2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章解三角形1.2第1課時解三角形的實際應(yīng)用舉例學(xué)案含解析新人教A版必修5

PAGE1-1.2應(yīng)用舉例第1課時解三角形的實際應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題．(難點)2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度有關(guān)的實際應(yīng)用問題．(重點)通過利用正、余弦定理求解實際問題中的長度、高度，培育學(xué)生的直觀想象及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．1．基線的概念與選擇原則(1)定義在測量上，依據(jù)測量須要適當(dāng)確定的線段叫做基線．(2)性質(zhì)在測量過程中，要依據(jù)實際須要選取合適的基線長度，使測量具有較高的精確度．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．思索：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個問題，“遙不行及的月亮離地球原委有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么奇妙的方法探究到這個奇妙的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理．2．測量中的有關(guān)角的概念(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角(如圖所示).(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向為始邊，順時針方向向西旋轉(zhuǎn)60°.(如圖所示)(3)視角從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角，如圖所示，視角50°指的是視察該物體的兩端視線張開的角度．思索：李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個方向？[提示]東南方向．1．小強(qiáng)站在地面上視察一個建在山頂上的建筑物，測得其視角為α，同時測得視察該建筑物頂部的仰角為β，則小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫?)A．α＋β B．α－βC．β－α D．αC[如圖所示，設(shè)小強(qiáng)觀測山頂?shù)难鼋菫棣?，則β－γ＝α，因此γ＝β－α，故選C項．]2．如圖所示，為了測量隧道口AB的長度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測量時應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，bC[選擇a，b，γ可干脆利用余弦定理AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosγ)求解．]3．某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離動身點恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()A．eq\r(3) B．2eq\r(3)C．2eq\r(3)或eq\r(3) D．3C[如圖，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).]4．如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點測得樹尖的仰角分別為30°和45°，且A，B兩點之間的距離為60m，A．(30＋30eq\r(3))m B．(30＋15eq\r(3))mC．(15＋30eq\r(3))m D．(15＋3eq\r(3))mA[由正弦定理可得eq\f(60,sin（45°－30°）)＝eq\f(PB,sin30°)，則PB＝eq\f(60×\f(1,2),sin15°)＝eq\f(30,sin15°)(m)，設(shè)樹的高度為h，則h＝PBsin45°＝(30＋30eq\r(3))m.]測量距離問題【例1】海上A，B兩個小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A．10eq\r(3)海里 B．eq\f(10\r(6),3)海里C．5eq\r(2)海里 D．5eq\r(6)海里D[依據(jù)題意，可得如圖所示．在△ABC中，A＝60°，B＝75°，AB＝10，∴C＝45°.由正弦定理可得eq\f(AB,sinC)＝eq\f(BC,sinA)，即eq\f(10,\f(\r(2),2))＝eq\f(BC,\f(\r(3),2))，∴BC＝5eq\r(6)(海里).]三角形中與距離有關(guān)的問題的求解策略(1)解決與距離有關(guān)的問題，若所求的線段在一個三角形中，則干脆利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個三角形中，要依據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求解?2)解決與距離有關(guān)的問題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還須要求出哪些元素，敏捷應(yīng)用正、余弦定理來解決．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為m60[由題意知，∠ACB＝180°－30°－75°＝75°，∴△ABC為等腰三角形．河寬即AB邊上的高，這與AC邊上的高相等，過B作BD⊥AC于D，∴河寬＝BD＝120·sin30°＝60(m).]測量高度問題【例2】(1)如圖所示，從山頂望地面上C，D兩點，測得它們的俯角分別為45°和30°，已知CD＝100m，點C位于BD上，則山高ABA．100m B．50eq\r(3)mC．50eq\r(2)m D．50(eq\r(3)＋1)m(2)在一幢20m高的樓頂測得對面一塔吊頂?shù)难鼋菫?0°，塔基的俯角為45°，A.20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B．20(1＋eq\r(3))mC．10(eq\r(6)＋eq\r(2))m D．20(eq\r(6)＋eq\r(2))m思路探究：(1)解決本題關(guān)鍵是求AB時確定在哪一個三角形中求解，該三角形是否可解．(2)解決本題關(guān)鍵是畫出示意圖．(1)D(2)B[(1)設(shè)山高為h，則由題意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，∴eq\r(3)h－h(huán)＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1).(2)如圖，由條件知四邊形ABCD為正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m∴EC＝CD·tan60°＝20eq∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.選B.]解決測量高度問題的一般步驟(1)畫圖：依據(jù)已知條件畫出示意圖．(2)分析三角形：分析與問題有關(guān)的三角形．(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解．在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何學(xué)問與平面幾何學(xué)問，留意方程思想的運(yùn)用．eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某愛好小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m).如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H[解]由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此電視塔的高度H是124m與立體幾何有關(guān)的測量問題[探究問題]1．已知A，B是海平面上的兩個點，相距800m，在A點測得山頂C的仰角為45°，∠BAD＝120°，又在B點測得∠ABD＝45°，其中D是點C[提示]用線段CD表示山，用△DAB表示海平面．結(jié)合題中相應(yīng)的距離及角度，畫出立體圖形，如圖所示．2．在探究1中若要求山高CD，怎樣求解？[提示]由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的長，然后在Rt△ACD中求出CD.【例3】如圖所示，為了測量河對岸的山高AB，有不同的方案，其中之一是選取與山底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C和D，測得CD＝200m，在C點和D點測得山頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°，求山高AB.思路探究：利用方程的思想，設(shè)AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．[解]在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若設(shè)AB＝h，則BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，則BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米．(變條件)若將例題中的條件“CD＝200m，在C點和D點測得山頂A的仰角分別是45°和30°，且∠CBD＝30°”改為“CD＝800m，在D點測得山頂A的仰角為45°，∠CDB＝120°，又在C點測得∠DCB＝45°.”求山高[解]在△BCD中，∠CBD＝180°－120°－45°＝15°，CD＝800m，∠BCD＝45°由正弦定理，eq\f(CD,sin∠CBD)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，BD＝eq\f(CD·sin∠BCD,sin∠CBD)＝eq\f(800×\f(\r(2),2),\f(\r(2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2))))＝800(eq\r(3)＋1)m，又∠ADB＝45°，AB＝BD.∴AB＝800(eq\r(3)＋1)m.即山的高度為800(eq\r(3)＋1)m．測量高度問題的兩個關(guān)注點(1)“空間”向“平面”的轉(zhuǎn)化：測量高度問題往往是空間中的問題，因此先要選好所求線段所在的平面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．(2)“解直角三角形”與“解斜三角形”結(jié)合，全面分析全部三角形，細(xì)致規(guī)劃解題思路．1．本節(jié)課要駕馭三類問題的解法(1)測量距離問題．(2)測量高度問題．(3)與立體幾何有關(guān)的測量問題．2．解三角形的應(yīng)用題時，通常會遇到兩種狀況(1)已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理和余弦定理解之．(2)已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時須要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先探討，再逐步在其余的三角形中求出問題的解．1．推斷正誤(1)已知三角形的三個角，能夠求其三條邊． ()(2)兩個不行到達(dá)的點之間的距離無法求得． ()(3)東偏北45°的方向就是東北方向． ()(4)仰角與俯角所在的平面是鉛垂面． ()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√[提示]已知三角形中至少知道一條邊才能解三角形，故(1)錯．兩個不行到達(dá)的點之間的距離可以用解三角形的方法求出，故(2)錯．2．身高相同的甲、乙兩人在同一地平面上的不同方向觀測20m高的旗桿，甲觀測的仰角為50°，乙觀測的仰角為40°，用d1，d2分別表示甲、乙兩人離旗桿的距離，A．d1>d2 B．d1<d2C．d1>20m D．d2<20mB[如圖，設(shè)旗桿高為h，則d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°).因為tan50°>tan40°，所以d1<d2.]3．若某人在點A測得金字塔頂端仰角為30°，此人往金字塔方向走了80m到達(dá)點B，測得金字塔頂端的仰角為45°，A．110m B．112mC．220m D．224mA[如圖，設(shè)CD為金字塔，AB＝80m．設(shè)CD＝h，則由已知得(80＋h)×eq\f(\r(3),3)＝h，h＝40(eq\r(3)＋1)≈109(m).從選項來看110最接近，故選A.]4．在高出海平面200m的小島頂上A處，測得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時兩船間的距離為200(eq\r(3)＋1)[過點A作AH⊥BC于點H，由圖易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，則BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝故兩船距離BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.]5．海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)