專題14 模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題14模型構(gòu)建專題：解直角三角形應(yīng)用中的基本模型壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【類型二不含特殊角的非直角三角形】 6【類型三“獨(dú)立”型】 11【類型四“背靠背”型】 14【類型五“疊合”型】 20【類型六“斜截”型】 24【典型例題】【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：（2023春·江西九江·八年級?？计谥校┤鐖D，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地時(shí)需經(jīng)過C地沿折線行駛，開通隧道后，汽車直接沿直線行駛．已知，，，隧道開通后，汽車從A地到B地行駛的直線距離為多少千米?

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，則的長為．

2．（2023秋·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，一條船上午8時(shí)從海島A出發(fā)，以15海里/時(shí)的速度向正北方向航行，上午10時(shí)到達(dá)海島B處，分別從A，B處望燈塔C，測得．(1)求海島B到燈塔C的距離；(2)若這條船到達(dá)海島B處后，繼續(xù)向正北方向航行，問還要經(jīng)過多長時(shí)間，小船與燈塔C的距離最短？3．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，小明在游玩時(shí)想利用手中的無人機(jī)測量一山崖（垂直于地面）的高度，小明從點(diǎn)看向無人機(jī)的仰角為．從無人機(jī)處測得看山崖頂端的仰角為，測得看山崖底部處的俯角為，無人機(jī)與山崖的水平距離為50米．（圖中各點(diǎn)均在同一平面內(nèi)）．

(1)求山崖的高度（結(jié)果保留根號）；(2)若點(diǎn)距離地面2米，求小明到山崖的水平距離（結(jié)果取整數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：，）【類型二不含特殊角的非直角三角形】例題：（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在每個(gè)邊長均為1的正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均在網(wǎng)格的交點(diǎn)上，則．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東汕頭·校考三模）由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格圖形中，的頂點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，則．

2．（2023·北京·校聯(lián)考一模）如圖，的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則的值為．3．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，已知在中，，，．(1)求；(2)求．4．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）閱讀下列材料：在中，、、所對的邊分別為、、，求證：．證明：如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則：在中，CD=asinB在中，根據(jù)上面的材料解決下列問題：(1)如圖2，在中，、、所對的邊分別為、、，求證：；(2)為了辦好湖南省首屆旅游發(fā)展大會，張家界市積極優(yōu)化旅游環(huán)境．如圖3，規(guī)劃中的一片三角形區(qū)域需美化，已知，，米，求這片區(qū)域的面積．（結(jié)果保留根號．參考數(shù)據(jù)：，【類型三“獨(dú)立”型】例題：（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，某校無人機(jī)興趣小組借助無人機(jī)測量教學(xué)樓的高度，無人機(jī)在離教學(xué)樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學(xué)樓頂處的俯角為，則教學(xué)樓的高度約為米．（結(jié)果精確到米）【參考數(shù)據(jù)：，，】

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·安徽淮南·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

2．（2019秋·廣東佛山·九年級佛山市禪城區(qū)瀾石中學(xué)校考期中）如圖，小明在公園放風(fēng)箏，拿風(fēng)箏線的手離地面高度為，風(fēng)箏飛到處時(shí)的線長為，這時(shí)測得，求此時(shí)風(fēng)箏離地面的高度．（精確到，）

【類型四“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）科技改變生活，手機(jī)導(dǎo)航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達(dá)A地后，導(dǎo)航顯示車輛應(yīng)沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達(dá)古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現(xiàn)古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：，，，，）．

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

2．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統(tǒng)考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動，該校數(shù)學(xué)興趣小組準(zhǔn)備借助無人機(jī)來測量小區(qū)內(nèi)的一座大樓高度．如圖所示，無人機(jī)從地面點(diǎn)A處沿著與地面垂直的方向上升，至點(diǎn)B處時(shí)，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機(jī)保持航向不變繼續(xù)上升50米到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點(diǎn)在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點(diǎn)間的距離：（結(jié)果保留根號）(3)求這座大樓的高度．（結(jié)果保留根號）3．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考一模）如圖，某無人機(jī)興趣小組在操場上展開活動，此時(shí)無人機(jī)在離地面30米的D處，無人機(jī)測得操控者A的俯角為，測得教學(xué)樓頂端點(diǎn)C處的俯角為，又經(jīng)過人工測量測得操控者A和教學(xué)樓之間的距離為57米．（點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上，結(jié)果保留根號）

(1)填空：______度，______度；(2)求此時(shí)無人機(jī)與教學(xué)樓之間的水平距離的距離；(3)求教學(xué)樓的高度．【類型五“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）文峰塔位于河南省安陽市古城內(nèi)西北隅，因塔建于天寧寺內(nèi)，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風(fēng)格獨(dú)特，具有上大下小的特點(diǎn)．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動課上，數(shù)學(xué)社團(tuán)的學(xué)生計(jì)劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點(diǎn)C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進(jìn)12m到達(dá)F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關(guān)數(shù)據(jù)求出文峰塔的高度．（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：，，，．）

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考期中）小軍和小明在同一個(gè)班，他們都是數(shù)學(xué)愛好者，并且住在同一個(gè)小區(qū)的A棟樓，學(xué)完解直角三角形后，他們決定用所學(xué)知識來求距離，如圖：A、B兩棟樓，他們站在自家陽臺上測得對面B棟樓的樓頂P點(diǎn)的仰角分別為．已知小軍家與小明家陽臺垂直距離為30米．（參考數(shù)據(jù)：）

(1)求A、B兩棟樓的樓間距為多少米？（結(jié)果精確到米）(2)已知小明家陽臺與地面的垂直距離為6米，求對面B棟樓的高度．（結(jié)果精確到米）2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點(diǎn)處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點(diǎn)處測得點(diǎn)的俯角為，已知為米，且、、三點(diǎn)在同一條直線上．

(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據(jù)以上條件求解時(shí)測角器的高度忽略不計(jì)）【類型六“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現(xiàn)均收到故障船C的求救信號，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點(diǎn)D，測得船C正好在觀測點(diǎn)D的南偏東方向上．

(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點(diǎn)D處100海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)：，）【變式訓(xùn)練】1．（2023·內(nèi)蒙古·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得河流左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：）．2．（2023·江蘇鹽城·校考二模）如圖，是某景區(qū)一段坡度的上坡路段，為豎直（與水平面垂直）的監(jiān)控立桿，點(diǎn)D處安裝了攝