2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)02函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】............................................................3

【題型2函數(shù)的最值問題】.....................................................................4

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】............................................................4

【題型4函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】..............................................................5

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】..........................................................6

【題型6類周期函數(shù)】.........................................................................6

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】............................................................7

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】.................................................................8

?命題規(guī)律

1、函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函

數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對(duì)

于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數(shù)單調(diào)性及

求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較?。粚?duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，復(fù)

習(xí)時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的解題策略】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)yjg(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)產(chǎn)也)和內(nèi)層函數(shù)pg(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若"X)是增函數(shù)，貝『/(x)為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則-〃x)為增函數(shù)；

②若〃x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(x)和g(x)的公共定義域上〃x)+g(x)為增(或減)函

數(shù)；

③若〃x)>0且/(x)為增函數(shù)，則函數(shù)/而為增函數(shù)，一匚為減函數(shù)；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)為減函數(shù)，則函數(shù)77?6為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

/(X)

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷段)與火-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函數(shù))或危)力-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=w?(a+l)(xwO)或函數(shù)f(x)=m(a.

a-1a+1

②函數(shù)f(x)=±(ax-a-x).

③函數(shù)/(x)=log=log。(1+或函數(shù)/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函數(shù)〃x)=log"(Gn+x)或函數(shù)f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的常用結(jié)論】

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(。是不為0的常數(shù))

(1)若兀r+a)=/(x),貝T=a；

(2)若貝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),貝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),貝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),貝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),貝！IT=\a-b\(a^by,

2.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)兀v)滿足火a+x)y6-x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x="：”對(duì)稱.

(2)若函數(shù)兀r)滿足加什丫尸十方.)，則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(今步,0b寸稱.

(3)若函數(shù)於)滿足/(a+x)4yS-無(wú)尸c,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)〃x)是周期函數(shù)，且7=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=1(b-a)；

(3)若函數(shù)y=/(尤)有一條對(duì)稱軸無(wú)=。和一個(gè)對(duì)稱中心(6,0)(。<6),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且

r=4(b-a).

【知識(shí)點(diǎn)4抽象函數(shù)的解題策略】

1.抽象函數(shù)及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y/x)表示，抽

象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于

一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fQ)定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)與f(x+l)均為偶函數(shù)，當(dāng)工€[0,1]

時(shí)，/(%)是減函數(shù)，設(shè)a=/(1!)，力=/(￡)，C=/(logi6^)，則a,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【變式1-1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,>都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,當(dāng)久>0時(shí),/(%)>1,且f(2)=5,則關(guān)于x的不等式/(%)+/(4-3%)<6的解

集為()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-oo,1)D.(-oo,2)

【變式1?2】(2024?山東?二模)已知函數(shù)/(%)=2X2一血％+1在區(qū)間[_1,+8)上單調(diào)遞增，則/(I)的取值

范圍是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【變式1?3】(2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知定義在區(qū)間(-血血)(根>0)上，值域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足：①

當(dāng)0<久<加時(shí)，/(%)>0；②對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)Q、6均滿足：/(a+b)=?[巖*?貝U()

U

-1■Jku77\J

A./(0)=1

B.\/xr,x2,-m<%i<x2<M/QD>f(%2)

C.函數(shù)〃>)在區(qū)間(0,m)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/'(x)在區(qū)間(-6即)上單調(diào)遞增

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】(2024?安徽淮北?二模)當(dāng)實(shí)數(shù)t變化時(shí)，函數(shù)/(%)=|尤2+4,％6[-4,4]最大值的最小值為()

A.2B.4C.6D.8

【變式2-1](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知x>0,y>0且x+y=l,則/或+/磊的最小值為()

A."B.-C.D.-

【變式2-2](2024?江西鷹潭?三模)若/(X)=|x+2|+|3x—可的最小值是4,則實(shí)數(shù)a的值為()

A.6或一18B.-6或18

C.6或18D.一6或一18

【變式2-3](2024?全國(guó)?三模)已知函數(shù)/(無(wú))=6Y-(6+3)刀3在[_1,1]上的最小值為-3,則實(shí)數(shù)b的取值范

圍是()

A.(—oo,-4]B.[9,+oo)C.[—4,9]D.[-1,9]

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】

【例3】(2024?安徽亳州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)久久)是定義在R上的偶函數(shù)，函數(shù)9(久)是定義在R上的奇函數(shù)，

且/Q),g(x)在[0,+8)上單調(diào)遞減，貝ij()

A-/(/(2))>/(7(3))B.f(g(2))<f(g(3))

c.g(g(2))>g(g(3))D.g(/(2))<g(f(3))

【變式3-1](2024?浙江紹興?三模)已知函數(shù)/(久)滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(f(x+y))=f(x)(y)

成立，且/'(0)=1,貝！J()

A./(x+l)為奇函數(shù)B./(x)+l為奇函數(shù)

C.，(久+1)|為偶函數(shù)D.，(久)一1|為偶函數(shù)

【變式3-2](2024?遼寧沈陽(yáng)?三模)已知/(X)是定義在R上的函數(shù)，且/(2x-1)為偶函數(shù)，/(x-2)是奇函數(shù),

當(dāng)％6[0,1]時(shí),f(x)=2x-l,則f(7)等于()

11

A.-1B.——C.-D.1

【變式3-3](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意的瓶<幾<0,都有

<0,且f(-2)=0,則不等式金號(hào)2N0的解集為()

A.[-3,-1]U[0,1]B.[—2,2]

C.(-8,-3)U(—2,0)U(2,+8)D.[-3,-1]U(0,1]

【題型4函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】

【例4】(2024?四川?三模)定義在R上的函數(shù)y=/(%)與y=g(%)的圖象關(guān)于直線％=1對(duì)稱，且函數(shù)

y=g(2%-1)+1為奇函數(shù)，則函數(shù)y=/(%)圖象的對(duì)稱中心是()

A.(-1-1)B.(-1,1)C.(3,1)D.(3-1)

【變式4-1](2024?寧夏銀川?三模)已知函數(shù)/(>)=/*,則下列說法不正確的是()

A.函數(shù)久久)單調(diào)遞增B.函數(shù)f(x)值域?yàn)?0,2)

C.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱D.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于(1,1)對(duì)稱

【變式4-2](2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(X)、g(x)的定義域均為R,函數(shù)-2久-1)+1的圖象關(guān)于原

點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)g(x+l)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，/(x+2)+g(x+l)=—1/(—4)=0,則/(2030)-g(2017)=

()

A.-4B.-3C.3D.4

【變式4-3](2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/O)的定義域是(—8,0)u(0,+8),對(duì)任意的比i，x26

(0,+oo),^x,都有叱〉0,若函數(shù)y=f(久+1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)成中心對(duì)稱，且/1)

X12x2X1

=4,則不等式/(%)>?的解集為()

A.(-1,0)U(0,1)B.(―l,0)U(l,+8)

C.(-0,-1)U(0,1)D.(-00,-1)U(1,4-oo)

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】

[例5](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))若定義在R上的函數(shù)/⑶滿足/(田)=/(%),且f(2+x)+/(2-x)=6/⑶

=6,則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(8+x)=/(%)B./(久)的圖象關(guān)于直線x=4對(duì)稱

C./(201)=3D.y=/(x+2)-3是奇函數(shù)

【變式5-1](2024?四川綿陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(2—x)=/(X),/(1)=2,/(3x+2)為

奇函數(shù)，有下列結(jié)論：

①直線％=1為曲線y=/(幻的對(duì)稱軸；②點(diǎn)(|,0)為曲線y=/(x)的對(duì)稱中心；③函數(shù)/⑶是周期函數(shù)；

「2004

④2r/(0=o；⑤函數(shù)/(久)是偶函數(shù).

其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【變式5-2](2024?湖南邵陽(yáng)?三模)已知函數(shù)/(%)及其導(dǎo)函數(shù)尸(嗎的定義域均為R,記。(久)=廣(久)，函數(shù)

/(2%+3)的圖象關(guān)于點(diǎn)(-1,1)對(duì)稱.若對(duì)任意XCR,有/(%+3)=X+/(3—X),則下列說法正確的是()

A.g(x)不為周期函數(shù)B./(久)的圖象不關(guān)于點(diǎn)(1,1)對(duì)稱

1

C.9(211)=5D./(985)=1

【變式5-3](2024?陜西榆林?一模)定義在R上的函數(shù)fO),g(x)滿足f(0)<0,/(3-x)=/(1+x),

1

g(2-x)+g(x)=2,,g(x+-)=/(2x)+1,則下列說法中錯(cuò)誤的是()

A.x=6是函數(shù)/(x)圖象的一條對(duì)稱軸

B.2是g(x)的一個(gè)周期

C.函數(shù)/'(%)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(3,0)

D.若neN*且n<2023,/(n)+f(n+1)+-+f(2023)=0,則〃的最小值為2

【題型6類周期函數(shù)】

【例6】(2024?山東青島?模擬預(yù)測(cè))函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,滿足/(x)=2/Q—l),且當(dāng)x6(0,1]時(shí)，f(x)=x

(1一x).若對(duì)任意X6(-8,河，都有/則Hl的最大值是()

11r14八32r41

A-TB-TC.君D.-

【變式6-1](2024?云南昆明?二模)定義“函數(shù)y=/(x)是D上的a級(jí)類周期函數(shù)”如下：函數(shù)y=/(x),久e

D,對(duì)于給定的非零常數(shù)a,總存在非零常數(shù)T,使得定義域D內(nèi)的任意實(shí)數(shù)久都有好。)=/(尤+7)恒成立，

此時(shí)r為久久)的周期.若y=f(久)是[1,+8)上的a級(jí)類周期函數(shù)，且7=1,當(dāng)久e[1,2)時(shí)，/(幻=2久+1,且

y=f(x)是[1,+8)上的單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.[|,+8)B.[2,+00)C.[|,+8)D.[10,+00)

【變式6-2](2024?河南新鄉(xiāng)?三模)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,滿足，(久-2)=2f(x),且當(dāng)xe(0,2]時(shí)，

,2

/0)=久(2—乃.若對(duì)任意X6口+8),都有成立，則a的取值范圍是()

A.H，+8)B.[|,+8)

C.(―8,—|]D.(—co,—1]

【變式6-3](2024?安徽合肥?模擬預(yù)測(cè))定義在R上的函數(shù)/(久)滿足/(x+1)=?(%),且當(dāng)[0,1)時(shí)，/(%)

=1一|2久一1|.當(dāng)％€[m,+8)時(shí),f(%)<—,則m的最小值為()

A?百B.豆C.-D.—

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】

【例7】(2024?山西呂梁?一模)已知函數(shù)/(久)滿足/(久+y)+fQ-y)=7(x)f(y),/(1)=|,則下列結(jié)論

不正確的是()

A./(0)=3B.函數(shù)f(2x—l)關(guān)于直線》=京寸稱

C./(%)+/(0)>0D.f(x)的周期為3

【變式7-1](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)镽的函數(shù)/(x),g(x)滿足：g(o)K。，/O)g(y)-/(y)g(x)

=f(%-y),且=g(久-y)，則下列說法不正確的是()

A.9(0)=1B./(%)是奇函數(shù)

C.若/(I)+g(l)=1,則f(2024)=g(2024)=-1D.g(x)是奇函數(shù)

【變式7-2](2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)/(X)的定義域是(0,+8),且對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y都有f(>y)=f(久)

+/(y)恒成立，已知/'(2)=1,且當(dāng)x>1時(shí)，/(%)>0.

⑴求/?)的值；

(2)判斷y=/(%)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的單調(diào)性，并給出證明；

(3)解不等式/(2x)>/(8x—6)—1.

【變式7-3](2024?江西?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)p(%),q(%)的定義域均為R,且滿足：@Vx>0,p(x)>0；

②q(%)為偶函數(shù),q(x)>q(0)=1；③Vx,yWR,p(x+y)=p(x)q(y)+q(x)p(y).

⑴求p(0)的值，并證明：p(%)為奇函數(shù)；

(2)€R，且%1V%2，證明：

①P(X1)=P(空)q(空)+q(空)P(亨]

②p(x)單調(diào)遞增.

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】

【例8】(2024?黑龍江佳木斯?模擬預(yù)測(cè))已知f㈤=W普+，是定義在[―2,2]上的函數(shù)，若滿足f(久)+f(-切

1

=0且/(1)=9

(1)求/■(%)的解析式;

(2)設(shè)函數(shù)g(x)=x2-2mx+4(meR),若對(duì)任意久1到G[1,2],都有。(功)</(右)恒成立，求m的取值范圍.

【變式8-1](2024?上海寶山,一■模)已知函數(shù)/(久)=/一ax-a,aeR.

⑴判斷函數(shù)/(x)的奇偶性；

(2)若函數(shù)/(久)=x"(x)在工=1處有極值，且關(guān)于x的方程F(久)=m有3個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范

圍；

(3)記g(x)=-M(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).若對(duì)任意久1、冷e[0間且的>八時(shí)，均有|/(右)一〃>2)|<

|g(久i)-g(久2)|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式8-2］(23-24高一上?廣東廣州?期末)已知函數(shù)f。)的定義域?yàn)镽,Wa,beR,f(a+b)+f(a-b)=

(a)/(6),且/(l)=*1/(%)在區(qū)間［0,3］上單調(diào)遞減.

(1)求證：/(%)+/(0)>0；

⑵求f(l)+f(2)+…+f(2023)的值;

(3)當(dāng)久GR時(shí)，求不等式3/(2比)+4<9/(x)的解集.

【變式8-3］(2023?上海浦東新?模擬預(yù)測(cè))已知定義域?yàn)?。的函?shù)丫=/(嗎.當(dāng)。6。時(shí)，若9(K)=號(hào)］⑷

(%eD,xKa)是增函數(shù)，則稱f(x)是一個(gè)"T(a)函數(shù)

(1)判斷函數(shù)y=2/+無(wú)+2(xe7?)是否為7(1)函數(shù)，并說明理由；

(2)若定義域?yàn)椋?,+8)的7(0)函數(shù)y=s(x)滿足s(0)=0,解關(guān)于2的不等式s(2Q<加(2)；

(3)設(shè)P是滿足下列條件的定義域?yàn)镽的函數(shù)y=W(x)組成的集合：①對(duì)任意W(x)都是7(a)函數(shù)；

②W(0)=W(2)=2,W(_i)=勿(3)=3.若W(x)2nl對(duì)一切W(x)6P和所有xeR成立，求實(shí)數(shù)ni的最大

值.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?湖北武漢?二模)已知函數(shù)/(久)=同用，則關(guān)于x的不等式/(2x)〉/(l-久)的解集為()

A.&+8)B.(-oo,|)C.(|,1)D.

y2—2QXX>1

{^X-1,X<1是R上的增函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0總B.(0,?C.(0,1)D.(0,1]

3.(2024?上海黃浦?二模)設(shè)函數(shù)f(久)=「哈IX)靠？x<4°t若/(久)〉。恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(1,+8)B.(0,0

C(Q)D.(|,1)

4.(2024?西藏?模擬預(yù)測(cè))若函數(shù)/(x)=x-W，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

A./(%+1)-2B./(久一1)-2C./■(久一1)+2D.f(x+1)+2

5.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(X)的定義域?yàn)镽,若對(duì)VxeR都有/(3+x)=/(l—%),且f(x)在

(2,+8)上單調(diào)遞減，貝葉(1),/(2)與f(4)的大小關(guān)系是()

A./(4)</(1)</(2)B./(2)</(1)</(4)

C.f(l)<f(2)</(4)D.f(4)<f(2)<f(l)

6.(2024?遼寧撫順?一模)已知定義域?yàn)?}的函數(shù)f(%)滿足/(%+y)[/(%)+f(y)]=/(%)/(y),/(I)

=2,且當(dāng)％6(0,+8)時(shí)，恒成立，則下列結(jié)論正確的是()

A./(|)=6B.fax)=2f(x)

C./(X)為奇函數(shù)D./(%)在區(qū)間(0,+8)是單調(diào)遞增函數(shù)

7.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,函數(shù)/(%)=/(1+嗎-(1+久)為偶函數(shù)，函數(shù)

GQ)=/(2+3x)—1為奇函數(shù)，則下列說法錯(cuò)誤的是()

A.函數(shù)/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(2,1)B./(0)--1

C.函數(shù)/(%)為周期函數(shù),,且一個(gè)周期為4D.f(l)+/(2)+/(3)+/(4)=6

8.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的函數(shù)，/(I+x)=/(1-x),函數(shù)/(比+1)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(一1,0)對(duì)稱，且對(duì)任意的G[0,1],%1*%2>均有君/(久1)+^2/(X2)>+點(diǎn)/(X1)，

則下列關(guān)于函數(shù)y=/(久)的說法中，正確的個(gè)數(shù)是()

?/(%+2)=/(x-2)；

②d登

③函數(shù)y=/(x)在[2,4]上單調(diào)遞增;

④不等式/(久)＞。的解集為[4k,4k+2](fceZ).

A.1B.2C.3D.4

二、多選題

9.(2024?河北滄州?二模)已知/(久)是定義在[0,+8)上的單調(diào)遞增且圖象連續(xù)不斷的函數(shù)，若V久,ye

[0,+oo),恒有/(x+y)=成立,設(shè)句＞龍2＞1，典1()

A./(0)=0

B.3%0[0,+oo),f(x0)=1

C/(一)+/(久2)＞

D-)+f(%2)V,(二1+久2)

10.(2024?新疆?三模)已知/O),9(%)都是定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)X,＞滿足f(%+y)-/(%-y)=2g

Q)f(y)，f(2)+/(i)=o且/(2)"(1)wo,則下列結(jié)論正確的是

A.f(0)=0B.9(1)=-5

『2024

C./(久)為奇函數(shù)D.〉f(n)=2024

乙^九=1

11.(2024?江西上饒?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)的定義域?yàn)镽,V%,yER,f(x+y)~f(x—y)=2/Q—%)f(y),

且/(3=1，貝I()

A./(x)為偶函數(shù)B./(x)=2/(|)/(l^)

C./(x)的周期為2D.[/(%)]2+[/(|-^)]=1

三、填空題

12.(2024?青海海西?模擬預(yù)測(cè))已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足/(久+2)=-/(-x),貝，(1000)=

13.(2024?天津?一模)記不超過x的最大整數(shù)為團(tuán).若函數(shù)/(x)=|2x-[2x+t]]既有最大值也有最小值，

則實(shí)數(shù)t的取值范圍是.

14.(2024?湖南衡陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè))已知f(x),g(x)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，滿

足/(久)+90)=〃2+久+2,若對(duì)任意的1</<久2<2,都有二:二魯2)>-3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是.

四、解答題

15.(2024?上海?三模)己知/(久)=胃，函數(shù)y=/(x)是定義在(-2,2)上的奇函數(shù)，且/⑴=5

(1)求/'(%)的解析式;

(2)判斷y=/(久)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明.

16.(2024?吉林長(zhǎng)春?一模)函數(shù)/'(%)的定義域?yàn)?0,+8),對(duì)于Vx,yG(0,+oo),/(xy)=f(x)+f(y),

且當(dāng)x>l時(shí)，/(x)<0.

(1)證明:f(x)為減函數(shù)；

(2)若/&)=2,求不等式/(%)+/(x-1)+2>。的解集.

17.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)對(duì)任意實(shí)數(shù)居y恒有/0-/+/(久+/=/(2切成立，且當(dāng)x<0時(shí),

f(x)>0.

(1)求f(0)的值;

(2)判斷/(嗎的單調(diào)性，并證明；

(3)解關(guān)于X的不等式:/[%2一(口_|_2)x]+f(a+y)+/(a-y)>0.

18.(23-24高二下?江西南昌?期末)定義在[一2,2]上的函數(shù)y=f(x)滿足：對(duì)任意的孫九€[-2,2],都有，

(m+7)=/(m)成立,且當(dāng)久>0時(shí)，f(x)>0.

(1)求證：f(x)在[-2,2]上是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)解關(guān)于式的不等式：/(%)</(2x+1);

(3)已知f(l)=，若/(久)<產(chǎn)-2就一2對(duì)所有的x￡［一2,2］及a￡［一2a恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

19.(2024?天津河北?模擬預(yù)測(cè))已知。>0,函數(shù)/(%)=a/+必+久久瓦cER).

(1)函數(shù)/(%)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,-2),且關(guān)于久的不等式的解集為［-1,2］,求/(%)的解析式；

(2)若/(久)有兩個(gè)零點(diǎn)a,￡(a<S),且/(x)的最小值為—4a,當(dāng)0<aW^時(shí)，判斷函數(shù)。(久)=a/+(6-2)久+c

在(a/)上的單調(diào)性，并說明理由；

(3)設(shè)b=2a,記h(t)為集合｛/(x)|t-1<x<t+l］(teR)中元素的最大者與最小者之差，若對(duì)Vte

(-00,-1］,h(t)>。2一口恒成立，求實(shí)數(shù)G的取值范圍.

重難點(diǎn)02函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用【八大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】............................................................3

【題型2函數(shù)的最值問題】.....................................................................6

【題型3函數(shù)的奇偶性的綜合應(yīng)用】............................................................9

【題型4函數(shù)的對(duì)稱性及其應(yīng)用】..............................................................11

【題型5對(duì)稱性與周期性的綜合應(yīng)用】.........................................................13

【題型6類周期函數(shù)】........................................................................17

【題型7抽象函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用】...........................................................20

【題型8函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】...............................................................24

?命題規(guī)律

1、函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用

函數(shù)及其性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，本節(jié)是高考的一個(gè)重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，

函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性與周期性是高考的必考內(nèi)容，重點(diǎn)關(guān)注單調(diào)性、奇偶性結(jié)合在一起，與函

數(shù)圖象、函數(shù)零點(diǎn)和不等式相結(jié)合進(jìn)行考查，解題時(shí)要充分運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，靈活求解.對(duì)

于選擇題和填空題部分，重點(diǎn)考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，主要考察方向是：判斷函數(shù)單調(diào)性及

求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較??；對(duì)于解答題部分，一般與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，考查難度較大，復(fù)

習(xí)時(shí)要加強(qiáng)訓(xùn)練.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)性與最值問題的解題策略】

1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)單調(diào)性的判斷

(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)yjg(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)產(chǎn)也)和內(nèi)層函數(shù)pg(x)的單調(diào)性判斷，遵循“同增異減”的

原則.

(3)函數(shù)單調(diào)性的幾條常用結(jié)論：

①若"X)是增函數(shù)，貝『/(x)為減函數(shù)；若是減函數(shù)，則-〃x)為增函數(shù)；

②若〃x)和g(x)均為增(或減)函數(shù)，則在/(x)和g(x)的公共定義域上〃x)+g(x)為增(或減)函

數(shù)；

③若〃x)>0且/(x)為增函數(shù)，則函數(shù)/而為增函數(shù)，一匚為減函數(shù)；

/(x)

④若y(x)>o且y(x)為減函數(shù)，則函數(shù)77?6為減函數(shù)，」一為增函數(shù).

/(X)

3.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

(3)基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值.

4.復(fù)雜函數(shù)求最值：

對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.

【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性及其應(yīng)用】

1.函數(shù)奇偶性的判斷

判斷函數(shù)的奇偶性，其中包括兩個(gè)必備條件：

(1)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域；

(2)判斷段)與火-x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運(yùn)算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價(jià)等量關(guān)系

式(/(x)+/(-x)=O(奇函數(shù))或危)力-x)=0(偶函數(shù)))是否成立.

(3)運(yùn)算函數(shù)的奇偶性規(guī)律：運(yùn)算函數(shù)是指兩個(gè)(或多個(gè))函數(shù)式通過加、減、乘、除四則運(yùn)算所得的

函數(shù)，ta/(x)+g(x),/(x)-g(x),/(x)Xg(x),f(x)g(x).

對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇土奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇、(土)奇=偶；奇><(十)偶=奇;

偶x(十)偶=偶.

(4)復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的奇偶性原則：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇.

(5)常見奇偶性函數(shù)模型

奇函數(shù)：①函數(shù)/(x)=w?(a+l)(xwO)或函數(shù)f(x)=m(a.

a-1a+1

②函數(shù)f(x)=±(ax-a-x).

③函數(shù)/(x)=log=log。(1+或函數(shù)/(x)=log=log“(1--—)

flx-mx-mflx+mx+m

④函數(shù)〃x)=log"(Gn+x)或函數(shù)f(x)=log,,(Vx2+1-x).

2.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的

函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值.

(2)畫函數(shù)圖象：利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題.

【知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的常用結(jié)論】

1.函數(shù)的周期性常用結(jié)論(。是不為0的常數(shù))

(1)若兀r+a)=/(x),貝T=a；

(2)若貝!JT=2a；

(3)若於+〃)=次x),貝！JT=2a；

(4)若加+.)=/*(；),貝I]7=2。；

(5)若次x+a)=-f(!),貝ljT=2a；

(6)若7(x+a)=/(x+b),貝！IT=\a-b\(a^by,

2.對(duì)稱性的三個(gè)常用結(jié)論

(1)若函數(shù)兀v)滿足火a+x)y6-x),則y=/(x)的圖象關(guān)于直線x="：”對(duì)稱.

(2)若函數(shù)兀r)滿足加什丫尸十方.)，則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(今步,0b寸稱.

(3)若函數(shù)於)滿足/(a+x)4yS-無(wú)尸c,則y=/(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.

3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系

(1)若函數(shù)y=/(x)有兩條對(duì)稱軸x=a,x=b(a<b),則函數(shù)〃x)是周期函數(shù)，且7=2(b-a)；

(2)若函數(shù)y=/(x)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心(a,c),(6,c)(a<Z?),則函數(shù)y=/(x)是周期函數(shù)，且

T=1(b-a)；

(3)若函數(shù)y=/(尤)有一條對(duì)稱軸無(wú)=。和一個(gè)對(duì)稱中心(6,0)(。<6),則函數(shù)y=f(x)是周期函數(shù)，且

r=4(b-a).

【知識(shí)點(diǎn)4抽象函數(shù)的解題策略】

1.抽象函數(shù)及其求解方法

我們把不給出具體解析式，只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)，一般用y/x)表示，抽

象函數(shù)問題可以全面考查函數(shù)的概念和性質(zhì)，將函數(shù)定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖象集于

一身，是考查函數(shù)的良好載體.解決這類問題一般采用賦值法解決.

?舉一反三

【題型1函數(shù)的單調(diào)性的綜合應(yīng)用】

【例1】(2024?河北滄州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fQ)定義域?yàn)镽,且函數(shù)f(x)與f(x+l)均為偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,l]

時(shí)，/(%)是減函數(shù)，設(shè)Qu/db=，C=/(logi6^)，則4，b，c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>a>c

【解題思路】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)/(X)是周期為2的函數(shù)，則可得b=，G),c=/Q,

【解答過程】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，貝行(―x)=/(x),

又函數(shù)/Q+1)為偶函數(shù)，貝行(一汽)=/(2+x),

即f(x)=f(2+x)，所以函數(shù)/(%)是周期為2的函數(shù)，

則b=/Q)=fG),c=f(log16=/(Iogie2)=fQ),

且當(dāng)xe[0,1]時(shí)，/(%)是減函數(shù)，

由白片軻得府)>府)>熊)，即Cd

故選：C.

【變式1-1](2024?陜西西安?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y都有

/(%+y)=/(x)+/(y)-l,當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>1,且f(2)=5,則關(guān)于x的不等式f(x)+/(4-3久)<6的解

集為()

A.(1,+8)B.(2,+8)C.(-8,1)D.(-8,2)

【解題思路】根據(jù)題意利用定義證明函數(shù)在R上單調(diào)遞增，繼而轉(zhuǎn)化不等式，求解即可.

【解答過程】任取不<冷，

從而/'(X2)—/(X1)=/(%2-久1+Xl)-y(Xl)

=/(%2—%1)—1,

因?yàn)榈?-％1>0，所以/'(工2-5)>1,

所以/(亞)一〃％)>。

則f(x)在R上單調(diào)遞增.

不等式f0)+/(4-3x)<6等價(jià)于不等式

f(%)+f(4—3%)—1<5,

即f(%+4—3x)</(2).

因?yàn)?(%)在R上單調(diào)遞增，

所以4一2%<2,解得久>1.

故選：A.

【變式1-2](2024?山東?二模)已知函數(shù)/(%)=2%2一M％+1在區(qū)間[_1,+8)上單調(diào)遞增，則/(I)的取值

范圍是()

A.[7,+oo)B.(7,+oo)

C.(—8,7]D.(—8,7)

【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得解得加￡-4,再由/(1)=3-血，進(jìn)而求得了(I)的取值

范圍.

【解答過程】由函數(shù)/⑶=2/—mx+I的對(duì)稱軸是X=會(huì)

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[—1,+8)上是增函數(shù)，所以解得mW—4,

又因?yàn)?'(1)=3-m,因此3-巾27,所以/'(I)的取值范圍是[7,+8).

故選：A.

【變式1-3](2024?江蘇蘇州?模擬預(yù)測(cè))已知定義在區(qū)間(-科根)(小〉0)上，值域?yàn)镽的函數(shù)/(%)滿足：①

當(dāng)0<x<m時(shí)，f(x)>0；②對(duì)于定義域內(nèi)任意的實(shí)數(shù)。、6均滿足：f(a+b)=貝！J()

A./(0)=1

B.久2，一瓶<%1<%2<>/(x2)

C.函數(shù)〃>)在區(qū)間(0匹)上單調(diào)遞減

D.函數(shù)/(x)在區(qū)間(-犯a)上單調(diào)遞增

【解題思路】賦值：令a=6=0代入可得/(0)=0,令。=尤,6=-%代入可得函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)單

調(diào)性定義可以證明函數(shù)在(一科6)的單調(diào)性.

【解答過程】對(duì)A,令a=6=0,則f(0)=g稔,

f(o)-尸(0)=2/(0),即f(0)[/2(0)+1]=0,

故/(0)=0,所以A不正確；

/(a)+/(b)_/(%)+”—第)

取a=x,b=一為代入:

對(duì)B,/(0)=l-/(a)/(b)-;

即/(%)=-/(一%)，即/(%)在(一館即)上為奇函數(shù),

設(shè)<Xi<X2<Tn,

所以/(%2-X1)>0，且f(%2)>>0,

故：=/(%2)+/(一%1)=f[x2+(-%i)][l-/(X2)/(Xl)]

=/(%2-久1)口+/(X2)/(X1)]>0

即：/(%2)>/(Xl),故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,由B知函數(shù)在(O,zn)上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,由C結(jié)合函數(shù)為奇函數(shù)且/(0)=0,

所以/(%)在(一皿峭上單調(diào)遞增，故D正確.

故選：D.

【題型2函數(shù)的最值問題】

【例2】（2024?安徽淮北?二模）當(dāng)實(shí)數(shù)t變化時(shí)，函數(shù)/（%）=|%2+t\,xe[-4,4]最大值的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【解題思路】先對(duì)內(nèi)函數(shù)y=/+t對(duì)應(yīng)的方程的根的情況分類討論，得出壯0時(shí)，結(jié)果為16,對(duì)于t<o時(shí),

求出兩根，根據(jù)圖象，就內(nèi)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)的位置進(jìn)行分類考慮，利用函數(shù)單調(diào)性分析即得.

【解答過程】若△=—4two,即t20時(shí)，/（X）=X2+t,其對(duì)稱軸為龍=0,“X）max=t+16,

此時(shí)，因120,故g（t）=t+16的最小值為16；

若t<0,由y=d+t=o可得％=±6工，

圖1

(I)如圖1,當(dāng)QW4時(shí)，即—16Wt<0時(shí)，/0)=|久2+［|在［_4,一產(chǎn)?］上遞減，

在［一百,0］上遞增，

在［0,正田上遞減，在g,4］上遞增,又f(±4)=|t+16|=t+16,f(0)=|t|=T,

①當(dāng)—16WtW—8時(shí)，t+16W-t,故/(x)max=-3而g(t)=-t;在［-16,-8］上單調(diào)遞

減，則此時(shí)，g(t)min=g(-8)=8;

②當(dāng)一8<t<0時(shí),t+16>—t,故/(x)max=t+16,而h(t)—t+16在(—8,0)上單調(diào)

遞增，則此時(shí)，g(t)>%(-8)=8.

(n)如圖2,當(dāng)戶>4,即t<—16時(shí)，〃>)=|尤2+4在［_4,0］上單調(diào)遞增，在［0,4］上單調(diào)遞減，

則此時(shí)f(%)max=f(0)=|t|=-t,而0(t)=-t在(-8,-16)上單調(diào)遞減，則s(t)><p(-16)=16.

綜上，函數(shù)/(x)=|%2+t\,xG［—4,4］最大值的最