二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的四種考法（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題04二次函數(shù)實(shí)際應(yīng)用的四種考法類型一、銷售利潤(rùn)問題例．2023年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一開售，就深受大家的喜愛．某旅游商店以每件50元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件80元的價(jià)格出售，每日可售出200件．從7月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該吉祥物每降價(jià)1元，日銷售量就會(huì)增加20件．(1)設(shè)定價(jià)為x元，日銷售量為y件．試用含x的式子表示y，；(2)當(dāng)該吉祥物售價(jià)為多少元時(shí)，日銷售利潤(rùn)達(dá)7500元？(3)請(qǐng)你測(cè)算一下，該商場(chǎng)如何定價(jià)，可使日銷售利潤(rùn)最多？【變式訓(xùn)練1】．某商店經(jīng)銷一種學(xué)生用雙肩包，已知這種雙肩包的成本價(jià)為每個(gè)60元．市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若雙肩包定價(jià)為110元，則一個(gè)月的銷售量為300個(gè)，若每降價(jià)1元，則每個(gè)月可以多銷售10個(gè)．設(shè)這種雙肩包的單價(jià)為元，一個(gè)月的銷售利潤(rùn)為元．(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)這種雙肩包銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每月的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？(3)該商店熱心公益事業(yè)，決定從這種雙肩包每月的利潤(rùn)中捐出1750元給希望工程，為了保證捐款后每月剩余利潤(rùn)不低于12000元，求銷售單價(jià)的范圍．【變式訓(xùn)練2】．大錦農(nóng)某品種蘋果，進(jìn)價(jià)為10元/千克，根據(jù)張麗同學(xué)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：每天銷量(千克)與銷售單價(jià)(元/千克)存在一次函數(shù)關(guān)系．

(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量取值范圍)；(2)怎樣確定銷售價(jià)才能使該品種蘋果每天銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？【變式訓(xùn)練3】．某專賣店專營(yíng)某產(chǎn)品，根據(jù)總部要求市場(chǎng)銷售單價(jià)在25元到45元之間．專賣店在銷售該產(chǎn)品的過程中發(fā)現(xiàn)：銷售該產(chǎn)品的成本（單位：元）與銷售件數(shù)（單位：件）成正比例．同時(shí)每天的銷售件數(shù)與銷售價(jià)格（單位：元件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．如表記錄了該專賣店某4天銷售產(chǎn)品的一些數(shù)據(jù)．銷售價(jià)格（單位：元件）25303238銷售件數(shù)（單位：件）35302822銷售成本（單位：元）210180168132(1)直接寫出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若一天的銷售利潤(rùn)為，當(dāng)銷售價(jià)格為多少時(shí)，最大？最大值是多少？(3)該專賣店以每件返現(xiàn)元的辦法促銷，發(fā)現(xiàn)在銷售規(guī)律不變的情況下，當(dāng)元件時(shí)，一天可獲得的利潤(rùn)為600元，求的值．【變式訓(xùn)練4】．某商店經(jīng)銷一種電子鞭炮，已知這種電子鞭炮的成本價(jià)為每盒80元，市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該種電子鞭炮每天的銷售量y（盒）與銷售單價(jià)x（元）有如下關(guān)系：，設(shè)這種電子鞭炮每天的銷售利潤(rùn)為w元(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)該種電子鞭炮銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，每天的銷售利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少元?(3)該商店銷售這種電子鞭炮要想每天獲得2400元的銷售利潤(rùn)，又想賣得快，則銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元?類型二、噴水問題例．如圖，要建一個(gè)圓形噴水池，在池中心豎直安置一根水管，在水管的頂端A安一個(gè)噴水頭，使噴出的拋物線形水柱與池中心的水平距離為1m處達(dá)到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m．以水管與地面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，原點(diǎn)與水柱落地處所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，每個(gè)單位長(zhǎng)度表示1m．

(1)求水管的長(zhǎng)度．(2)如圖2，是圖中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱，畫出點(diǎn)所在的拋物線的草圖，并直接寫出點(diǎn)所在拋物線的解析式及自變量的取值范圍．(3)將水管OA噴水頭往上平移m，求水柱落地處離池中心的距離．【變式訓(xùn)練1】．如圖1，勞動(dòng)課同學(xué)們利用噴水頭噴出的水對(duì)草坪進(jìn)行噴灌作業(yè)以養(yǎng)護(hù)草坪．如圖2，點(diǎn)O處有一個(gè)噴水頭，距離噴水頭的M處有一棵高度是的樹，距離這棵樹的N處有一面高的圍墻．建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度與水平距離近似滿足函數(shù)關(guān)系．

(1)某次噴水澆灌時(shí)，測(cè)得x與y的幾組數(shù)據(jù)如下：02610120①根據(jù)上述數(shù)據(jù)，求滿足的函數(shù)關(guān)系；②求噴水頭噴出的水柱最大高度；(2)又一次噴水澆灌時(shí)，已知噴水頭噴出的水柱的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系．假設(shè)噴水頭噴出的水柱能夠越過這棵樹，且不會(huì)澆到墻外，求出同時(shí)滿足這兩個(gè)要求的常數(shù)b的范圍_________．【變式訓(xùn)練2】．為應(yīng)對(duì)高樓火災(zāi)，某消防中隊(duì)進(jìn)行消防技能演習(xí)．如圖，在一個(gè)廢棄高樓距地面10m的點(diǎn)A至16m的點(diǎn)B處，設(shè)置了一個(gè)火源段（含點(diǎn)A與點(diǎn)B），消防員站在高樓前且與高樓水平距離為t米位置使用高壓水槍滅火，水槍噴出的水流可看作拋物線的一部分，且每次水流所在拋物線的形狀完全相同．水流達(dá)到火源段（線段）中某一處，則視為有效滅火．如圖1，消防員甲滅火時(shí)站在水平地面的點(diǎn)C處，水流從C點(diǎn)射出恰好到達(dá)點(diǎn)A處，且水流的最大高度為18m，水流的最高點(diǎn)到高樓的水平距離為4m，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，水流的高度y（m）與出水點(diǎn)到高樓的水平距離x（m）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．

(1)求消防員甲滅火時(shí)水流所在拋物線的解析式；(2)如圖2，消防員乙站在水平地面的點(diǎn)D處進(jìn)行滅火，此時(shí)，請(qǐng)判斷他是否有效滅火，并說明理由；(3)若要有效滅火，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．【變式訓(xùn)練3】．如圖1，一灌溉車正為綠化帶澆水，噴水口離地豎直高度為米．建立如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為兩條拋物線的部分圖象，把綠化帶橫截面抽象為矩形，其水平寬度米，豎直高度米，下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到，上邊緣拋物線最高點(diǎn)離噴水口的水平距離為2米，高出噴水口米，灌溉車到綠化帶的距離為米．

(1)求上邊緣拋物線噴出水的最大射程；(2)求下邊緣拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若米，灌溉車行駛時(shí)噴出的水______（填“能”或“不能”）澆灌到整個(gè)綠化帶．類型三、拱橋問題例．如圖1是某公園內(nèi)的一座拱橋．如圖2是其橋拱的截面示意圖，可視為拋物線的一部分．某時(shí)測(cè)得橋拱內(nèi)的水面寬，橋拱頂點(diǎn)C到水面的距離是．據(jù)調(diào)查，該河段水位在此基礎(chǔ)上再漲達(dá)到最高．

(1)按如圖2所示建立平面直角坐標(biāo)系，求橋拱截面所在拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)為迎佳節(jié)，擬在圖1橋拱內(nèi)壁上懸掛長(zhǎng)的燈籠，為了安全，燈籠底部距離水面不小于，請(qǐng)確定懸掛點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最小值和橫坐標(biāo)的取值范圍．(3)橋拱截面所在拋物線在軸下方的部分與橋拱在平靜水面中的倒影組成一個(gè)新的函數(shù)圖象，如圖3．將圖象G向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后的函數(shù)圖象在時(shí)，y隨x的增大而減小，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．【變式訓(xùn)練1】．如圖，有一座拋物線形狀的拱橋，對(duì)拱橋在水面以上的部分進(jìn)行測(cè)量，得到橋洞的跨度為12米，并且以橋洞拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向，建立平面直角坐標(biāo)系，把測(cè)量得到的數(shù)據(jù)記入下表：x（米）－6－4－20246y（米）－3.02－1.33－0.310－0.32－1.33－2.99(1)請(qǐng)?jiān)谙旅娴淖鴺?biāo)系中根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)請(qǐng)結(jié)合圖象，寫出拱橋的橋洞在拱頂下方1米的位置寬度是______米（結(jié)果精確到0.1）；(3)現(xiàn)有一艘寬4米，高2米的游船要穿過拱橋的橋洞．為保證安全，要求船頂?shù)截Q直方向上拱橋橋洞對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離不小于0.5米，那么這艘船______（填“能”或者“不能”）安全通過．【變式訓(xùn)練2】．施工隊(duì)要修建一個(gè)橫斷面為拋物線的公路隧道，其高度為6米，寬度為12米．現(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如圖1所示）．(1)求出這條拋物線的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)施工隊(duì)計(jì)劃在隧道門口搭建一個(gè)矩形“腳手架”，使A、D點(diǎn)在拋物線上．B、C點(diǎn)在地面線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根木桿、、的長(zhǎng)度之和的最大值是多少，請(qǐng)你幫施工隊(duì)計(jì)算一下．【變式訓(xùn)練3】．廊橋是我國(guó)古老的文化遺產(chǎn)．如圖，是某座拋物線型的廊橋示意圖，已知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為，為保護(hù)廊橋的安全，在該拋物線上距水面高為8米的點(diǎn)，處要安裝兩盞警示燈，則這兩盞燈的水平距離是多少米？（精確到1米）【變式訓(xùn)練4】．如圖1為某新建住宅小區(qū)修建的一個(gè)橫斷面為拋物線的拱形大門，點(diǎn)Q為頂點(diǎn)，其高為6米，寬為12米．以點(diǎn)O為原點(diǎn)，所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系．

(1)求出該拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量x的取值范圍；(2)拱形大門下的道路設(shè)雙向行車道供車輛出入（正中間是寬1米的值班室），其中的一條行車道能否行駛寬2.5米、高3.5米的消防車輛？請(qǐng)通過計(jì)算說明；(3)如圖2，小區(qū)物業(yè)計(jì)劃在拱形大門處安裝一個(gè)矩形“光帶”，使點(diǎn)A，D在拋物線上，點(diǎn)B，C在上，求出所需的三根“光帶”，，的長(zhǎng)度之和的最大值．類型四、圖形運(yùn)動(dòng)問題例．如圖，菱形的邊長(zhǎng)為6，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P以2的速度沿A→B→E運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q以1的速度沿B→D運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s，的面積為y，則y與x之間的關(guān)系用圖象大致可表示為（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練1】．如圖，在中，，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿A→C→B的路徑移動(dòng)，過點(diǎn)E作，垂足為D．設(shè)，的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【變式訓(xùn)練2】．如圖，正方形邊長(zhǎng)為1，E、F、G、H分別為各邊上的點(diǎn)，且，設(shè)小正方形的面積為s，為x，則s關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練3】．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度分別沿和的路徑向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：s）四邊形的面積為（單位：），則與（）之間的函數(shù)圖象大致是下列圖中的（

）

A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練4】．如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以的速度沿方向勻速移動(dòng)．設(shè)的面積為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，則下列圖象能大致反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

課后作業(yè)1．如圖，四邊形是菱形，邊長(zhǎng)為4，，垂直于的直線從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平移，設(shè)直線P與菱形的兩邊分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)（點(diǎn)E在點(diǎn)F的上方），若的面積為y，直線的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，則能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

2．如圖，在中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)P從A點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在上，且，連接，過點(diǎn)Q作交AB與點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，的面積為，則能反映y與x之間關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．3．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E是線段的三等分點(diǎn)（），動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向終點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，以為邊作等邊，在動(dòng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的過程中，陰影部分面積的最小值是（

）

A． B． C． D．4．某公園在在垂直于湖面的立柱上安裝了一個(gè)多孔噴頭，從噴頭每個(gè)孔噴出的水柱形狀都相同，可以看作是拋物線的一部分，當(dāng)噴頭向四周同時(shí)噴水時(shí)，形成一個(gè)環(huán)狀噴泉．安裝后，通過測(cè)量其中一條水柱，獲得如下數(shù)據(jù)；在距立柱水平距離為d米的地點(diǎn)，水柱距離湖面的高度為h米．（米）（米）請(qǐng)解決以下問題：(1)在網(wǎng)格中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)描點(diǎn)，并用平滑的曲線連接；

(2)結(jié)合表中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出這條水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m；(3)求所畫圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；(4)從安全的角度考慮，需要在這組噴泉外圍設(shè)立一圈正方形護(hù)欄，這個(gè)噴泉的任何一條水柱在湖面上的落點(diǎn)到護(hù)欄的距離不能小于0.5米，請(qǐng)通過計(jì)算說明公園至少需要準(zhǔn)備多少米的護(hù)欄（不考慮接頭等其他因素）．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫出某水利工程公司開挖的水渠橫截面，該水渠呈拋物線形，其寬度米．某日，當(dāng)水渠內(nèi)的水面寬度為24米時(shí)，水面與兩岸的豎直高度為米．

(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)若水渠中原水面的寬度減少為原來的一半，則水渠最深處到水面的距離減少多少米？6．如圖，某小區(qū)準(zhǔn)備用總長(zhǎng)的籬笆圍成一塊矩形花圃．為了節(jié)省籬笆，一邊利用足夠長(zhǎng)的墻，另外三邊用籬笆圍著，再用兩段籬笆與將矩形分割成三塊矩形區(qū)域，而且這三塊區(qū)域的面積相等，設(shè)．

(1)填空：__________m．（用含x的代數(shù)式表示）(2)當(dāng)矩形區(qū)域①