陜西省榆林市2024屆高三上學(xué)期第一次模擬檢測(cè)試題 數(shù)學(xué)（理） 含解析

榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.第I卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A. B.C. D.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.4.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.85.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.7已知，則（）A. B.C. D.8.已知為奇函數(shù)，則（）A. B.14 C. D.79.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.310.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.11.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量滿足，則__________.14.若滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_.15.已知函數(shù).若存在，使不等式成立，則的取值范圍是__________.16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷量為_(kāi)_________.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在三棱錐中，.（1）證明：.（2）若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求的最大值.19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若競(jìng)賽成績(jī)不低于分，則被認(rèn)定為成績(jī)合格，低于分說(shuō)明成績(jī)不合格.從參加知識(shí)競(jìng)賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績(jī)合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（1）求方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.21.已知函數(shù).（1）求極值；（2）已知，證明：.（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線和參數(shù)方程分別為（為參數(shù)），（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線和的極坐標(biāo)方程；（2）已知直線，且與曲線相交于、兩點(diǎn)，與曲線相交于、兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.[選修4-5：不等式選講]23.已知函數(shù).（1）求不等式解集；（2）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.榆林市2023—2024年度高三第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（理科）考生注意：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題答案填寫(xiě)在答題卡上.第I卷一?選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，所以.故選：B.2.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式化簡(jiǎn)集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】依題意，或，而，所以.故選：D3.已知直線是雙曲線的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得到，再代入離心率公式即可.【詳解】由題意可知，所以.故選：D.4.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C.16 D.8【答案】A【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，由，可得，即，所以.故選：A5.某圓錐的側(cè)面積為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A.2 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓錐母線長(zhǎng)為，底面半徑為，由題意得到求解.【詳解】解：設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為，即側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為，側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為.又圓錐底面周長(zhǎng)為，所以，即圓錐的母線長(zhǎng).所以圓錐的側(cè)面積為，解得.故選：D6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的（）A.18 B.22 C.25 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的功能，一一循環(huán)驗(yàn)證即可.【詳解】解：執(zhí)行該程序框圖，成立，成立，成立，，不滿足，輸出.故選：C7.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，?故選：D.8.已知為奇函數(shù)，則（）A. B.14 C. D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義得到，進(jìn)而求值.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，即，所以，所以.故選：C9.如圖，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)，其中點(diǎn)在該拋物線上，點(diǎn)在軸上，若，則（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)拋物線定義可求出，根據(jù)三角形相似即可求出.【詳解】設(shè),，由，根據(jù)拋物線定義可得，故，，過(guò)，分別作軸的垂線，過(guò)作軸的垂線，垂足為，明顯，所以.故選：D10.下圖是由兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的正方形構(gòu)成的，在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自的概率分別記為，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用幾何概型公式求得的值，進(jìn)而得到三者之間的關(guān)系.【詳解】設(shè)，從而，因?yàn)?，所以，根?jù)面積型幾何概型的概率公式，可以得到，，則故選：A.11.已知是球的直徑上一點(diǎn)，，平面，為垂足，截球所得截面的面積為，為上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)作球的截面，則所得的截面面積最小的圓的半徑為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，由平面幾何知識(shí)得截面與球心的距離為，利用勾股定理求得的值，由題意可知球心到所求截面的距離最大時(shí)截面面積最小，利用面積公式，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)截得的截面圓的半徑為，球的半徑為，因?yàn)?，所?由勾股定理，得，由題意得，所以，解得，此時(shí)過(guò)點(diǎn)作球的截面，若要所得的截面面積最小，只需所求截面圓的半徑最小.設(shè)球心到所求截面的距離為，所求截面的半徑為，則，所以只需球心到所求截面的距離最大即可，而當(dāng)且僅當(dāng)與所求截面垂直時(shí)，球心到所求截面的距離最大，即，所以.故選：C12.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時(shí)的情況，綜合得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，由題可知恒成立，即.令，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，即，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.故選：B第II卷二?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.已知向量滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則求出答案.【詳解】因?yàn)?，所以，?故答案為：14.若滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)_.【答案】【解析】【分析】作出約束條件的可行域，利用幾何意義即可求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫(huà)出約束條件的可行域，由，可得，由，可得，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，，故目標(biāo)函數(shù)的最大值為.故答案為：15.已知函數(shù).若存在，使不等式成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的范圍求出范圍，可得的值域，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以，因此在上的值域?yàn)?，若存在，使不等式成立，則，所以的取值范圍是.故答案為：.16.某網(wǎng)店統(tǒng)計(jì)了商品近30天的日銷售量，日銷售量依次構(gòu)成數(shù)列，已知，且，則商品近30天的總銷量為_(kāi)_________.【答案】1020【解析】【分析】根據(jù)題目所給遞推關(guān)系找到數(shù)列的規(guī)律，進(jìn)而求和.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，中奇數(shù)項(xiàng)是公差為2，首項(xiàng)為20的等差數(shù)列，.商品近30天的總銷量為.故答案為：.三?解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22?23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.在三棱錐中，.（1）證明：.（2）若，平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由線面垂直判定定理證明平面，進(jìn)而得到；（2）由平面平面，可證明平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榍移矫嫫矫?，，面，所以平?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知的周長(zhǎng)為.（1）求的值；（2）求的最大值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）由題意結(jié)合數(shù)量積定義、余弦定理即可求解.（2）由題意結(jié)合余弦定理以及基本不等式相關(guān)推論即可求解.【小問(wèn)1詳解】，即.因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為6，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故當(dāng)時(shí)，取得最大值19.某市為提高市民對(duì)文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識(shí)，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識(shí)競(jìng)賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取份作為樣本，將個(gè)樣本數(shù)據(jù)按、、、、、分成組，并整理得到如下頻率分布直方圖.（1）請(qǐng)通過(guò)頻率分布直方圖估計(jì)這份樣本數(shù)據(jù)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）.（2）以樣本頻率估計(jì)概率，若競(jìng)賽成績(jī)不低于分，則被認(rèn)定為成績(jī)合格，低于分說(shuō)明成績(jī)不合格.從參加知識(shí)競(jìng)賽的市民中隨機(jī)抽取人，用表示成績(jī)合格的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，【解析】【分析】（1）將每個(gè)矩形底邊的中點(diǎn)值乘以對(duì)應(yīng)矩形的面積，再將所得結(jié)果全部相加，即可得出這份樣本數(shù)據(jù)的平均值；（2）由題意可知，，利用二項(xiàng)分布可得出隨機(jī)變量的分布列，利用二項(xiàng)分布的期望公式可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：由頻率分布直方圖可知，份樣本數(shù)據(jù)的平均值為.【小問(wèn)2詳解】解：競(jìng)賽成績(jī)不低于分的頻率為，低于分的頻率為.由題意可知，，，，，，，所以的分布列為期望.20.已知橢圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn).（1）求的方程；（2）斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)A不在上，，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn)，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，記的面積為，的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）待定系數(shù)法求出，得到橢圓方程；（2）先得到直線軸時(shí)，為鈍角三角形，不合題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，得到直線恒過(guò)點(diǎn)，求出，從而得到.【小問(wèn)1詳解】將代入橢圓方程中，，解得則橢圓的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線軸時(shí)，鈍角三角形，且，不滿足題意.設(shè)，由，可得，所以，所以直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，因?yàn)辄c(diǎn)A不在上，所以，由化簡(jiǎn)得，.，所以，則，整理得，因?yàn)椋?，所以直線的方程為，恒過(guò)點(diǎn).由題意和對(duì)稱性可知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，【點(diǎn)睛】處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).21.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.【答案】（1）極大值為，極小值為（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先求得的單調(diào)性，進(jìn)而求得的極值；（2）先利用題給條件構(gòu)造出的不等式，再利用（1）的結(jié)論即可證得.【小問(wèn)1詳解】，，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.所以的極大值為的極小值為.【小問(wèn)2詳解】由，可得，所以.由對(duì)稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)榈忍?hào)不能同時(shí)取到，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見(jiàn)類型及解題策略：（1）構(gòu)造差函數(shù)，根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式；（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù)，一般思路為利用條件將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.[選修4-4：坐標(biāo)系與參