小學(xué)奧數(shù)難題匯編

1.先分解再通分

1117

例1-----+■

5776

有的學(xué)生通分時(shí)用短除法，找了許多數(shù)試除都不行，而斷定57和76為互

質(zhì)數(shù)。

8369691805

原式=

4332+4332=4332

判斷兩個(gè)數(shù)是否互質(zhì)，不必用2、3、5........逐個(gè)試除。把其中一個(gè)分解質(zhì)

因數(shù)，看另一個(gè)數(shù)能否被這里的某個(gè)質(zhì)因數(shù)整除即可。

57=3x19,如果57和76有公有的質(zhì)因數(shù)，只可能是3或19。用3、19

試除，

[57,76]=19x3x4=228。

4451955

22822822812-

例2衛(wèi)+”上

266591

26=2x13,65和91是13的倍數(shù)。

最小公分母為

13x2x5x7=910.

2退法

著名的我國(guó)數(shù)學(xué)家華羅庚指出，善于"退"，足夠地"退"，"退"到最原始而

不失去重要性的地方，是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)決竅。

(1)從復(fù)雜退到簡(jiǎn)單

例1一袋米，第一次用去!還多2千克，第二次用去余下的（還少1

22千克，還剩

下20千克。這袋米重多少千克？

.阿里全姆?千克

'_2「「「一岸克~,

一用二用

先退一步想：如果第二次正好用了剩的那么該剩19千克，第一次用

2后剩19

x2=38（千克）

繼續(xù)這樣想，若第一次只用了全袋的：，則應(yīng)剩38+2=40（千克）。

所求40x2=80（千克）

（2）從一般退到特殊

例2一只輪船往返于甲、乙碼頭一次，問(wèn)：靜水中航行所花時(shí)間長(zhǎng),還是

流水中航行所花時(shí)間長(zhǎng)，還是所花時(shí)間一樣長(zhǎng)。

這樣的問(wèn)題，一時(shí)很難作出解答。我們可以把問(wèn)題足夠地"退〃，〃退〃到

一種非常特殊的情況：假定船速等于水速，船在逆水航行時(shí)將停止不前。這就是

說(shuō)，船無(wú)論花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間，也無(wú)法在這樣的流水中完成兩碼頭之間的往返航行。

而在靜水中航行的話(huà)，往返一次所花時(shí)間總是"往"（或"返"時(shí)的2倍。因此

在流水中花的時(shí)間最長(zhǎng)。

如時(shí)速3千米的一只小船，往返一段12千米的行程。如果水時(shí)速1千米,

需幾小時(shí)?若是靜水，需幾小時(shí)?

1212人,?亞、

市+百=9（小時(shí)）

與1=8（小時(shí)）9>8

（3）從抽象退到具體

例3四年級(jí)的男生人數(shù)比女生多;，問(wèn)女生人數(shù)比男生少幾分之幾。

此題比較抽象，且由于"標(biāo)準(zhǔn)量"、〃比較量"前后變化，增加了題目難度。

把它從抽象退到具體，不妨假設(shè)女生人數(shù)是30（所設(shè)數(shù)是3的倍數(shù)簡(jiǎn)

捷）,則男生人數(shù)為30X（1+1）=40。所求

（40-30）+40=9

3.推想與推斷

得之。

例如，3/17的分子和分母同時(shí)加上什么數(shù)，‘丁

由己知條件，可推斷［是經(jīng)過(guò)約分的。

因?yàn)橐粋€(gè)分?jǐn)?shù)的分子與分母同時(shí)加上一個(gè)數(shù)的前后、分母與分子的差17

3

-3=14是不變的，而約分后是5-3=2,所以約分前應(yīng)是:的分子和八

5分母同時(shí)

擴(kuò)大14?2=7（倍）,就是

3x7_21

5^7=35°

加上的數(shù)是35-17=18或21-3=18。

4.割補(bǔ)法

例1一批貨，甲汽車(chē)運(yùn)它的!還多5噸，乙汽車(chē)運(yùn)的比甲汽車(chē)運(yùn)的；

45還少2噸，

這時(shí)，正好運(yùn)完。這批貨共幾噸？

條件二是說(shuō)乙汽車(chē)運(yùn)的比“這批貨的9多5噸”的!還要少2噸，即比

這批貨的?的1+5噸的,“還少2噸，亦即比這批貨的（：X，）+（5X

3

”噸還少2噸。

如果把甲汽車(chē)運(yùn)的;還多的5噸割下來(lái)，把乙汽車(chē)運(yùn)的（f）還多的（5

x|）噸也割下來(lái)，再?gòu)母钕聛?lái)的（5+5X,）噸中割下2噸補(bǔ)給乙汽車(chē)運(yùn)

的不足的2噸，使乙汽車(chē)正好運(yùn)這批貨的（gx：）,甲汽車(chē)正好

4545

運(yùn)這批貨的入這樣還有的（5+5X|-2）噸就是這批貨的。

從而可求出

這批貨是10噸。

5.統(tǒng)一單位"1"1

分率的單位"r不同，量的性質(zhì)相異的題型，由于數(shù)量間運(yùn)算無(wú)法直接實(shí)施，

必須統(tǒng)一單位"1",才能解答。

例1甲、乙兩堆煤共330噸，甲堆的芻等于乙堆的J,兩堆煤各多少

34噸？

分析：為了求出甲、乙兩堆煤的重量間的倍數(shù)關(guān)系，只須將其中一個(gè)量作為

標(biāo)準(zhǔn)量，并以此為計(jì)量單位去度量另一個(gè)量。若甲堆煤的重量為單位

門(mén)”則分?jǐn)?shù)|有兩種意義。一是甲堆部分煤的分率：IX,（單位“1”）,

二是乙堆煤的J所對(duì)應(yīng)的量數(shù)，其數(shù)量是馬個(gè)單位“1

43

解法一：設(shè)甲堆煤的數(shù)量為單位“1”，則乙堆煤的:的數(shù)量為（lx|）

個(gè)單位“1”。所以乙堆煤的時(shí)應(yīng)分率為（IX|）-1=|（單位"1”）

甲堆為330+（1+|）=90（噸）

若設(shè)乙堆煤的數(shù)量為單位"1",則算式為

12

330+（1+,+］）=240（噸）

解法二：觀察線(xiàn)段圖

甲I?_1-------1乙

'-------^4—

《甲+乙冷

xi

甲1―?i----------------十-------------1乙

q乙等

乙4+爭(zhēng)

這里（甲+乙）X|是乙堆煤的部分量的數(shù)量，其對(duì)應(yīng)的分率是（9+5）。

乙堆為（330x|）十（1+|）=240（噸）

例2某地有甲乙兩個(gè)消防隊(duì)共有336人，抽調(diào)甲隊(duì)人數(shù)的方和乙隊(duì)人

數(shù)的總共抽調(diào)188人，開(kāi)赴大興安嶺支援滅火，問(wèn)甲乙兩個(gè)消防隊(duì)原來(lái)

7各有

多少人？

思路一：因?yàn)?5=93+：2,所以可由188人里求出分-率為:2的甲隊(duì)的

7777部分人數(shù),

從而求出甲隊(duì)的人數(shù)。

甲1

4乙

336X-y

32

由圖知甲隊(duì)為(188-336X-)+7=154(人)

乙隊(duì)為336-154=182(人)。

思路二：若對(duì)甲乙兩隊(duì)抽調(diào)人數(shù)進(jìn)行調(diào)整，甲隊(duì)減少到半4，而乙隊(duì)增

加到，則可求出乙隊(duì)的;與甲隊(duì)的g的差，從而可求出兩隊(duì)的人數(shù)。

4

.336Xy=192,

.,乙隊(duì)-甲隊(duì)二(192-188)x7=28,

?理隊(duì)=(336-28)=2=154(人)，……。

6.統(tǒng)一單位"1"2

例3某校舉行短跑比賽，參加比賽的人數(shù)比未參加人數(shù)的《少10人，

7臨時(shí)又有

10個(gè)同學(xué)報(bào)名參加比賽，這樣，參加比賽的人數(shù)剛好是未參加人數(shù)

的求原來(lái)參加比賽的和未參加比賽的各有多少人？

依題意作線(xiàn)段圖如下：

原點(diǎn)券加

JA

7A

K

下會(huì)加少10人

現(xiàn)希參加嘲爻名

I--------1--------——1-----------1--------A

\現(xiàn)參郎得

___________AD

來(lái)10人

確定以"原來(lái)未參加的人數(shù)’為單位"1"。從圖中可知，現(xiàn)在參加的

人數(shù)正好是原來(lái)未參加人數(shù)的4會(huì)……（1）

因?yàn)楝F(xiàn)在參加的人數(shù)是現(xiàn)在未參加人數(shù)的W（已知）。即現(xiàn)在未參加

即現(xiàn)在未參加的人數(shù)是現(xiàn)在參加人數(shù)的……（2）

由（1）、（2）推得：現(xiàn)在未參加的人數(shù)是原來(lái)未參加人數(shù)的泰X|=

9D乙1

整理線(xiàn)段圖如下：

原未參加:i八、|

20

現(xiàn)未參加：（五黑

因?yàn)樵磪⒓尤藬?shù)與現(xiàn)未參加人數(shù)相差10人，所以

on

原未參加10+（1-—）=210（人）

乙X

4

原參加210X^—10=11。（人）

例4大河灣小學(xué)上學(xué)期有男女同學(xué)共750人，本學(xué)期男同學(xué)增加1,

0

女同學(xué)減少;共有710人。求本學(xué)期男女同學(xué)各多少人？

用假設(shè)法統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)量。

方法一：假設(shè)本學(xué)期男同學(xué)不是增加!，而是減少］則本學(xué)期應(yīng)該有

0J

750X（1-1）=600（人）。

比實(shí)際少710-600=110（A）o

男同學(xué)本是增加1,今不但沒(méi)增加，反而減少工。所以會(huì)少110人，

65

這110人是男同學(xué)人數(shù)的!+

oJ3U

故上學(xué)期男同學(xué)是110+（7+7）=300（人），女同學(xué)是750-300

0J

=450（人）。

本學(xué)期男同學(xué)為300X（1+1）=350（人），女同學(xué)為450X（1-1）

o5

二360（人），或710-350=360（人）。

方法二：假設(shè)本學(xué)期女同學(xué)不是減少!而是增加，則本空期應(yīng)該有

5o

750X（1+1）=875（人）°

6

比實(shí)際多875-710=165（人）。

這165人是假設(shè)女同學(xué)也增加之，多出的人數(shù)。女同學(xué)本是減少巳今

65

不但沒(méi)減少，反而增加!，所以165是女同學(xué)人數(shù)的』+:=萼。

6jo3U

故上學(xué)期女生是165+（2+!）=450（人），男生是750-450=”~1\

36300（A）o

本學(xué)期女生為450X（1-1）=360（人），男生為300X（?）=

56350（人）。

7.同分子法

例1某水果商店運(yùn)來(lái)一批梨和桃子，其中梨比桃子多40千克。已知梨

的I和桃子的I的重量相等，梨和桃子各運(yùn)來(lái)多少千克？

通常用"兩數(shù)差與倍數(shù)〃關(guān)系解：

桃：40+（|+,-1）=360（千克）

梨：40+（1-y）=400（千克）

如果把相關(guān)的分?jǐn)?shù)化為同分子的分?jǐn)?shù)去分析數(shù)量關(guān)系問(wèn)題比較容易解答。

取2和3的最小公倍數(shù)6為新分子，得：=￡，|=^o由圖知

6

㈣40千克

梨?C

_______A________

桃H□——^-2..\,

6

~9

梨和桃的重量共為19個(gè)等份，梨占10份，桃子占9份，每份重40千克。

梨:40x10=400（千克）

桃：40x9=360（千克）

例2學(xué)校買(mǎi)來(lái)一批圖書(shū)。已知科技書(shū)本數(shù)的g與文藝書(shū)共620本?？萍?/p>

書(shū)本數(shù)的;與文藝書(shū)本數(shù)的，相等，求買(mǎi)來(lái)科技書(shū)多少本？

解：根據(jù)“科技書(shū)本數(shù)的:與文藝書(shū)本數(shù)的|■相等"，可知，它們不但

45

,12

標(biāo)準(zhǔn)數(shù)不同，而且各對(duì)應(yīng)份數(shù)也不相同。對(duì)此，我們可把卜和1?化成同分子

分?jǐn)?shù)：：=，，根據(jù)題意，畫(huà)出如下線(xiàn)段圖

4oJJ

8份

__A___________

科技書(shū)?--―?———?

4《8）

2

T

文藝書(shū);?:.I

X____________/

7

5份

可見(jiàn)，科技書(shū)和文藝書(shū)的相應(yīng)份數(shù)分別為8份和5份。

再根據(jù)“科技書(shū)本數(shù)的|與文藝書(shū)共620本”，求出620本的對(duì)應(yīng)份數(shù)，

然后用歸一法求出科技書(shū)本數(shù)。

對(duì)應(yīng)份數(shù)：8x|+5=io1（份）

科技書(shū)為：620+10;X8=480（本）。

例3兩人分別從相距224千米的AB兩地同時(shí)相向而行，因甲途中辦事1

小時(shí)而6小時(shí)后相遇并立即返回原地。當(dāng)甲行2小時(shí)，乙行4小時(shí)后，分別與

AB兩地距離相等，每小時(shí)各行多少千米？

由線(xiàn)段圖知，返回過(guò)程中甲到A應(yīng)行切、時(shí)，行了2小時(shí)，剩下，的路程；

91

乙到B應(yīng)行6小時(shí)，行了4小時(shí)，剩下:=；的路程。

o5

224千米

_A—

5小時(shí)甲乙6小時(shí)

賓米.，.諭..............

’2小時(shí)q小時(shí)■>91

^-

63

53

乙

甲9-

將:和1化為同分子分?jǐn)?shù)，AB兩地總路程為5+9=14（份）。

5339所以

甲時(shí)速為：等=16（千米）

乙時(shí)速為：詈X9+6=24（千米）

8.同分母法

例如：甲乙兩倉(cāng)庫(kù)共存糧570噸。如果從甲倉(cāng)庫(kù)取出?放入乙倉(cāng)庫(kù)內(nèi)，

4

這時(shí)甲庫(kù)存糧的;正好是乙?guī)齑婕Z的.，問(wèn)甲乙兩倉(cāng)庫(kù)原來(lái)存糧各有多少什今

53噸？

分析解答：根據(jù)題中“甲庫(kù)存糧的（正好是乙?guī)齑婕Z的9“，即甲庫(kù)的

1=乙?guī)斓目赏瞥黾讕?kù)的卷=乙?guī)斓娜?。這就是說(shuō)，甲乙兩庫(kù)的存糧數(shù)

都平均分成15份，甲庫(kù)中的9份相當(dāng)于乙?guī)熘械?0份，由此得出甲庫(kù)與

乙?guī)斓拇婕Z數(shù)之比為10:9?，F(xiàn)有糧

甲庫(kù)：570XiFT9=30°（噸）

乙?guī)欤?70-300=270（^）

甲庫(kù)原有糧：300-（1-=400（噸）

乙?guī)煸屑Z：570-400=170（噸）

9.通用公式

a+b

S=----Xh

一般的平面圖形都可以用公式2似、b互為兩個(gè)平行的底邊長(zhǎng)，h為

兩底間的距離）

例1一個(gè)三角形的底為6cm,高為4cm,求面積。

0+6。

S=-^-X4=12(cm2)

例2一個(gè)長(zhǎng)方形長(zhǎng)8cm，寬2cm,求面積。

S=*X2=16(cm2)

例3一個(gè)梯形的上底為12cm,下底為18cm,高為3cm,求面積。

12+18.

S=——X3=45(cm2)

例4一個(gè)平行四邊形的底邊長(zhǎng)9cm，高5cm,求面積。

9+9

S=^^X5=45(cm2)

例5一個(gè)圓的周長(zhǎng)是12.56cm,半徑是2cm,求圓的面積。

0+12.56.

S=---------X2=12.56(cm2)

例6一個(gè)圓環(huán)，內(nèi)圓周長(zhǎng)18.84cm,外圓周長(zhǎng)31.4cm,環(huán)寬2cm,求環(huán)

形面積。

S=^2^X2=5024(^)

例7求下圖的面積。（單位：厘米）

15.7

0

157i

一般解法:3.14x30=94.2

15.7^94.2=1/6

S=3.14xl52xl/6

=117.75(cm2)

巧妙解法："巴X15=117.75(cm2)

2

10.替代法

例1一塊布，可以做3套大人衣服或7套兒童衣服。已知做一套大人衣服比做

一套兒童衣服多用布8尺。做一套大人衣服和兒童衣服各用布多少尺？

解：將3套大人衣服改做兒童衣服，則少用布8x3=24(尺)，這些布剛好可

以做7-3=4套兒童衣服。因此，一套兒童衣服用布24+4二6(尺)。即

(8x3)+(7-3)=6(尺)

一套大人衣服用布：

8+6=14(尺)

例2一個(gè)水果店有水果845千克，其中桃子比鴨梨的3倍還多25千克。

問(wèn)各有多少千克？

解：根據(jù)已知條件，如果用鴨梨代替桃子，那么桃子就相當(dāng)于3份鴨梨再加

上25千克。從總數(shù)中減去25千克，就相當(dāng)(3+1)份鴨梨，從而可求出鴨梨的重

量。

鴨梨(845-25)+(3+1)=205(千克)

桃子845-205=640(千克)

類(lèi)似以上兩例的特點(diǎn)是，題目只給出兩個(gè)未知數(shù)量的關(guān)系，要求這兩個(gè)未知

數(shù)量，思考時(shí)，可根據(jù)所給的條件，用一個(gè)未知數(shù)量代替另一個(gè)未知數(shù)量，從而

找到解題途徑。

11.特殊值

有些數(shù)學(xué)題,按一般思路不易求解，若從給出的特殊值入手，緊扣條件和問(wèn)題之

間的聯(lián)系，將會(huì)優(yōu)化解題思路，很快找到解題捷徑。

例1如圖，梯形ABCD被它的一條對(duì)角線(xiàn)BD分為兩部分，SADBC比'△

ABD大10cm2。BC與AD的和為5cm,差為5cm，求S梯？

一般是借助〃輔助線(xiàn)"解。其實(shí)只要仔細(xì)分析題意，利用給出的特殊條件可

簡(jiǎn)捷求解。

△ABD與ADBC,如果分別以AD=巴2=5(cm),BC=15-5=10(cm)為

2

底，它們等高，由BC=2AD,知△BDC=24ABD。所以

S梯=10x(2+l)=30(cm2)。

例2設(shè)直角三角形的兩條直角邊分別為6厘米和8厘米，用四個(gè)這樣的直

角三角形拼成如圖所示正方形，求大正方形的邊長(zhǎng)。

此題用勾股定理求解戊2+82=10。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，大正方形和陰影

部分小正方形的面積是條件和問(wèn)題的聯(lián)系紐帶。小正方形的邊長(zhǎng)為直角三角形兩

條直角邊之差8-6=2(cm),大正方形面積為四個(gè)直角三角形的面積和小正方形

面積的和。

l/2x8x6x4+(8-6)2=100(cm2)o

這個(gè)面積是一個(gè)特殊值100=10x10,所以大正方形的邊長(zhǎng)為10cm。

例3四個(gè)一樣的長(zhǎng)方形和一個(gè)小的正方形拼成了一個(gè)大正方形(如圖)大正

方形的面積是49平方米，小正方形面積是4平方米。問(wèn)長(zhǎng)方形的短邊長(zhǎng)度是幾

米?(第一屆"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽復(fù)賽題)

因?yàn)?=2x2,49=7x7,所以小正方形邊長(zhǎng)2cm,大正方形邊長(zhǎng)7cm。

長(zhǎng)方形長(zhǎng)寬之和為7cm.差為2cm,即

長(zhǎng)+寬=7①

長(zhǎng)一寬=2②

從而可求得，寬為2.5cm。

例41992年奧林匹克決賽題：一個(gè)正方形（如圖），被分成四個(gè)長(zhǎng)方形，他

—m-m<

們的面積分別是105

圖中陰影部分是一個(gè)正方形，那么它的面積是多少平方米。

2119

W可見(jiàn)大正方形的面積是一個(gè)特殊值1=1X1,

大正方形邊長(zhǎng)為1米。仔細(xì)觀察還可發(fā)現(xiàn)小正方形的邊長(zhǎng)與長(zhǎng)方形I、in的

長(zhǎng)和寬有關(guān)。只要求出in的長(zhǎng)和I的寬即可求得小正方形的邊長(zhǎng)了。

由于III和IV的寬相等，因此長(zhǎng)之比為5=2：i,那么in的長(zhǎng)為ix

鼻米），同樣I的寬和n的寬之比為Q（=3：4,I的寬為ix

寸3/7（米）。

小正方形的邊長(zhǎng)為=米），面積為

12.特殊結(jié)論

有些題目按照一般的思考方法解答，或者較麻煩，或者不能獲得正確答案。用特

殊結(jié)論解題，思路清楚，方法簡(jiǎn)便。

例1周長(zhǎng)為28cm的長(zhǎng)方形，如果長(zhǎng)和寬都增加1cm,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積

增加多少?

增力瞰

/\

增加部分的面積=(半周長(zhǎng)+增加數(shù))X增加數(shù)。分析示意圖，不難發(fā)現(xiàn)。

(28^2+l)xl=15(cm2)

例2周長(zhǎng)為28cm的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)增加1cm，寬增加2cm，面積增加24cm2,

求原長(zhǎng)方形的面積。

思路一：假設(shè)長(zhǎng)和寬都增加1cm,根據(jù)以上結(jié)論,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積增加：

(28+2+l)xl=15(cm2),因?qū)嶋H寬比假設(shè)多增加1cm,而面積多增加

24-15=9(cm2)如圖，所以原長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為9+l-l=8(cm)。寬為28?

2-8=6(cm)o

面積是8x6=48(cm2)

2

思路二：假設(shè)長(zhǎng)和寬都增加2cm,根據(jù)以上結(jié)論，面積增加：

2g

(k+2/2=32(5?)

2與題給條件24cm2相差8cm2這是因?yàn)殚L(zhǎng)沒(méi)增加2cm,

只增加1cm，假設(shè)比實(shí)際多的部分的面積如圖中陰影部分的面積。所以，原長(zhǎng)

方形的寬為8+l-2=26(cm),長(zhǎng)為28+2-6=8(cm)。

面積為8x6=48(cm2)

例3如圖,已知S陰景鄉(xiāng)二6.28cm2,求空白部分的圓面積。

S圓=6.28x2

=12.56(cm2)根據(jù)：

結(jié)論一任意一個(gè)圓心角為90。的扇形面積，等于以這個(gè)扇形的半徑為直徑

的圓的面積。

證明：

設(shè)有一圓心角為90。，半徑為R的扇形。

則它的面積為

7TR2X—=ljrR2

3604

直徑為R的圓的面積為

兀X(,冗R2

故兀R2X券=5今

結(jié)論，得證。

13特殊數(shù)題1

(1)21-12

當(dāng)被減數(shù)和減數(shù)個(gè)位和十位上的數(shù)字(零除外)交叉相等時(shí)，其差為被減數(shù)與

減數(shù)十位數(shù)字的差乘以9。

因?yàn)檫@樣的兩位數(shù)減法,最低起點(diǎn)是21-12，差為9,即(2-l)x9。減數(shù)增

加1,其差也就相應(yīng)地增加了一個(gè)9，故31-13=(3-1)x9=18。減數(shù)從12—89,

都可類(lèi)推。

被減數(shù)和減數(shù)同時(shí)擴(kuò)大(或縮小)十倍、百倍、千倍……，常數(shù)9也相應(yīng)地?cái)U(kuò)

大(或縮小)相同的倍數(shù)，其差不變。如

210-120=(2-1)x90=90,

0.65-0.56=(6-5)x0.09=0.09。

⑵31x51

個(gè)位數(shù)字都是1,十位數(shù)字的和小于10的兩位數(shù)相乘，其積的前兩位是十

位數(shù)字的積,后兩位是十位數(shù)字的和同1連在一起的數(shù)。

3x5=15

13+5=81=1581

若十位數(shù)字的和滿(mǎn)10,進(jìn)L如

8x9?72)

81x91=^8+9=171=7371

證明：(10a+l)(10b+l)

=100ab+10a+10b+l

=100ab+10(a+b)+l

(3)26x8642x62

2x8+6=22

26x862236

6x6=36

[4x6+2-26,

42x62=2604

2x2=04

個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字和是10的兩位數(shù)相乘，十位數(shù)字的積與個(gè)位數(shù)字

的和為積的前兩位數(shù)，后兩位是個(gè)位數(shù)的積。若個(gè)位數(shù)的積是一位數(shù)，前面補(bǔ)0。

證明:(10a+c)(10b+c)

=100ab+10c(a+b)+cc

=100(ab+c)+cc(a+b=10)o

⑷17x19

十幾乘以十幾，任意一乘數(shù)與另一乘數(shù)的個(gè)位數(shù)之和乘以10,加個(gè)位數(shù)的

積。

原式=(17+9)x10+7x9=323

證明：(10+a)(10+b)

=100+10a+10b+ab

=[(10+a)+b]xl0+abe

⑸63x69

十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字不同的兩位數(shù)相乘，用一個(gè)乘數(shù)與另個(gè)乘數(shù)的個(gè)位

數(shù)之和乘以十位數(shù)字，再乘以10,加個(gè)位數(shù)的積。

原式=(63+9)x6x10+3x9

二72x60+27=4347。

證明:(10a+c)(10a+d)

=100aa+10ac+10ad+cd

=10a[(10a+c)+d]+cdo

(6)83x87

十位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字的和為10,用十位數(shù)字加1的和乘以十位數(shù)字的

積為前兩位數(shù)，后兩位是個(gè)位數(shù)的積。如

j(8+1)x8=72

83x87卜7=21

證明：(10a+c)(10a+d)

=lOOaa+10a(c+d)+cd

=100a(a+l)+cd(c+d=10)o

由4,((9+1)x9=901

再如95、5X5=25=9°25

⑺38x22

十位數(shù)字的差是1，個(gè)位數(shù)字的和是10且乘數(shù)的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字相同

的兩位數(shù)相乘，積為被乘數(shù)的十位數(shù)與個(gè)位數(shù)的平方差。

原式二(30+8)x(30-8)

=302-82=836e

(8)88x37

被乘數(shù)首尾相同，乘數(shù)首尾的和是10的兩位數(shù)相乘，乘數(shù)十位數(shù)字與1的

和乘以被乘數(shù)的相同數(shù)字，是積的前兩位數(shù)，后兩位是個(gè)位數(shù)的積。

((34-1)x8=32'

原式=3256

[7x8=56

⑼36x15

乘數(shù)是15的兩位數(shù)相乘，

被乘數(shù)是偶數(shù)時(shí)，積為被乘數(shù)與其一半的和乘以10；是奇數(shù)時(shí)，積為被乘數(shù)

加上它本身減去1后的一半，和的后面添個(gè)5。

原式=(36+36x1)X10

=54X10=540。

55X15

55+(55-1)xl=82,原式=825。

(10)125x101

三位數(shù)乘以101,積為被乘數(shù)與它的百位數(shù)字的和，接寫(xiě)它的后兩位數(shù)。

125+1=126。

原式二12625。

再如348x101,因?yàn)?48+3=351,

原式二35148。

(11)84x49

一個(gè)數(shù)乘以49,把這個(gè)數(shù)乘以100，除以2,再減去這個(gè)數(shù)。

原式=8400+2-84

=4200-84=4116.

14.特殊數(shù)題2

(12)85x99

兩位數(shù)乘以9、99、999、…。在被乘數(shù)的后面添上和乘數(shù)中9的個(gè)數(shù)一樣

多的0、再減去被乘數(shù)。

原式=8500-85=8415

57X9999=569943

Ii

(57-1)(100-57)

(4-2),表示2個(gè)9?

不難看出這類(lèi)題的積：

最高位上的兩位數(shù)(或一位數(shù))，是被乘數(shù)與1的差；

最低位上的兩位數(shù)，是100與被乘數(shù)的差；

中間數(shù)字是9,其個(gè)數(shù)是乘數(shù)中9的個(gè)數(shù)與2的差。

證明：設(shè)任意兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字為b、十位數(shù)字為a(a/0),則

(10a+b)X9-9(n>2)

=(10a+b)X(10-0-1)

=(10a+b)X10-0-(10a+b)

、__V

=(10a+b-l+l)X10-0-(1Oa+b)

=(10a+b-l)X10-0+10-0-(10a+b)

=(10a+b-l)X10-0+10-0X100-(10a+b)

=(10a+b-l)X10-0+(9…9+1)X100-(10a+b)

=(10a+b-l)X10^0+(9^^X100)+100-(10a+b)

In個(gè)個(gè)廠

被乘數(shù)T9的本數(shù)100-被乘數(shù)

如果被乘數(shù)的個(gè)位數(shù)是1.例如

31x999

在999前面添30為30999,再減去30,結(jié)果為30969。

71x9999=709999-70=709929。

這是因?yàn)槊缈梢粋€(gè)末位為1的兩位自然數(shù)都可表示為(10a+1)的形式，由9

組成的自然數(shù)可表示為(10n-l)的形式，其積為

(10a+1)(10￡-1)=10n-la+(10'-1)-10a。

(13)1-19

這是一道頗為繁復(fù)的計(jì)算題。

原式=0.052631578947368421。

根據(jù)”如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大(或縮小)若干倍，商反而縮小(或擴(kuò)大)相

同倍〃和"商不變"性質(zhì)，可很方便算出結(jié)果。

原式轉(zhuǎn)化為0.1+1.9，把1.9看作2,計(jì)算程序：

⑴先用0.1+2=0.05。

(2)把商向右移動(dòng)一位，寫(xiě)到被除數(shù)里，繼續(xù)除

0.052

2)0.105

10

1

如此除到循環(huán)為止。

0.0526

2)0.10526

10

5-

4

12

12

6

0.52631578947368421......

2)0.1052631578947368421

10

-5-

4

12

12

-6~

―.(下略)

當(dāng)除數(shù)用2代替L9計(jì)算時(shí)，擴(kuò)大了亮倍C1.9XA=2),商縮

小詒倍。

0.1+1.9=()

0.1+2=0.05

22

所以要把商擴(kuò)大逐倍，BP0.05X—e

2「王田1.9+0.1,0.1

后可看成k,即on1+?。

所以0.05X魯二005X(1+》

=0.054-0.05X—.

1.9

仔細(xì)分析這個(gè)算式：

加號(hào)前面的。05是0.1+2的商后面的0.05x0.1-1.9中0.05x0.1=0.005,

就是把商向右移動(dòng)一位寫(xiě)到被除數(shù)里，除以1.90這樣我們又可把除數(shù)看作2繼

續(xù)除，依此類(lèi)推。

除數(shù)末位是9,都可用此法計(jì)算。

例如”29,用0.43計(jì)算。

”399,用0.1?40計(jì)算。

15順推

例1永明在去農(nóng)安時(shí)速45千米的客車(chē)上發(fā)現(xiàn)第一塊里程碑上的數(shù)是AB;過(guò)了1

小時(shí)見(jiàn)第二塊里程碑上的數(shù)是BA;又過(guò)了1小時(shí)見(jiàn)第三塊里程碑上的數(shù)是A0B。

經(jīng)研究很快明白了，這三塊里程碑上的數(shù)分別是16、61、106。試說(shuō)明算理？

思路一BA與AB的差，只能是兩位數(shù)或一位數(shù)。車(chē)勻速前進(jìn),B必大于A。

A0B與BA的差必等于BA與AB的差,不會(huì)是三位數(shù)。

A只能是1,若是2以上的數(shù)，則A0B與BA的差肯定是三位數(shù)了。

由下表知：

AB1213141516

BA2131415161

A0B102103104105106

思路二：由速度一定知BA-AB=AOB-BA。寫(xiě)成十進(jìn)數(shù)，化簡(jiǎn)

(10B+A)-(10A+B)=(100A+B)-(10B+A)

10B+A-10A-B=100A+B-10B-A

9B-9A=99A-9B

B=6A

B是一位數(shù),且只能是一位數(shù)。故A=1,B=6。A和B的數(shù)字確定了,其

它隨之出現(xiàn)。

例2美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克(1982~1983)第二次2題：1個(gè)面包和6個(gè)雞

蛋價(jià)值1.80元，同樣價(jià)格下，2個(gè)面包和4個(gè)雞蛋價(jià)值2.40元。問(wèn)1個(gè)面包多

少錢(qián)。

由2個(gè)面包和4個(gè)雞蛋價(jià)值2.40元，可知，1個(gè)面包和2個(gè)雞蛋價(jià)值2.40

?2=1.20阮)。

又由1個(gè)面包和6個(gè)雞蛋價(jià)值1.80元，知4個(gè)雞蛋價(jià)值

1.80-1.20=0.60阮)。

所以1個(gè)面包價(jià)值(2.40-0.60)-2=0.90(元)。

16.數(shù)字的雙重作用

例美國(guó)小學(xué)教學(xué)奧林匹克，第一次（1980年11月）題2:時(shí)鐘1點(diǎn)鐘敲1下，2

點(diǎn)鐘敲2下，3點(diǎn)鐘敲3下,依次類(lèi)推。從1點(diǎn)至12點(diǎn)這12小時(shí)共敲了（）下。

由"首尾之和"知

12

1+2+3+…+12=（1+12）X5=78（下）

例2第二次（1980年12月）2題：如果全體自然數(shù)如下表排列，數(shù)到1000

應(yīng)在哪個(gè)字母的下面。0

ABCDEFG

1234567

891011121314

151617................

1、2、3、4、5、6既是列的序數(shù)，又是對(duì)應(yīng)列以下各數(shù)除以7的余數(shù)而7

既是列的序數(shù),本列除以7余數(shù)為0。

1000:7=142余6

所以1000與6位于同一列，即在字母F的下面。

17.豎式填空之巧填除法例題1

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填除法例題1

例1一個(gè)三位數(shù)，其十位數(shù)字是0,且能被一個(gè)一位數(shù)整除；如果被另一

個(gè)一位數(shù)除則余3。請(qǐng)?zhí)钌纤羞m合的情況。

(1)

根據(jù)所有條件，全面分析，有序思考:

式(1)中,由除數(shù)與商的首位數(shù)之積是一個(gè)數(shù)字，知被除數(shù)的百位數(shù)字為1;

21

5J108

5

式(2)中，由余數(shù)是3,且除數(shù)與商的末位數(shù)的積是一位數(shù)和"余數(shù)必小于除

數(shù)〃，知除數(shù)只能為4、5、6,被除數(shù)的前兩位數(shù)為10,除數(shù)只能為5,被除

數(shù)的末位數(shù)字為8,這個(gè)數(shù)為108;

因?yàn)?08能被2、3、4、6、9整除，但除數(shù)為2不符合式⑴的書(shū)寫(xiě)形式。

答案為：

27

-

08

8

828

828

0

18.豎式填空之巧填除法例題2

例2

口2

3□

1口0.第一乘積

.第一余數(shù)

□□

0~~

由第一乘積和第一余數(shù),知除數(shù)是35;商的十位數(shù)字可能是6或4。

商是62不合題意，則除數(shù)是35,商為42。

例3下式可整除，請(qǐng)?jiān)诳谥刑钸M(jìn)適當(dāng)?shù)臄?shù)。

口口

257J6□□9

對(duì)比聯(lián)想，逆向思考——轉(zhuǎn)除為乘。

257

X口@

6□□9

顯然，A位只能為7。

257

X?7

1799

⑥□□

6口口9

B=5,是一定的。C只能是2,到此整個(gè)算式解開(kāi)。

19.豎式填空之巧填除法例題3

例4第五冊(cè)數(shù)學(xué)思考題：

□0D

8/□□口口

Q8

1□

□□

-0

首尾觀察：

觀察式⑴，知商的百位上是6;再觀察式(2),知商的個(gè)位上是2。則被除數(shù)

為4816。

例5美國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，第四次（1981年2月）題5:在右邊的除法算

式中，方格表示擦掉的數(shù)字，A和B表示商的數(shù)字。求A和B的值。ABAB

AB

5□)□□□□

口6口

□□□

432

0

由Bx5n=432,知B=8進(jìn)而知A,54=IZI6口,A=3O

20.豎式填空之巧填乘法例題1

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填減法例題1

例1式中的字母各代表什么數(shù)。

MNPMN

xM

iiii~~TT

M不能大于3,如果是4、貝（］4x4=16。也不能小于3,如果是2,則2x2=4,

都不符合積的要求。M=3O

3xN=21,N=7;P=0o即

37037

x3

111111

21.豎式填空之巧填乘法例題2

例2空，并確定被乘數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位置。

□□5

x□

2口口

一第一部分積

□□□

一第二部分積

130

由積的末尾是“30〃，知第一部分積為230;

積的最高位是"1",第二部分積的最高上也為1；

被乘數(shù)和第二部分積都是三位數(shù)，根據(jù)第二部分積的最高位上是1,可確定

被乘數(shù)和乘數(shù)的最高位上也都為1；

被乘數(shù)最｛氐位上是〃5",而積的末尾是0,乘數(shù)的最低位上可能是2、4、

6、8中的一個(gè)。由被乘數(shù)最高位上是1,第分積的最高位上是"2〃，知乘

數(shù)的最低位上為2;

乘數(shù)是三位數(shù)，而只有兩個(gè)部分積，知乘數(shù)的中間T立上為0；

由被乘數(shù)最低位上是‘5’，乘數(shù)的最低位上是2，第一部分積的末尾是30.

知被乘數(shù)中間一位上為1；

由被乘數(shù)和乘數(shù)，求出第二部分積115,終積117.30;

最后，由乘數(shù)是一位小數(shù)，積有兩位小數(shù)，知被乘數(shù)為一位小數(shù)。即右式

11.5

x10.2

230

115

117.30

22.豎式填空之巧填乘法例題3

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填乘法例題3

例3國(guó)小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克，1981~1982年試題：

下邊乘法算式中，每個(gè)字母代表不同的數(shù)字，A不是零。A、B、C、D各代

表什么數(shù)。

ABC

xC

DBC

由CxC二C,知C只可能是1、5、6。如果C=1,乘積為原被乘數(shù)，與條件矛

盾，C只可能是5或6,A只能是1。C=6無(wú)解。

125175

x5x5

625875

C=5時(shí)，B=2或7。

如果B=2,則D=6；

如果B=7,則D=8。即

4口口

xn7

□□82-第一部分積

12

□□□□□第二部分積

在右邊算式中，每一個(gè)方格表示一個(gè)擦掉的數(shù)字，求最后的乘積。

由第一部分積個(gè)位上是2,十位上是8,知被乘數(shù)個(gè)位數(shù)字是6,十位數(shù)字

是2;

根據(jù)第二部分積前兩位數(shù)字是1、2,確定乘數(shù)的十位數(shù)字是3。

426

x37

2982

1278

15762

23.豎式填空之巧填乘法例題4

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填乘法例題4

例4下式中每個(gè)△號(hào),都只表示某個(gè)素?cái)?shù)（即2、3、5、7）,請(qǐng)你確定這個(gè)

算式。

△△△

x△△△

△△△△

△△△△

AAAAA

由素?cái)?shù)數(shù)碼構(gòu)成的三位數(shù)與一位素?cái)?shù)相乘，積僅是由素?cái)?shù)碼構(gòu)成的四位數(shù)，只有

四種：

325x7=2275555x5=2775

755x5=3775775x3=2325

進(jìn)一步，不難得到

325

x777

2275

2275

2275

252525

24.豎式填空之巧填減法例題1

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填減法例題1

例1冊(cè)數(shù)學(xué)思考題：下面減法豎式中的字母，各代表什么數(shù)。

a0bc3

s72t

777

由被減數(shù)、減數(shù)和差的位數(shù)，可確定a=l,s=9;13-6=7,t=6o

c可能為9，但已借給個(gè)位數(shù)一個(gè)l,c=O;b可能是4,因?yàn)?4—7=7,

但b已借1給c,所以b=5。

10503

-9726

777

25.豎式填空之巧填加法例題2

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題2

例2把下列算式中的符號(hào)△、□改寫(xiě)成數(shù)字，每種符號(hào)代表同一個(gè)數(shù)。

+0.□

令x=d,y=Ao

如果x+10（沒(méi)進(jìn)位）,

即2x<10,

那么根據(jù)題意有

y=2x（x=0,

{y|y=0,

如果x+x>10（有進(jìn)位），即2x〉10（兩個(gè)數(shù)碼的和一定小于20,即10<2x<20）,

則有f=2x；0,（x=；,

|x=y+1;ly=8o

也可列方程為2x=10+（x-1）

26.豎式填空之巧填加法例題3

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題3

二屆"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初試題：有一個(gè)四位數(shù)，在它的某位數(shù)

字前面加一個(gè)小數(shù)點(diǎn)，再與這個(gè)四位數(shù)相加，得數(shù)2000.81.求這個(gè)四位數(shù)。

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題3

由題意知，所求的四位數(shù)是整數(shù)，且個(gè)位、十位上的數(shù)字必定分別是1與80

變換為下列算式：

□E81

+HE].81

200Ogi

易推得方框中的數(shù)字為1、9,從而再根據(jù)加小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)與原四位數(shù)字組

成相同，確定這個(gè)數(shù)為1981.

27.豎式填空之巧填加法例題2

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題2

例2把下列算式中的符號(hào)△、口改寫(xiě)成數(shù)字,每種符號(hào)代表同一個(gè)數(shù)。

+0.□

令x=d,y=Ao

如果x+x<10（沒(méi)進(jìn)位）,

即2x<10,

那么根據(jù)題意有

y=2x（x=0,

{y=x|y=0,

如果x+x>10（有進(jìn)位），即2x〉10（兩個(gè)數(shù)碼的和一定小于20,即10<2x<20）,

貝情f=2x：0,

|x=y+1;|y=8o

也可列方程為2x=10+（x-1）

28.豎式填空之巧填加法例題3

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題3

二屆"華羅庚金杯"少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初試題：有一個(gè)四位數(shù)，在它的某位數(shù)

字前面加一個(gè)小數(shù)點(diǎn),再與這個(gè)四位數(shù)相加，得數(shù)2000.81。求這個(gè)四位數(shù)。

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題3

由題意知，所求的四位數(shù)是整數(shù)，且個(gè)位、十位上的數(shù)字必定分別是1與8。

變換為下列算式：

□E81

+m回.81

2000.81

易推得方框中的數(shù)字為1、9,從而再根據(jù)加小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)與原四位數(shù)字組

成相同，確定這個(gè)數(shù)為198L

29.豎式填空之巧填加法

奧數(shù)難題：豎式填空之巧填加法例題：

例1

AB

建+BA?各字母代表的數(shù)是()。

最大兩位數(shù)的和＜200,和的最高位只能是1,B=1;A+B210,方可形成進(jìn)

位。

A=9,C=0o

30.學(xué)生何時(shí)相遇

一列長(zhǎng)110米的火車(chē)，以每小時(shí)30千米的速度向北駛?cè)?14點(diǎn)10分火車(chē)追上

一個(gè)向北走的工人，