2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：立體幾何中的截面、交線問(wèn)題【七大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)19立體幾何中的截面、交線問(wèn)題【七大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1截面作圖】...........................................................................2

【題型2截面圖形的形狀判斷】................................................................4

【題型3截面圖形的周長(zhǎng)或面積問(wèn)題】..........................................................5

【題型4球的截面問(wèn)題】.......................................................................6

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問(wèn)題】..................................................6

【題型6交線長(zhǎng)度、軌跡問(wèn)題】.................................................................7

【題型7截面的范圍與最值問(wèn)題】..............................................................8

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的截面、交線問(wèn)題

“截面、交線”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素,

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問(wèn)題，一是與解三角形、多邊形面積、周長(zhǎng)、扇形弧長(zhǎng)、面

積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1立體幾何中的截面問(wèn)題】

1.作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找

交線的過(guò)程.

(2)延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn).

(3)平行線法：過(guò)直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直

線的平行線找到幾何體與截面的交線.

2.球的截面

(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿(mǎn)足關(guān)系式：d=.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為尺，以。，為圓心的截面的半徑

為r,。。'=4則在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知識(shí)點(diǎn)2立體幾何中的截面、交線問(wèn)題的解題策略】

1.立體幾何截面問(wèn)題的求解方法

(1)坐標(biāo)法：所謂坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過(guò)三點(diǎn)的完整截面，再進(jìn)行求解.

2.截面、交線問(wèn)題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：

①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

②凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；

③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

?舉一反三

【題型1截面作圖】

【例1】(2024?河南新鄉(xiāng)三模)在如圖所示的幾何體中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)過(guò)點(diǎn)。作一平行于平面ABE的截面，畫(huà)出該截面，說(shuō)明理由，并求夾在該截面與平面&BE之間的幾何

體的體積.

【變式1-1］（2024高一下?廣東佛山?競(jìng)賽）如圖，在正方體/BCD-4$iCi必中，鼻尸分別為棱/8、51的

中點(diǎn).

（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過(guò)點(diǎn)E、F、Di的截面.（只需寫(xiě)出作圖過(guò)程，不用證明）

（2）請(qǐng)求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.

【變式1-2］（2023?貴州?模擬預(yù)測(cè)）矩形N8C。中，4B==1（如圖1）,將△口4c沿NC折到△小

2C的位置，點(diǎn)在平面N8C上的射影E在48邊上，連結(jié)（如圖2）.

（1）證明：4D11BC；

（2）過(guò)的平面與8c平行，作出該平面截三棱錐D1-4BC所得截面（不要求寫(xiě)作法）.記截面分三棱錐所得

兩部分的體積分別為ViM2Ml＜匕，求費(fèi).

【變式1-3］（23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí)）如圖正方體力BCD-a/iCiDi的棱長(zhǎng)為2,E是線段4公的

中點(diǎn)，平面a過(guò)點(diǎn)。1、C、E.

（1）畫(huà)出平面a截正方體所得的截面，并簡(jiǎn)要敘述理由或作圖步驟；

⑵求（1）中截面多邊形的面積；

（3）平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.

【題型2截面圖形的形狀判斷】

【例2】（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在正方體48CD-48心。1中，E為4B中點(diǎn)，P為線段的以上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)O,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【變式2-1］（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正方體48CD-4避1的￡）1中，M,N分別為的小的中點(diǎn)，過(guò)

M,N,%三點(diǎn)的平面截正方體48CD-所得的截面形狀為（）

A.六邊形B,五邊形C.四邊形D.三角形

【變式2-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底

面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（）

(1)(2)(3)(4)(5)

A.(2)(5)B.(1)(3)C.(2)(4)D.(1)(5)

【變式2-3］（2024?江西?模擬預(yù)測(cè)）已知在長(zhǎng)方體ABCD-Ai/CiDi中，AB=BB］=2BC,點(diǎn)、P,Q,T分

別在棱BBi，CCi和2B上，且&P=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQT截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為

（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【題型3截面圖形的周長(zhǎng)或面積問(wèn)題】

【例3】（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體A8CD-&當(dāng)?shù)男⊥饨忧虻捏w積為4例，E、F、G分別為棱4公

、4/1、的中點(diǎn)，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.YB.yC.yD.J

【變式3-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體4BCD-41B1C1D1中，￡為棱8c的中點(diǎn)，

用過(guò)點(diǎn)公,E,G的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）

C.2V2+2V5D.3V2+2V3

【變式3-2］（2024?江蘇南通?二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-4道1的。1中，P,Q,R分別為棱BC,CD,

CM的中點(diǎn)，平面PQR截正方體4BCD-外接球所得的截面面積為（）

A.（TTB.|lTC.yTTD.空Tt

【變式3-3］（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?一模）己知正方體48。。-4/1（7山1的棱長(zhǎng)為4,“為棱OC的中點(diǎn)，N為

側(cè)面8Q的中心，過(guò)點(diǎn)M的平面a垂直于DN,則平面a截正方體4的所得的截面面積為（）

A.4(V5+V2)B.2V3

C.5V3D.4>/6

【題型4球的截面問(wèn)題】

【例4】（2024?四川資陽(yáng)?二模）已知球。的體積為饕，點(diǎn)N到球心。的距離為3,則過(guò)點(diǎn)/的平面a被

球。所截的截面面積的最小值是（）

A.9ITB.12nC.16irD.20n

【變式4-1］（2024?四川自貢?三模）已知球O半徑為4,圓。1與圓。2為球體的兩個(gè)截面圓，它們的公共弦

長(zhǎng)為4若|。。1|=3,|。。2|=遍，則兩截面圓的圓心距|。1。2|=（）

A.V3B.竽C.3+V3D.2V3

【變式4-2］（2024?陜西榆林?一模）已知H是球。的直徑48上一點(diǎn)，AH-.HB=1-.2,1平面a,H為垂足,

a截球。所得截面的面積為n,M為a上的一點(diǎn)，且=斗，過(guò)點(diǎn)M作球。的截面，則所得的截面面積最小的

圓的半徑為（）

孚軍半年

2442

【變式4-3］（2024?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，某同學(xué)制作了一個(gè)工藝品.該工藝品可以看成是一個(gè)球

被一個(gè)棱長(zhǎng)為8的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合）.若其中一截面圓的周長(zhǎng)

為4it,則球的體積為（）

AB80西71c160V^TID200v

*3333

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問(wèn)題】

【例5】（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為4cm和6cm,AAltB以為圓

臺(tái)的兩條母線，截面48811與下底面所成的夾角大小為60。，且。01劣弧力1瓦的弧長(zhǎng)為等cm,則三棱臺(tái)

4B。-&B1O1的體積為（）

A.ycm3B.10V3cm3C.19cm3D.20V3cm3

【變式5?1】（2024?上海普陀?二模）若一個(gè)圓錐的體積為雪，用通過(guò)該圓錐的軸的平面截此圓錐，得到

的截面三角形的頂角為9則該圓錐的側(cè)面積為（）

A.V2TTB.2TTC.2V2irD.4伍

【變式5-2］（2024?河南開(kāi)封?二模）已知經(jīng)過(guò)圓錐S。的軸的截面是正三角形，用平行于底面的截面將圓錐

SO分成兩部分，若這兩部分幾何體都存在內(nèi)切球（與各面均相切），則上、下兩部分幾何體的體積之比是

)

A.1:8B.1:9C.1:26D.1:27

【變式5-3］（2024?江西贛州?一模）在棱長(zhǎng)為1的正方體力BCD-4再停1。1中，E為棱4D的中點(diǎn)，過(guò)比且

平行于平面4BE的平面截正方體所得截面面積為（）

A.乎B.|C.V6D.2V6

【題型6交線長(zhǎng)度、軌跡問(wèn)題】

【例6】（2025?廣東廣州?模擬預(yù)測(cè)）在正六棱柱4BCDEF-公當(dāng)?shù)男‰娨抑校珹Ai=2AB=6,。為棱4必

的中點(diǎn)，以。為球心，6為半徑的球面與該正六棱柱各面的交線總長(zhǎng)為（）

A.（3+V3）nB.（6+V3）nC.（3+2遮）nD.（6+2何rt

【變式6-1］（2023?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐4-8CD中，AB/C/D兩兩垂直，且

AB=AC=AD=3,以4為球心，逐為半徑作球，則球面與底面BCD的交線長(zhǎng)度的和為（）

D

B

A.2V3nB.V3nC.學(xué)D.亨

【變式6-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正四棱錐P-4BCD的體積為殍，底面4BCD的四個(gè)頂點(diǎn)在經(jīng)過(guò)球

心的截面圓上，頂點(diǎn)P在球。的球面上，點(diǎn)E為底面4BCD上一動(dòng)點(diǎn)，PE與P。所成角為也則點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度

為（）

A.V2nB.4伍C.亨D.孚it

【變式6-3］（2024?河南?二模）已知四面體力BCD的各個(gè)面均為全等的等腰三角形，且C4=CB=248=4.

設(shè)E為空間內(nèi)一點(diǎn)，且4B,C,D,E五點(diǎn)在同一個(gè)球面上，若45=2K，則點(diǎn)E的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.HB.2irC.3KD.4n

【題型7截面的范圍與最值問(wèn)題】

【例7】（2024?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知SOi=2,底面半徑。遇=4的圓錐內(nèi)接于球。，則經(jīng)過(guò)S和。〃中

點(diǎn)的平面截球。所得截面面積的最小值為（）

A.為25B.2引5C.2為5D.5ir

ZJ4

【變式7-1］（2024?重慶渝中?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P—ABC中，AC=BC=PC=2,且2C，BC,PC1平面

ABC,過(guò)點(diǎn)P作截面分別交力C,BC于點(diǎn)E,F,且二面角P-EF-C的平面角為60。，則所得截面PEF的面積最小值

為（）

A.-B.-C.-D.1

【變式7-2］（2024?四川?模擬預(yù)測(cè)）設(shè)正方體4BCD-&B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,與直線4C垂直的平面a截該

正方體所得的截面多邊形為M,則M的面積的最大值為（）

A.1V3B.|V3C.亨D.V3

【變式7-3］（2024?四川?一模）設(shè)正方體2BCD-4/停1。1的棱長(zhǎng)為1,與直線4傳垂直的平面a截該正方

體所得的截面多邊形為則下列結(jié)論正確的是（）.

A.“必為三角形B.“可以是四邊形

C.M的周長(zhǎng)沒(méi)有最大值D."的面積存在最大值

?過(guò)關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.（2024?河北?模擬預(yù)測(cè)）過(guò)圓錐P。高的中點(diǎn)。作平行于底面的截面，則截面分圓錐P。上部分圓錐與下部

分圓臺(tái)體積比為（）

A.-B.-c.gD.-

2.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知正方體ABC。-Ai/CiDi中，點(diǎn)E是線段上靠近/的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F是線

段。1G上靠近"的三等分點(diǎn)，則平面/￡?截正方體力BCD-&B1C1D1形成的截面圖形為（）

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

3.（2024?寧夏吳忠?模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐A-BCD的外接球是球0,正三棱錐底邊BC=3,側(cè)棱4B=2

四，點(diǎn)E在線段BD上，且BE=DE,過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面圓面積的最大值是（）

97T

A.2nB.TC.3TTD.4n

4.（2024?廣東江門(mén)?模擬預(yù)測(cè)）沙漏也叫做沙鐘，是一種測(cè)量時(shí)間的裝置.沙漏由兩個(gè)完全一樣的圓錐和一

個(gè)狹窄的連接管道組成，通過(guò)充滿(mǎn)了沙子的玻璃圓錐從上面穿過(guò)狹窄的管道流入底部玻璃圓錐所需要的時(shí)

間來(lái)對(duì)時(shí)間進(jìn)行測(cè)量西方發(fā)現(xiàn)最早的沙漏大約在公元1100年，比我國(guó)的沙漏出現(xiàn)要晚.時(shí)鐘問(wèn)世之后，沙

漏完成了它的歷史使命.現(xiàn)代沙漏可以用來(lái)助眠.經(jīng)科學(xué)認(rèn)證，人類(lèi)的健康入睡時(shí)間是15分鐘，沙漏式伴睡

燈便是一個(gè)15分鐘的計(jì)時(shí)器.它將古老的計(jì)時(shí)沙漏與現(xiàn)代夜燈巧妙結(jié)合，隨著沙粒從縫隙中滑下，下部的

燈光逐漸被沙子掩埋，直到15分鐘后沙粒全部流光，柔和的燈光完全覆蓋.就這樣，寧?kù)o的夜晚，聽(tīng)著沙

粒窸窸窣窣的聲音，仿佛一首緩緩流動(dòng)的安眠曲如圖，一件沙漏工藝品，上下兩部分可近似看成完全一樣

的圓錐，測(cè)得圓錐底面圓的直徑為10cm,沙漏的高（下底面圓心的距離）為8cm,通過(guò)圓錐的頂點(diǎn)作沙漏

截面，則截面面積最大為（）

A.40cm2B.41cm2C.42cm2D.43cm2

5.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方體48CD—4止停1。1中，E,尸分別為棱4B/D的中點(diǎn)，過(guò)

三點(diǎn)作該正方體的截面，則（）

A.該截面是四邊形

B.&C_L平面QEF

C.平面4當(dāng)。1〃平面CiEF

D.該截面與棱BBi的交點(diǎn)是棱BBi的一個(gè)三等分點(diǎn)

6.（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直三棱柱48。一4再停1的體積為4,ACVBC,AC=BC=CJ,D為

當(dāng)C1的中點(diǎn)，￡為線段NC上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），則平面截直三棱柱4BC-4道I。所得的截面面積的

C（4目D?罔

7.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在正方體4BCD-4iBiCiDi中，E,廠分別為棱力1巳，。小的中點(diǎn)，過(guò)直線所

的平面截該正方體外接球所得的截面面積的最小值為s,最大值為S,貝哈=（）

A.苧B.|C.等D.1

8.（2024?山東棗莊?一模）在側(cè)棱長(zhǎng)為2的正三棱錐2-BCD中，點(diǎn)E為線段BC上一點(diǎn)，RAD1AE,貝I」以4

為球心，魚(yú)為半徑的球面與該三棱錐三個(gè)側(cè)面交線長(zhǎng)的和為（）

A.9B.V2itC.嘩1D.3伍

42

二、多選題

9.（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐P-4BC中，△4BC與△PAC是全等的等腰直角三角形，平面P4C，平

面4BC/C=2,D為線段4C的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作平面截該三棱錐的外接球所得的截面面積可能是（）

A.nB.2irC.4nD.5ir

10.（2024?浙江杭州?模擬預(yù)測(cè)）已知正四面體P-2BC,過(guò)點(diǎn)P的平面將四面體的體積平分，則下列命題正

確的是（）

A.截面一定是銳角三角形B.截面可以是等邊三角形

C.截面可能為直角三角形D.截面為等腰三角形的有6個(gè)

11.（2024?湖北荊州?三模）如圖，正八面體E-4BCD-尸棱長(zhǎng)為2.下列說(shuō)法正確的是（）

A.BE〃平面ADF

B.當(dāng)尸為棱EC的中點(diǎn)時(shí)，正八面體表面從尸點(diǎn)到尸點(diǎn)的最短距離為V7

C.若點(diǎn)尸為棱口上的動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐F-4DP的體積為定值9

D.以正八面體中心為球心，1為半徑作球，球被正八面體各個(gè)面所截得的交線總長(zhǎng)度為竺爭(zhēng)

三、填空題

12.（2024?陜西咸陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正四面體4BCD中，M,N分別為棱力D,BC的中點(diǎn)，。

為線段MN的中點(diǎn)，球。的表面與線段4。相切于點(diǎn)M,則球。被正四面體A8CD表面截得的截面周長(zhǎng)為.

C

13.（2024?山東日照?一模）已知正四棱錐S—4BCD的所有棱長(zhǎng)都為2；點(diǎn)E在側(cè)棱SC上，過(guò)點(diǎn)E且垂直

于SC的平面截該棱錐，得到截面多邊形"，則”的邊數(shù)至多為,"的面積的最大值為.

s

E

//---------\一一一

/八\7

Z/zz\/\/

AB

14.（2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè)）在棱長(zhǎng)為1的正方體4BCD-4iBiCiDi中，過(guò)面對(duì)角線在外的平面記為a,

以下四個(gè)命題：

①存在平面a,使BiCla;

②若平面a與平面BBiQC的交線為Z,則存在直線1,使1〃8。；

③若平面a截正方體所得的截面為三角形，則該截面三角形面積的最大值為乎;

4

④若平面a過(guò)點(diǎn)Bi，點(diǎn)P在線段BQ上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到平面ADiBi的距離為日.

其中真命題的序號(hào)為.

四、解答題

15.（2024?陜西榆林?三模）如圖是一個(gè)半圓柱，DC/B分別是上、下底面圓的直徑，。為4B的中點(diǎn)，且

4B=4D=2,E是半圓而上任一點(diǎn)（不與重合）.

（1）證明：平面DEAJ.平面CEB,并在圖中畫(huà)出平面。瓦4與平面CEB的交線（不用證明）；

（2）若點(diǎn)E滿(mǎn)足?！?孚眄空間中一點(diǎn)P滿(mǎn)足5?=2而，求三棱錐。—EOP的體積.

16.(2024?廣西河池?模擬預(yù)測(cè))已知四棱錐P—48C。中，底面A8CD為直角梯形，平面48CD,AD\\

BC,ABLAD,PA=AD^4,BA=BC=2,M為P4中點(diǎn)，過(guò)C,D,"的平面截四棱錐P—28CD所得的截

面為a.

(1)若a與棱PB交于點(diǎn)3畫(huà)出截面a,保留作圖痕跡(不用說(shuō)明理由)，并證明言=3.

⑵求多面體4BCDMF的體積.

17.(2024?江西萍鄉(xiāng)?三模)如圖，在直角梯形28CD中，AB〃CD,乙DAB=90°,AD=DC、1B=1.以48所

在直線為軸，將4BCD向上旋轉(zhuǎn)得到4BEF,使平面4BEF，平面4BCD

(1)證明：DF〃平面BCE；

(2)若P為線段48上一點(diǎn)，且BP=2AP,截面PEC將多面體EF-2BCD分成左右兩部分的體積分別為七〃2,

18.(2024?內(nèi)蒙古赤峰?一模)已知正方體4BCD—棱長(zhǎng)為2.

(1)求證：A1C1B1D1.

(2)若平面a//平面2當(dāng)。1，且平面a與正方體的棱相交,當(dāng)截面面積最大時(shí)，在所給圖形上畫(huà)出截面圖形(不

必說(shuō)出畫(huà)法和理由)，并求出截面面積的最大值.

⑶已知平面a//平面43必，設(shè)平面a與正方體的棱力B、交于點(diǎn)E、F、G,當(dāng)截面EFG的面積最

大時(shí)，求點(diǎn)尸到平面EGC的距離.

19.(23-24高三上?河北?期末)如圖①，在△28C中，BC=4/8=VlWcosB=等,分別為8C/C的中

點(diǎn)，以DE為折痕，將△DCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)心的位置，且8g=2,如圖②.

①②

(1)設(shè)平面4DC1C平面BEC1=2,證明：11平面4BC1；

(2)P是棱的。的中點(diǎn)，過(guò)P,B,E三點(diǎn)作該四棱錐的截面，與的4交于點(diǎn)Q,求余;

(3)P是棱CiD上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，過(guò)P,B,E三點(diǎn)作該四棱錐的截面與平面BECi所成的銳二面角的正切值為

李，求該截面將四棱錐分成上、下兩部分的體積之比.

重難點(diǎn)19立體幾何中的截面、交線問(wèn)題【七大題型】

【新高考專(zhuān)用】

?題型歸納

【題型1截面作圖】...........................................................................2

【題型2截面圖形的形狀判斷】.................................................................7

【題型3截面圖形的周長(zhǎng)或面積問(wèn)題】.........................................................12

【題型4球的截面問(wèn)題】......................................................................16

【題型5截面切割幾何體的體積、表面積問(wèn)題】.................................................18

【題型6交線長(zhǎng)度、軌跡問(wèn)題】...............................................................21

【題型7截面的范圍與最值問(wèn)題】.............................................................25

?命題規(guī)律

1、立體幾何中的截面、交線問(wèn)題

“截面、交線”問(wèn)題是高考立體幾何問(wèn)題中最具創(chuàng)新意識(shí)的題型，它滲透了一些動(dòng)態(tài)的線、面等元素,

給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力.求截面、交線問(wèn)題，一是與解三角形、多邊形面積、周長(zhǎng)、扇形弧長(zhǎng)、面

積等相結(jié)合求解，二是利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1立體幾何中的截面問(wèn)題】

1.作截面的幾種方法

(1)直接法：有兩點(diǎn)在幾何體的同一個(gè)面上，連接該兩點(diǎn)即為幾何體與截面的交線，找截面實(shí)際就是找

交線的過(guò)程.

(2)延長(zhǎng)線法：同一個(gè)平面有兩個(gè)點(diǎn)，可以連線并延長(zhǎng)至與其他平面相交找到交點(diǎn).

(3)平行線法：過(guò)直線與直線外一點(diǎn)作截面，若直線所在的面與點(diǎn)所在的平面平行，可以通過(guò)過(guò)點(diǎn)找直

線的平行線找到幾何體與截面的交線.

2.球的截面

(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過(guò)球心時(shí)，截面的半徑即球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過(guò)球心時(shí)，截面的半徑小于球的半徑，此時(shí)球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿(mǎn)足關(guān)系式：d=.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為尺，以。，為圓心的截面的半徑

為r,。。'=4則在必△00C中，^OC2=O'C2+OO'2,^R2=r2+d2.

【知識(shí)點(diǎn)2立體幾何中的截面、交線問(wèn)題的解題策略】

1.立體幾何截面問(wèn)題的求解方法

(1)坐標(biāo)法：所謂坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，進(jìn)行求解.

(2)幾何法：從幾何視角人手，借助立體幾何中的線面平行及面面平行的性質(zhì)定理，找到該截面與相關(guān)

線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而得到過(guò)三點(diǎn)的完整截面，再進(jìn)行求解.

2.截面、交線問(wèn)題的解題策略

(1)作截面應(yīng)遵循的三個(gè)原則：

①在同一平面上的兩點(diǎn)可引直線；

②凡是相交的直線都要畫(huà)出它們的交點(diǎn)；

③凡是相交的平面都要畫(huà)出它們的交線.

(2)作交線的方法有如下兩種：

①利用基本事實(shí)3作交線；

②利用線面平行及面面平行的性質(zhì)定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據(jù)性質(zhì)作出交線.

?舉一反三

【題型1截面作圖】

【例1】(2024?河南新鄉(xiāng)三模)在如圖所示的幾何體中，DE\\AC,2C1平面BCD,AC=2DE=4,

BC=2,DC=1,/.BCD=60°.

(2)過(guò)點(diǎn)。作一平行于平面ABE的截面，畫(huà)出該截面，說(shuō)明理由，并求夾在該截面與平面2BE之間的幾何

體的體積.

【解題思路】分析(1)由余弦定理結(jié)合勾股定理可證明BD1CD,利用線面垂直的性質(zhì)可證明AC1BD,由

線面垂直的判定定理可得BD1平面4CDE；(2)取4C的中點(diǎn)F,BC的中點(diǎn)M,連接。截面DFM

即為所求，由(1)可知，BD1平面4CDE,FCL平面CDM,由“分割法”利用棱錐的體積公式可得結(jié)果.

【解答過(guò)程】（1）證明：在ZBCD中，BD2=22+1-2x1x2cos60°=3.

所以BC2=B￡>2+DC2,所以/BCD為直角三角形，BD1CD.

又因?yàn)?C_L平面BCD,所以AC1BO.

而力CflCD=C,所以BD1平面4CDE.

（2）取AC的中點(diǎn)F,8c的中點(diǎn)M,連接平面DFM即為所求.

理由如下：

因?yàn)镈E||aC,DE=AF,所以四邊形4EDF為平行四邊形，所以DFIIAE,從而DFII平面ABE,

同理可證FMII平面48E.

因?yàn)镕MCDF=F,所以平面DFM||平面4BE.

由（1）可知，BD1平面4CDE,FC1平面CDM.

因?yàn)閁B-ACDE=gx（2+：）1xV3=V3,

VF-CDM=|X（^y-sin600）x2=嗎

所以，所求幾何體的體積了=四-哼=般.

66

【變式1-1］（2024高一下?廣東佛山?競(jìng)賽）如圖，在正方體4BCD-&B1C1D1中，E、F分別為棱4B、Cg的

（1）請(qǐng)?jiān)谡襟w的表面完整作出過(guò)點(diǎn)E、F、Di的截面.（只需寫(xiě)出作圖過(guò)程，不用證明）

（2）請(qǐng)求出截面分正方體上下兩部分的體積之比.

【解題思路】（1）根據(jù)截面定義作圖即可；

（2）利用圖形分割即可求出體積之比.

【解答過(guò)程】（1）連接小尸并延長(zhǎng)交CD于/,連接/E并延長(zhǎng)交BC于"，DA于J,連接/必交441于G,

(2)連接DE,￡?iE,EC,EF,如圖,

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

則？E-4DD1G=布UE-CDD#=F-EHC=去，于是，2=笳'

因此截面上下兩部分的體積之比為

【變式1-2］（2023?貴州?模擬預(yù)測(cè)）矩形中，=1（如圖1）,將△047沿/C折到△小

AC的位置，點(diǎn)在平面48c上的射影E在N8邊上，連結(jié)小B（如圖2）.

（1）證明：4D11BC；

（2）過(guò)0止的平面與8C平行，作出該平面截三棱錐外-力BC所得截面（不要求寫(xiě)作法）.記截面分三棱錐所得

兩部分的體積分別為2Ml＜匕，求費(fèi).

【解題思路】（1）利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直；

（2）根據(jù)三角形的等面積法求出DiE的長(zhǎng)度，再根據(jù)勾股定理求出4E長(zhǎng)度，進(jìn)而確定AE=,即可確定

所求截面，利用錐體體積公式求解.

【解答過(guò)程】（1）因?yàn)槠矫?BC,BCu平面4BC,所以DiELBC,

且由翻折關(guān)系可知BC1AB,

且。亞C=EQiE/Bu平面

所以BC1平面小4B,

又因?yàn)閡平面D14B,所以ZCilBC.

（2）由（1）可知，BC1平面D14B,

又因?yàn)榻衭平面所以BDilBC.

且BC=4。=1,。傳=DC=AB=於,

所以。止=73-1=V2,

2

且014=1,AB=遍,所以4B2=DrA+DiB2,所以41%B,

所以x%E=扣Mx解得。止=。噓==苧，

所以4E=JD遇2一。1E2=孚,所以4E=/B,

所以取4c的三等分點(diǎn)為尸，且49=累配

連接EF,DiF,

則有BC||EF,BCC平面DiE凡EFu平面。止￡

所以8C||平面。所以所作截面為平面。亞￡

因?yàn)椤髁F,△4BC的相似比為1:3,

所以#=3,所以守=5，

3&4BCS*、EFCBO

斫以匕.=巨也”=織好=工

展史FECBXDIESEFCB8'

【變式1-3](23-24高一下?河北廊坊?階段練習(xí))如圖正方體48CD-的棱長(zhǎng)為2,E是線段的

中點(diǎn)，平面a過(guò)點(diǎn)。1、C、E.

(1)畫(huà)出平面a截正方體所得的截面，并簡(jiǎn)要敘述理由或作圖步驟；

⑵求(1)中截面多邊形的面積；

(3)平面a截正方體，把正方體分為兩部分，求較小的部分與較大的部分的體積的比值.

【解題思路】(1)取2B的中點(diǎn)F,連接EF、4止、CF,利用平行線的傳遞性可證得EF〃％C,可知

E、F、C、以四點(diǎn)共面，再由于E、C、小三點(diǎn)不共線，可得出面EFCDi即為平面截正方體所得的截面；

(2)分析可知，四邊形C%EF為等腰梯形，求出該等腰梯形的高，利用梯形的面積公式可求得截面面積;

(3)利用臺(tái)體的體積公式可求得三棱臺(tái)AEF-DDiC的體積，并求出剩余部分幾何體的體積，由此可得結(jié)

果.

【解答過(guò)程】(1)如圖，取4B的中點(diǎn)尸，連接EF、々B、CF.

因?yàn)镋是A41的中點(diǎn)，所以

在正方體4BCD-41B1C1D1中，A^DJ/BC,A1D1=BC,

所以四邊形&BC/是平行四邊形，所以AiB〃￡)iC,所以EF〃/C,

所以E、F、C、小四點(diǎn)共面.

因?yàn)镋、C、久三點(diǎn)不共線，所以E、F、C、小四點(diǎn)共面于平面a,

所以面EFCDi即為平面a截正方體所得的截面.

(2)由(1)可知，截面EFCDi為梯形，EF=yjAE2+AF^=VTT1=V2,

CDi=y/CD2+DDl=V4T4=2vLDiE=密+4亞2=VITl=V5,

同理可得CF=V5,

如圖所示：

分別過(guò)點(diǎn)E、F在平面CDiEF內(nèi)作EMICDi，F(xiàn)NICD^垂足分別為點(diǎn)M、N,

貝!|D1E=CF,4EDiM=4FCN,乙EMD1=4FNC=90°,

所以△￡■〃/)產(chǎn)△?2(?,則DiM=CN,

因?yàn)镋F〃CD1，EMiCDi，F(xiàn)N1C6,則四邊形EFNM為矩形，

所以，MN=EF=?則OIM=CN=^^=^^^=￥，

所以EM=JE*DI"2=J5G=平,

故梯形C%EF的面積為S=*EF+CD。.EM=Jx3魚(yú)x乎=:

22

(3)多面體AEF—DDiC為三棱臺(tái)，SAAEF=^AE-AF=^xl=j,SADD1C=^DD1-DC=1x2=2,

該棱臺(tái)的高為2,所以，該棱臺(tái)的體積為

W(S/VIEF+S^DDIC+<SAAEF,54皿。),AD=-Q+2+J]X2)X2=]

故剩余部分的體積為8-5=弓.

故較小的那部分與較大的那部分的體積的比值為5.

【題型2截面圖形的形狀判斷】

【例2】（2024?四川達(dá)州?二模）如圖，在正方體ABCD-2道1的。1中，E為4B中點(diǎn)，P為線段的以上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)O,E,P的平面截正方體的截面圖形不可能是（）

A.三角形B.矩形C.梯形D.菱形

【解題思路】根據(jù)點(diǎn)P在Ci、小以及Ci%三個(gè)特殊位置時(shí)，截面圖形的形狀，選出正確選項(xiàng).

【解答過(guò)程】B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與。1重合時(shí)，

取力道1中點(diǎn)H,因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，貝ijEH〃DDi，S.EH=DD1,

連接DE、EH、H%、DR則四邊形為平行四邊形，

又因?yàn)镈D110E,所以平行四邊形EH小。為矩形，故排除B選項(xiàng);

C選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P與Ci重合時(shí)，

取8當(dāng)中點(diǎn)G,因?yàn)镋是2B的中點(diǎn)，所以EG〃DCi，

連接。E、EG、GJCi。，截面四邊形EGQD為梯形，故排除C選項(xiàng);

D選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)P為中點(diǎn)時(shí)，

因?yàn)镋是AB中點(diǎn)，所以PBJ/DE且PBi=DE,

連接PBi、B[E、ED、DP,則四邊形EBiPD是平行四邊形，

又因?yàn)锽iP=VCiP2+BiCi2=J（竽丫+J萼+Bi《,B]E=JBE^+BB^=J償丫+BB：=

杵+B瑤,

因?yàn)槭钦襟w，所以CiDi=8iCi=AB=BBi，所以8止=8亞，

所以平行四邊形EBiPD是菱形，故排除D選項(xiàng)；

不管點(diǎn)P在什么位置，都不可能是三角形.

故選：A.

【變式2-1]（2024?河南?模擬預(yù)測(cè)）在正方體ABCD-AiBiCi%中,M,N分別為4D,的小的中點(diǎn)，過(guò)

M,N,%三點(diǎn)的平面截正方體48CD-4道停1。1所得的截面形狀為（）

A.六邊形B.五邊形C.四邊形D.三角形

【解題思路】在上取點(diǎn)Q,且BQ=34Q,取CD中點(diǎn)為P,在。小上取點(diǎn)R,且=3DR通過(guò)

△QAMMPCB,可得乙4QM=Z_8PC,進(jìn)而得出乙4BP=N4QM,QM||BP.通過(guò)證明&N||BP,得出名

NIIQM.同理得出NR||BiQ,即可得出正方體的截面圖形.

4Di

B1

R

D

【解答過(guò)程】

在28上取點(diǎn)Q,且BQ=34Q,取CD中點(diǎn)為P,連接QM,BP,NP,BiQ.

在DD1上取點(diǎn)R,且DiR=3DR,連結(jié)NR,MR.

因?yàn)槿?翳=^^QAM=^PCB,

所以△QAM“Z\PCB,所以N4QM=NBPC.

5LAB||CD,所以N4BP=NBPC,所以〃BP=N4QM,

所以，QMIIBP.

因?yàn)镸P分別為Ci%CD的中點(diǎn),所以PNIICCi，且PN=eg.

根據(jù)正方體的性質(zhì)，可知BBi||CCi，且BBi=CCi，

所以，PN||BBr，且PN=BBi，

所以，四邊形BPMBi是平行四邊形，

所以，Bj_N||BP,所以&NIIQM.

同理可得，NR||BiQ.

所以，五邊形QMRNBi即為所求正方體的截面.

故選：B.

【變式2-2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖所示的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱上底面為底面，下底

面圓心為頂點(diǎn)的圓錐而得到的幾何體，現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（）

【解題思路】應(yīng)用空間想象，討論截面與軸截面的位置關(guān)系判斷截面圖形的形狀即可.

【解答過(guò)程】當(dāng)截面4BCD如下圖為軸截面時(shí)，截面圖形如（1）所示；

B

D

當(dāng)截面力BCD如下圖不為軸截面時(shí)，截面圖形如（5）所示，下側(cè)為拋物線的形狀;

故選：D.

【變式2-3](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知在長(zhǎng)方體ABCD—2/iCiDi中，AB=BB]=2BC,點(diǎn)P,Q,T分

別在棱BBi，CCi和2B上，且B』=3BP,CQ=3C1Q,BT=3AT,則平面PQ7截長(zhǎng)方體所得的截面形狀為

()

A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形

【解題思路】連接QP并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接ET并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)S,

過(guò)點(diǎn)S作SR〃EQ交DDi于點(diǎn)R,連接RQ,即可得到截面圖形，從而得解.

【解答過(guò)程】如圖連接QP并延長(zhǎng)交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接ET并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)S,

過(guò)點(diǎn)S作SR〃EQ交￡?小于點(diǎn)R,連接RQ,

則五邊形PQRST即為平面PQT截該長(zhǎng)方體所得的截面多邊形.

其中因?yàn)锽iP=3BP,CQ=3CiQ,BT=3AT,

所以△EBPFECQ,則霧=胃=1所以

又△SATFEBT,所以尊=篇=5，所以S4=2EB=91D,

CDIDODO

則SD=|AD,

顯然S則崔=學(xué)，所以以=為。=得31=為。1.

ASDRAECQ,c.c<-<vyiziz

故選：c.

【題型3截面圖形的周長(zhǎng)或面積問(wèn)題】

【例3】（2024?云南曲靖?模擬預(yù)測(cè)）正方體48CD-4當(dāng)前小外接球的體積為4例，E、F、G分別為棱441

、4/1、4道1的中點(diǎn)，則平面EFG截球的截面面積為（）

A.yB.yC.yD.J

【解題思路】由已知，得到正方體ABCD-aiBiCi小外接球的半徑，進(jìn)而得到正方體的棱長(zhǎng)，再由勾股定理

計(jì)算出平面EFG截球的截面圓的半徑，即可得到截面面積.

設(shè)正方體4BCD-4/1C1D1外接球的半徑為R,棱長(zhǎng)為a,

因?yàn)檎襟w48CD-4/1的。1外接球的體積為4南，

所以-4V玉T,貝|JR=V3,

由3a2=（2遮）,得a=2,

設(shè)球心0到平面EFG的距離為h,平面EFG截球的截面圓的半徑為r,

設(shè)力倒平面EFG的距離為憶

因?yàn)镋、尸、G分別為棱441、乙4、4道1的中點(diǎn),

所以△EFG是邊長(zhǎng)為a的正三角形,

由七1一￡尸6=得，"=5s△&FG，4且

貝吟x：x魚(yú)x魚(yú)x^-h'=|x|xlxlxl,

解得〃=率又OZL/C=逐

所以占到平面EFG的距離為〃=*Mi，

則h=。&—Mi=R-^R=竽，

r2-R2—八2=（b）2_偌1）=’

所以平面EFG截球的截面面積為，豆#=|1T.

故選：A.

【變式3-1］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiCiDi中，E為棱5C的中點(diǎn),

用過(guò)點(diǎn)E,Q的平面截正方體，則截面周長(zhǎng)為（）

O

AD

A.3V2+2V5B.9C.2a+2亞D.3V2+2V3

【解題思路】作出正方體的截面圖形，求出周長(zhǎng)即可.

【解答過(guò)程】

ByC.

AD

如圖，取48的中點(diǎn)G,連接GE,&G,AC.

因?yàn)镋為3c的中點(diǎn)，所以GE〃47,GE=\AC,

又AA、〃CC\,AA1=CC1,

所以四邊形acci&為平行四邊形，

所以ac〃4iG，AC=A1C1,

所以41CJ/GE,A1C1=2GE,

所以用過(guò)點(diǎn)E,Ci的平面截正方體，所得截面為梯形4C1EG,

其周長(zhǎng)為2V^+V5+V2+V5=3V2+2V5.

故選：A.

【變式3-2］（2024?江蘇南通?二模）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-中，P,Q,R分別為棱8C,CD,

CCi的中點(diǎn)，平面PQR截正方體力BCD-a/iCi/外接球所得的截面面積為（）

.5口8n2V15_

A.-nB.犯C.yTTD.—Tt

【解題思路】根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)確定外接球半徑R,設(shè)球心為。，求解。到截面PQR的距離OM,從而可

得截面圓的面積.

【解答過(guò)程】取正方體的中心為。，連接。P,OQ,OR,

由于正方體的棱長(zhǎng)為2,所以正方體的面對(duì)角線長(zhǎng)為2a，體對(duì)角線長(zhǎng)為2VJ，

正方體外接球球心為點(diǎn)。，半徑R=1x2V3=V3,

又易得?！?。（2=。/?=3*2魚(yú)=或，豆PQ=PR=QR=3x2a=E

所以三棱錐O-PQ