專題03 反比例函數(shù)與幾何綜合問題壓軸題七種模型全攻略（原卷版）

專題03反比例函數(shù)與幾何綜合問題壓軸題七種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積】 1【考點二根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)(解析式)】 3【考點三反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】 6【考點四反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】 12【考點五反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】 15【考點六反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】 20【考點七反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】 24【過關(guān)檢測】 27【典型例題】【考點一已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積】例題：（2023春·山東東營·九年級東營市勝利第一初級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，點A在雙曲線上，點B在雙曲線上，且軸，則的面積等于___________．【變式1-1】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，雙曲線與在第一象限內(nèi)的圖象依次是和設(shè)點在圖象上，垂直于軸于點，交圖象于點，垂直于軸于點，交圖象于點，則四邊形的面積為_______【變式1-2】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點O是坐標(biāo)原點，點A是x軸正半軸上的一個定點，點P是雙曲線上的一個動點，軸于點B，當(dāng)點P的橫坐標(biāo)逐漸增大時，四邊形的面積將會________．（填“逐漸增大”或“不變”或“逐漸減小”）【考點二根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)(解析式)】例題：（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）如圖，一直線經(jīng)過原點，且與反比例函數(shù)相交于點、點，過點作軸，垂足為，連接．若面積為，則___．【變式2-1】（2023·山西忻州·統(tǒng)考一模）如圖，直線與反比例函數(shù)的圖象交于點A，B，與x軸交于點D，過點A作軸于點C，若，則k=______．【變式2-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)和的圖象在第一象限內(nèi)分別交矩形的頂點和對角線的中點，則的值為______．【考點三反比例函數(shù)與三角形的綜合問題】例題：（2023·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，為等邊三角形，點恰好在反比例函數(shù)的圖象上，且軸于點．若點的坐標(biāo)為，則的值為（

）A． B． C． D．2【變式3-1】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，點B、D都在x軸上，點A、C都在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，則點C的橫坐標(biāo)為________．【變式3-2】（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考一模）已知在等腰直角三角形中，，，．(1)如圖1，請直接寫出點C的坐標(biāo)______，若點C在反比例函數(shù)上，則______；(2)如圖2，若將延x軸向右平移得到，平移距離為m，當(dāng)，都在反比例函數(shù)上時，求，m；(3)如圖3，在（2）的條件下，在y軸上是否存在點P，使得的面積是面積的一半．若存在，請求出點P；若不存在，請說明理由．【考點四反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合問題】例題：（2023秋·陜西咸陽·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點A是反比例函數(shù)的圖象上的一點，過點A作平行四邊形，使點B、C均在x軸上，點D在y軸上，則平行四邊形的面積為_______．【變式4-1】（2023春·山東濟(jì)南·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過平行四邊形的頂點C，則________【變式4-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）如圖，平行四邊形OABC的頂點A，C都在反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象上，已知點B的坐標(biāo)為（8，4），點C的橫坐標(biāo)為2．(1)求反比例函數(shù)y（k＞0）的解析式；(2)求平行四邊形OABC的面積S．【考點五反比例函數(shù)與矩形的綜合問題】例題：（2023·廣東佛山·石門中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的邊軸，頂點A在反比例函數(shù)上，點B、D在反比例函數(shù)上，則矩形ABCD的面積為（）A． B．3 C． D．4【變式5-1】（2023·廣東湛江·?？家荒＃┤鐖D，在矩形中，，點D是邊的中點，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點D，交于點E．(1)求k的值及直線的解析式；(2)在x軸上找一點P，使的周長最小，求此時點P的坐標(biāo)．【變式5-2】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，D是的中點，過點D的反比例函數(shù)圖像交于E點，連接．若，．(1)求過點D的反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積；(3)x軸上是否存在點P使為直角三角形？若存在，請求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【考點六反比例函數(shù)與菱形的綜合問題】例題：（2023·陜西榆林·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的對角線在軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖象上，若菱形的面積為6，則的值為__________．【變式6-1】（2023春·八年級課時練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點在軸上，頂點在反比例函數(shù)的圖像上，且若將該菱形向下平移個單位后，頂點恰好落在此反比例函數(shù)的圖像上，則此反比例函數(shù)的表達(dá)式為________．【變式6-2】（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的頂點與原點重合，點在軸的正半軸上，點在反比例函數(shù)的圖象上，點的坐標(biāo)為．(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式；(2)設(shè)點在反比例函數(shù)圖象上，連接，若的面積是菱形面積的，求點的坐標(biāo)．【考點七反比例函數(shù)與正方形的綜合問題】例題：（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點A在x軸上，頂點C在y軸上，且．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，則k的值為______．【變式7-1】（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，點A，B分別在函數(shù)，的圖象上，點D，C在x軸上．若四邊形為正方形．則點A的坐標(biāo)是______．【變式7-2】（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，四邊形為正方形．點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過點．(1)點的坐標(biāo)為

；(2)求反比例函數(shù)的解析式．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．（2023春·北京西城·九年級北京四中?？奸_學(xué)考試）下面四個圖中反比例函數(shù)的表達(dá)式均為，則陰影部分的圖形的面積為3的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的邊與軸平行，，兩點縱坐標(biāo)分別為，，反比例函數(shù)經(jīng)過，兩點，若，則值為（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點是函數(shù)圖象上的一個動點，過點作軸交函數(shù)的圖象于點，點、在軸上在的左側(cè)，且，連接、，這關(guān)于四邊形的面積的結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．四邊形的面積無法確定4．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖，點P是的圖象上一動點軸于點C，交的圖象于點A，軸于點D，交的圖象于點B．給出如下結(jié)論：①與的面積相等；②與始終相等；③四邊形的面積大小不會發(fā)生變化；④．其中所有正確結(jié)論有（

）個．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題5．（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在函數(shù)的圖象上，軸于點，連接，則面積為________．6．（2023秋·福建福州·九年級?？计谀┤鐖D，是反比例函數(shù)的圖象上任意一點，過點分別作軸，軸的垂線，垂足為，，則四邊形的面積是______．7．（2023春·山東濟(jì)南·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上一點，過點的直線軸，分別與反比例函數(shù)和的圖象交于、兩點，若，則的值為______．8．（2023·河北滄州·?？既＃┤鐖D，矩形與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點，，與反比例函數(shù)（是非零常數(shù)，）的圖象交于點，連接，．若四邊形的面積為3，則的值為________．

三、解答題9．（2023·福建寧德·模擬預(yù)測）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點，在軸上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，交于點．

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積．10．（2023·山東淄博·二模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，的邊在x軸上，對角線交于點D，函數(shù)的圖像經(jīng)過點和點D．

(1)求點D的坐標(biāo)；(2)求的面積．11．（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形頂點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸上，點為．

(1)求的值；(2)點為反比例函數(shù)圖象上一個動點，過點作軸于點，交于點，若，求點的坐標(biāo)．12．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D1，四邊形為正方形，點A在y軸上，點B在x軸上，且，反比例函數(shù)在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點C．

(1)求點C的坐標(biāo)；(2)如圖2，將正方形沿x軸向右平移得到正方形，點恰好落在反比例函數(shù)的圖象上，求此時點的坐標(biāo)．13．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形的直角頂點，頂點A、恰好落在反比例函數(shù)第一象限的圖象上．

(1)分別求反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線所對應(yīng)的一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在x軸上是否存在一點P，使周長的值最?。舸嬖?，求出最小值；若不存在，請說明理由．14．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）如圖，矩形的頂點為坐標(biāo)原點，點在軸的正半軸上，點在軸的正半軸上，，，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過的中點，且與交于點．

(1)求的值和點的坐標(biāo)：(2)連接，，求四邊形的面積；(3)為軸上一點，為反比例函數(shù)圖象上一點，是否存在以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊