圖象上的最低點．當(dāng)△ABP為銳角三角形時x的取值范圍為（A．2<x<4 B．1<x<3 C．1<x<4 D．3<x<5【變式10-1】（2023·河南焦作·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=3,BC=4，點P為邊AB上一動點，過點P作直線l⊥AB，交折線ACB于點Q．設(shè)AP=x,CQ=y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

A． B．

C． D．

【變式10-2】（2023·江蘇南通·校考一模）如圖1，在矩形ABCD中，動點E從點A出發(fā)，沿AB→BC方向運動，當(dāng)點E到達(dá)點C時停止運動，過點E作FE⊥AE，交CD于點F，設(shè)點E的運動路程為x，F(xiàn)C=y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點E在BC上運動時，F(xiàn)C的最大長度是45，則矩形ABCD的面積是（

A．20 B．16 C．65 D．【變式10-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·校聯(lián)考二模）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點P從B點出發(fā)，沿B→C→D方向移動，連接DP，過P作PQ⊥DP交邊AB于點Q，設(shè)點P走的路程為x，線段BQ的長度為y，則y與x之間函數(shù)圖象大致為（）A． B． C． D．題型11尺規(guī)作圖與相似三角形綜合應(yīng)用【例11】（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB邊上有一點D．

(1)尺規(guī)作圖：在AC上取一個點E，使得△ADE∽(2)在（1）的基礎(chǔ)上，若AD=3cm，AC=6cm，BC=5cm，求DE的長度．【變式11-1】（2023·福建福州·?？寄M預(yù)測）已知△ABC．

(1)在邊AB上取一點P，使△APC∽△ACB（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若PB=AC，求PBAB【變式11-2】（2023·廣東廣州·校考二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8

(1)尺規(guī)作圖，過點D作DE⊥BC交邊AC于點E；(2)求ED、(3)點P為射線AB上的一動點，點Q為邊AC上的一動點，且∠PDQ=90°，若BP=2，求CQ的長．題型12三角板與相似三角形綜合應(yīng)用【例12】（2022·湖北荊門·?？寄M預(yù)測）如圖，兩塊大小不相同的含30°的直角三角板拼在一起，若AB=3，CD=2，則AEA．2 B．32 C．12 【變式12-1】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）【問題情景】含30°角的直角三角板ABC中∠A=30°．將其繞直角頂點C順時針旋轉(zhuǎn)α角(0°<α<90°)，得到Rt△A'B'C，邊(1)如圖1，若A'B'邊經(jīng)過點B，則α的度數(shù)為_(2)【探究發(fā)現(xiàn)】如圖2是旋轉(zhuǎn)過程的一個位置，過點D作DE∥A'B'交CB'邊于點E，連接(3)【拓展延伸】在（2）的條件下，設(shè)BC=1，△BDE的面積為S，當(dāng)S=1①求AD的長；②以點E為圓心，BE為半徑作⊙E，并判斷此時直線A'C與【變式12-2】（2022·吉林長春·校考模擬預(yù)測）取一副三角板按圖①拼接，固定三角板ADC，將三角板ABC繞點A依順時針方向旋轉(zhuǎn)一個大小為α的角(0°<α≤45°)得到△ABC試問：(1)當(dāng)α為多少度時，能使得圖②中AB∥DC；(2)當(dāng)旋轉(zhuǎn)至圖③位置，此時α又為多少度圖③中你能找出哪幾對相似三角形，并求其中一對的相似比；(3)連接BD，當(dāng)0°<α≤45°時，探尋∠DBC【變式12-3】（2022·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，水平放置一個三角板和一個量角器，三角板的邊AB和量角器的直徑DE在同一條直線上，AB=BC=40cm，OD=20cm．(1)如圖①，當(dāng)AC與量角器的半圓相切時，求AD的長；(2)如圖②，當(dāng)AB和DE重合時，求證：CF題型13平移與相似三角形綜合應(yīng)用【例13】（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）如圖，三角形OAB的頂點O0,0、A6,0、B6,8，C是OB邊的中點，過點C作CD⊥OB交x軸于點D，將△OCD沿x軸向右平移，當(dāng)點C的對應(yīng)點恰好落在AB邊上時，此時點D對應(yīng)點的坐標(biāo)為（

A．343,0 B．253,0 C．【變式13-1】（2022·山西晉城·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD是BC邊上的中線．將△ABC沿AD方向平移得到△A'B'C'．A'C'與BC相交于點E，連接BA'并延長，與邊

【變式13-2】（2023·廣東深圳·?？既＃┤鐖D，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，點C(2，0)，點B132,0，雙曲線y=165x經(jīng)過點A．將△ABC沿BC方向平移得到△A'B'C'，點A'在反比例函數(shù)y=kx上，邊

【變式13-3】（2023·河北石家莊·校考二模）如圖1，正方形ABCD的邊長是4，對角線AC的中點為O．△ACD沿AC方向平移得到△A(1)如圖2，當(dāng)點A'移動到點O時，點A'移動的距離是___________，(2)當(dāng)點A'移動到點O時，將△A'①當(dāng)A'C'過BC②P、Q分別是邊AB、BC上的點，且AP=2PB，CQ=2BQ．嘉嘉說，當(dāng)A'C'過點P時，A

題型14利用相似三角形的性質(zhì)與判定求線段比值【例14】（2021·廣東江門·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，線段AB是⊙O的直徑，C、D是半圓的三等分點，過點C的直線與AD的延長線垂直，垂足為點E，與AB的延長線相交于點F，連接OE，交AC于點G．(1)求證：FC是⊙O的切線；(2)連接DC、CO，判斷四邊形(3)求OG與GE的比值．【變式14-1】（2023·湖南株洲·校考三模）已知：如圖，過原點的直線l1與反比例函數(shù)y1=mx(x>0)的圖像交于點A2,4，與反比例函數(shù)y2=2xx<0的圖像交于點Ba,b，過原點的直線l2與y1，y2的圖像分別相交于

(1)求m和ab的值；(2)當(dāng)直線l2繞點O①直接寫出比值OCOD②點E是否在某個反比例函數(shù)的圖像上運動？如果是，請求出這個反比例函數(shù)的解析式；如果不是，請說明理由．【變式14-2】（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）（1）如圖1，正方形ABCD，點E、F分別在邊AB、BC上，連接AF與DE交于點O，有∠FOD＝90°，則AFDE=_____

（2）如圖2，平行四邊形ABCD，AB=285，BC=165，點E、F分別在邊AB、BC上，連接AF與DE交于點O，當(dāng)∠FOD＝∠

（3）如圖3，四邊形ABCD，AB＝113，∠B＝∠ADC＝120°，BC＝45，CDAD=97，點E在邊AB上，連接AC與DE交于點O，當(dāng)∠COD＝∠

題型15利用相似三角形的性質(zhì)與判定求最值【例15】（2019·廣東·江門市第二中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D，點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．(1)求線段CD的長；(2)當(dāng)△CPQ與△BDC相似時，求t值；(3)設(shè)△CPQ的面積為y，求y與t的函數(shù)關(guān)系式，并判斷△PCQ的面積是否有最大值還是最小值？若有，求出t為何值時y的最值，若沒有，則說明理由．【變式15-1】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）通過構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進(jìn)行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用．【理解】（1）如圖1，AC⊥BC,CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點，連接CE．已知AD=a，BD=b0<a<b①分別求線段CE、CD的長（用含a、b的代數(shù)式表示）；②比較大小：CE__________CD（填“＜”、“＝”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系．【應(yīng)用】（2）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點M、N在反比例函數(shù)y=1xx>0的圖像上，橫坐標(biāo)分別為m、n．設(shè)p=m+n,q=①當(dāng)m=1,n=2時，l=__________；當(dāng)m=3,n=3時，l=________；②通過歸納猜想，可得l的最小值是__________．請利用圖2構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形，并說明你的猜想成立．題型16利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動點問題【例16】（2023·廣東茂名·統(tǒng)考三模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點D在AB上，點E為BC上的動點，將△BDE沿DE翻折得到△FDE，EF與AC相交于點G，若AB=3AD，AC=3，BC=6，CG=0.8，則CE的值為__________________．【變式16-1】（2023·廣東深圳·深圳市桂園中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，BC=6?23，點P是BC上一動點，PD⊥AC，PE⊥AB，線段D

題型17利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決存在性問題【例17】（2023·廣東汕尾·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點（B在A的左邊），與y軸交于點C0,3，頂點為D?1,4(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交BC于點E，連接PC，是否存在點P，使得△PCE與△BME相似？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式17-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）【問題發(fā)現(xiàn)】數(shù)學(xué)小組成員小明做作業(yè)時遇到以下問題：請你幫助解決

（1）若四邊形ABCD是菱形，邊長為2，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，如圖1，連接CE、DE，則BP與CE的數(shù)量關(guān)系為_______，DE長度的最小值為__________．【類比探究】數(shù)學(xué)小組對該問題進(jìn)一步探究，請你幫助解決：（2）如圖2，若四邊形ABCD是正方形，邊長為2，點O為BD中點，點P是射線BD上一動點，以AP為斜邊在AP邊的右側(cè)作等腰Rt△APE，∠AEP=90°，連接OE、DE①BP與OE的數(shù)量關(guān)系；②求DE長度的最小值．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)P是對角線BD的延長線上一動點時，以AP為直角邊在AP邊的右側(cè)作等腰Rt△APE，∠APE=90°，連接BE，若AB=2，BE=6，求△BPE【變式17-2】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(B在A的左邊)，與y軸交于點C0,3，頂點為D(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖，若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的一動點，過點P作PM⊥x軸于點M，交BC于點E，連接PC，是否存在點P，使得△PCE與△BME相似？若存在，請求出滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【變式17-3】（2022·湖北宜昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行四邊形ABCD中，AD=5，AB=5，tanA=2，點E是射線AD上一動點，過點E作EF⊥AD，垂足為點E，交射線AB于點F，交射線CB于點G，聯(lián)結(jié)CE、CF．設(shè)AE=m．(1)如圖當(dāng)點E在邊AD上時．①求證△AEF∽△BGF．②當(dāng)S△DCE=4S(2)當(dāng)點E在邊AD的延長線上時，是否存在這樣的點E使△AEF與△CFG相似？如果存在求出此時AE的長度m．【變式17-4】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知拋物線y=ax2+bx+4a>0與x軸交于點A1,0和B4,0，與(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)如圖1，點P是線段BC上的一個動點（不與點B，C重合），過點P作x軸的垂線交拋物線于點Q，聯(lián)結(jié)OQ，當(dāng)四邊形OCPQ恰好是平行四邊形時，求點Q的坐標(biāo)；(3)如圖2，在（2）的條件下，D是OC的中點，過點Q的直線與拋物線交于點E，且∠DQE=2∠ODQ，在直線QE上是否存在點F，使得△BEF與△ADC相似？若存在，求點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

考點二相似三角形的常見模型模型圖形結(jié)論證明過程（思路）A字模型①?ADE~?ABC②AD1)已知DE∥BC則∠ADE=∠ABC而∠A=∠A所以?ADE~?ABC2)已知∠1=∠2∠A=∠A所以?ADE~?ABC共邊反A字模型①?ABC~?ACD②AB③AC2=AB?AD剪刀反A字模型①?ABC~?ADE②AB證明過程參照按照2）8字模型正8字模型①?AOB~?COD②AO反8字模型①?AOB~?DOC②AO3)已知AB∥DC則∠A=∠C而∠AOB=∠DOC所以?AOB~?COD4)已知∠1=∠2∠AOB=∠DOC所以?AOB~?DOC一線三垂直①?ABC~?CDE②AB③當(dāng)點C為BD中點時，?ABC~?CDE~?ACE5)∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠1+∠2=90°∠2+∠3=90°則∠1=∠3由此可得?ABC~?CDE6)∵?ABC~?CDE∴ABCD=AC則ABBC∠B=∠ACE=90°∴?ABC~?ACE則?ABC~?CDE~?ACE三角形內(nèi)接矩形①?ABC~?ADG②AD③若四邊形DEFG為正方形即DGBC=AMAN則xBC=AN?xAN若已知B7)∵四邊形DEFG為矩形∴DG∥BC而AN⊥BC∴?ABC~?ADG∠AMG=∠ANC=90°∴ADAB旋轉(zhuǎn)相似模型①?ABD~?ACE∵?ADE~?ABC∴∠BAC=∠DAEAD而∠1+∠DAC=∠BAC，∠2+∠DAC=∠DAE∴∠1=∠2∴?ABD~?ACE題型01A字模型【例1】（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？级＃┤鐖D，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，若DE∥BC，ADDB=23，DE＝6cm，則BCA．9cm B．12cm C．15cm D．18cm【變式1-1】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B=∠ACD，AC:AB=1:2，則△ADC與△ACB的周長比是（

）A．1:2 B．1:2 C．1:3 D．【變式1-2】（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF，已知四邊形BFED是平行四邊形，DEBC(1)若AB=8，求線段AD的長．(2)若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．題型028字模型【例2】（2023·山東淄博·統(tǒng)考一模）如圖，若方格紙中每個小正方形的邊長均為1，則陰影部分的面積為（

）A．5 B．6 C．163 D．【變式2-1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊BC上，連結(jié)AE并延長，交對角線BD于點F、DC的延長線于點G．如果CEBE=2【變式2-2】（2023·湖北鄂州·?？寄M預(yù)測）如圖，某零件的外徑為10cm，用一個交叉卡鉗（兩條尺長AC和BD相等）可測量零件的內(nèi)孔直徑AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，則零件的厚度x為（

）A．0.3cm B．0.5cm C．0.7cm【變式2-3】（2023·陜西西安·西北大學(xué)附中校考模擬預(yù)測）如圖，在正方形ABCD中，E為AD的中點，連接BE交AC于點F．若AB=6，則△AEF的面積為___________．題型03一線三垂直模型【例3】（2018·湖南永州·校聯(lián)考一模）如圖，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD上的點，且AE⊥BF，垂足為G．（1）求證：AE＝BF；（2）若BE＝3，AG＝2，求正方形的邊長．【變式3-1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，點A(0,3)、B(1,0)，將線段AB平移得到線段DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，則點D的坐標(biāo)是（

）

A．(7,2) B．(7,5) C．(5,6) D．(6,5)【變式3-2】（2020·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，點D（-2，3），AD=5，若反比例函數(shù)y=kx（k＞0，x＞0）的圖象經(jīng)過點B，則

A．163 B．8 C．10 D．【變式3-3】（2018·河南信陽·統(tǒng)考二模）如圖，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝2OA，點A在反比例函數(shù)y＝1x的圖象上．若點B在反比例函數(shù)y＝kx的圖象上，則k的值為【變式3-4】（2020·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD中，AB=12，AE=14AB，點P在BC上運動（不與B、C重合），過點P作PQ⊥EP【變式3-5】（2019·四川成都·校聯(lián)考一模）感知：如圖①，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，點P在BC邊上，當(dāng)∠APD＝90°時，可知△ABP∽△PCD．（不要求證明）探究：如圖②，在四邊形ABCD中，點P在BC邊上，當(dāng)∠B＝∠C＝∠APD時，求證：△ABP∽△PCD．拓展：如圖③，在△ABC中，點P是邊BC的中點，點D、E分別在邊AB、AC上．若∠B＝∠C＝∠DPE＝45°，BC＝62，BD＝4，則DE的長為______．【變式3-6】（2022·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）【試題再現(xiàn)】如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線l過點C，過點A、B分別作AD⊥l于點D，BE⊥l于點E，則DE=AD+BE

(1)【類比探究】如圖2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述結(jié)論是否成立？若成立，請說明理由：若不成立，請寫出一個你認(rèn)為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想線段DE、AD、BE之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并將直線l繞點C旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊AB相交，分別過點A、B作直線l的垂線，垂足分別為點D和點E，請在備用圖上畫出圖形，并直接寫出線段DE、AD、BE題型04三角形內(nèi)接矩形模型【例4】（2021·山東淄博·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，BC=120，高AD=60，正方形EFGH一邊在BC上，點E,F分別在AB,AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（

）A．15 B．20 C．25 D．30【變式4-1】（2023·云南·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH=2EF,AD是△ABC的高．BC=8,AD=6，那么EH的長為____________．【變式4-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·?？既＃┤鐖D，矩形EFGH內(nèi)接于△ABC，且邊FG落在BC上，若AD⊥BC,BC=3,AD=2,EF=23EH，那么EHA．23 B．13 C．32【變式4-3】（2023·湖南長沙·統(tǒng)考二模）如圖，已知在△ABC中，BC=20，高AD=16，內(nèi)接矩形EFGH的頂點E、F在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，則內(nèi)接矩形EFGH的最大面積為

題型05旋轉(zhuǎn)相似模型【例5】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）

(1)【問題呈現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE都是等邊三角形，連接BD，CE．求證：BD＝CE．(2)【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．連接BD，CE．請直接寫出BDCE(3)【拓展提升】如圖3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且ABBC＝ADDE＝34．連接BD①求BDCE②延長CE交BD于點F，交AB于點G．求sin∠BFC的值．【變式5-1】（2021·山東德州·?？家荒＃┍尘埃阂淮涡〗M合作探究課上，小明將兩個正方形按背景圖位置擺放（點E，A，D在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個問題，請你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請給出證明．如若不能，請說明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，（如圖2）試問當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿足怎樣的關(guān)系時，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請說明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且AEAG=ABAD=23，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG【變式5-2】（2023·廣東深圳·深圳市福田區(qū)上步中學(xué)校考三模）問題背景：小李在探究幾何圖形的時候，發(fā)現(xiàn)了一組非常神奇的性質(zhì)：如圖1，等邊三角形△ABC，△CDE中，連接AD，BE可以得到△ACD≌△BCE，好學(xué)的他發(fā)問取遷移應(yīng)用：如圖2，在正方形ABCD中，點O為CB的中點，構(gòu)造正方形EHMF繞O點進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，OE=OF，連接AH，BE，聯(lián)系拓展：如圖3，等腰Rt△ABC，△BDE中，AB=AC，BD=DE，∠BDE=∠BAC=90°，當(dāng)△BDE繞B點旋轉(zhuǎn)的過程中取AD，CE的中點M，N，連接MN，若

【變式5-3】（2022·安徽合肥·校考三模）在△ABC和△AED中，點E為△ABC內(nèi)一點，∠ABC=∠AED=60°，∠ACB=∠ADE=α．(1)如圖①，若α=60°，求證：BE=CD．(2)如圖②，若α=90°，直線BE分別交線段AC和直線CD于點H、G，求CDBE(3)在（2）的條件下，若AC=9，AD=6，將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點H恰是線段AC的三等分點時，請直接寫出AG的長．

考點三相似三角形的應(yīng)用1.利用影長測量物體的高度．①測量原理：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決．②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度．2.利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度．3.借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度．題型01測量樹高【例1】（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的方法，至今仍有借鑒意義．如圖1，身高1.5m的小王晚上在路燈燈柱AH下散步，他想通過測量自己的影長來估計路燈的高度，具體做法如下：先從路燈底部A向東走20步到M處，發(fā)現(xiàn)自己的影子端點落在點P處，作好記號后，繼續(xù)沿剛才自己的影子走4步恰好到達(dá)點P處，此時影子的端點在點Q處，已知小王和燈柱的底端在同一水平線上，小王的步間距保持一致．(1)請在圖中畫出路燈O和影子端點Q的位置．(2)估計路燈AO的高，并求影長PQ的步數(shù)．(3)無論點光源還是視線，其本質(zhì)是相同的，日常生活中我們也可以直接利用視線解決問題．如圖2，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上．測得DF=0.5m，EF=0.3m，CD=10m，小明眼睛到地面的距離為1.5m，則樹高【變式1-1】（2022·陜西渭南·統(tǒng)考一模）雨過天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鮮空氣，廣場上E處有一處積水，如圖，若小李站在D處距積水2米，他正好從水面上看到距他約10米的前方一棵樹的頂端A的影子．已知點D、E、B在同一直線上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距離CD為1.6米，求樹AB的高．（∠CED＝∠AEB，積水水面大小忽略不計）題型02測量旗桿高度【例2】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，九年級（1）班課外活動小組利用平面鏡測量學(xué)校旗桿的高度，在觀測員與旗桿AB之間的地面上平放一面鏡子，在鏡子上做一個標(biāo)記E，當(dāng)觀測到旗桿頂端在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合時，測得觀測員的眼睛到地面的高度CD為1.6m，觀測員到標(biāo)記E的距離CE為2m，旗桿底部到標(biāo)記E的距離AE為16m，則旗桿AB的高度約是（A．22.5m B．20m C．14.4m【變式2-1】（2023·江蘇泰州·泰州市海軍中學(xué)?？既＃┠硨W(xué)習(xí)小組利川直立在地而上標(biāo)桿DE測量直立在同一水平地面上的旗桿AB的高度（如圖），同一時刻測得旗桿和標(biāo)桿在太陽光，下的影長分別BC=8.8m,EF=2.2m已知B，C，E，F(xiàn)在同一直線上AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.4m

【變式2-2】（2023·河北石家莊·石家莊市第四十中學(xué)?？级＃﹩栴}背景：在某次活動課中，甲、乙兩個學(xué)習(xí)小組于同一時刻在陽光下對校園中的旗桿和景觀燈進(jìn)行了測量．下面是他們通過測量得到的一些信息：甲組：如圖1，測得學(xué)校旗桿的影長為900cm，在影子的外端F點處測得旗桿頂端E的仰角為53°．乙組：如圖2，測得校園景觀燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計）的高度為200cm，影長為156cm．

任務(wù)要求：(1)請根據(jù)以上的信息計算出學(xué)校旗桿的高度；(2)如圖2，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點M．請根據(jù)以上的信息，求景觀燈燈罩的半徑（景觀燈的影長等于線段NG的影長．）（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈題型03測量樓高問題【例3】（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，要測量樓高M(jìn)N，在距MN為15m的點B處豎立一根長為5.5m的直桿AB，恰好使得觀測點E、直桿頂點A和高樓頂點N在同一條直線上．若DB=5m，DE=1.5m，則樓高M(jìn)NA．13.5m B．16.5m C．17.5m【變式3-1】（2021·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖，為測量樓高AB，在適當(dāng)位置豎立一根高2m的標(biāo)桿MN，并在同一時刻分別測得其落在地面上的影長AC=20m,?MP=2.5A．15m B．16m C．18m題型04測量河寬問題【例4】（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點2米遠(yuǎn)的B點，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點N，即PM=PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE=FP=1.25米，經(jīng)測量此時A、D、N三點在同一直線上，并且點M、F、P、N共線，點B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？【變式4-1】（2021·陜西西安·?？家荒＃┲苣?，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬．測量時，他們選擇了河對岸邊的一棵大樹，將其底部作為點A，在他們所在的岸邊選擇了點B，使得AB與河岸垂直，并在B點豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點D豎起標(biāo)桿DE，使得點E與點C、A共線．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，測得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．測量示意圖如圖所示．請根據(jù)相關(guān)測量信息，求河寬AB．題型05杠桿問題【例5】（2023·吉林白城·校聯(lián)考三模）如圖①是用杠桿撬石頭的示意圖，當(dāng)用力壓杠桿時，杠桿繞著支點轉(zhuǎn)動，另一端會向上翹起，石頭就被翹動了．在圖②中，杠桿的D端被向上翹起的距離BD=9cm，動力臂OA與阻力臂OB滿足OA=3OB（AB與CD相交于點O），要把這塊石頭翹起，至少要將杠桿的C點向下壓______cm．

【變式5-1】（2023·寧夏銀川·銀川市第三中學(xué)?？家荒＃┤鐖D是用杠桿撬石頭的示意圖，C是支點，當(dāng)用力壓杠桿的A端時，杠桿繞C點轉(zhuǎn)動，另一端B向上翹起，石頭就被撬動．現(xiàn)有一塊石頭，要使其滾動，杠桿的B端必須向上翹起10cm，已知杠桿的動力臂AC與阻力臂BC之比為5：1，要使這塊石頭滾動，至少要將杠桿的A端向下壓_____cm.題型06實驗問題【例6】（2023·河南南陽·統(tǒng)考一模）同學(xué)們在物理課上做“小孔成像”實驗．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離為m，當(dāng)蠟燭火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B'高度的1A．m B．13m C．3m 【變式6-1】（2023·陜西西安·?？家荒＃緦W(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)，反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)：入射角i等于反射角r，這就是光的反射定律．【問題解決】如圖2，小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實驗，地面上從左往右依次是墻，木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點G處，手電筒的光從平面鏡上點B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點F，落在墻上的點E處，點E到地面的高度DE=3.5m，點FE到地面的高度CF=1.5m，燈泡到木板的水平距離AC=5.4m，木板到墻的水平距離為CD=4m．圖中題型07九章算經(jīng)問題【例7】（2022·福建泉州·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算法比類大全》有題如下：“方種芝麻斜種黍，勾股之田十畝無零數(shù)．九十股差方為界，勾差十步分明許．借問賢家如何取，多少黍田多少芝麻畝．算的二田無誤處，智能才華算中舉．”大意是：正方形田種芝麻，斜形（三角形）種黍，有一塊直角三角形ABC是10畝整．股差A(yù)D=90步，勾差BF=10步．請問黍田、芝麻各多少畝？（1畝=240平方步）答：（

）A．藝麻田3.75畝，黍田6.25畝 B．芝麻田3.25畝，黍田6.75畝C．芝麻田3.70畝，黍田6.30畝 D．芝麻田3.30畝，黍田6.70畝【變式7-1】（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）《孫子算經(jīng)》中記載一題：“今有竿，不知長短，度其影，得一丈五尺．別立一表，長一尺五寸，影得五寸．問：竿長幾何？”其大意是：“今有一根木桿，不知道其長度．量它的影子，等于1丈5尺．另外再有一根標(biāo)桿，桿長1尺5寸，量得標(biāo)桿的影子為5寸．問：木桿長多少？”（注：一丈＝十尺，一尺＝十寸）．若單位統(tǒng)一為尺，則木桿長______尺．【變式7-2】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）《海島算經(jīng)》是中國最早的一部測量數(shù)學(xué)專著，也是中國古代高度發(fā)達(dá)的地圖學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．某班數(shù)學(xué)興趣小組利用《海島算經(jīng)》中第一個問題的方法進(jìn)行如下測量：如圖，要測量一棟建筑物的高度AH，立兩根高3米的標(biāo)桿BC和DE，兩桿之間的距離BD=19米，D，B，H成一線，從B處退5米到F，人的眼睛貼著地面觀察A點，A，C，F(xiàn)三點成一線；從D處退6米到G，從G觀察A點，A，E，G三點也成一線．請你幫助小組同學(xué)，試計算該建筑物的高度AH及HB的長．題型08三角形內(nèi)接矩形問題【例8】（2020·四川綿陽·統(tǒng)考二模）△ABC中，BC=12，高AD=8，矩形EFGH的一邊GH在BC上，頂點E、F分別在AB、AC上，AD與EF交于點M．(1)求證：AMAD(2)矩形EFGH可以為正方形嗎?若能，請求出正方形的面積，若不能，請說明理由；(3)設(shè)EF=x，EH=y，設(shè)矩形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并求出S的最值．【變式8-1】（2020·廣東江門·統(tǒng)考二模）如圖，有一塊三角形土地，它的底邊BC＝100m，高AH＝80m．某單位要沿著底邊BC修一座底面積是矩形DEFG的大樓．（1）求地基的面積y（m2）和邊EF的長x（m）的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)?shù)鼗倪呴LEF為多少時地基的面積最大，最大面積是多少？【變式8-2】（2018·河北邢臺·統(tǒng)考一模）一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC＝12cm，高AD＝8cm，把它加工成矩形零件如圖，要使矩形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上，且矩形的長與寬的比為3∶2，求這個矩形零件的邊長．【變式8-3】（2022·新疆烏魯木齊·烏魯木齊市第六十八中學(xué)?？寄M預(yù)測）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）如果原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm？請你計算．（2）如果原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能確定，但這個矩形面積有最大值，求達(dá)到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．

第21講相似三角形及其應(yīng)用答案解析考點一相似三角形的性質(zhì)與判定題型01添加條件使兩個三角形相似【例1】（2023·河北邢臺·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠BAC，則添加下列條件后，不能判定△ADC和△BAC相似的是（

）A．CA平分∠BCD B．∠DAC=∠ABC C．AC【答案】C【分析】可以根據(jù)兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等或兩組對角相等來證明兩個三角形相似．【詳解】解：A、由CA平分∠BCD可得∠BCA=∠ACD，結(jié)合∠ADC=∠BAC，可以證明△ABC∽△DAC，故此選項不符合題意；B、由∠DAC=∠ABC，結(jié)合∠ADC=∠BAC，可以證明△ABC∽△DAC，故此選項不符合題意；C、由ACBC=CDAC，結(jié)合D、由ADAB=CDAC，結(jié)合故選C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·?？既＃┤鐖D，要使△ACD～△ABC，則需要添加的條件是_____________（填一個即可）

【答案】∠ACD=∠B（答案不唯一）【分析】由圖可得△ABD與△ACB有一個公共角∠C，再根據(jù)相似三角形的判定方法即可得到結(jié)果.【詳解】∵∠A=∠A，∠ACD=∠B∴△ACD～△ABC.故填：∠ACD=∠B【點睛】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似.【變式1-2】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，已知ABAC=ACAD=k【答案】BCCD=k【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理即可進(jìn)行解答．【詳解】解：添加BCCD∵ABAC∴△ABC∽△ACD；添加∠BAC=∠CAD，∵ABAC=AC∴△ABC∽△ACD；故答案為：BCCD=k或【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：三邊分別成比例的兩個三角形相似；兩邊成比例，夾角相等的兩個三角形相似；有兩個角相等的兩個三角形相似．題型02證明兩個三角形相似【例2】（2022·廣東茂名·統(tǒng)考二模）如圖所示，點A、D、C、E在同一直線上，滿足∠ABC=90°，BD⊥BE，且CB=CE．求證：△ABD∽

【答案】見解析【分析】先根據(jù)同角的余角相等，得∠ABD=∠CBE，再根據(jù)“等邊對等角”可得∠ABD=【詳解】證明：∵∠ABC=90°，∠DBE=90°，∴∠ABC?∠DBC=∠DBE?∠DBC，即∠ABD=∵BC=CE，∴∠CBE=∠E，∴∠ABD=∠E..又∵∠A=∠A，∴△ABD∽【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關(guān)鍵．即兩角相等的兩個三角形相似.【變式2-1】（2023·陜西西安·?？级＃┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=2∠B．請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點M，使△CMA∽【答案】見解析【分析】作∠BAC的平分線，交BC邊于點M，此時∠CMA=∠CAB．【詳解】解：點M即為所作，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM=∠CAM，∵∠BAC=2∠B，∴∠B=∠CAM，∵∠MCA=∠ACB，∴△CMA~△CAB．【點睛】本題考查了作角平分線，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC恰好是

(1)求證：△APC∽△DPB；(2)若AP＝BP＝1，AD＝CP，求DP的長.【答案】(1)證明見解析；(2)x=【分析】（1）由等腰三角形得∠C=∠ABC，由角平分線得∠ABC=∠CBD，進(jìn)而可得∠C=∠CBD，證得AC∥（2）由△APC∽△DPB得【詳解】（1）證明：∵AB=AC∴∠C=∠ABC∵BC平分∠ABD∴∠ABC=∠CBD∴∠C=∠CBD∴AC∴∠C=∠DBP,∠CAP=∠D∴△APC（2）設(shè)PD=x∵PC=AD∴PC=1+x∵△APC∴AP∴1∴x=

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練相關(guān)判定方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？家荒＃┤鐖D所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)在線段BC上，CE=BF，點Q在線段AB上，且AE求證：(1)∠CAE=∠BAF；(2)△ACE∽△AFQ．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用SAS證明△ACE≌△ABF即可；（2）根據(jù)△ACE≌△ABF得出AE=AF，∠CAE=∠BAF，根據(jù)AE2=AQ·AB，AC=AB，得出AEAQ【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACE和△ABF中，AC=AB∠C=∠B∴△ACE≌△ABFSAS∴∠CAE=∠BAF；（2）證明：∵△ACE≌△ABF，∴AE=AF，∠CAE=∠BAF，∵AE2=AQ·AB，AC=AB，∴AEAQ=AB∴△ACE∽△AFQ．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及相似三角形的判定，熟練掌握相關(guān)判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．題型03確定相似三角形的對數(shù)【例3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考三模）如圖，在△ABC中，∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72

A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】C【分析】首先算出三角形中角的度數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：∵∠ABC=∠C=∠BDC=∠AED=72∴∠A=180°?∠ABC?∠C=180°?72°?72°=36°，∴∠ADE=180°?∠A?∠AED=180°?36°?72°=72°，∴∠DBC=180°?∠C?∠BDC=180°?72°?72°=36°，∵∠AED=∠ABC，∴ED//BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠BED=180?∠EBD?∠EDB=180?36°?36°=108°，∴∠DBC=180°?∠C?∠BDC=180°?72°?72°=36°，∠ADB=∠ADE+∠EDB=72°+36°=108°，∵∠AED=∠ABD，∠ADE=∠ACB，∴△AED～△ABC，∵∠AED=∠C，∠ADE=∠BDC，∴△AED～△BCD，∵∠ABD=∠C，∠ACB=∠BDC，∴△BCD～△ABC，∵∠A=∠EBD，∠ADB=∠BED，∴△EBD～△DAB．故相似的三角形對數(shù)為4對：故選：C．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·廣東江門·?？家荒＃┤鐖D，BD和CE是△ABC的高，在不添加其它字母情況下，則圖中相似三角形共有（

）A．2對 B．3對 C．4對 D．5對【答案】A【分析】利用相似三角形的判定方法可判定△ABD∽△ACE，【詳解】解：∵BD和CE是△ABC的高，∴∠AEC=∠ADB=90°，∵∠A=∠A，∴△ABD∽∵∠BEC=∠BDC=90°，∴點B，點C，點D，點E四點共圓，∴∠ACB+∠BED=180°，∵∠BED+∠AED=180°，∴∠ACB=∠AED，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽∴相似三角形共有2對，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的判定，圓的有關(guān)知識，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．題型04在網(wǎng)格中判斷相似三角形【例4】（2019·浙江·校聯(lián)考三模）如圖，八個完全相同的小長方形拼成一個正方形網(wǎng)格，連結(jié)小長方形的頂點所得的四個三角形中是相似三角形的是（）A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和④【答案】D【分析】設(shè)小長方形的長為2a，寬為a．利用勾股定理求出三角形的三邊長即可判斷．【詳解】由題意可知：小長方形的長是寬的2倍，設(shè)小長方形的寬為a，則長為2a，∴圖①中的三角形三邊長分別為2a、(2a)2圖②中的三角形三邊長分別為2a,(2a)2圖③中的三角形三邊長分別為2a.(2a)2圖④中的三角形三邊長分別為(2a)2+(a)∴①和②圖中三角形不相似；∵2a∴②和③圖中三角形不相似；∵2a∴①和③圖中三角形不相似；∵2a∴①和④圖中三角形相似．故選：D【點睛】本題考查相似三角形的判定，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識．【變式4-1】（2021·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中有3個斜三角形：①△ABC；②△CDB；③△DEB；其中能與△ABC相似的是_________．（△ABC除外）【答案】③（△DEB）【分析】分別求出三個三角形的三邊的比，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【詳解】解：根據(jù)網(wǎng)格可知：AB=1，AC=12+12=2，BC=12+22=5，△同理可求：②△CDB的三邊之比是CD：BC：BD＝1：5：22；③△DEB中DE：BD：BE＝2：22：25＝1：2：5∴③（△DEB）與△ABC相似，故答案為：③△DEB．【點睛】本題主要考查相似三角形的判定，從“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮是解題關(guān)鍵．題型05利用相似的性質(zhì)求解【例5】（2023·陜西榆林·校考三模）如圖，在等邊△ABC中，點D,E分別在邊BC,AC上，∠ADE=60°，若AD=4,BDCE=32

A．1 B．43 C．2 D．【答案】D【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)解答即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠C=60°．∴∠ADB+∠BAD=180°?∠B=120°．∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=180°?∠ADE=120°，∴∠ADB+∠BAD=∠ADB+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，∴△BAD∽△CDE，∴BDCE∴4DE∴DE=8故選：D．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．【變式5-1】（2023·浙江杭州·校聯(lián)考二模）如圖，△ABC中，DE∥BC，若ADBD

A．DEBC=23 B．AEAC=23【答案】D【分析】由ADBD=23得到ADAB【詳解】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC，∴AD∵ADBD∴AD∴AD∴S故選：D．【點睛】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023·云南紅河·統(tǒng)考二模）如圖，△ADE～△ACB，DE=5，S△ADE:S四邊形BCED

A．8 B．203 C．253【答案】C【分析】根據(jù)S△ADE:S四邊形BCED【詳解】解：∵S△ADE∴S△ADE∴相似比為k=3:5，即DEBC=3∴BC=25故選：C．【點睛】本題考查了形似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握面積比是相似比的平方．【變式5-3】（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在等邊三角形ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，若△ABC的周長為12，則△ADE的周長為（

）A．3 B．4 C．6 D．9【答案】C【分析】利用中位線定理，得到三角形相似，運用周長之比等于相似比計算選擇．【詳解】設(shè)三角形的周長用C表示，∵點D，E分別是邊AB，AC的中點，∴DE∥BC，DE=∴△ADE∽△ABC，∴C△ADE∴C△ADE∴C△ADE故選C．【點睛】本題考查了中位線定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2023·甘肅武威·統(tǒng)考三模）已知△ABC∽△DEF，且∠A=30°，∠E=30°，則∠C的度數(shù)是（A．120° B．60° C．90° D．30°【答案】A【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等，以及三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵△ABC∴∠ABC=∠E=30°∵∠A=30°∴∠C=180°?∠A?∠ABC=120°故選A．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理．熟練掌握相似三角形的對應(yīng)角相等，是解題的關(guān)鍵．題型06利用相似的性質(zhì)求點的坐標(biāo)【例6】（2023·四川宜賓·四川省宜賓市第二中學(xué)校?？级＃┤鐖D，已知點A、B的坐標(biāo)分別是0,1、0,3，點C為x軸正半軸上一動點，當(dāng)∠ACB最大時，點C的坐標(biāo)是（

）A．2,0 B．3,0 C．2,0 【答案】B【分析】過點A、B作⊙P，點⊙P與x軸相切于點C時，利用圓周角大于對應(yīng)的圓外角得到此時∠ACB最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，利用垂徑定理得AH=BH=1，則OH=2，再根據(jù)切線的性質(zhì)得PC⊥x軸，則四邊形PCOH為矩形，所以PC=OH=2，則PA=2，在RtΔPAH中，利用勾股定理計算出PH=3，于是可得到C點坐標(biāo)為(3，【詳解】解：過點A、B作⊙P，點⊙P與x軸相切于點C時，∠ACB最大，連接PA、PB、PC，作PH⊥y軸于H，如圖，∵點A、B的坐標(biāo)分別是(0,1)、(0,3)，∴OA=1，AB=3?1=2，∵PH⊥AB，∴AH=BH=1，∴OH=2，∵⊙P與x軸相切于點C，∴PC⊥x軸，∴四邊形PCOH為矩形，∴PC=OH=2，∴PA=2，在RtΔPAH中，PH=P∴C點坐標(biāo)為(3，0)故選：B．【點睛】本題考查了圓的綜合題，熟練掌握垂徑定理、圓周角定理,勾股定理,坐標(biāo)與圖形，掌握相關(guān)定理性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023·江西九江·統(tǒng)考三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已如A1,0，B2,0，C0,1，在坐標(biāo)軸上有一點P，它與A,C兩點形成的三角形與△ABC相似，則P

【答案】3,0或0,2或0,3【分析】分兩種情形：當(dāng)點P在x軸上時，△PAC～△CAB時，當(dāng)點P'在y軸上時，△P'【詳解】解：如圖，

∵A(1,∴OA=OC=1,∴AC=2當(dāng)點P在x軸上時，△PAC～△CAB時，∴ACAB∴21∴PA=2，∴OP=3，∴P(3,當(dāng)點P'在y軸上時，△∵AC=CA，∴AB=CP∴OP∴P'當(dāng)△P″AC～△BCA∴C∴O∴P綜上所述，滿足條件的點P的坐標(biāo)為3,0或0,2或0,3．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會與分類討論的射線思考問題．【變式6-2】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）已知拋物線y=ax2?32x+c與x軸交于(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)連接AC，點P為拋物線上一點，且在y軸右側(cè)，過點P作PQ⊥x軸于Q，若△PAQ∽△ACO，請求出點【答案】(1)y=(2)5,3或者3,?4【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可作答；（2）設(shè)Px,12x2?32x?2，且x>0，即有Qx,0，可得QO=x，PQ=12x2?【詳解】（1）將A(?1,0)、B(4,0)代入y=axa×?1解得：a=1即拋物線解析式為：y=1（2）如圖，設(shè)Px,12∵PQ⊥x軸，∴Qx,0∴QO=x，PQ=1當(dāng)x=0時，y=?2，即C0,?2∴OC=2，∵A(?1,0)，∴AO=1，即AQ=AO+OQ=1+x，∵△PAQ∽∴COAO∴21即：x2當(dāng)x2?3x?4>0時，解得：x=5（x=?1舍去），即：P5,3當(dāng)x2?3x?4<0時，解得：x=3（x=?1舍去），即：P3,?4綜上：點P的坐標(biāo)為：5,3或者3,?4．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求解拋物線解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，解一元二次方程等知識，掌握相似三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程的方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）如圖，直線y=ax+2與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，與雙曲線y=kxx>0相交于點P，PC⊥x軸于點C，且PC=4，點A(1)求一次函數(shù)和雙曲線的解析式；(2)若點Q為雙曲線上點P右側(cè)的一點，且QH⊥x軸于H，當(dāng)△ABO～△CQH時，求點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)y=12(2)Q【分析】（1）A的坐標(biāo)為?4,0，代入直線y=ax+2待定系數(shù)即可求解；進(jìn)而根據(jù)PC=4，即點P的縱坐標(biāo)為4，代入y=12x+2（2）設(shè)HQ為x，則CH=2x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵A的坐標(biāo)為?4,0，代入直線y=ax+2∴0=?4a+2，解得a=∴y=1∵PC=4，即點P的縱坐標(biāo)為4，代入y=1∴4=解得：x=4，即P4,4將P4,4代入∴4=k4∴y=16（2）當(dāng)△ABO～△CQH時∴AO設(shè)HQ為x，則CH=2x∴Q4+2x,x代入反比例解析式x=∴解得x=?4或2∵x>0∴x=2∴Q8,2【點睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型07在網(wǎng)格中畫與已知三角形相似的三角形【例7】（2023·吉林延邊·統(tǒng)考一模）如圖是由邊長為1的小正方形組成的6×8的正方形網(wǎng)絡(luò)，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC的頂點A，B，C均在格點上，在給定的網(wǎng)絡(luò)中，只用無刻度直尺，按要求作圖，不要求寫畫法．

(1)在圖①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且點D、E、F均在格點上．(2)在圖②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，點G、H均在格點上，且相似比不為1．(3)在圖③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】（1）利用網(wǎng)格的特點和三角形全等的判定方法SSS進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定方法和網(wǎng)格的特點作圖即可；（3）利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AM=BM=CM=12BC，則∠MAC=∠C【詳解】（1）解：如圖，△DEF滿足題意，

（2）如圖，△CGH滿足題意，

（3）如圖，∠AMB滿足題意，

【點睛】此題考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性質(zhì)等知識，根據(jù)網(wǎng)格特點正確作圖是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023·浙江溫州·?？既＃┤鐖D，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，請按要求畫格點三角形（頂點在格點上），且三角形的各個頂點均不與點A，B，C重合．(1)在圖1中，作一個格點△DEF，使得△DEF與△ABC相似（相似比不等于1），且AB∥(2)在圖2中，作一個格點△PQR，使得△PQR與△ABC全等，且每條對應(yīng)邊都互相垂直．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定畫出圖形即可（答案不唯一）；（2）根據(jù)全等三角形的判定，畫出圖形即可（答案不唯一）．【詳解】（1）解：如圖，△DEF即為所求；

或者，滿足DE∥；（2）解：如圖，△PQR即為所求；

或者，滿足AB⊥PQ，BC⊥PR，AC⊥QR即可：

.【點睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．【變式7-2】（2023·安徽安慶·安慶市第四中學(xué)校考二模）如圖，在每個小正方形的邊長為1個單位的網(wǎng)格中，△ABC的頂點及線段MN的端點均在格點（網(wǎng)格線的交點）上．(1)作出△ABC關(guān)于直線MN對稱的△A(2)畫出一個格點△EFC，使△EFC∽△ABC（相似比不為1）．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先作出點A、B、C關(guān)于直線MN的對稱點，再一次連接即可；（2）連接點C和A1B1中點F，連接CM，連接MF，△MFC即為△EFC，點E【詳解】（1）解：如圖所示：△A（2）解：如圖所示：△EFC即為所求．

【點睛】本題主要考查了軸對稱的作圖，以及作相似三角形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對稱的作圖方法，以及相似三角形對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等．題型08證明三角形的對應(yīng)線段成比例【例8】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE∶EC＝2∶3，連接AE、BD，且AE、BD交于點F，則DF∶BF等于（

）A．2∶5 B．2∶3 C．3∶5 D．3∶2【答案】A【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)可得出AB∥CD且AB＝CD，結(jié)合DE∶EC＝2∶3可得出DEDC＝25，由AB∥CD可得出【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，且AB＝CD．∵DE∶EC＝2∶3，∴DEDC＝DEDE+EC＝25∵AB∥CD，∴△DEF∽△BAF，∴DFBF＝DEBA＝故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合DE：EC=2：3找出DE：BA的值是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2020·安徽合肥·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形ABCD中，點H為邊BC的中點，點G為線段DH上一點，且∠BGC=90°，延長BG交CD于點E，延長CG交AD于點F，當(dāng)CD=4，DE=1時，則DF的長為（

）A．2 B．32 C．5 D．【答案】A【分析】延長AD，BE相交于點M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得DEDF=DM【詳解】解：如圖，延長AD，BE相交于點M，∵DF∥CH，∴△DFG∽△HCG，∴DFCH∵DM∥BH，∴△DMG∽△HBG，∴DMBH∵CH=BH，∴DF=DM，又∵矩形ABCD,∴∠CDF=∠EDM=90°,∵∠BGC=90°,∴∠CGE=90°,∵∠CEG=∠MED,∴∠FCD=∠M,∴△MDE∽△CDF，∴DEDF∴DE∴DF∴DF＝4=2故選：A．【點睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線并