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PAGE課后素養(yǎng)落實(shí)(三十二)習(xí)題課排列的應(yīng)用(建議用時(shí):40分鐘)一、選擇題1.從6本不同的書中選出4本,分別發(fā)給4個(gè)同學(xué),已知其中兩本書不能發(fā)給甲同學(xué),則不同安排方法有()A.180種B.220種C.240種D.260種C[因?yàn)槠渲袃杀緯荒馨l(fā)給甲同學(xué),所以甲只能從剩下的4本中分一本,然后再選3本分給3個(gè)同學(xué),故有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)=240種.]2.從8人中選3人排隊(duì),其中甲乙不分開參排,若參排,就肯定排在一起,其不同的排法共有()A.252種B.278種C.144種D.362種C[依據(jù)甲、乙的參排狀況加以分類.若甲乙不參排,不同的排法有Aeq\o\al(3,6)=120種;若甲、乙參排,不同的排法有Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)=24種;所以共有不同的排法120+24=144種,即選C.]3.從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.24B.18C.12D.6B[當(dāng)選0時(shí),先從1,3,5中選2個(gè)數(shù)字有3種方法,然后從選中的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)排在末位有兩種方法,剩余1個(gè)數(shù)字排在首位,共有3×2=6(種)方法;當(dāng)選2時(shí),先從1,3,5中選2個(gè)數(shù)字有3種方法,然后從選中的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè)排在末位有兩種方法,其余2個(gè)數(shù)字全排列,共有3×2Aeq\o\al(2,2)=12(種)方法.依分類加法計(jì)數(shù)原理知共有6+12=18(個(gè))奇數(shù).]4.若把英語(yǔ)單詞“Look”的字母依次寫錯(cuò)了,則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤的種數(shù)為()A.24B.10C.9D.11D[Look有兩個(gè)相同字母,故可能出現(xiàn)錯(cuò)誤eq\f(1,2)Aeq\o\al(4,4)-1=11(種).本題也可列舉求解.]5.4名男生和4名女生并坐一排照相,女生要排在一起,不同排法的種數(shù)為()A.Aeq\o\al(8,8)B.Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)C.Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)D.Aeq\o\al(5,8)B[因?yàn)?名女生要排在一起,所以先將4名女生捆綁與其他4名男生一起排列,然后再將4名女生排列,共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(4,4)種排法.]二、填空題6.編號(hào)為A,B,C,D,E的五個(gè)小球放在如圖所示的五個(gè)盒子里,要求每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球,且A球不能放在1,2號(hào)盒子中,B球必需放在與A球相鄰的盒子中,則不同的放法有________種.30[依據(jù)A球所在位置分三類:(1)若A球放在3號(hào)盒子內(nèi),則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi),余下的三個(gè)盒子放球C,D,E有Aeq\o\al(3,3)=6種不同的放法,則依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,此時(shí)有Aeq\o\al(3,3)=6種不同的放法;(2)若A球放在5號(hào)盒子內(nèi),則B球只能放在4號(hào)盒子內(nèi),余下的三個(gè)盒子放球C,D,E有Aeq\o\al(3,3)=6種不同的放法,則依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,此時(shí)有Aeq\o\al(3,3)=6種不同的放法;(3)若A球放在4號(hào)盒子內(nèi),則B球可以放在2號(hào),3號(hào),5號(hào)盒子中的任何一個(gè),余下的三個(gè)盒子放球C,D,E有Aeq\o\al(3,3)=6種不同的放法,依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理,此時(shí)有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,3)=18種不同的放法.綜上所述,由分類計(jì)數(shù)原理得不同的放法共有6+6+18=30種.]7.顯示屏上的七個(gè)小孔排成一排,每個(gè)小孔可以顯示紅、黃、藍(lán)三種顏色,或不顯示.若每次由其中三個(gè)小孔顯示一組紅、黃、藍(lán)三色信號(hào),但相鄰的兩個(gè)小孔不同時(shí)顯示,則該顯示屏能夠顯示的不同信號(hào)數(shù)為________.60[3個(gè)顯示小孔不相鄰,即在4個(gè)不顯示的小孔的5個(gè)空當(dāng)中插入3個(gè)顯示的小孔,又因3個(gè)小孔顯示的顏色不相同,故有Aeq\o\al(3,5)=60種不同的信號(hào)數(shù).]8.從1,2,3,4,…,10十個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù),分別做對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù),可得到________個(gè)不同的對(duì)數(shù)值.69[從10個(gè)數(shù)中取出兩個(gè)數(shù)的全部排列數(shù)為:Aeq\o\al(2,10)=10×9=90.當(dāng)1為底數(shù)時(shí),不合題意的共有9個(gè),當(dāng)1為真數(shù)時(shí),對(duì)數(shù)值都是零,應(yīng)去掉8個(gè),又因log23與log49同,log32與log94同,log24與log39同,log42與log93同.∴共有不同對(duì)數(shù)值90-9-8-4=69.]三、解答題9.如圖,某傘廠生產(chǎn)的“太陽(yáng)”牌太陽(yáng)傘蓬是由太陽(yáng)光的七種顏色組成的,七種顏色分別涂在傘蓬的八個(gè)區(qū)域內(nèi),且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi),則不同的顏色圖案的此類太陽(yáng)傘至多有多少種?[解]如圖,對(duì)8個(gè)區(qū)域進(jìn)行編號(hào),任選一組對(duì)稱區(qū)域(如1與5)同色,用7種顏色涂8個(gè)區(qū)域的不同涂法有7!種,又由于1與5,2與6,3與7,4與8是對(duì)稱的,通過旋轉(zhuǎn)后5,6,7,8,1,2,3,4與1,2,3,4,5,6,7,8是同一種涂色,即重復(fù)染色2次,故此種圖案至多有eq\f(7!,2)=2520種.10.某一天的課程表要排入政治、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課,假如第一節(jié)不排體育,最終一節(jié)不排數(shù)學(xué),那么共有多少種不同的排法?[解]6門課總的排法是Aeq\o\al(6,6)種,其中不符合要求的可分為:體育排在第一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法;數(shù)學(xué)排在最終一節(jié)有Aeq\o\al(5,5)種排法;但這兩種方法,都包括體育在第一節(jié),數(shù)學(xué)排在最終一節(jié),這種狀況有Aeq\o\al(4,4)種排法,因此符合條件的排法應(yīng)是:Aeq\o\al(6,6)-2Aeq\o\al(5,5)+Aeq\o\al(4,4)=504種.11.甲、乙兩人要在一排8個(gè)空座上就坐,若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座,則不同的坐法有()A.10種B.16種C.20種D.24種C[一排共有8個(gè)座位,現(xiàn)有兩人就坐,故有6個(gè)空座.∵要求每人左右均有空座,∴在6個(gè)空座的中間5個(gè)空中插入2個(gè)座位讓兩人就坐,即有Aeq\o\al(2,5)=20種坐法.故選C.]12.從0,1,3,5,7中取出不同的三個(gè)數(shù)作為一元二次方程ax2+bx+c=0的系數(shù),其中有實(shí)數(shù)根的不同的一元二次方程有()A.16個(gè)B.17個(gè)C.18個(gè)D.19個(gè)C[方程有實(shí)根,需Δ=b2-4ac≥0.當(dāng)c=0時(shí),a,b可在1,3,5,7中任取兩個(gè),有Aeq\o\al(2,4)個(gè);當(dāng)c≠0時(shí),b只能取5,7,b取5時(shí),a,c只能取1,3,共有Aeq\o\al(2,2)個(gè);b取7時(shí),a,c可取1,3或1,5,有2Aeq\o\al(2,2)個(gè),所以有實(shí)數(shù)根的不同的一元二次方程共有Aeq\o\al(2,4)+Aeq\o\al(2,2)+2Aeq\o\al(2,2)=18個(gè).]13.(多選題)7名學(xué)生,站成一排,其中甲不在最左端,乙不在最右端,不同排法的種數(shù)為()A.Aeq\o\al(6,6)+Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) B.Aeq\o\al(7,7)-2Aeq\o\al(6,6)+Aeq\o\al(5,5)C.Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)-Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5) D.Aeq\o\al(7,7)-2Aeq\o\al(6,6)ABC[法一(特別元素優(yōu)先法)按甲是否在最右端分兩類:第一類,甲在最右端,有Aeq\o\al(6,6)種方法;其次類,甲不在最右端,甲有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置可選,乙也有Aeq\o\al(1,5)個(gè)位置可選,其余5人有Aeq\o\al(5,5)種排法,即Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種方法.故有Aeq\o\al(6,6)+Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)=3720種方法.法二(間接法)無(wú)限制條件的排列方法共有Aeq\o\al(7,7)種,而甲在最左端,乙在最右端的排法分別有Aeq\o\al(6,6)種,甲在最左端且乙在最右端的排法有Aeq\o\al(5,5)種.故有Aeq\o\al(7,7)-2Aeq\o\al(6,6)+Aeq\o\al(5,5)=3720種方法.法三(特別元素優(yōu)先法)按最左端先支配分步.對(duì)于最左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法,余下六個(gè)位置全排列有Aeq\o\al(6,6)種排法,其中甲不在最左端,乙在最右端的排法有Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)種.故有Aeq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(6,6)-Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(5,5)=3720種方法.]14.(一題兩空)用數(shù)字0,1,2,3,4,5可組成________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),在這些四位數(shù)中,按從小到大的依次排成一個(gè)數(shù)列,則第85個(gè)數(shù)為________.3002301[(1)法一(干脆法):Aeq\o\al(1,5)·Aeq\o\al(3,5)=300(個(gè)).法二(間接法):Aeq\o\al(4,6)-Aeq\o\al(3,5)=300(個(gè)).(2)1在首位的數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(3,5)=60.2在首位且0在其次位的數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(2,4)=12.2在首位且1在其次位的數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al(2,4)=12.以上四位數(shù)共有84個(gè),故第85個(gè)數(shù)是2301.]15.用0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字,可以組成多少個(gè)滿意下列條件的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù).(1)被4整除.(2)比21034大的偶數(shù).(3)左起其次、四位是奇數(shù)的偶數(shù).[解](1)被4整除的數(shù),其特征是末兩位數(shù)是4的倍數(shù),可分兩類:當(dāng)末兩位數(shù)是20,40,04時(shí),其排列數(shù)為3Aeq\o\al(3,3)=18個(gè),當(dāng)末位數(shù)是12,24,32時(shí),其排列數(shù)為3·Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)=12個(gè),故滿意條件的五位數(shù)共有:3Aeq\o\al(3,3)+3Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)=30個(gè).(2)可分五類:當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是2時(shí),有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)+Aeq\o\al(2,2)=6個(gè);當(dāng)末位數(shù)字是0,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)=12個(gè);當(dāng)末位數(shù)字是2,而首位數(shù)字是3或4時(shí),有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)=12個(gè);當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是2時(shí),有Aeq\o\al(2,2)+Aeq\o\al(1,1)=3個(gè);當(dāng)末位數(shù)字是4,而首位數(shù)字是3時(shí),有Aeq\o\al(3,3)=6個(gè).故有(Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,2)+Aeq\o\al(2,2))+Aeq\o\al(1,2)
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