2024中考數(shù)學(xué)考試易錯(cuò)04 三角形（八大易錯(cuò)分析+舉一反三+易錯(cuò)題通關(guān)）（解析版）

易錯(cuò)04三角形

/三角形三邊奚嗣、易錯(cuò)點(diǎn)一:息G三角形構(gòu)成條件

樂(lè)不芬或再&而K萬(wàn)圣好、另二點(diǎn)二:混淆各種微的概念及事法

[Udi俎豆高總何jK&J錯(cuò)廉三工設(shè)論丕全介臭討論

*M?4=,得點(diǎn)自：比例關(guān)系就清

￡$4知“三角給何聞一多骨點(diǎn)五:討論不全面，客分類討論

飛出明全導(dǎo)三/形A易錯(cuò)點(diǎn)六:錯(cuò)用SSA證明

卜■極三4秒21丁點(diǎn)七:書寫另寫重字母字母

角三角病的實(shí)際應(yīng)用卜一易錯(cuò)點(diǎn)八::昆港角的專業(yè)術(shù)語(yǔ)

易錯(cuò)點(diǎn)一：忽略三角形構(gòu)成條件

三角形的三邊關(guān)系：三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊.

易錯(cuò)提醒：在解題時(shí)，要根據(jù)三角形存在的條件，驗(yàn)證求得的解，否則容易造成多解.

?e??

例I.一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，它的周長(zhǎng)為12,則這個(gè)三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.以上三種情況都有可能

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，勾股定理的逆定理等知識(shí)點(diǎn)，設(shè)最長(zhǎng)邊為x,另外兩邊之和為兒

則x+y=12：根據(jù)題意求出x的取值范圍是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)最長(zhǎng)邊為x，另外兩邊之和為％則％+y=12

由三角形的三邊關(guān)系得：丁>乙

/.x+y>2x,即：x<6

???三角形的三邊長(zhǎng)都是整數(shù)，

12

—4x,即x24,

3

4<x<6

?七可以取4或5,

當(dāng)二=4時(shí)，三邊只能是4,4,4,為等邊三角形；

當(dāng)工=5時(shí)，三邊有兩種情況：①3,4,5,為直角三角形，②5,5,2,為等腰三角形.

故選：D

:易錯(cuò)警示：三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。求最短距離的方法。

例2.已知等腰A8C的底邊長(zhǎng)為5.其腰長(zhǎng)恰好是方程犬-2(,〃+1卜+6〃?-2=0的根，則僧的值是()

A.2B.4C.1D.3

【答案】D

【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)一元二次

力程根的判別式，求得/〃=1或〃?=3,再將，〃的分別代入一元一次方程求出腰長(zhǎng)，結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，

即可確定m的值.

【詳解】解：X2-2(/77+1)X+6/H-2=O,

,：a=\,b=-2(m+\)tc=6m-2,

/.A=/?2-46/(?=4(/??+!)'—4(6/n-2)=0,

解得：〃?=1或，〃=3,

當(dāng)加=1時(shí)，x2-4x+4=0-解得：x=2,

Q2+2<5,不滿足三角形的三邊關(guān)系，

/./?=1(舍去)；

當(dāng)〃?=3時(shí)，x2-8A+16=0.解得：A=4,

???4+4>5,滿足三角形的三邊關(guān)系，

即〃?的值是3,

故選:D.

變式1.若菱形A8CQ的一條對(duì)角線長(zhǎng)為8,邊A3的長(zhǎng)為方程/2一81+15=0的一個(gè)根，貝U菱形/WCD的

周長(zhǎng)為()

A.24B.12C.2()D.12或20

【答案】C

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、一元二次方程的解法、三角形的三邊關(guān)系；熟練掌握菱形的性質(zhì)，由三

角形的三邊關(guān)系得出AB是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.解方程得出工=3或工=5,分兩種情況：①當(dāng)AB=AD=3時(shí),

3+3<8,不能構(gòu)成三角形；②當(dāng)A8=AO=5時(shí)，5+5>8,即可得出菱形48CD的周長(zhǎng).

【詳解】解：如圖所示：

???四邊形48C。是菱形，

???AB=BC=CD=AD,

V/-8x+15=0,

因式分解得：(x-3)(x—5)=0,

解得：x=3或x=5,

分兩種情況：

①當(dāng)A8=AO=3時(shí)，3+3<8,不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)48=AO=5時(shí)，5+5>8,

:.菱形ABCD的周長(zhǎng)=4A4=20.

故選:C

變式2.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的3倍，這樣的三角形叫做“3倍長(zhǎng)三角形”.若等腰JWC

是“3倍長(zhǎng)三角形"，底邊8。的長(zhǎng)為3,則等腰A8C的周長(zhǎng)為一.

【答案】21

【分析】本題考查了等腰三角形的定義以及三角形三邊關(guān)系，讀懂題意，理解“3倍長(zhǎng)三角形”是解本題的

關(guān)鍵.由等腰A8C是“3倍長(zhǎng)三角形”，可知A8=38C或8c=3A8,若A8=38C=9,可得A8的長(zhǎng)為9；

若BC=34A=3,因?yàn)?+1<3,故此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；再根據(jù)周長(zhǎng)的多余即可得答案.

【詳解】解：.等腰是“3倍長(zhǎng)三角形”，

/.A3=38?；?c=3A3,

若A8=38C=9,貝hABC三邊分別是9、9、3,符合題意，

等腰三角形A8C的周長(zhǎng)為9+9+3=21:

若BC=3A8=3,則48=1,一A8C三邊分別是1、1、3,

門+1<3,

??.此時(shí)不能構(gòu)成三角形，這種情況不存在；

綜：所述，等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為21.

故答案為：21.

變式3.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)為48,當(dāng)“每取一個(gè)值時(shí)，該等腰三角形都只有一個(gè)，則〃的取值范圍

是.

【答案】0<r/<4

【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，等腰三角形中兩腰相等，以及三角形的三邊關(guān)系.根據(jù)三角形三邊

關(guān)系列出不等式，通過(guò)解不等式即可得到答案

【詳解】解：若〃是腰長(zhǎng)，則2a>8,即a>4：

若。是底邊長(zhǎng)，則0vavl6.

因?yàn)椤ú荒芗仁茄L(zhǎng)又是底邊長(zhǎng)，所以0<。<4.

故答案為：0<〃".

變式4.已知關(guān)于彳的方程，x2-(k+2)x+2k=0.

⑴求證：無(wú)論女為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰三角形A3C的一邊〃=1,另兩邊A。恰是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求三角形43c的周長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)5

【分析】本題主要考杳了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構(gòu)成三角形的

條件:

(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可；

(2)分當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則工=1是方程f-(2+2"+2%=。的一個(gè)根，當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為1時(shí)，則

原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，兩種情況求出k的值進(jìn)而求出另一個(gè)根，再根據(jù)構(gòu)成三角形的條件求解即可.

【詳解】(1)證明：由題意得，△=［一伙+2)了一弘

=肥+#+4-弘

=/c-4k+4

=(.t-2)2>0,

???無(wú)論A為任意實(shí)數(shù)值方程，總有實(shí)數(shù)根；

(2)解：當(dāng)?shù)妊切蔚难L(zhǎng)為1時(shí)，則x=l是方程f-(八2)x+2k=0的一個(gè)根,

???1-(4+2)+2Z=0,

.??2=1,

,原方程為d-3x+2=0,

解得x=1或x=2,

，底邊長(zhǎng)為2,

V1+1=2,

???此時(shí)不能構(gòu)成三角形，不符合題意；

當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為1時(shí)，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,

?,.△=("2)2=0,

/.2=2,

???原方程為/一4工+4=0，

解得％=/=2,

<1+2>2，

???此時(shí)能構(gòu)成三角形，

:.A8C的周長(zhǎng)為2+2+1=5.

1.等腰三角形A8C中，底邊BC=10,且|A3—8cl=3,則.

【答案】13或7/7或13

【分析】本題考查等腰三角形的定義，絕對(duì)值，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先根據(jù)|A8-Bq=3計(jì)算出AB的

值，再判斷是否符合三角形三邊關(guān)系即可.

【詳解】解：丁|48-8。=3,

AB-BC=±3,

BC=1(),

AB=13或7,

當(dāng)A8=13時(shí)，三條邊長(zhǎng)為13,13,1()；當(dāng)AA=7時(shí)，三條邊長(zhǎng)為7,7,10,

均符合三角形三邊關(guān)系，滿足題意，

故答案為：13或7.

2.已知，4、人是等腰三角形的兩邊，且"不+(〃-6)2=0,則這個(gè)三角形周長(zhǎng)是—.

【答案】15

【分析】本題考查等腰三角形性質(zhì)，二次根式和完全平方的非負(fù)性，構(gòu)成三角形三邊關(guān)系.根據(jù)題意先求

H1以6的值，再利用等腰三角形定義分類討論三角形邊的情況即可.

【詳解】解：???>/^3+(6-6)2=0,

3=0

<b-6=0，解得:a=3,b=6,

?：a、b是等腰三角形的兩邊,

①當(dāng)。為腰時(shí)，則b為底，三角形為：3,3,6,

???3+3=6不符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，

工此種情況舍去；

②當(dāng)。為底時(shí)，則6為腰，三角形為：3,6,6,

???此時(shí)符合構(gòu)成三角形三邊關(guān)系，即周長(zhǎng)為：3+6+6=15,

故答案為：15.

3.等腰三角形A8C的周長(zhǎng)為7cm,A8=3cm,則8c的長(zhǎng)為—.

【答案】1cm或2cm或3cm

【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，根據(jù)題干可以分為三種情況：①當(dāng)A3為底邊時(shí)、

②當(dāng)8c為底邊時(shí)、③當(dāng)C4為底邊時(shí)，根據(jù)以上三種情況討論邊的取值即可解題.

【詳解】解：等腰三角形ABC的周長(zhǎng)為7cm,A8=：3cm,

分以下三種情況：

①當(dāng)A8為底邊時(shí)，

4c=C4=(7-A3)+2=2(cm),

此時(shí)二邊長(zhǎng)為別為女m、2cm、2cm,滿足三角形二邊關(guān)系；

②當(dāng)8c為底邊時(shí)，

AB=CA=3cm,

/.5C=7-2AB=l(cm),

此時(shí)三邊長(zhǎng)為別為女m、3cm、1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

③當(dāng)C4為底邊時(shí)，

AB-BC=3cm,

:.CA=7-2AB=\（cm）,

此時(shí)三邊長(zhǎng)為別為女m、3cm.1cm,滿足三角形三邊關(guān)系；

故答案為1cm或2cm或3cm.

4.如果ABC是等腰三角形，且川+|9-AC|=O,貝I」ABC的周長(zhǎng)為（）.

A.13B.17C.17或22D.22

【答案】D

【分析】本題考查了絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用，構(gòu)成三角形的條件，等腰三角形的性質(zhì)；由絕對(duì)值非負(fù)性可求

43=4,AC=9,分類討論①當(dāng)BC=A8=4時(shí)，，②當(dāng)BC=AC=9時(shí)，即可求解；理解非負(fù)性，能個(gè)根

據(jù)等腰三角形的腰的不同進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

［詳解】解：|人4-4|+|9-.。卜0,

../18-4=0,AC-9=0,

??八4=4,4。=9,

ABC是等腰三角形，

二.0當(dāng)3C=A8=4時(shí)，

三邊長(zhǎng)為：4,4,9,

,.?4+4<9,

二?不能構(gòu)成三角形；

②當(dāng)BC=AC=9時(shí)，

三邊長(zhǎng)為：4,9,9,

能構(gòu)成三角形，

故三角形的周長(zhǎng)為4+9+9=22：

綜上所述：三角形的周長(zhǎng)為22；

故選：D.

5.已知〃、b、。是43c的三邊，.且/+"_。2一加.=。，貝IJ./8C一定是（）

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【答案】C

【分析】此題考查了因式分解的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，等腰三角形的定義，熟練掌握因式分解的方法是

解本題的關(guān)鍵.已知等式變形后分解因式，利用兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0,得到〃=c,

即可確定出三角形形狀.

【詳解】解：???c2+而一/一W=0,

/.(ah-?c)-(Z?2-c2)=0,

A(/?-c)-(/?+c)(Z?-c)=0,

(Z?-c)(67-Z7-c)=O,

b-c=O^(.a-b-c=O,

b=c^a=b+c,

??7、b、c?是出8。的三邊，

h+c>a,

，4=b+c不成立,只能是b=c,

???/8C一定是等腰三角形.

故選：C.

6.已知三角形中兩邊邊長(zhǎng)值分別是/一81+15=0的兩根，設(shè)其剩下的邊邊長(zhǎng)值為〃?，則機(jī)的取值范圍

是一

【答案】2<相<8

【分析】本題考查了解一元二次方程以及三角形三邊關(guān)系，先利用因式分解法解方程，再根據(jù)三角形三邊

關(guān)系可得答案.

【詳解】解：1/-8彳+15=0，

\(x-5)(x-3)=0,

則x-5=0或匯一3=0,

解得內(nèi)=5,x2=3,

則該三角形第三邊用的取值范圍是5-3?！?lt;5+3,即2<，〃<8,

故答案為：2</w<8.

7.一個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm.

⑴已知腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，求各邊的長(zhǎng)；

(2)已知其中一邊的長(zhǎng)為7cm.求其它兩邊的長(zhǎng).

【答案】(1)這個(gè)等腰三角形的各邊的長(zhǎng)為12cm,12cm,6cm；

⑵另外兩邊的長(zhǎng)為11.5cm,11.5cm.

【分析】本題考查了等腰三角形的定義和三角形的三邊關(guān)系.

（1）設(shè)底邊長(zhǎng)為/cm,則腰長(zhǎng)為2xcm,根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm列方程求出x,即可得出答案：

（2）分情況討論：①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為7cm時(shí)，②當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，分別根據(jù)等腰三角形的周長(zhǎng)為30cm列式計(jì)

算即可.

【詳解】（1）解：設(shè)底邊長(zhǎng)為屁m,則腰長(zhǎng)為2xcm,

???三角形的周長(zhǎng)是30cm,

:.2x+2x+x=30,

解得:x=6,則2工=12,

???這個(gè)等腰三角形的各邊的長(zhǎng)為12cm,12cm,6cm；

（2）解：①當(dāng)?shù)走呴L(zhǎng)為7cm時(shí)，

則腰長(zhǎng)為：（30-7）4-2=11.5（cm）,

所以另外兩邊的長(zhǎng)為11.5cm,11.5cm,且符合三角形三邊關(guān)系定理；

②當(dāng)腰長(zhǎng)為7cm時(shí)，

則底邊長(zhǎng)為:30-7x2=16（cm）,

所以另外兩邊長(zhǎng)為7cm,16cm,7+7<16,不符合三角形三邊關(guān)系定理.

綜上，另外兩邊的長(zhǎng)為11.5cm,11.5cm.

易錯(cuò)點(diǎn)二：混淆各種線的概念及畫法

三角形的中線：在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段：

三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段;

三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段

垂直平分線（中垂線）：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線

易錯(cuò)提醒：一是要對(duì)各種線的概念進(jìn)行熟記；二是能夠根據(jù)題意畫出規(guī)范圖形

例3.如圖，CD,CEfC尸分別是的高、角平分線、中線，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

a

--------------1c

A.sACF=SBCFB.ZACE=-^ACB

2

C.AB=2BED.CDA.BE

【答案】C

【分析】本題主要考查了三角形高，中線，角平分線的定義，熟知相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)三角形高,

中線，角平分線的定義進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：???C/是的中線，

，AF=BF,

AFDBFD

AFC=\'C=\^=^BFC?A選項(xiàng)正確，不符合題意；

???CE是A8C的角平分線，、

；.NACE=；NACB,B選項(xiàng)正確.不符合題意；

???C尸是，A5C的中線，

:.AB=2BF不2BE，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

??,CO是4BC的高，

：.CDA.BE,D選項(xiàng)正確，不符合題意；

故選D.

易錯(cuò)警示：注意三角形的概念以及三角形的角平分線，中線，高線的特征與區(qū)別。

例4.在RtZXABC中，已知NC=90。，有一點(diǎn)。同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：①在直角邊BC上；②在NC48

的角平分線上；③在直角邊A3的垂直平分線上，則等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用以及角平分線的性質(zhì)，能求出4=ND$=miC是解此

題的關(guān)鍵，根據(jù)線段垂宜平分線的性質(zhì)得到=得到N4=N/M8,根據(jù)角平分線的定義得到

4DAB=4DAC,根據(jù)三角形內(nèi)角和計(jì)算即可.

【詳解】解：?:DE是A6C的A8邊的垂直平分線，

/.AD=BD，

Z5=ZZMB，

???△￡）平分NBAC,

，/DAB=/DAC,

:./B=/DAB=NDAC,

VZC=90°,?B?DAB?DAC?C180?

，/A=30°,

故選：B.

變式I.如圖，在ASC?中，ZC=90°,D,E是AC上兩點(diǎn)，且4；=。七，3D平分/EBC,那么下列說(shuō)

法中不正確的是（）

A.踮是AAB。的中線B.是.BCE的角平分線

C.Z1=Z2=Z3D.BC是二BDE的高

【答案】C

【分析】本題考查了三角形的高線，三角形的角平分線定義，三角形的中線等知識(shí)點(diǎn)，能熟記知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)

容是解此題的關(guān)鍵.利用已知條件和三角形中線即可判斷出A選項(xiàng)的正誤；利用已知條件和角平分線的定

義即可判斷出B選項(xiàng)的正誤；利用角平分線的性質(zhì)只能得到/2=/3,但沒(méi)有辦法得到N1=N2,這樣就

很容易判斷出C選項(xiàng)的錯(cuò)誤；由于NC=90。，結(jié)合“從一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)到垂

足之間的線段叫做三角形的高'’即可判斷出8c是否是花的高，這樣也能得出D選項(xiàng)的正誤.

【詳解】A、由圖可知：房是△A8O的中線，正確，不符合題意；

B、由圖可知：4。是..8CE的角平分線，正確，不符合題意；

C、Q8O是，8CE的角平分線，

/.Z3=Z2,

M是中線,

.?.NIH/2,

.?.N1=N2=N3不正確，符合題意.

D、由圖可知：

ZC=90°

???6C是一A8E的高，正確，不符合題意；

故選C

變式2.如圖，已知/BC,按下列要求畫圖:

(1)畫出/ABC的平分線，并指出相等的角；

(2)畫出4c邊上的中線，并指出相等的線段；

(3)畫出8c邊上的高，并指出圖中所有的直角三舛形.

A

【答案】(1)，ZABD=4CBD

...hV\>>

FBEC

A

⑵於火，BE=CE

FBEC

A

,圖中的直角三角形有△用，芯和△產(chǎn)

(3).1VSX?1ZM//1C

FBEC

【詳解】(1)8。是NA8C的平分線.ZABD=NCBD.

(2)AE是4c邊上的中線.BE=CE.

(3)人尸是8C邊上的高.?????.ZAR7=90。，，圖中的直角三角形有△AfB,zM/芯和

△AFC.

變式3.如圖，在長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形網(wǎng)格中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上.將A8C經(jīng)過(guò)一

次對(duì)稱后得到A'斤U,圖中標(biāo)出了點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4.

（1）補(bǔ)全A!ffC；

（2）畫出AC邊上的中線80；

（3）畫出AC邊上的高線跖；

⑷求ABC的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

3）見(jiàn)解析

（4）8

【分析】（1）連接A4',作利用格點(diǎn)找出A4'的垂線，即為對(duì)稱軸，再作出點(diǎn)乩點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)，順次連

接即可得到“夕C;

（2）利用格點(diǎn)找出AC的中點(diǎn)D,連接即可；

（3）利用格點(diǎn)作△8F”，使得一至心二班H，BH交AD于點(diǎn)E,利用全等三角形的性質(zhì)可證14￡）,

踮即為所求;

（4）利用格點(diǎn)和三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】（1）解：如下圖所示；

（2）解：AC邊上的中線8。如下圖所示;

（3）解:AC邊上的高線班:如下圖所示:

理由如下：

由格點(diǎn)可知〃產(chǎn)=/用，BF=AB，

又/HFB=NDBA=90。,

'ABg&BFH(SAS),

??./HBF=4DAB，

ZADB+ZDAB=90°,

???ZADB+ZHBF=90°t

ZDE^=90°,

BE為AC邊上的高線；

(4)解：S,M=SW/SCM=；創(chuàng)24+；創(chuàng)24=8,

即A8C的面積為8.

【點(diǎn)睛】本題考查格點(diǎn)作圖，涉及作軸對(duì)稱圖形、作三角形的中線、高線、全等三角形的判定與性質(zhì)等，

第3間有?定難度，解題的關(guān)鍵是利用格點(diǎn)構(gòu)造一ABD^BFH.

變式4.如圖所示，AE為A8C的角平分線，為MBC的高，若N3=30。，ZACB=75。,求ZA”1的

度數(shù).

【答案】127.5°

【分析】首先根據(jù)三角形高的定義可知NAE）C=90。，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理解得N84C的值，結(jié)合AE

為的角平分線，可得N84E=37.5。，然后根據(jù)“三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩人內(nèi)角和“，

由ZAFC=/BAE+ZADC求解即可.

【詳解】解：：CD為.46C的高，

???ZAZX?=90°,

VZZ^=30°,ZACT=75°,

/.^BAC=180。一N3-ZAC4=180°-30°-75°=75°,

???AE為ABC的角平分線，

?,.NBAE=-/BAC=37.5°,

2

???/AFC=NB4E+NA￡)C=37.5o+900=127.5。.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義和性質(zhì)、三角形的角平分線和三角形的高

等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用是解題關(guān)鍵.

1.如圖，A、B、。分別為某經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)中的三地，每?jī)傻刂g都修建了一條筆直的公路，現(xiàn)在要在4、B、

。三地之間建一個(gè)加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)建在（）.

A.AC.8c兩邊高線的交點(diǎn)處B./4、N8兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

C.AC.BC兩邊中線的交點(diǎn)處D.AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【答案】B

【分析】本題考查角平分線性質(zhì).角平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等，利用性質(zhì)即可得到本題答案.

【詳解】解：???要在A、8、。三池之間建一個(gè)加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，

???將加油站建在NA、NB兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處即可到三邊的距離相等，

故選：B.

2.如圖，三條公路把4、仄C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)

集貿(mào)市場(chǎng)，使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（）

A.在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處B.在/A、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處

C.在AC、8c兩邊中線的交點(diǎn)處D.在AC、8C兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇.

【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在-A、N7M兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三

條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.

3.如圖，在48C中，AC=BC,A8=6,A8C的面積為12,CD上AB于點(diǎn)D,直線所垂直平分8c

交AB于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)凡P是線段石尸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△P8。的周長(zhǎng)的最小值是（）

【答案】B

【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間連線段最短等：連接PC，由

三角形面積得CO=4,由等腰三角形的性質(zhì)得=由線段垂直平分線的性質(zhì)得PC=依，由

兩點(diǎn)之間連線段最短當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，PC+QD最小,

此時(shí)PC+PD=CD=4,即可求解；掌握相關(guān)的性質(zhì)，“將軍飲馬''典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)犍.

【詳解】解：如圖，連接FC,

AI3=6,以8c的面積為12,CDLAB,

:.-ABCD=\2,

2

：.-x6CD=\2,

2

解得：8=4,

?,AC=BC,

：.BD=-AB=3

2f

直線石尸垂直平分AC交A8于點(diǎn)E,

:.PC=PB,

當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，PC+PD最小,

此時(shí)尸C+PD=C￡>=4,

.?.P8+PD的最小值為4,

「?的周長(zhǎng)的最小值為；

BD+PB+PD

=3+4

=7；

故選：B.

4.如圖，在ABC中，ZBAC=90°,A8=6,AC=8,BC=\0,AO是高，BE是中線，是角平分

線，CF交AD于點(diǎn)G,交比于點(diǎn)〃，下面結(jié)論：①一4?石的面積=2\山石的面積；@ZAFG=ZAGF；

@^FAG=2ZACF；④AD=2.4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是

【答案】①②③

【分析】本題考查了三角形的中線、高、角平分線；根據(jù)三角形角平分線和高的性質(zhì)可確定角之間的數(shù)量

關(guān)系；根據(jù)三角形的中線和面積公式可確定A/AAE和3CE的面積關(guān)系以及求出入。的長(zhǎng)度.

【詳解】解：?'的'是,A8C的中線

AE=EC

1ABE的面積等于；BCE的面積

故①正確；

???^BAC=90°,A。是.ABC的高

..ZAFG+ZACG=90°,/DCG+NDGC=90。

C尸是，ABC的角平分線

???ZACG=ADCG

:.ZAFG=ZDGC

乂，，DGC=ZAGF

:.ZAFG=ZAGF

故②正確；

\ZFAG+ZDAC=ZDAC+ZACD=90°

：,ZFAG=ZACD

???ZACD=ZACF+ZDCF=2ZACF

..ZFAG=2ZACF

故③正確；

2S=AB-AC=BC-AD

，.二絲”二”“8

BC10

故④錯(cuò)誤;

故答案為：①②③.

5.如圖，是由小正方形組成的6x6網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，僅

用無(wú)刻度直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖.（畫圖過(guò)程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示）.

/?

圖2

（1）如圖I,請(qǐng)畫出44c的高CO和中線AE；

（2）如圖2,人。是,A4C的角平分線，請(qǐng)畫出A3C的角平分線儲(chǔ)，并在射線跖上畫點(diǎn)尸，使4E=2A廠.

【答案】（1）見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】（1）連接CM，與AA相交于點(diǎn)。，C〃即為A5c的高，連接廠”，與6c相交于點(diǎn)七，連接AE,

AE即為工8c中線；

（2）找到格點(diǎn)，，連接C”交于點(diǎn)T,連接87并延長(zhǎng)交4c于點(diǎn)E,的即為NAAC的角平分線；找到格

點(diǎn)N,連接NE交4。于點(diǎn)M,連接OM并延長(zhǎng)，交跖于點(diǎn)“，則點(diǎn)尸即為所求.

【洋解】（1）解：如圖所示，

圖I

（2）解：如圖所示，找到格點(diǎn)〃，連接C"交于點(diǎn)丁，連接8T并延長(zhǎng)交4C于點(diǎn)E,座即為N48C的角

平分線；

找到格點(diǎn)N,連接NE交于點(diǎn)M,連接。W并延長(zhǎng)，交BE亍點(diǎn)、F,則點(diǎn)廠即為所求；

B

圖2

理由如下：???ABC是等腰直角三角形，

???ZBAC=45°,

???四邊形AC8”是正方形，則NAC〃=N8C”=45。，

則CH是ZACB的角平分線，

???T是角平分線的交點(diǎn)，

則BE是/ABC的角平分線；

:A。是N84C的角平分線，

???/胡￡>=22.5。

:.ZADN=22.5°+45°=67.5°

又zviav是等腰直角三角形，

:.ZANC=45°

???/NAD=675°=ZADN,

：.NA=ND

???BE,NE關(guān)于AC對(duì)稱，

:.乙ENC=4EBC=225。

???//WC=18()°-ADC-MM)=90。，

：.AM=MD,

YO,“分別是AB,人力的中點(diǎn)，

/.OF//BC

???4MFE=ZEBC=22.5°,4FME=ZENC=22.5°,即ZEMF=tFME

:?ME=FE,

???BF=NM

在LABF,」ANM中，

AB=AN

<4ANF=NABF

BF=NM

：.^ABF^ANM

???4468=NAMV=90。

???OF=-AB=OA

2

'：ZAOF=ZABC=45°

ZAFM=^(180°-45°)=67.5°

又?：MF〃BC

???ZAM/=ZAQC=67.5。

，ZAMF=ZAFM

：.AF=AM=-AD

2

在LADCQBCE中,

NDAC=NCBE=225。

<ZACD=ZfiC￡=90°

AC=BC

???AADC@ABCE

，AD=BE

???BE=2Ak.

【點(diǎn)睛】本題考查了無(wú)刻度直尺作圖，作三角形的中線，高線，角平分線，全等三角形的性質(zhì)與判定，軸

對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在XBC中，AD為BC邊上的高，/A4C的平分線交AD于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)產(chǎn).若

ZmC=24°,ZABC=50°,求N4PL的度數(shù).

【答案】ZAFB=9\°

【分析】本題主要考查了角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，由角平分線的

定義得出NCBF=25。，由三角形內(nèi)角和定理得出NC=66。，最后由三角形外角的定義及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即

可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,.乙48C=50。，魔平分NA8C,

NCBF=-ZABC=1x50°=25°,

22

AD為BC邊上的高，

ZADC=90°,

ZDAC=24°,

ZC=90°-Z￡Z4C=90°-24°=66°,

.-.Z4FB=ZCBF+ZC=25O+66O=9I°.

7.如圖，在ABC中，AD,A尸分別為/8c的中線和高，防為△A8O的角平分線.

(1)若/8后。=60。，Z^D=40°,求N84廠的大小.

⑵若/WC的面積為40,BD=5,求AF的長(zhǎng).

【答案】(1)50。

(2)8

【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和三角形面積公式.本題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用三角形

的角平分線、高和中線的定義.

(1)先利用一角形的外角性質(zhì)計(jì)算出N48E=20。，再利用角平分線定義得到N4BC=2ZAM=4O°,然后根

據(jù)高的定義和互余兩角的性質(zhì)求出N8A/的度數(shù)；

(2)先根據(jù)三角形中線定義得到3C=2BO=10,然后利用三角形面積公式求AF的長(zhǎng).

【詳解】(I)解：?ZBED=ZABE+^BAE,

.?.NA8七=60°—40°=20°,

?.況平分48C,

/.Z48c=2Z4AE=40°,

AF為高，

/.Z4FB=9O°,

.-.z^4F=90o-ZABF=90o-40o=50°；

(2)解：?.AO為中線，

BC=2BD=1。,

S*=；AFBC,

10

易錯(cuò)點(diǎn)三：討論不全面，需分類討論

易錯(cuò)提醒：不同的三角形，高的位置也不同，所以要分類討論，可以按照銳角三角形、直角三角形和鈍角

三角形三種情況討論，以免漏解.

例5.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為4（）。，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為（）

A.40°B.50°C.130°D.50?；?30。

【答案】D

【分析】首先想到等腰三角形分為銳角、直角、鈍角等腰三角形，當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)不可能出現(xiàn)題中

所說(shuō)情況所以舍去不計(jì)，我們可以通過(guò)畫圖來(lái)討論剩余兩種情況.

【詳解】解：①當(dāng)為銳角三角形時(shí)可以畫圖，

高與另一邊腰成40。夾角，由三角形內(nèi)角和為180。可得，三角形頂角為50°

②當(dāng)為鈍角三角形時(shí)可以畫圖，

此時(shí)垂足落到三角形外面，因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。，

由圖可以看舟等腰三角形的頂角的補(bǔ)角為50。，

則三角形的頂角為130°.

綜上，等腰三角形頂角度數(shù)為50?；?30。

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題.主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)鍵，難度適中.

例6.若等腰三角形腰上的高是腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角是（）

A.75°或15。B.75°C.15°D.75。和30。

【答案】A

【分析】分兩種情況：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)：當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，分別進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖：

在,ABC中，AB=AC,BDLAC,

NBZM=90。，

2

二NBA。=30。，

AB=AC?

:.ZABC=ZC,

.Z48C+NC+ZA=180°,

180。-44180o-30°___

Z4BC=ZC=o

—2

???這個(gè)等腰一:角形的底角是75°:

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，婦圖:

在，48C中，AB=AC,BDLAC,

ZBDA=90°,

-.BD=-A13,

2

/.ZBAD=30°,

?.AB=AC,

ZABC=4C,

?.?/48C+NC=N84O,

/.ZABC=ZC=-/BAD=15°,

2

.??這個(gè)等腰三角形的底角是15。；

綜上所述：這個(gè)等腰三角形的底角是75?；?5。，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形

外角的定義及性質(zhì)，采用分類討論的思想解題，是解此題的關(guān)鍵.

變式1.已知在A8c中，N4=50。，高8。和高CE所在的直線交于2點(diǎn)，則N4PC的度數(shù)為一.

【答案】1300或50。

【分析】本題考查了三角形高的定義，直角三角形兩銳角互余，三角形的外角定理，熟練掌握三角形高的

定義，直角三角形兩銳角互余，以及三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和是解題的關(guān)鍵.根

據(jù)題意進(jìn)行分類討論：①當(dāng)點(diǎn)，在SBC內(nèi)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在.A5C外時(shí)，即可求解.

【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)〃在工6c內(nèi)時(shí)，如圖1：

?：BD、CE為.?工8c的高，24=50。，

???Z4BD=90°-50°=40o,NCEB=90。,

???/42。=480+/<:七》=400+90。=130。；

②當(dāng)點(diǎn)P在,"C外時(shí)，如圖2：

?：BD、CE為.ABC的高,NA=50。，

???ZABD=90。-50°=40。,/CEB=90°,

???4BPC=900-ZABD=50°；

故答案為：130。或50。.

變式2.在，A8C中，是AC邊上的高，4480=30。，求NBAC的度數(shù).

【答案】Z8AC的度數(shù)為60?；?20°.

【分析】分NBAC是銳角和/BAC是鈍角兩種情況進(jìn)行討論，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【詳解】解：當(dāng)/8AC是銳角時(shí)，如圖(1),

VBD是高,

???ZBAC=90°-Z4B￡>=90°-30°=60°；

當(dāng)/8AC是鈍角時(shí)，如圖(2),

，ZBAD=90o-ZABD=90°-30o=60°,

則^BAC=\80°-/BAD=180°-63°=120°.

綜上，/8AC的度數(shù)為60?；?20。.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，正確分兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵.

變式3.在ABC中，AB=13,AC=15,高4）=12,則BC的長(zhǎng)是（）

A.14B.4C.14或4D.14或6

【答案】C

［分析】本題主要考查\勾股定理的運(yùn)用，分①當(dāng)面在.A3C的內(nèi)部時(shí)②當(dāng)高4。在，4BC的外部時(shí),

然后由勾股定理即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的應(yīng)用及分類討論思想.

【詳解】①當(dāng)高A。在48c的內(nèi)部時(shí)，如圖1,

圖1

???BC邊上的高，4)=12,

???ZADB=ZADC=90°,

在RtZ\ABQ中，AB=13,根據(jù)勾股定理得，BD=AB2-AD2=V132-122=5(cm),

在Rt^ACO中，AC=\5,根據(jù)勾股定理得，CD=>JAC2-AD2=>/152-122=9(cm)

BC=3O+CO=5+9=14(cm)；

②當(dāng)高AD在,ABC的外部時(shí),如圖2,

圖2

,/BC邊上的高AO=12,

：.^ADB=ZADC=90°,

在□△ABO中，A8=13,根據(jù)勾股定理得，BD=yjAB2-AD2=^132-122=5（cm）,

在RtZXACO中，AC=\5,根據(jù)勾股定理得，8=,4。2-相＞2=叱-㈠=9（cm）

???BC=CD-BD=9-5=4（cm）,

綜上所述,BC的長(zhǎng)為14cm或4cm,

故選：C.

變式4.在.ABC中，AO為邊BC上的高，ZABC=50°,ZC4￡）=30°,則/3AC的度數(shù)是一度.

【答案】10或70

【分析】本題考查了直角一角形的性質(zhì)，角的和差，分AO位于，A8C內(nèi)部和外部?jī)煞N情況討交，進(jìn)行運(yùn)

算即可求解，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖1,當(dāng)AO位于以“。內(nèi)部時(shí)，

圖1

VAD1BC,

Z.ZA￡>￡?=90°.

???乙48c=50。，

/./BAD=9()o-50°=40°，

???/班。=/8旬+/04￡>=400+30°=70。；

如圖2,當(dāng)A。位于ABC外部時(shí),

圖2

???AD1BC,

???ZADB=90°,

???ZA5c=50。，

:.ZBAD=90°-50°=40°,

???ZMC=NBAD-NCAD=40°-30°=10°；

:./B4C的度數(shù)是10?；?0。，

故答案為：10或7().

1.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為35。，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）

A.55?；?25。B.55°C.125°D.35?；?5。

【答案】A

【分析】分別從工BC是銳角三角形與鈍角三角形去分析求解即可求得答案.

【詳解】解：如圖（1）,當(dāng)是銳角三角形時(shí).，

?.?AB=AC,BDA.AC,

:.ZADB=90°,

vZABD=35°,

ZA=90。-ZA8O=90。-35。=55。；

如圖（2）,當(dāng)48c是鈍角一:角形時(shí)，

vAB=AC,BD1AC,

Z5DC=90°，

vZ4BD=35°,

/.ABAD=90°-ZABD=900-35°=55°,/.ZBAC=180°-ZBAD=180°-55°=125°；

綜上所述，它的頂角度數(shù)為：55?；?25。,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵.

2.若等腰三角形一腰上的高與另一個(gè)腰的夾角為60。,則這個(gè)等腰三角形的底角是()

A.75?；?5。B.75°C.15°D.75。或30。

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后分別從銳角三角形與飩角三角形分析求解即可求出答案.

根據(jù)題意得：AB=AC,BD1AC

如圖(1),ZABD=60°

則NA=30。

AZABC=ZC=75°

如圖(2),ZABD=60°

，NBAD=30°

ZABC=ZC=yZBAD=15°

故這個(gè)等腰三角形的底角是75?；?5°

故選A

【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，分類討論是本題的關(guān)鍵.

3.直角三角形的兩邊分別為2和3,則斜邊上的高為

【答案】半或嚕

【分析】本題主要考查了勾股定理，求三角形的高的長(zhǎng)，設(shè)斜邊上的高為九分當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為斜邊時(shí),

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為直角邊時(shí)，兩種情況利用勾股定理求出第三邊的長(zhǎng)，再利用等面積法求出h的長(zhǎng)即可得到

答案.

【詳解】解：設(shè)斜邊上的高為人

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為斜邊時(shí)，則第三邊長(zhǎng)為存萬(wàn)=行，

由三角形面積公式可得:x2x6=2x3/,

22

3

當(dāng)長(zhǎng)為3的邊為直角邊時(shí)，則第三邊的長(zhǎng)為斤方=斤，

由三角形面積公式口叫x2x3小/八

.A6后

13

綜上所述，斜邊上的高為濁或如叵，

313

故答案為：氈或5叵.

313

4.已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為50。，則這個(gè)等腰三角形的頂角度數(shù)為_(kāi)；已知等腰三角

形一腰上的中線把三角形周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊8r的長(zhǎng)為

［答案】40°或140°11cm或7cm

【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)；當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)；先求出頂

角NBAC,即可求出底角的度數(shù).

（2）分兩種情況討論：當(dāng)AB+/W=12,BC+OC=I5或4B+AO=15,BC+DC=\2,所以根據(jù)等腰三角形

的兩腰相等和中線的性質(zhì)可求得，三邊長(zhǎng)為8,8,11或10,10,7.所以BC的長(zhǎng)為7cm或11cm.

【詳解】（1）當(dāng)?shù)妊切螢殇J角三角形時(shí)，如圖1,

I3DLAC,

:.NA=900?50。=40°,

???三角形的頂角為40。；

當(dāng)?shù)妊切螢殁g角三角形時(shí)，如圖2,

.,.ZBAD=90o-50°=40°,

???NBAO+N8AC=180。，

，NBAC=140。

???三角形的頂角為140°；

綜上，三角形的頂角為40?；?4()。；

設(shè)AD=xcm,則當(dāng)2x+x=12時(shí)，K=4,即人B=AC=8cm,

???周長(zhǎng)是12+15=27cm,

BC=11cm：

當(dāng)2xix=15時(shí)，A=5,B|JAB=AC=10cm,

???周長(zhǎng)是12+15=27cm,

/.BC=7cm,

綜上可知，底邊BC的長(zhǎng)為7cm或llcm.

故答案為40?；?40。：7cm或11cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，做題時(shí)，考慮問(wèn)題要全面，必要的時(shí)候

可以做出模型幫助解答，進(jìn)行分類討論是正確解答本題的關(guān)健，難度適中?

5.在ABC中，已知8C邊上的高AD=8cm,Z?D=15cm,CD=6cm,則/SC的面積為.

【答案】84cm2或36cm2

【分析】本題考查了三角形的高，利用分類討論的思想解決問(wèn)題是關(guān)鍵.分兩種情況討論：①4。在

ABC內(nèi)部；②AD在48c外部，分別求出8c的長(zhǎng)，即可求出A8C的面積.

【詳解】解：①如圖，當(dāng)AO在ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+CD=21cm,

I|,

S=-BCMD=-x21x8=84(cnr)：

22

②如圖，當(dāng)4。在A5c外部時(shí)，BC=BD—CD=9cm,

綜上可知，A3C的面積為84cm2或36cm2,

答案：84cm2或36cm2.

6.己知aABC的面積為20cm2,AD為BC邊上的高，且AD=8cm,CD=2cm,求BD的長(zhǎng)度.

【答案】BD的長(zhǎng)度為3或7

【分析】分兩種情況，利用三角形面積公式即可求得.

【洋解】解：如圖1,

???AD為BC邊上的高，

AADXBC,

-,.SAADC=-JBC*AD=^-(BD+CD)?AD,

???20=J(BD+2)x8,

，BD=3；

如圖2,