專項03 二次函數(shù)與三角形的綜合運用

專項03二次函數(shù)與三角形的綜合運用類型一二次函數(shù)與三角形周長問題1，如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=45x2+bx+c與y軸交于點A,與x軸交于點B(1,0),C(5,0),其對稱軸與x軸交于點M.(1)求拋物線的解析式和對稱軸.(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最小?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.2，如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B、C(點B在點C左側(cè)),與y軸交于點A(0,4),已知點C的坐標(biāo)為(4,0).(1)求拋物線的解析式;(2)點P是直線AC下方拋物線上一點,過點P作直線AC的垂線,垂足為點H,過點P作PQ∥y軸交AC于點Q,求△PHQ周長的最大值及此時點P的坐標(biāo).類型二二次函數(shù)與三角形面積問題3，如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=ax2+bx-3(a≠0)的圖象與x軸相交于點A(-1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C.(1)求點C的坐標(biāo)以及△BOC的面積;(2)求二次函數(shù)的解析式;(3)若點D為第四象限內(nèi)二次函數(shù)圖象上的動點,設(shè)點D的橫坐標(biāo)為m,△BCD的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)解析式,并求出S的最大值.類型三二次函數(shù)與三角形相似問題4，如圖,拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(1,0),B兩點,與y軸交于點C(0,3).(1)求該拋物線的表達(dá)式;(2)過點B作x軸的垂線,在該垂線上取一點P,使得△PBC與△ABC相似,請求出點P的坐標(biāo).類型四二次函數(shù)與三角形存在性問題5，如圖,平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=a(x-1)2+92與x軸交于A,B(4,0)兩點,與y軸交于點C.(1)求拋物線的解析式,并直接寫出點A,C的坐標(biāo).(2)在拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BCP是直角三角形?若存在,請直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(3)若點M是直線BC上的一個動點,連接AM,OM,是否存在點M,使AM+OM的值最小?若存在,請求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.6，如圖,一次函數(shù)y=12x+2與x軸,y軸分別交于A、C兩點,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過A、C兩點,與x軸交于另一點B,其對稱軸為直線x=-32(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式.(2)在y軸的正半軸上是否存在一點M,使以點M、O、B為頂點的三角形與△AOC相似?若存在,求出點M的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.(3)在對稱軸上是否存在點P,使△PAC為等腰三角形?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

專項03二次函數(shù)與三角形的綜合運用答案全解全析1.解析(1)將B(1,0),C(5,0)代入y=45x2+bx+c,得45+b+c=0,20+5b+c=0,解得b=-245∴拋物線的對稱軸為直線x=--24(2)存在,點P的坐標(biāo)為3,85時,△PAB的周長最小.連接AC交拋物線的對稱軸于點P,易知此時△PAB的周長最小當(dāng)x=0時,y=45x2-245x+4=4,∴點A的坐標(biāo)為(0,4).設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m(k≠0),將A(0,4),C(5,0)代入y=kx+m,得m=4,5k+m=0,解得k=-45,m=4,∴直線AC的解析式為y=-45x+4,當(dāng)x=3時,y=-452.解析(1)∵點A(0,4),點C(4,0)在拋物線y=x2+bx+c上,∴c=4,16+4b+c=0,解得b=-5(2)設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m(k≠0),∵直線AC過點A(0,4),點C(4,0),∴m=4,4k+m=0,解得k=-1由題意可知,OA=OC=4,∴∠OAC=45°,∵PQ∥y軸,∴∠PQH=45°,∵PH⊥AC,∴PH=QH=22PQ,∴△PHQ的周長=PH+QH+PQ=(2+1)PQ,∴求△PHQ周長的最大值就是求PQ的最大值,設(shè)P(t,t2-5t+4),則Q(t,-t+4),∴PQ=-t+4-(t2-5t+4)=-t2+4t,∵-1<0,∴當(dāng)t=-42×(-1)=2時,PQ有最大值,最大值為-22+4×2=4,此時P(2,-2),△PHQ的周長為∴△PHQ周長的最大值為42+4,此時點P的坐標(biāo)為(2,-2).3.解析(1)把x=0代入y=ax2+bx-3得y=-3,∴C(0,-3),∴S△BOC=12OB·OC=12×3×3=(2)把A(-1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx-3,得0=a-b-3,(3)如圖,作DE⊥x軸交BC于點E,則DE∥y軸,把x=m代入y=x2-2x-3得y=m2-2m-3,∴點D的坐標(biāo)為(m,m2-2m-3),設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n(k≠0),將(3,0),(0,-3)代入y=kx+n,得3k+n=0,n=∴直線BC的解析式為y=x-3,∴點E的坐標(biāo)為(m,m-3),∴ED=m-3-(m2-2m-3)=-m2+3m.∵S△BCD=S△CDE+S△BDE,∴S=12DE(xD-xC)+12DE(xB-xD)=12DE(xB-xC)=12×3(-m2+3m)=-32m2+9∴當(dāng)m=32時,S的值最大,最大值為274.解析(1)把C(0,3)代入y=x2+bx+c,得c=3,∴y=x2+bx+3.把A(1,0)代入y=x2+bx+3,得1+b+3=0,解得b=-4,∴該拋物線的表達(dá)式為y=x2-4x+3.(2)令y=0,則x2-4x+3=0,解得x=1或x=3,∴點B的坐標(biāo)為(3,0),∴OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=45°.當(dāng)點P在點B上方時,有兩種情況:①如圖1,∵點P在過B點垂直于x軸的垂線上,∴∠PBC=45°,∴∠ABC=∠PBC.設(shè)點P(3,m),當(dāng)ABPB=BCBC時,△PBC∴PB=AB=3-1=2,此時點P的坐標(biāo)為(3,2);圖1圖2②如圖2,當(dāng)BCPB=ABCB時,△PBC由勾股定理得BC=OB2+OC2∴PB=(32)22當(dāng)點P在點B下方時,∠PBC=135°,∠BAC=∠AOC+∠ACO=90°+∠ACO<135°,此時△PBC與△ABC不相似.綜上所述,點P的坐標(biāo)為(3,2)或(3,9).5.解析(1)將B(4,0)代入y=a(x-1)2+92,得0=9a+92,解得a=-12,∴y=-12(x-1)令x=0,則y=-12+92=4;令y=0,則-12(x-1)2+92=0,解得x1=4,x2=-2,∴點A的坐標(biāo)為(-2,0),(2)存在點P使△BCP是直角三角形.∵y=-12(x-1)2+92,∴設(shè)P(1,n),∵B(4,0),C(0,4),∴BC2=42+42=32,BP2=(4-1)2+n2,PC2=12+(4-n)2.①當(dāng)∠BCP=90°時,BP2=BC2+PC2,即(4-1)2+n2=32+12+(4-n)2,解得n=5;②當(dāng)∠CBP=90°時,PC2=BP2+BC2,即12+(4-n)2=(4-1)2+n2+32,解得n=-3;③當(dāng)∠BPC=90°時,BC2=BP2+PC2,即32=(4-1)2+n2+12+(4-n)2,解得n=2-7或n=2+7.綜上所述,點P的坐標(biāo)為(1,5)或(1,-3)或(1,2+7)或(1,2-7).(3)存在點M使AM+OM的值最小.如圖,作O點關(guān)于BC的對稱點Q,連接AQ,BQ,AQ交BC于點M,易知此時AM+OM的值最小.∵B(4,0),C(0,4),∴OB=OC,∴∠CBO=45°,由對稱性可知∠QBM=45°,BQ=BO,∴BQ⊥BO,∴Q(4,4),設(shè)直線AQ的表達(dá)式為y=kx+b(k≠0),∴-2k+b=0,∴直線AQ的表達(dá)式為y=23x+4設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=mx+4(m≠0),∴4m+4=0,∴m=-1,∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+4,聯(lián)立直線BC和直線AQ,得y=-x+4∴點M的坐標(biāo)為856.解析(1)對于y=12x+2,當(dāng)x=0時,y=2,即點C的坐標(biāo)為(0,2),令y=0,則12x+2=0,解得x=-4,即點A∵拋物線的對稱軸為直線x=-32,∴點B的坐標(biāo)為(1,0),∴二次函數(shù)的表達(dá)式為∵拋物線過點C(0,2),∴-4a=2,解得a=-12,故拋物線的表達(dá)式為y=-12(x-1)(x+4)=-12x2(2)存在.在Rt△AOC中,tan∠CAO=COOA=12,∵以點M、O、B為頂點的三角形與△AOC相似,∠AOC=∠MOB=90°,∴∠BMO=∠CAO或∠MBO=∴tan∠BMO=12或tan∠MBO=1∴OBOM=12或OMOB=12,∵OB