概率論課本習(xí)題答案

概率論課本習(xí)題答案2.設(shè)在15只同類型零件中有2只為次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽樣，以X表示取出的次品個數(shù)，求：（1）X的分布律；（2）X的分布函數(shù)并作圖；(3).【解】故X的分布律為X012P（2）當(dāng)x<0時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=0當(dāng)0≤x<1時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)=當(dāng)1≤x<2時，F(xiàn)（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)=松分布，而與時間間隔起點無關(guān)（時間以小時計）.（1）求某一天中午12時至下午3時沒收到呼救的概率；（2）求某一天中午12時至下午5時至少收到1次呼救的概率.【解】（1）(2)12.某教科書出版了2000冊，因裝訂等原因造成錯誤的概率為0.001，試求在這2000冊書中恰有5冊錯誤的概率.【解】令X為2000冊書中錯誤的冊數(shù)，則X~b(2000,0.001).利用泊松近似計算,得14.有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了保險公司的人壽保險.在一年中每個人死亡的概率為0.002，每個參加保險的人在1月1日須交12元保險費，而在死亡時家屬可從保險公司領(lǐng)取2000元賠償金.求：（1）保險公司虧本的概率;（2）保險公司獲利分別不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”為單位來考慮.（1）在1月1日，保險公司總收入為2500×12=30000元.設(shè)1年中死亡人數(shù)為X，則X~b(2500,0.002)，則所求概率為由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有(2)P(保險公司獲利不少于10000)即保險公司獲利不少于10000元的概率在98%以上P（保險公司獲利不少于20000）即保險公司獲利不少于20000元的概率約為62%16.設(shè)某種儀器內(nèi)裝有三只同樣的電子管，電子管使用壽命X的密度函數(shù)為f(x)=求：（1）在開始150小時內(nèi)沒有電子管損壞的概率；（2）在這段時間內(nèi)有一只電子管損壞的概率；（3）F（x）.【解】（1）(2)(3)當(dāng)x<100時F（x）=0當(dāng)x≥100時故18.設(shè)隨機變量X在[2，5]上服從均勻分布.現(xiàn)對X進行三次獨立觀測，求至少有兩次的觀測值大于3的概率.【解】X~U[2,5]，即故所求概率為19.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X（以分鐘計）服從指數(shù)分布.某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘他就離開.他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)，試寫出Y的分布律，并求P{Y≥1}.【解】依題意知，即其密度函數(shù)為該顧客未等到服務(wù)而離開的概率為,即其分布律為20.某人乘汽車去火車站乘火車，有兩條路可走.第一條路程較短但交通擁擠，所需時間X服從N（40，102）；第二條路程較長，但阻塞少，所需時間X服從N（50，42）.（1）若動身時離火車開車只有1小時，問應(yīng)走哪條路能乘上火車的把握大些？（2）又若離火車開車時間只有45分鐘，問應(yīng)走哪條路趕上火車把握大些？【解】（1）若走第一條路，X~N（40，102），則若走第二條路，X~N（50，42），則++故走第二條路乘上火車的把握大些.（2）若X~N（40，102），則若X~N（50，42），則故走第一條路乘上火車的把握大些.21.設(shè)X~N（3，22），（1）求P{2<X≤5}，P{4<X≤10}，P{｜X｜＞2}，P{X＞3};（2）確定c使P{X＞c}=P{X≤c}.【解】（1）(2)c=322.由某機器生產(chǎn)的螺栓長度（cm）X~N（10.05,0.062）,規(guī)定長度在10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【解】28.設(shè)隨機變量X的分布律為X21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值為0，1，4，9故Y的分布律為Y0149Pk1/57/301/511/3049.設(shè)隨機變量X在區(qū)間（1，2）上服從均勻分布，試求隨機變量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因為P（1<X<2）=1,故P（e2<Y<e4）=1當(dāng)y≤e2時FY（y）=P(Y≤y)=0.當(dāng)e2<y<e4時，當(dāng)y≥e4時，即故8.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題8圖題9圖9.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=求邊緣概率密度.【解】題10圖10.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的概率密度為f（x，y）=（1）試確定常數(shù)c；（2）求邊緣概率密度.【解】（1）得.(2)13.設(shè)二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03（1）求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；（2）X與Y是否相互獨立？【解】（1）X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2)因故X與Y不獨立.22.設(shè)隨機變量X和Y相互獨立，下表列出了二維隨機變量（X，Y）聯(lián)合分布律及關(guān)于X和Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值.試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XYXYy1y2y3P{X=xi}=pix1x21/81/8P{Y=yj}=pj1/61【解】因,故從而而X與Y獨立，故,從而即：又即從而同理又,故.同理從而故YYX11.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（2X+3）.【解】(1)(2)(3)5.設(shè)隨機變量X的概率密度為f（x）=求E（X），D（X）.【解】故6.設(shè)隨機變量X，Y，Z相互獨立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列隨機變量的數(shù)學(xué)期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ4X.【解】(1)(2)7.設(shè)隨機變量X，Y相互獨立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，D（Y）=16，求E（3X2Y），D（2X3Y）.【解】(1)(2)9.設(shè)X，Y是相互獨立的隨機變量，其概率密度分別為fX（x）=fY（y）=求E（XY）.【解】方法一：先求X與Y的均值由X與Y的獨立性，得方法二：利用隨機變量函數(shù)的均值公式.因X與Y獨立，故聯(lián)合密度為于是34.設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合概率分布為YYX101010.070.180.150.080.320.20試求X和Y的相關(guān)系數(shù)ρ.【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布為YX101P0.080.720.2所以E（XY）=0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY)E(X)·E(Y)=0.120.6×0.2=0從而=01.一顆骰子連續(xù)擲4次，點數(shù)總和記為X.估計P{10<X<18}.【解】設(shè)表每次擲的點數(shù)，則從而又X1,X2,X3,X4獨立同分布.從而所以14.設(shè)隨機變量X和Y的數(shù)學(xué)期望都是2，方差分別為1和4，而相關(guān)系數(shù)為0.5試根據(jù)契比雪夫不等式給出P{|X-Y|≥6}的估計.（2001研考）【解】令Z=X-Y，有所以5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的長度不小于3m.現(xiàn)從這批木