專題07 解析幾何（選填題）-【好題匯編】五年（2020-2024）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編（含答案解析）

專題07解析幾何（選填題）考點五年考情（2020-2024）命題趨勢考點01：直線和圓的綜合問題2024甲卷北京卷天津卷2022北京乙卷甲卷ⅠⅡ卷2020ⅠⅡ卷直線與圓的性質(zhì)應(yīng)用在高考考考查趨勢是主要考查圓的一些基本性質(zhì)，一般難度較小考點02橢圓，雙曲線基本性質(zhì)2024天津Ⅱ卷2023甲卷乙卷北京ⅠⅡ2022甲ⅠⅡⅢ2021北京甲卷乙卷ⅠⅡⅢ2020浙江Ⅰ卷橢圓與雙曲線的基本性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)中的必考點也是高頻考點，一般考查的基本內(nèi)容一些性質(zhì)的綜合應(yīng)用考點03橢圓雙曲線的離心率2024甲卷Ⅰ卷2023天津2022浙江乙卷2020北京Ⅱ卷求橢圓雙曲線的離心率及離心率的取值范圍是高考的高頻考點?？键c04拋物線性質(zhì)及應(yīng)用2023北京乙卷2022乙卷2021ⅠⅡ北京卷2020ⅠⅢ北京卷拋物線在高考中小題中考查非常普遍，重點考查有關(guān)拋物線的p的有關(guān)問題考點05圓錐曲線的綜合問題2024ⅠⅡ卷2023甲乙天津2021浙江圓錐曲線的綜合應(yīng)用一般作為選填壓軸題目出現(xiàn)，是對圓錐曲線綜合能力的考查考點01：直線和圓的綜合問題1．（2024·全國甲卷）已知直線與圓交于兩點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)題意，由條件可得直線過定點，從而可得當(dāng)時，的最小，結(jié)合勾股定理代入計算，即可求解.【詳解】因為直線，即，令，則，所以直線過定點，設(shè)，將圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為，所以圓心，半徑，當(dāng)時，的最小，此時.故選：C2．（2024·北京·高考真題）圓的圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意得，即，其圓心坐標(biāo)為，則圓心到直線的距離為.故選：D.3．(2022高考北京卷)若直線是圓的一條對稱軸，則()A．B． C．1 D．【答案】A【解析】:由題可知圓心為，因為直線是圓的對稱軸，所以圓心在直線上，即，解得．故選,A．4．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則()A．1B． C． D．【答案】B【解析】：方法一：因為，即，可得圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，因為，則，可得，則，，即為鈍角，所以；法二：圓的圓心，半徑，過點作圓C的切線，切點為，連接，可得，則，因為且，則，即，解得，即為鈍角，則，且為銳角，所以；方法三：圓的圓心，半徑，若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點的距離，不合題意；若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，則，整理得，且設(shè)兩切線斜率分別為，則，可得，所以，即，可得，則，且，則，解得．故選：B．5．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷)已知⊙M：，直線：，為上的動點，過點作⊙M的切線，切點為，當(dāng)最小時，直線的方程為()A． B． C．D．【答案】D【解析】圓的方程可化為，點到直線的距離為，所以直線與圓相離．依圓的知識可知，四點四點共圓，且，所以，而，當(dāng)直線時，，，此時最?。嗉矗山獾?，．所以以為直徑的圓的方程為，即，兩圓的方程相減可得：，即為直線的方程．故選：D．6．(2020年高考課標(biāo)Ⅱ卷)若過點(2，1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為()A．B． C． D．【答案】B【解析】：由于圓上的點在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為．故選：B．二填空題7．（2024·天津·高考真題）圓的圓心與拋物線的焦點重合，為兩曲線的交點，則原點到直線的距離為．【答案】/【詳解】圓的圓心為，故即，由可得，故或（舍），故，故直線即或，故原點到直線的距離為，故答案為：8(2022新高考全國I卷)寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．【答案】或或【解析】：圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖，當(dāng)切線為l時，因為，所以，設(shè)方程為O到l的距離，解得，所以l的方程為，當(dāng)切線為m時，設(shè)直線方程為，其中，，由題意，解得，當(dāng)切線為n時，易知切線方程為，故答案為：或或．9．(2022年全國乙卷)過四點中的三點的一個圓的方程為____________．【答案】或或或；【解析】：依題意設(shè)圓的方程為，若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；10．(2022年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理))若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．【答案】【解析】雙曲線的漸近線為，即，不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，依題意圓心到漸近線的距離，解得或(舍去)．故答案為：．11．(2022新高考全國II卷)設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】關(guān)于對稱的點的坐標(biāo)為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：考點02：橢圓，雙曲線基本性質(zhì)1．（2024·全國·高考Ⅱ卷）已知曲線C：（），從C上任意一點P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】A【分析】設(shè)點，由題意，根據(jù)中點的坐標(biāo)表示可得，代入圓的方程即可求解.【詳解】設(shè)點，則，因為為的中點，所以，即，又在圓上，所以，即，即點的軌跡方程為.故選：A2．（2024·天津·高考真題）雙曲線的左、右焦點分別為是雙曲線右支上一點，且直線的斜率為2．是面積為8的直角三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】可利用三邊斜率問題與正弦定理，轉(zhuǎn)化出三邊比例，設(shè)，由面積公式求出，由勾股定理得出，結(jié)合第一定義再求出.【詳解】如下圖：由題可知，點必落在第四象限，，設(shè)，，由，求得，因為，所以，求得，即，，由正弦定理可得：，則由得，由得，則，由雙曲線第一定義可得：，，所以雙曲線的方程為.故選：C3．(2023年新課標(biāo)全國Ⅱ卷)橢圓的左、右焦點分別為，，直線與C交于A．B兩點，若面積是面積的2倍，則()．A． B． C． D．【答案】C【解析】：將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，因為直線與橢圓相交于點，則，解得，設(shè)到的距離到距離，易知，則，，，解得或(舍去)，故選：C．4．(2023年全國甲卷理科)設(shè)O為坐標(biāo)原點，為橢圓的兩個焦點，點P在C上，，則 ()A． B． C． D．【答案】B【解析】：方法一：設(shè)，所以，由，解得：，由橢圓方程可知，，所以，，解得：，即，因此．故選：B．5．(2021年新高考Ⅰ卷)已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上則的最大值為()A．13 B．12 C．9 D．6【答案】C【解析】:由題，，則，所以(當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立)故選：C．6(2022年全國甲卷(理))橢圓的左頂點為A．點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】，設(shè)，則，則，故，又，則，所以，即，所以橢圓的離心率．故選：A．7．(2023年全國乙卷理科)設(shè)A．B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是 ()A． B． C． D．【答案】D【解析】：設(shè)，則的中點，可得，因為在雙曲線上，則，兩式相減得，所以．對于選項A：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故A錯誤；對于選項B：可得，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故B錯誤；對于選項C：可得，則由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，所以直線AB與雙曲線沒有交點，故C錯誤；對于選項D：，則，聯(lián)立方程，消去y得，此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點，故D正確；8(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷)設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a= ()A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【解析】：，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A．9．(2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷)已知點O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．設(shè)點P滿足|PA．–|PB．=2，且P為函數(shù)y=圖像上的點，則|OP|=()A． B． C． D．【答案】D【解析】：因為，所以點在以為焦點，實軸長為，焦距為的雙曲線的右支上，由可得，，即雙曲線的右支方程為，而點還在函數(shù)的圖象上，所以，由，解得，即．故選：D．10(2021高考北京)若雙曲線離心率為，過點，則該雙曲線的方程為()A． B． C．D．【答案】B【解析】：，則，，則雙曲線的方程為，將點的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得，解得，故，因此，雙曲線的方程為．故選：B二填空題11．(2021年高考全國甲卷理科)已知為橢圓C：的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為________．【答案】【解析】：因為為上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于．故答案：．12．(2022新高考全國II卷)已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點，且，則l的方程為___________．【答案】【解析】：令的中點為，因為，所以，設(shè)，，則，，所以，即所以，即，設(shè)直線，，，令得，令得，即，，所以，即，解得或(舍去)，又，即，解得或(舍去)，所以直線，即；故答案為：13．(2022新高考全國I卷)已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，，則的周長是________________．【答案】13【解析】：∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點為，右焦點為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為，直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡得到：，判別式，∴，∴，得，∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對稱性，，∴的周長等于的周長，利用橢圓的定義得到周長為故答案為：13．14．(2023年北京卷)已知雙曲線C的焦點為和，離心率為，則C的方程為____________．【答案】【解析】：令雙曲線的實半軸、虛半軸長分別為，顯然雙曲線的中心為原點，焦點在x軸上，其半焦距，由雙曲線的離心率為，得，解得，則，所以雙曲線的方程為．故答案為：15．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知雙曲線的左、右焦點分別為．點在上，點在軸上，，則的離心率為________．【答案】【解析】：方法一：依題意，設(shè)，則，在中，，則，故或(舍去)，所以，，則，故，所以在中，，整理得，故．方法二:依題意，得，令，因為，所以，則，又，所以，則，又點在上，則，整理得，則，所以，即，整理得，則，解得或，又，所以或(舍去)，故．故答案為：．16．(2021年新高考全國Ⅱ卷)已知雙曲線的離心率為2，則該雙曲線的漸近線方程為_______________【答案】【解析】:因為雙曲線的離心率為2，所以，所以，所以該雙曲線的漸近線方程為．故答案為．17．(2021年高考全國乙卷)已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．【答案】4【解析】：由漸近線方程化簡得，即，同時平方得，又雙曲線中，故，解得(舍去)，，故焦距故答案為：418．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷)已知F為雙曲線的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為______________．【答案】2【解析】聯(lián)立，解得，所以．依題可得，，，即，變形得，,因此，雙曲線的離心率為．故答案為：．考點03：橢圓雙曲線的離心率1（2024·全國·高考甲卷）已知雙曲線的兩個焦點分別為，點在該雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】由焦點坐標(biāo)可得焦距，結(jié)合雙曲線定義計算可得，即可得離心率.【詳解】由題意，設(shè)、、，則，，，則，則.故選：C.2．(2023年新課標(biāo)全國Ⅰ卷)設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】：由，得，因此，而，所以．故選：A3．(2021年高考全國乙卷)設(shè)是橢圓的上頂點，若上的任意一點都滿足，則的離心率的取值范圍是()A． B． C． D．【答案】C【解析】：設(shè)，由，因為，，所以，因為，當(dāng)，即時，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時，，即，化簡得，，顯然該不等式不成立．故選：C．4．(2023年天津卷)雙曲線的左、右焦點分別為．過作其中一條漸近線的垂線，垂足為．已知，直線的斜率為，則雙曲線的方程為 ()A． B．C． D．【答案】D【解析】：如圖，因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以．設(shè)則，所以，所以．因,所以，所以，所以，所以，因為，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D5．(2021年全國甲卷)已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為 ()A． B． C． D．【答案】A【解析】：因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，6．(2020高考Ⅱ卷)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點，若的面積為8，的焦距的最小值為()A．4 B．8 C．16 D．32【答案】B【解析】：雙曲線的漸近線方程是直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點不妨設(shè)為在第一象限，在第四象限聯(lián)立，解得故聯(lián)立，解得故面積為：雙曲線其焦距為當(dāng)且僅當(dāng)取等號的焦距的最小值：7．(2022年高考全國乙卷數(shù)學(xué)(理))雙曲線C的兩個焦點為，以C的軸為直徑的圓記為D．過作D的切線與C交于M，N兩點，且，則C的離心率為 ()A． B． C． D．【答案】C【解析】：依題意不妨設(shè)雙曲線焦點在軸，設(shè)過作圓的切線切點為，若分別在左右支，因為，且，所以在雙曲線的右支，又，，，設(shè)，，在中，有，故即，所以，而，，，故，代入整理得到，即，所以雙曲線的離心率8．(2021高考天津)已知雙曲線的右焦點與拋物線的焦點重合，拋物線的準(zhǔn)線交雙曲線于A．B兩點，交雙曲線的漸近線于C．D兩點，若．則雙曲線的離心率為 ()A．B．C．2D．3【答案】A【解析】：設(shè)雙曲線與拋物線的公共焦點為，則拋物線的準(zhǔn)線為，令，則，解得，所以,又因為雙曲線的漸近線方程為，所以，所以，即，所以，所以雙曲線的離心率．故選：A．二填空題9．（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)雙曲線的左右焦點分別為，過作平行于軸的直線交C于A，B兩點，若，則C的離心率為．【答案】【分析】由題意畫出雙曲線大致圖象，求出，結(jié)合雙曲線第一定義求出，即可得到的值，從而求出離心率.【詳解】由題可知三點橫坐標(biāo)相等，設(shè)在第一象限，將代入得，即，故，，又，得，解得，代入得，故，即，所以.故答案為：10．(2021年高考浙江卷)已知橢圓，焦點，，若過的直線和圓相切，與橢圓在第一象限交于點P，且軸，則該直線的斜率是___________，橢圓的離心率是___________．【答案】(1)．(2)．【解析】:如圖所示：不妨假設(shè)，設(shè)切點為，，所以,由，所以，，于是，即，所以．故答案為；．11．(2022年浙江省高考)已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】:過且斜率為的直線，漸近線，聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率．故答案為：．12．(2020北京高考)已知雙曲線，則的右焦點的坐標(biāo)為_________；的焦點到其漸近線的距離是_________．【答案】(1)．(2)．【解析】在雙曲線中，，，則，則雙曲線的右焦點坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以，雙曲線的焦點到其漸近線的距離為．故答案為：；．考點04：拋物線性質(zhì)及應(yīng)用1．(2023年北京卷)已知拋物線的焦點為，點在上．若到直線的距離為5，則()A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】：因為拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，點在上，所以到準(zhǔn)線的距離為，又到直線的距離為，所以，故．故選：D．2．(2021年新高考全國Ⅱ卷)拋物線的焦點到直線的距離為，則()A．1 B．2 C． D．4【答案】B【解析】:拋物線的焦點坐標(biāo)為，其到直線的距離：，解得：(舍去)，故選B．3．(2020年高考Ⅰ卷)已知A為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，點A到C的焦點的距離為12，到y(tǒng)軸的距離為9，則p=()A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【解析】設(shè)拋物線的焦點為F，由拋物線的定義知，即，解得．故選：C．3．(2020年高考Ⅲ卷)設(shè)為坐標(biāo)原點，直線與拋物線C：交于，兩點，若，則的焦點坐標(biāo)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】：因為直線與拋物線交于兩點，且，根據(jù)拋物線的對稱性可以確定，所以，代入拋物線方程，求得，所以其焦點坐標(biāo)為，故選：B．5．(2022年高考全國乙卷)設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則()A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】：由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以．故選：B6．(2020北京高考)設(shè)拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為．是拋物線上異于的一點，過作于，則線段的垂直平分線()．A．經(jīng)過點B．經(jīng)過點C．平行于直線D．垂直于直線【答案】B【解析】如圖所示：．因為線段的垂直平分線上的點到的距離相等，又點在拋物線上，根據(jù)定義可知，，所以線段的垂直平分線經(jīng)過點．故選：B．二、填空題7．(2023年全國乙卷理科)已知點在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______．【答案】【解析】：由題意可得：，則，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，點到的準(zhǔn)線的距離為．故答案為：．8．(2021年新高考Ⅰ卷)已知為坐標(biāo)原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【解析】:不妨設(shè)因為，所以的準(zhǔn)線方程為,故答案為．9．(2020年新高考全國Ⅰ卷)斜率為的直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】：∵拋物線的方程為，∴拋物線焦點F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解得，所以10．(2020年新高考全國卷Ⅱ)斜率為直線過拋物線C：y2=4x的焦點，且與C交于A，B兩點，則=________．【答案】【解析】：∵拋物線的方程為，∴拋物線的焦點F坐標(biāo)為，又∵直線AB過焦點F且斜率為，∴直線AB的方程為：代入拋物線方程消去y并化簡得，解法一：解得所以解法二：設(shè)，則,過分別作準(zhǔn)線的垂線，設(shè)垂足分別為如圖所示．故答案為：11．(2021高考北京)已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，垂直軸與于點．若，則點的橫坐標(biāo)為_______；的面積為_______．【答案】①．5②．【解析】：因為拋物線的方程為，故且．因為，，解得，故，所以，故答案為：5；．考點05：圓錐曲線的綜合問題1(2023年全國甲卷)已知雙曲線的離心率為，C的一條漸近線與圓交于A．B兩點，則()AB．C．D．【答案】D【解析】：由，則，解得，所以雙曲線的一條漸近線不妨取，則圓心到漸近線的距離，所以弦長．故選：D2．(2021年高考浙江卷)已知，函數(shù)．若成等比數(shù)列，則平面上點的軌跡是()A．直線和圓B．直線和橢圓C．直線和雙曲線D．直線和拋物線【答案】C【解析】:由題意得，即，對其進(jìn)行整理變形：，，，，所以或，其中為雙曲線，為直線,故選C．二多選題3．（2024·全國·高考Ⅰ卷）設(shè)計一條美麗的絲帶,其造型可以看作圖中的曲線C的一部分.已知C過坐標(biāo)原點O.