函數(shù)的概念與性質(zhì)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版+解析版）

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類

彩題如工總

題型1:函數(shù)的概念與表示

題型5：函數(shù)的對(duì)稱性

題型2：函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)

5題型分類

題型4：函數(shù)的周期性

題型3：函數(shù)的奇偶性

彩和渡寶庫(kù)

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,3是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任

意一個(gè)數(shù)X,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系方在集合5中都有

概念

唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/：A-3為從集合A到

集合5的一個(gè)函數(shù)

對(duì)應(yīng)關(guān)系y=/(x),

三要素定義域X的取值范圍

值域與x對(duì)應(yīng)的y的值的集合伏x）|x?A}

2.函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)五x）的定義域?yàn)?,區(qū)間DG/,如果Vxi,X2^D

當(dāng)X1<X2時(shí)，都有>y（X2），

當(dāng)X1<X2時(shí)，者B有人X1）</（X2）,那么就

那么就稱函數(shù)而0在區(qū)間D上單

定義稱函數(shù)汽X）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，特別

調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)汽X）在

地，當(dāng)函數(shù)次X）在它的定義域上單調(diào)遞

它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們

增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù)

就稱它是減函數(shù)

前提設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?,如果存在實(shí)數(shù)“滿足

(l)Vxez,都有人x)WM；(l)Vx￡L都有而

條件

(2)3xoe/,使得次x())=M(2)3xoGZ,使得式xo)=M

結(jié)論M為最大值M為最小值

4.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

一般地，設(shè)函數(shù)五x)的定義域?yàn)?,如果Vx?/,都有一

偶函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱

X^I,且八一x)=Ax)，那么函數(shù)人X)就叫做偶函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)人勸的定義域?yàn)?,如果Vx?/,都有一

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

X^I,且五一x)=一五》)，那么函數(shù)人X)就叫做奇函數(shù)

5.函數(shù)的周期性

周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)y=/(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)7?，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都

有/(x+n=/(x),那么就稱函數(shù)y=/(x)為周期函數(shù)，稱了為這個(gè)函數(shù)的周期.

彩他題秘籍

(_)

函數(shù)的概念與表示

1.函數(shù)的三要素

(1)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù).

2.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

3.分段函數(shù)

若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)

稱為分段函數(shù).

4.函數(shù)的定義域

(1)無(wú)論抽象函數(shù)的形式如何，已知定義域還是求定義域，均是指其中的x的取值集合.

(2)若《￥)的定義域?yàn)椋踑,b］,則復(fù)合函數(shù)五g(x))的定義域由不等式a4(x)@求出.

(3)若復(fù)合函數(shù)五g(x))的定義域?yàn)椋踑,b］,則Hx)的定義域?yàn)間(x)在［a,加上的值域.

5.函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法.

(2)待定系數(shù)法.

(3)換元法.

(4)解方程組法.

6.分段函數(shù)求值問(wèn)題的解題思路

(1)求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)用(0)的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

(2)求自變量的值：先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的

值，切記要代入檢驗(yàn).

題型1：函數(shù)的概念與表示

1-1.(2024高二下?寧夏吳忠?學(xué)業(yè)考試)如圖，可以表示函數(shù)/(X)的圖象的是()

1-2.(2024高三?全國(guó)?課后作業(yè))下列各組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的是().

A./(x)=lgjc2,g(x)=21gx

_|_1

B./(x)=lg-r-g(x)=lg(x+l)-lg(x-l)

D./（X）=（A/X）2,g（x）=E

1-3.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃尤）=[""：1）二"°八，則/（〃T））=（）

[X一3N一4,工〉0'/

A.-6B.0C.4D.6

1-4.（2024?北京朝陽(yáng)?二模）函數(shù)/（x）=、區(qū)1的定義域?yàn)?

15（2024高三?全國(guó)?課后作業(yè)）己知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)-￡|的定義域

為.

1-6.（2024高一上?湖南邵陽(yáng)?期末）已知/（x）=ln（x2_qx+l）的定義域?yàn)镽,那么“的取值范圍為

1-7.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）若函數(shù)丁=/（元）的值域是[T3],則函數(shù)g（x）=3-2〃x+l）的值域?yàn)?/p>

1-8.（2024高三?全國(guó)?課后作業(yè)）函數(shù)y=^/l=I+^/^I的值域?yàn)?

1-9.（2024高一.上海.專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域

3+x

(1)=

y~4.-x

5

(2)y=------------------?

2X2-4X+3'

(3)y=yjl-2x-x?

爐+4x+3

(4)

(5)y=4一33+2%-%2;

(6)y=x+Jl-2x；

(7)y=C九-3+yj5-x；

(8)y=^J-x2-6x-5

3x+l

(9)

z\2%2—x+11

(10n)y=--------(x>-).

2x-l2

1-10.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式:

(1)已知〃l—sinx)=cos2無(wú)，求/(x)的解析式;

⑵已知/1+￡|=/+},求/'(x)的解析式；

⑶已知〃尤)是一次函數(shù)且3〃x+l)-2〃x-l)=2x+17,求〃尤)的解析式；

(4)已知〃x)滿足2〃x)+〃f)=3x,求的解析式.

彩他題祕(mì)籍

(二)

函數(shù)的單調(diào)性與最值

1.函數(shù)的單調(diào)性

(1)VX1，X2G/且X1WX2,有/(X1)姆>0(<0)或的一X2感Xi)一/(X2)]>0(<0)臺(tái)/(X)在區(qū)間/上單

X1-X2

調(diào)遞增(減).

(2)在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)，減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù).

1一

(3)y=/(x)(/(x)>0或在公共定義域內(nèi)與y=—/(x),)/=五耳的單調(diào)性相反.

八X)

(4)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減.

2.確定函數(shù)單調(diào)性的四種方法

(1)定義法.

(2)導(dǎo)數(shù)法.

(3)圖象法.

(4)性質(zhì)法.

3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

(1)比較函數(shù)值的大小時(shí)，先轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)單調(diào)性解決.

(2)求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去“產(chǎn)，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)的定義

域.

(3)利用單調(diào)性求參數(shù)的取值(范圍).根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿足的方程(組)(不等式

(組))或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接點(diǎn)的取值.

題型2:函數(shù)的單調(diào)性與最值

（3tz-l）x+4fl（x<l）

2-L（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃x）=a..，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)毛，巧且x產(chǎn)馬，

二（xNl）

都有［7（%）-/（%）］（%—%）<。，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為（）

A.A』［B.網(wǎng)C"D.加

2-2.（2024高三上?新疆烏魯木齊?階段練習(xí)）若函數(shù)/（耳=/『在區(qū)間［0,1］上的最大值為3,則實(shí)數(shù)

m-.

2-3.（2024.河南.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃x）為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且/（〃尤）-2,-2x）=10,則在

［-2,2］上的值域?yàn)?

2-4.（2024高三下.河南?階段練習(xí)）已知函數(shù)"x）="+3x+l（a>0且"1）,若曲線y=/（x）在點(diǎn)（0J（0））

處的切線與直線尤+2y-l=0垂直，則/（x）在卜1,2］上的最大值為.

2-5.（2024?天津河西?模擬預(yù)測(cè)）己知函數(shù)y=/（x+2）是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意七，x,e［2,^）,且無(wú)產(chǎn)尤?

都有成立?若。=/（1唱18）,6=c=/■卜弊）則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.b<a<cB.a<b<cC.c<b<aD.b<c<a

彩做題秘籍（二）

函數(shù)的奇偶性

1.函數(shù)的奇偶性

（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性.

（2）偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性.

2.函數(shù)奇偶性的判斷

（1）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，否則即為非奇非偶函數(shù).

（2）判斷五x）與八一x）是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性

的等價(jià)等量關(guān)系式優(yōu)用+A—x）=0（奇函數(shù)）或汽x）—五一x）=0（偶函數(shù)））是否成立.

3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求

已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問(wèn)題.

題型3:函數(shù)的奇偶性

3-1.(2024廣東湛江?二模)已知奇函數(shù)/x=△貝意(力=________.

[g(x)+l,x>0,

3-2.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)尤>0時(shí)，/(-V)=—x2+4x—3,

則函數(shù)〃尤)的解析式為.

3-3.(2024?新疆阿勒泰?一模)若函數(shù)/'(x)=2e2'+祀⑶+1為偶函數(shù)，貝i]a=.

3-4.(2024高三下?江西?階段練習(xí))若函數(shù)/(x)=log2(16'+l)-依是偶函數(shù)，則10gli2=.

3-5.(2024高一上?安徽蚌埠?期末)已知定義在R上的函數(shù)/(x),g(x)滿足:①/(0)=1；②g(x)為奇函

數(shù)；@Vxe(0,+oo),g(x)>0；④任意的x,yeR,

(1)判斷并證明函數(shù)的奇偶性；

(2)判斷并證明函數(shù)〃尤)在(0,+?)上的單調(diào)性.

彩儺甄祕(mì)籍

—(四)

函數(shù)的周期性

1.函數(shù)周期性常用結(jié)論

(1)若/(x+a)=—f(x),則T=2a(a>0).

1

(2)若/(x+a)=右，則T=2a(a>0).

2.函數(shù)的周期性

(1)求解與函數(shù)的周期有關(guān)的問(wèn)題，應(yīng)根據(jù)題目特征及周期定義，求出函數(shù)的周期.

(2)利用函數(shù)的周期性，可將其他區(qū)間上的求值、求零點(diǎn)個(gè)數(shù)、求解析式等問(wèn)題，轉(zhuǎn)化到已

知區(qū)間上，進(jìn)而解決問(wèn)題.

題型4:函數(shù)的周期性

4-1.(2024高一下.全國(guó).課后作業(yè))在如圖所示的>=/(尤)的圖象中，若了(0.005)=3,貝廳(0.025)=

4-2.(2024高一上?陜西寶雞?期末)已知/(無(wú))是定義在R上

的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有"x+4)=/。)，且當(dāng)0<x<4時(shí)，/(x)=log4x,則/(2022)=.

43(2024高三?全國(guó)?對(duì)口高考)已知是定義在R上的偶函數(shù)，并且滿足了"+吟焉，當(dāng)2V尤V3

時(shí)，〃x)=x,則"105.5)等于()

A.-2.5B.2.5C.5.5D.-5.5

4-4.(2024高一下?全國(guó)?課后作業(yè))函數(shù)y=/(x)是以4為周期的周期函數(shù)，且當(dāng)xe[-2,2)時(shí)，〃尤)=；+1,

試求當(dāng)xe[4,8)時(shí),〃求的解析式.

彩健瓢祕(mì)籍

函數(shù)的對(duì)稱性

1、函數(shù)自身的對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a,加對(duì)稱的充要條件是：

/(x)+f(2a—x)=2b,即f(a—x)+于(a+x)=2b。

推論：函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱的充要條件是/(%)+/(-%)=0o

⑵函數(shù)y=/(幻的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是：

f(a+%)=f(a—x),即f(x)=f(2a—x)o

推論：函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是/(%)=/(-%)o

2、不同函數(shù)對(duì)稱性

(1)函數(shù)y=/(a+x)與y=f(b-x)的圖像關(guān)于直線％=與0成軸對(duì)稱。

推論1:函數(shù)y=/(〃+%)與y=f(a-x)圖象關(guān)于直線％=0對(duì)稱

推論2:函數(shù)y=/（x）與y=f（2a-x）圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱

推論3:函數(shù)y=J（-x）與y=f（2a+%）圖象關(guān)于直線x=-a對(duì)稱

題型5:函數(shù)的對(duì)稱性

5-1.（2024高三上.湖北武漢.期末）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=sin2x的圖象關(guān)于直線％=%對(duì)稱，

將g（X）的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)y="X）的圖象，則函數(shù)y="X）在尤e卜,彳]時(shí)的值域?yàn)?/p>

（）

A-/弓B?卜臼C-["T'1]D.[0』

52（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)〃彳）=（/-2*卜2+6+4+6,且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,〃x）=〃4—x）

恒成立.若存在實(shí)數(shù)4，巧，…，%?e[0,5]（〃eN*）,使得2/E）=￡〃X,）成立，則”的最大值為（）

i=\

A.25B.26C.28D.31

5-3.（2024.全國(guó).模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的圖象連續(xù)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是用x），/（力+〃-2-耳=0,

當(dāng)x<-l時(shí)，（x+l）[〃x）+（x+l）」（x）]<0,則不等式"（x—1）>〃0）的解集為（）

A.（-1,1）B.C.（1,+?）D.（-a）,-l）U（l,+co）

5-4.（2024?貴州畢節(jié).三模）已知定義在R上的函數(shù)/（尤）滿足：對(duì)任意xeR,都有/（x+1）=/（I-無(wú)），且當(dāng)

L5

時(shí)，（x-l）"'（x）>0（其中/'（X）為/⑴的導(dǎo)函數(shù)）.設(shè)。=〃1。員3）,/>=/（log32）,c=/（2）,

則a,b,c的大小關(guān)系是（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b

煉習(xí)與梭升

一、單選題

1.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)產(chǎn)於）的圖象與直線X=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（）

A.至少1個(gè)B.至多1個(gè)C.僅有1個(gè)D.有0個(gè)、1個(gè)或多個(gè)

2.(2024高一上?湖南?期中)下列四組函數(shù)中，表示同一個(gè)函數(shù)的一組是()

A.y=\x\,U=4v^B.y=E,s=Q)2

__________

C?y——，根=〃+1D.y=A/尤+1,J%—1,y=yx2—1

x-1

3.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()

A.f(x)=e1nx,g(x)=x

2-4

B./(x)=X----—,g(x)=x-2

x+2

C./(x)=,g(%)=l

D.f(x)=\x\,XG{-1,0,1},g(x)=x2,%￡{T,0,1)

4.(2024?河南.模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃x)=[一產(chǎn)。?且/⑻=2則〃〃?+6)=()

—logs+—2,%<1,

A.-16B.16C.26D.27

5.(2024?四川樂(lè)山?一模)已知滿足〃。)<〃-。)，則〃的取值范圍是()

[X+2x,x<0

A.(f,-2)U(0,2)B.(-00,-2)U(2,+(?)

C.(-2,0)"0,2)D.(-2,0)U(2,M)

6.（2024江西）己知函數(shù)小尸"j'X"°'（aGR）,若/（/（一1））=1,則a=（）

[2,x<0

A.-B.5C.1D.2

42

7.（2024?山東）已知函數(shù)/'（x）的定義域是R,若對(duì)于任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)工，4,總有〃：）[；"）>°

成立，則函數(shù)“X）一定是（）

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.增函數(shù)D.減函數(shù)

8.（2024高一上?全國(guó)?課后作業(yè)）若定義在R上的函數(shù)八x）對(duì)任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a,b,總有“叱⑸>0

a-b

成立，則必有（）

A.危）在R上是增函數(shù)B.7（x）在R上是減函數(shù)

C.函數(shù)1x）先增后減D.函數(shù)於）先減后增

9.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）函數(shù)〃x）=,-3x+2|的單調(diào)遞增區(qū)間是（）

-3\「3-1

A.-,+°o|B.1,-和［2,+8）

C.（一叫1］和1,2D.和［2,+oo）

10.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）函數(shù)1=+3%的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

（31「3）

A.［-%一］］B.『I'+sJ

C.［0,+oo）D.（-oo,-3］

11.（2024高二下?陜西寶雞?期末）函數(shù)y=log2（2x-J）的單調(diào)遞減區(qū)間為（）

A.(1,2)B.(1,2]

C.(0,1)D.[0,1)

（〃〉0且3。1）在區(qū)間［-5，。］內(nèi)單調(diào)遞增,

12.（2024高三上?山東?階段練習(xí)）若函數(shù)"X）=log”任-6）

則。的取值范圍是（）

A.B.C.沁D.4

—X-ax-9,x<1

13.（2024高一上?四川廣安?期末）已知函數(shù)〃尤）=，a在R上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)〃的取值范

一,%〉1

x

圍為（)

A.[-5.0)B.(-oo,-2)

C.[-5,-2]D.(-oo,0)

14.（2024高三上?江西撫州?期末）已知函數(shù)/⑺=log“（X2-依+3）在［0,1］上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范

圍是（）

A.(0,1)B.(1,4)

C.(O,l)u(l,4)D.[2,4)

15.（2024高一上?天津紅橋?期末）已知函數(shù)/⑶=％2+2質(zhì)-5在［-2,4］上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)上的取值范

圍為（）.

A.k<-AB.k>2

C.k<-4^k>2D.左v~4或左＞2

16.（2024?北京朝陽(yáng)?一模）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間（。，+8）上單調(diào)遞增的是（)

i2

A.y=xB.y=-x+1C.y=log2xD.y=2因

17.（2024?北京順義?一模）下列函數(shù)中,既是偶函數(shù)又在區(qū)間（0,+a）上單調(diào)遞增的是（)

A.y=cos九B.)二朋C.y=lg%D.j=-

x

18.（2024?北京海淀?二模）下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞增的是（)

「2

A.y=lgxB.y=一C.y=2國(guó)D.y=tanx

x

19.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/（九）是奇函數(shù)，函數(shù)g（x）是偶函數(shù).若〃x）—g（x）=xsinx,則

2023兀

)

2

人2023兀2023兀

A.--------B.C.0D.-1

22

20.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)AM與g⑶的定義域是｛xeR|%w±“，函數(shù)/（九）是一個(gè)偶函數(shù)，g（x）

是一個(gè)奇函數(shù)'且小?叱上'則於等于（）

12x222x

A.B.C.D.—

22

x-lx2-l尤2-1x-l

21.（2024.寧夏銀川.二模）已知函數(shù)/（%）=加+Z?sinx+c,若〃T)+〃1)=2,貝/()

A.-1B.0C.1D-1

22.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）已知/（x）+l在R上單調(diào)遞增,且為奇函數(shù).若正實(shí)數(shù)a,6滿足/（a-4）+〃6）=-2,

則上1+：2的最小值為（）

ab

A.3+走B

-+行C.3+2近D.-+V2

422

JI/

23.（2024高三?重慶渝中?階段練習(xí)）已知函數(shù)/(%)=—+cos光」n%+在區(qū)間［-5,5］的最大值是M,

4\

最小值是如則/（"+㈤的值等于（)

c兀

A.0B.10c.-D.-

42

24.(2024高一下?福建福州?期中)已知函數(shù)〃x)=Hn(x+Ji17)+6sinx+2,若3)=7,則/⑶()

A.等于-7B.等于-5C.等于-3D.無(wú)法確定

25.（2024高一上.山西長(zhǎng)治.階段練習(xí)）定義域?yàn)镠的函數(shù)/（可滿足〃%+2）=2/（力,

x2-x,xe（0,1）

/（x）=r若xe（-2,0]時(shí)，/（x）之4」恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（）

一⑸,xe[1,2]2t

A.[-2,0）U（0,DB.[-2,0）UU,+s）C.[-2,1]D.（^,-2]u（0,l]

26.（2024?全國(guó)?一模）已知定義在[0,+句上的函數(shù)/（尤）滿足/（x）=g/（尤+2）,且當(dāng)xe[0,2）時(shí)，

/（盼=一尤2+2-設(shè)/。）在[2”—2,2〃）上的最大值為?！埃ā╟N*）,且數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)的和為S”.若對(duì)于任意

正整數(shù)〃不等式MS“+1）N27L9恒成立，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為（）

A.[0,+8）B.」，+°0]C.三，+81D./，+81

L32）[64）|_64）

27.（2024?四川內(nèi)江?二模）定義域?yàn)镽的函數(shù)『⑺滿足了。+2）=3/（尤），當(dāng)xe[0,2]時(shí)，f（x）=x2-2x,若

13

xe[T,-2]時(shí)，/。）2白（±-/）恒成立，則實(shí)數(shù)f的取值范圍是（）

18t

A.（^o,-l]U（0,3]B.卜8,也U（0，G]

C.[-l,0）U[3,+?））D.N，0）U[6+s）

28.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）定義域?yàn)镽,Ax-l）為奇函數(shù)，/（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)xe（-l,l）

時(shí)，fM=-x2+l,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A./^=-|B./（x+7）為奇函數(shù)

C.7⑺在（6,8）上是減函數(shù)D.方程/Xx）+lgx=0僅有6個(gè)實(shí)數(shù)解

29.（2024?湖北?模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)/'（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對(duì)任意為,％e[0,+co）,且玉片馬，有

]㈤＞（）,若/。）=0,則不等式（x-i）〃x）＞。的解集是（）

A.(-L1)U(1,心)B.(-1,1)C.(F,-l)u(l,+s)D.(F,6(0,1)

30.（2024?廣西?模擬預(yù)測(cè)）已知定義在R上的函數(shù)〃x）在（3,2]上單調(diào)遞減，且“x+2）為偶函數(shù)，則不

等式〃x-l）＞〃2x）的解集為（）

5+3,則不等式〃lgx)>3的解集為(

31.(2024?北京西城?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃力=log2

-co'^]u(10,+co)

B.

C.(1,10)D.3ucu。)

32.(2024?河南商丘?模擬預(yù)測(cè))已知/⑺是定義在R上的奇函數(shù)，/(3)=0,且在(0,+向上單調(diào)遞

增，則不等式/("+2/(-。<。的解集為()

X

A.(^?,-3)U(3,+oo)B.(-3,O)U(O,3)

C.(-3,0)u(3,+w)D.(—,—3)50,3)

33.(2024.安徽黃山?二模)已知函數(shù)〃x)=1g(兇一1)+2023*+2023：則使不等式〃3x)<〃x+l)成立的x

的取值范圍是()

A.(-co,-l)u(l,+co)B.

D.

34.(2024.河北唐山.一模)已知函數(shù)〃x)=e-+e2-x+2x2-8x+7，則不等式〃2x+3)>"x+2)的解集為

()

A.(-1,-g)B.(―℃,—1)U(—j，+0°)

11

C.(--,1)D.(-oo,--)u(l,+oo)

35.(2024高二下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))已知函數(shù)/(丈)=^-1-2&曲，則關(guān)于》的不等式/，-2月+/(a-2)<0

的解集為()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(2,+oo)U(-oo,-l)D.(l,+oo)U(-oo,-2)

二、多選題

36.(2024高一上.甘肅慶陽(yáng)?期中)已知函數(shù)〃尤)在區(qū)間［-5,5］上是偶函數(shù)，在區(qū)間［0,5］上是單調(diào)函數(shù)，且

/（3）＜/（1）,則（）

A.f（-l）＜/（-3）B./（0）＞/（-l）

C./（-1）＜/（1）D./（-3）＞/（5）

37.（2024高一上?浙江杭州.階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)〃x）,g（x）的定義域都為R,且是奇函數(shù)，是偶

函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）

A.是偶函數(shù)B.是奇函數(shù)

C.〃尤）Jg（尤）|是奇函數(shù)D.（尤）（尤）|是偶函數(shù)

38.（2024.河北.模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)"力，g（x）的定義域均為R,導(dǎo)函數(shù)分別為心膜）,g'（x）,若

/（3-x）=g（x）-2,f（x）=g\x+l）,且g（2+x）+g（-x）=0,則（）

A.4為函數(shù)g（x）的一個(gè)周期B.函數(shù)〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2,-2）對(duì)稱

20242024

C.￡g（"）=oD.￡/⑺=4048

n=\n=\

39.（2024?山東濱州?二模）函數(shù)y=/（x）在區(qū)間（f,—）上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且滿足

/（3+x）-f（3-^）+6x=0,函數(shù)〃l—2x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱，則（）

A.〃尤）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1,1）對(duì)稱B.8是/'（尤）的一個(gè)周期

C.一定存在零點(diǎn)D./（101）=-299

40.（2024高二下?江蘇南通?期末）已知函數(shù)“X）對(duì)任意xeR都有/'（x+4）-y（x）=2"2）,若丁=〃尤-1）

的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且對(duì)任意的（）且芯片吃,都有＞則下列結(jié)論正

x=lX],x2eO,2,,）0,

玉-x2

確的是（）.

A.〃尤）是偶函數(shù)B.的周期7=4

C.”2022）=0D.“X）在（T一2）單調(diào)遞減

三、填空題

41.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）若y=0-L*+1,則3x+4尸.

x-2

42.（2024高一下?湖北省直轄縣級(jí)單位.期末）函數(shù)“無(wú)）=A/2X不二J+log3（3+2x-/）的定義域?yàn)?

43.（2024高三上?海南?階段練習(xí)）已知正數(shù)a,b滿足a=爐,地/=￡,則函數(shù)/（尤）=x的定義

bVb

域?yàn)?

44.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)y=/（l+^/^7）的定義域?yàn)閧尤|O<xWl},則函數(shù)y=/（元）的定

義域?yàn)椤?/p>

45.（2024高一上?全國(guó)?專題練習(xí)）已知函數(shù)〃%+1）定義域?yàn)閇1,4],則函數(shù)〃％-1）的定義域?yàn)?

〃2x）

46.（2024高三?全國(guó)?專題練習(xí)）己知函數(shù)/'（X）的定義域?yàn)閇3,6],則函數(shù)'一再產(chǎn)彳的定義域?yàn)橐?/p>

47.（2024高三上?寧夏銀川?階段練習(xí)）已知函數(shù)Ax）的定義域?yàn)閇-2,3],則函數(shù)『（2x7）的定義域?yàn)?

2%-3

48.（2024高一上?安徽合肥?期中）若函數(shù)/?=/,的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______.

yjax+ax+1

49.（2024高一上?江蘇南通?階段練習(xí)）函數(shù)〃尤）——^的定義域?yàn)椋?雙+e）,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

ax+4ax+3

是.

50.（2024高一上?黑龍江佳木斯?階段練習(xí)）若函數(shù)了（乃=小2，一23。一3的定義域是R,則實(shí)數(shù)4的取值范圍

是.

51.（2024高三?廣東深圳?階段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：〃%+30=〃力+〃30+2孫的函數(shù)解析式為.

52.（2024高三.全國(guó)?專題練習(xí)）已知定義在（0,+向上的單調(diào)函數(shù)〃x）,若對(duì)任意xe（0，+8）都有

=3,貝°方程2+6的解集為.

53.（2024高三.全國(guó).專題練習(xí)）函數(shù)y=sinx+：的值域?yàn)?/p>

cosx—2

54.（2024高三下?重慶渝中?階段練習(xí)）函數(shù)y=Jf+4的最大值為

X2+5

-爐+2,X?1,/

55.（2024?浙江）己知函數(shù)〃x）=<1II則//；若當(dāng)尤e[a,b]時(shí)，14/（尤）W3,

XH------1,X>1,I

X

則》-。的最大值是

56.（2024?上海靜安二模）已知函數(shù)/（耳=蕓（a>0）為偶函數(shù)，則函數(shù)/⑺的值域?yàn)?/p>

57.(2024高三下.四川成都.期末)己知函數(shù)〃x)=(e'+ae-')sin2x是偶函數(shù)，則”.

58.(2024高三下?湖南?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2d+分+2,若/(x+1)是偶函數(shù)，貝

四、解答題

59.(2024高一上?安徽宣城?期中)根據(jù)下列條件，求f(元)的解析式

(1)已知/(x)滿足/(x+l)=d+4x+l

(2)已知〃尤)是一次函數(shù)，且滿足3/(x+l)-/(x)=2x+9；

⑶已知/'(x)滿足2/1J+/(X)=X(XHO)

60.(2024高三?全國(guó)?專題練習(xí))根據(jù)下列條件，求函數(shù)"X)的解析式.

⑴已知/■(?+1)=x+l4x,則/(X)的解析式為.

(2)已知滿足2/(x)+=3x,求/(x)的解析式.

(3)已知/(0)=1,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y都有/。-5)=/(幻-煙-y+1),求/⑺的解析式.

61.(2024高一上?浙江?課后作業(yè))己知/(上二)=上三，求/⑴的解析式.

1+X1+X

2九

62.(2024高一上?陜西延安?階段練習(xí))已知函數(shù)/(兀)=——7m￡(0,+8).

(D判斷函數(shù)/5)的單調(diào)性，并利用定義證明；

(2)若-根)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

63.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))設(shè)a>0,awl,證明：函數(shù)砒力=《■」是x的增函數(shù)(x>0).

64.(2024高三上?上海靜安?期中)已知函數(shù)/(無(wú)>0),且/'(0)=0.

a2

(1)求。的值，并指出函數(shù)的奇偶性；

(2)在(1)的條件下，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性的定義，證明函數(shù)/(元)在(-8,+8)上是增函數(shù).

65.(2024高三.全國(guó)?專題練習(xí))利用圖象判斷下列函數(shù)的奇偶性：

—x2+2x+1,尤>0

⑴/(x)=

%2+2%-1,x<0

尤2+X,尤<0,

⑵/。)=

x2-x,%>0

(4)y=|log2(x+l)|；

(5)y=f—2|x|—1.

66.(2024高一上?四川遂寧?期末)定義在R上的函數(shù)〃尤)，對(duì)任意小々eR,滿足下列條件：①

f(xt+%2)=/(%1)+/(%2)-2②/'(2)=4

(1)是否存在一次函數(shù)/(x)滿足條件①②，若存在，求出Ax)的解析式；若不存在，說(shuō)明理由.

(2)證明：g(x)=/(x)-2為奇函數(shù);

67.(2024高一上.安徽蚌埠.期末)已知定義在R上的函數(shù)〃x),g(x)滿足：

①40)=1;

②任意的x,yeR,/(x-y)=/(x)/(y)—g(x)g(y).

(1)求產(chǎn)(力—?")的值；

(2)判斷并證明函數(shù)/(x)的奇偶性.

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)5題型分類

彩題如工總

題型1:函數(shù)的概念與表示

題型5：函數(shù)的對(duì)稱性

題型2：函數(shù)的單調(diào)性與最值

專題04函數(shù)的概念與性質(zhì)

5題型分類

題型4：函數(shù)的周期性

題型3：函數(shù)的奇偶性

彩和渡寶庫(kù)

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)A,3是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任

意一個(gè)數(shù)X,按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系方在集合5中都有

概念

唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/：A-3為從集合A到

集合5的一個(gè)函數(shù)

對(duì)應(yīng)關(guān)系y=/(