黑龍江省哈爾濱市師范大學附屬中學2024-2025學年高一上學期期中考試數(shù)學

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2024-2025學年度高一上學期期中考試數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．命題，，則是（

）A．， B．，C．， D．，2．已知集合，，則（

）A． B． C． D．3．若函數(shù)，則（）A． B．2 C． D．44．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是（

）A． B．C． D．5．函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．6．冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則下列說法正確的是（

）A． B．或C．是奇函數(shù) D．是偶函數(shù)7．已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．8．已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．給定函數(shù)，，對于，用表示，中的最大者，記為，下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（

）A．函數(shù)是偶函數(shù) B．函數(shù)的最大值是C．函數(shù)在遞增 D．函數(shù)有四個單調(diào)區(qū)間10．已知函數(shù)，若有四個不同的零點，，，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．11．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德，牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù)，符號x表示不超過的最大整數(shù)，則y=x稱為高斯函數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)無最大值 B．函數(shù)的最小值為C．函數(shù)在上遞增 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．13．若不等式對一切恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．14．矩形（）的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點.當時，三角形的面積最大，最大值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．計算下列各式的值：(1)(2).16．設(shè)且，函數(shù)的圖像過點．(1)求的值及函數(shù)的定義域；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．17．如今中國已經(jīng)成為全球最大的新能源汽車消費市場，并且建成了高效的協(xié)同產(chǎn)業(yè)體系，2024年上半年新能源汽車銷售469萬輛，同比增長29.7%.某企業(yè)計劃引進新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備，通過市場分析，每生產(chǎn)x（千輛）獲利（萬元），關(guān)系如下：，該公司預(yù)計2024年全年其他成本總投入為萬元.由市場調(diào)研知，該種車銷路暢通，供不應(yīng)求.記2024年的全年利潤為（單位：萬元）.(1)求函數(shù)的解析式；(2)當2024年產(chǎn)量為多少千輛時，該企業(yè)利潤最大？最大利潤是多少？請說明理由.18．已知函數(shù).(1)若，求在區(qū)間上的值域；(2)若方程有實根，求實數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若對任意的，總存在，使得，求實數(shù)m的取值范圍.19．對于函數(shù)，若存在，使得，則稱為函數(shù)的“不動點”;若存在，使得，則稱為函數(shù)的“穩(wěn)定點”.記函數(shù)的“不動點”和“穩(wěn)定點”的集合分別為和，即．(1)設(shè)函數(shù)，求和；(2)證明：若為連續(xù)的單調(diào)函數(shù)，則；(3)若，存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題判斷即可.【詳解】∵存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，∴命題，，則是，.故選：D.2．C【分析】分別確定集合和，再根據(jù)交集的概念求.【詳解】因為；.所以.故選：C3．A【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入求值即可.【詳解】∵，∴.故選：A.4．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的概念判斷即可.【詳解】顯然是偶函數(shù)，故A錯誤；由，知是奇函數(shù)，故B錯誤；由，知是偶函數(shù)，故C錯誤；令，由知不是奇函數(shù)，由知不是偶函數(shù)，故D正確.故選：D.5．A【分析】根據(jù)解析式有意義的條件列不等式組，解不等式組可得函數(shù)的定義域.【詳解】由題意：.所以所求函數(shù)的定義域為：.故選：A6．C【分析】利用冪函數(shù)的定義和單調(diào)性可求的值，故可判斷AB的正誤，再根據(jù)奇偶性的定義可判斷CD的正誤.【詳解】函數(shù)為冪函數(shù)，則，解得或.當時，在區(qū)間0,+∞上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除A，B；所以，定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，D錯誤.故選：C.7．D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解即可.【詳解】因為，，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)；設(shè)，則，因為，所以，，，所以，即所以函數(shù)在0,+∞上單調(diào)遞增.由函數(shù)為偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，在上單調(diào)遞減.所以且.故選：D8．B【分析】利用基本（均值）不等式求和的最小值.【詳解】因為為正實數(shù)，且，所以，（當且僅當即時取“”）.故選：B9．AD【分析】可作出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合，判斷各選項的準確性.【詳解】如圖：對A：由圖可知，的圖象關(guān)于軸對稱，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故A正確；對B：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，當時，，故B錯誤；對C：由圖象可知，函數(shù)在0,1上單調(diào)遞減，故C錯誤；對D：由圖象可知，函數(shù)在和0,1上單調(diào)遞減，在和1,+∞上單調(diào)遞減，所以函數(shù)有四個單調(diào)區(qū)間.故D正確.故選：AD10．BC【分析】數(shù)形結(jié)合，可判斷A的真假；根據(jù)時，函數(shù)圖象的對稱性，可判斷B的真假；根據(jù)時，函數(shù)的解析式即對數(shù)的運算可判斷C的真假；舉反例可說明D是錯誤的.【詳解】左函數(shù)草圖如下：對A：由圖可知，若有四個不同的零點，則，故錯誤；對B：因為，且關(guān)于直線對稱，所以，故B正確；對C：因為，所以，，由，故C正確；對D：因為，所以，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，故D錯誤.故選：BC11．ACD【分析】利用“高斯函數(shù)”的定義，得出的圖象，結(jié)合圖象，對各個選項分析判斷，即可求解.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，，依此，可得的圖象如圖所示，由圖知，的值域為，所以選項A正確，選項B錯誤，對于選項C，因為當時，，所以函數(shù)在上遞增，故選項C正確，對于選項D，由圖知，是周期函數(shù)，且，所以選項D正確，故選：ACD.12．【分析】求的遞增區(qū)間，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即轉(zhuǎn)化為求在定義域上的減區(qū)間.【詳解】由得，令，由于函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，∴在?∞,0上遞減，在（0，＋∞）遞增，又由函數(shù)是定義域內(nèi)的減函數(shù)，∴原函數(shù)在（-∞，-2）上遞增．故答案為（-∞，-2）.【點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法，屬于基礎(chǔ)題.13．【分析】先分情況討論的符號，再由可得的取值范圍.【詳解】因為不等式對一切恒成立，所以若，則不等式可化為：，對一切恒成立，故滿足題意；若，則.綜上可知：.故答案為：14．【分析】由題意可得，結(jié)合即可求得，結(jié)合勾股定理得到，再根據(jù)三角形的面積公式可得，再利用基本不等式，即可求解.【詳解】如上圖所示，設(shè)，則，又，得到，即，易知，得，所以，又，得到，所以的面積，當且僅當，即時取等號，所以的面積的最大值為，故答案為：，.15．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用指數(shù)冪的運算法則，準確計算，即可求解.（2）根據(jù)題意，利用對數(shù)的運算法則和性質(zhì)，準確計算，即可求解.【詳解】（1）解：由指數(shù)冪的運算法則，可得：.（2）解：由對數(shù)的運算法則及性質(zhì)，可得：.16．(1)2；(2)2【分析】（1）代入點的坐標求出的值，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義求出函數(shù)的定義域；（2）依題意可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】（1）由函數(shù)的圖像過點，得，即，所以，解得或（舍），所以，由，解得，所以，函數(shù)的定義域為．（2）由（1）知，又，所以當時取得最大值4，且函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值．17．(1)；(2)當2024年產(chǎn)量為4千輛時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是480萬元.【分析】（1）根據(jù)給定的信息，由求出解析式即得.（2）按分段求出最大值，再比較大小即得.【詳解】（1）依題意，，而，所以函數(shù)的解析式為，即.（2）當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，；當時，，當且僅當，即時取等號，而，則當時，，所以當2024年產(chǎn)量為4千輛時，該企業(yè)利潤最大，最大利潤是480萬元.18．(1)(2)(3)【分析】（1）利用換元法令，，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實根即等價于即有實數(shù)根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對任意的，總存在，使得，可得,由復(fù)合函數(shù)知識可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數(shù)可求解.【詳解】（1）當時，，令，因為，所以，所以可得一個二次函數(shù)，所以當，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，有最小值，當時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域為.（2）由（1）知當令，，，則，即有實數(shù)根，此時實數(shù)根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實根，實數(shù)m的取值范圍為.（3）由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得,由函數(shù)可得當時單調(diào)遞減，當時單調(diào)遞增，函數(shù)為增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)定義可得函數(shù)在時單調(diào)遞減，時單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，由（2）知當令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為函數(shù)在時均單調(diào)遞增，所以函數(shù)在時單調(diào)遞增，所以，所以，.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）主要利用換元后轉(zhuǎn)化為一般的二次函數(shù)在具體區(qū)間求最值問題；（2）中轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題來求出相應(yīng)的不等式組，即可求解；（3）中由題可得,再結(jié)合指數(shù)型復(fù)合函數(shù)求出，從而可轉(zhuǎn)化為含參二次函數(shù)在定區(qū)間求解最值問題.19．(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）已知函數(shù)的解析式，利用“不動點”和“穩(wěn)定點”的概念求集合和.（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，利用“”證明集合相等.（3）把問題轉(zhuǎn)化為“存在，使得，，且”，進一步轉(zhuǎn)化