專題08 圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略（原卷版）

專題08圓的對(duì)稱性壓軸題六種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】 1【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】 4【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】 7【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】 10【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】 13【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】 15【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 18【典型例題】【考點(diǎn)一利用垂徑定理求值】例題：（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的直徑，弦，垂足為，連接，若，，則弦的長(zhǎng)為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知的半徑為，弦的長(zhǎng)為，則圓心到的距離為．2．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言就是：如圖，是的直徑，弦，垂足為E，寸，寸．則直徑的長(zhǎng)為寸．

【考點(diǎn)二利用垂徑定理求平行弦問(wèn)題】例題：（2023秋·天津和平·九年級(jí)校考期末）半徑為5，弦，，，則與間的距離為（

）A．1 B．7 C．1或7 D．3或4【變式訓(xùn)練】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在半徑為10的中，弦，弦，且，則與之間的距離是．2．（2023春·甘肅武威·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）的半徑為13cm，AB、CD是的兩條弦，，AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之間的距離．【考點(diǎn)三利用垂徑定理求同心圓問(wèn)題】例題：如圖，已知的兩條弦、分別與的同心圓交于點(diǎn)E、F、X、Y，，，，則的長(zhǎng)度為．

【變式訓(xùn)練】1．如圖，一人口的弧形臺(tái)階，從上往下看是一組同心圓被一條直線所截得的一組圓?。阎總€(gè)臺(tái)階寬度為32cm（即相鄰兩弧半徑相差32cm），測(cè)得AB=200cm，AC=BD=40cm，則弧AB所在的圓的半徑為cm2．如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦與小圓相交于C，D兩點(diǎn)．(1)求證：．(2)若，大圓的半徑，求小圓的半徑r．【考點(diǎn)四利用垂徑定理求解其他問(wèn)題】例題：如圖所示，一圓弧過(guò)方格的格點(diǎn)，試在方格中建立平面直角坐標(biāo)系，使點(diǎn)的坐標(biāo)為，則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．如圖是一破損了的圓形零件的設(shè)計(jì)圖，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的有關(guān)知識(shí)將設(shè)計(jì)圖恢復(fù)完整．

2．已知：如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，請(qǐng)用無(wú)刻度直尺畫(huà)圖（保留作圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．

(1)如圖①，若M是半圓的中點(diǎn)，且與C點(diǎn)在同側(cè)，畫(huà)出的平分線．并說(shuō)明理由；(2)如圖②，若，畫(huà)出的平分線．【考點(diǎn)五垂徑定理的推論】例題：（2023·新疆喀什·統(tǒng)考二模）某公路隧道的截面為圓弧形，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，測(cè)得其同一水平線上A、B兩點(diǎn)之間的距離為12米，拱高為4米，則的半徑為米．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖是一位同學(xué)從照片上前切下來(lái)的海上日出時(shí)的畫(huà)面，“圖上”太陽(yáng)與海平線交于A，B兩點(diǎn)，他測(cè)得“圖上”圓的半徑為10厘米，厘米．則“圖上”太陽(yáng)從目前所處位置到完全跳出海平面，升起厘米．2．（2023春·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)校聯(lián)考期末）《九章算術(shù)》中卷九勾股篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如圖，為的半徑，弦，垂足為，寸，尺尺寸，則此圓材的直徑長(zhǎng)是寸．【考點(diǎn)六垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·安徽亳州·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)E，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·九年級(jí)單元測(cè)試）下列說(shuō)法正確的是（）①平分弧的直徑垂直平分弧所對(duì)的弦②平分弦的直徑平分弦所對(duì)的弧③垂直于弦的直線必過(guò)圓心④垂直于弦的直徑平分弦所對(duì)的弧A．②③ B．①③ C．②④ D．①④2．已知一座圓弧形拱橋，圓心為點(diǎn)O，橋下水面寬度為，過(guò)O作于點(diǎn)D，．

(1)求該圓弧形拱橋的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙頂部高出水面的貨船要經(jīng)過(guò)這座拱橋（船艙截面為長(zhǎng)方形），請(qǐng)問(wèn)，該貨船能順利通過(guò)嗎？【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，的半徑為5，于點(diǎn)C，若，則弦的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．4 C．6 D．82．為了測(cè)量一個(gè)鐵球的直徑，將該鐵球放入工件槽（相鄰兩邊互相垂直）內(nèi)，測(cè)得的有關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示（單位：），則該鐵球的直徑為（

）A． B． C． D．3．已知的半徑，弦、的長(zhǎng)分別是、，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或4．如圖，是的弦，半徑于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，．若，，則的面積為（）A． B． C． D．5．已知圓中兩條平行的弦之間距離為，其中一弦長(zhǎng)為，若半徑為，則另一弦長(zhǎng)為（

）A．或 B．或 C．或 D．或二、填空題6．如圖，已知的弦，半徑于，，則的半徑為．

7．如圖，將半徑為4的折疊，弧恰好經(jīng)過(guò)與垂直的半徑的中點(diǎn)，則折痕的長(zhǎng)．

8．《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中記載了一個(gè)“圓材埋壁”的問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶⑸钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”用幾何語(yǔ)言表達(dá)為：如圖，是的直徑，弦于點(diǎn)E，寸，寸，則直徑長(zhǎng)為寸．9．如圖，在中，弦，點(diǎn)C在上移動(dòng)，連接，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)D、E，則的最大值為．10．圖1是車載手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2是其正面示意圖，其中，，為伸縮桿，其中，支架最大寬度，支架的高為，則外接圓O的半徑為，當(dāng)一部寬為的手機(jī)置于支架中，如圖3，此時(shí)手機(jī)夾臂收縮，手機(jī)托下移，手機(jī)伸縮桿的移動(dòng)距離相同（），形成的外接圓的圓心為點(diǎn)P，若，則為cm．

三、解答題11．如圖，割線與交于點(diǎn)A，B，割線過(guò)圓心O，且，若弦，的半徑，求的長(zhǎng)．

12．如圖，的直徑垂直于弦，垂足為E，，．

(1)求的半徑長(zhǎng)；(2)連接，作于點(diǎn)F，求的長(zhǎng)．13．將圖中破損的輪子復(fù)原，已知點(diǎn)，，在弧上．(1)尺規(guī)作圖：作出該輪子的圓心（不寫(xiě)作法，用黑色筆將作圖痕跡加黑）；(2)連接，若點(diǎn)是弧的中點(diǎn)，，點(diǎn)到的距離是，求輪子的半徑．14．某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為，拱頂高出水面（即），，

(1)求出該圓弧形拱橋所在圓的半徑；(2)現(xiàn)有一艘寬，船艙高出水面的貨船要經(jīng)過(guò)這里，此貨船能順利通過(guò)這座橋嗎？15．在以點(diǎn)O為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦交小圓于C、D兩點(diǎn)．

(1)與相等嗎？為什么？(2)若大圓、小圓的半徑分別為13和7，，求的長(zhǎng)．16．我們?cè)趯W(xué)習(xí)了《浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)》探究活動(dòng)，“已知：如圖為一座拱橋的示意圖，當(dāng)水面寬為時(shí)，橋洞頂部離水面已知橋洞的拱形是拋物線”，現(xiàn)以水平方向?yàn)檩S，若小明同學(xué)以為頂點(diǎn)求出了函數(shù)表達(dá)式是；探究一：(1)若小紅