數學課堂導學復數的幾何意義

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析各個擊破一、復數的點表示【例1】設復數z滿足｜z｜=5，且（3+4i）z在復平面上對應點在第二四象限的角平分線上，|z-m｜=5（m∈R),求z和m的值。解：設z=a+bi(a,b∈R)∵｜z|=5,∴a2+b2=25.而(3+4i）z=（3+4i）(a+bi）=(3a-4b)+(4a+3又∵（3+4i)z在復平面上對應點在第二、四象限角平分線上，∴3a—4b+4a+3得b=7a∴a=±，b=±，即z=±(+i),z=±（1+7i）。當z=1+7i時，有｜1+7i-m|=5，即（1—m）2+72=50,得m=0,m=2.當z=—(1+7i）時，同理可得m=0，m=-2。類題演練1已知復數x2-6x+5+(x—2)i在復平面內對應的點在第三象限,求實數x的范圍。答案：解：∵x為實數，∴x2—6x+5和x-2都是實數.∵復數x2-6x+5+(x-2)i在復平面內對應的點在第三象限,∴∴解得1〈x〈2,即1<x<2為所求實數x的范圍。變式提升1已知復數z1、z2在復平面內對應的點關于原點對稱，且3z1+(z2—2)i=2z2—(1+z1）i，求z1和z2。答案：解：由于z1、z2在復平面內的對應點關于原點對稱，有z2=-z1,代入已知等式,得3z1+(—z1—2）i=—2z1—(1+z1）i.解得5z1=i?！鄗1=i,z2=-i.二、復數的向量表示【例2】向量表示的復數為3+2i，將向量向上平移3個單位長度,再向左平移2個單位長度,將得到向量,分別寫出。(1）向量對應的復數；(2）點′對應的復數;（3）向量對應的復數。思路分析：根據復數向量表示的意義及平移知識，一個復數對應的向量在平面內平移,只要不改變方向和模的長,它們表示同一個復數，若模長不變，方向與原來相反，則對應的復數是原向量對應的復數的相反數.解：如右圖所示,O為原點，點A的坐標為（3，2)，向上平移3個單位長度再向左平移2個單位后，點O′的坐標為（—2，3）.點A′的坐標為（1，5）,坐標平移不改變的方向和模.(1)向量對應的復數為3+2i;（2）點對應的復數為-2+3i；(3）向量對應的復數為—3—2i。類題演練2已知平行四邊形OABC的三個頂點O、A、C對應的復數分別為0,3+2i，—2+4i.試求：（1)表示的復數；（2)表示的復數；（3）B點對應的復數.答案：解析：(1)，∴表示的復數為—(3+2i)即-3—2i.（2），∴表示的復數為（3+2i）—（—2+4i）=5-2i.（3),∴表示的復數為（3+2i）+(-2+4i）=1+6i,即B點對應的復數為1+6i，變式提升2已知兩個向量a、b對應的復數是z1=3和z2=—5+5i,求向量a與b的夾角.答案：解：a=(3，0），b=(-5，5)，所以a·b=-15，｜a｜=3，|b｜=.設a與b的夾角為θ,所以cosθ=。因為0≤θ≤π，所以θ=。三、復數模的幾何意義【例3】設Z∈C，滿足下列條件的點Z的集合是什么圖形？（1）｜z｜=4；（2）2〈|z|〈4.解：(1）如左下圖，復數z的模等于4，就是說，向量的模等于4，所以滿足條件|z|=4的點Z的集合是以原點O為圓心，以4為半徑的圓。（2）不等式2<｜z|〈4可化為不等式組如右上圖，不等式|z｜<4的解集是圓｜z|=4內部所有的點組成的集合，不等式|z|>2的解集是圓|z｜=2外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件2<｜z｜<4的點Z的集合.容易看出，點Z的集合是以原點O為圓心,以2及4為半徑的圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.溫馨提示滿足條件|z|=r（r為正常數）的點Z的集合是以原點為圓心、r為半徑的圓.類題演練3已知點集D={z｜|z+1+i|=1，z∈C｝，試求｜z|的最小值和最大值.答案：解:點集D的圖象為以點C（-1,—）為圓心，以1為半徑的圓，圓上任一點P對應的復數為z，則｜｜=｜z|。如右圖,當OP過圓心C（-1，—）時，與圓交于A、B，則｜z|的最小值是|OA｜=｜OC|-1=—1=2-1=1，即|z｜min=1；|z｜的最大值是｜OB｜=|OC｜+1=2+1=3，即｜z｜max=3.變式提升3已知z=3+ai，且｜z-2｜〈2，求實數a的取值范圍.答案:解法一：利用模的定義，從兩個已知條件中消去z.∵z=3+ai（a∈R），由|z-2|<2，得|3+ai—2|<2，即|1+ai｜<2,∴<2,解之—<a〈.解法二：利用復數的幾何意義.由條件｜z-