2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題12 圓錐曲線（真題9個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）解析版

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題12圓錐曲線（真題9個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考7、20題2024年春考8、20題拋物線的定義、拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線，雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，直線與圓錐曲線綜合問題2023秋考16、20題2023春考20題與曲線方程有關(guān)的新定義，拋物線的定義及其性質(zhì)、直線與拋物線綜合應(yīng)用離心率的求法、橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)、直線與橢圓的綜合2022秋考2、20題2022春考11、20題雙曲線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式、橢圓方程的求解、橢圓中最值與范圍等問題雙曲線的性質(zhì)，直線與橢圓綜合、涉及橢圓方程求解、直線交點(diǎn)求解、基本不等式的應(yīng)用2021年秋考11、20題2021年春考11、19題直線斜率的定義與計(jì)算、拋物線的定義等知識(shí)，平面向量與圓錐曲線綜合題、直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用橢圓的定義和性質(zhì)，雙曲線的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用2020年秋考10、20題2020年春考15、20題橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線與圓的定義和方程、直線與圓的方程、雙曲線的方程聯(lián)立軌跡方程的求法與判斷，點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的求法、拋物線、直線方程等知識(shí)一．橢圓的幾何特征（共2小題）1．（2021?上海）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、，以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)作拋物線交橢圓于，且，則拋物線的準(zhǔn)線方程是．〖祥解〗先設(shè)出橢圓的左右焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線的方程，設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此可得，進(jìn)而可以求出，的長(zhǎng)度，再由橢圓的定義即可求解．【解答】解：設(shè)，，則拋物線，直線，聯(lián)立方程組，解得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，又所以，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為：，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的定義以及橢圓的定義和性質(zhì)，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題．2．（2020?上海）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，求直線的方程是．〖祥解〗求出橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用已知條件求出直線的斜率，然后求解直線方程．【解答】解：橢圓的右焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，交橢圓于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在第二象限），若點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱點(diǎn)為，且滿足，可知直線的斜率為，所以直線的方程是：，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與直線的對(duì)稱關(guān)系的應(yīng)用，直線方程的求法，是基本知識(shí)的考查．二．直線與橢圓的綜合（共1小題）3．（2022?上海）已知橢圓，、兩點(diǎn)分別為的左頂點(diǎn)、下頂點(diǎn)，、兩點(diǎn)均在直線上，且在第一象限．（1）設(shè)是橢圓的右焦點(diǎn)，且，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、兩點(diǎn)縱坐標(biāo)分別為2、1，請(qǐng)判斷直線與直線的交點(diǎn)是否在橢圓上，并說明理由；（3）設(shè)直線、分別交橢圓于點(diǎn)、點(diǎn)，若、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求的最小值．〖祥解〗（1）根據(jù)條件可得，解出，利用，求得，即可求得答案；（2）分別表示出此時(shí)直線、直線的方程，求出其交點(diǎn)，驗(yàn)證即可；（3）設(shè)，，表示出直線、直線方程，解出、坐標(biāo)，表示出，再利用基本不等式即可求出答案．【解答】解：（1）由題可得，，因?yàn)椋?，解得，所以，故的?biāo)準(zhǔn)方程為；（2）直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上，由題可得此時(shí)，，，，則直線，直線，交點(diǎn)為，，滿足，故直線與直線的交點(diǎn)在橢圓上；（3），，則直線，所以，，，則直線，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，即的最小值為6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的綜合，涉及橢圓方程的求解，直線交點(diǎn)求解，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．三．橢圓與平面向量（共1小題）4．（2023?上海）已知橢圓且．（1）若，求橢圓的離心率；（2）設(shè)、為橢圓的左右頂點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，且，求實(shí)數(shù)的值；（3）過橢圓上一點(diǎn)作斜率為的直線，若直線與雙曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．〖祥解〗（1）由題意可得，，，可求離心率；（2）由已知得，，設(shè)，由已知可得，，求解即可；（3）設(shè)直線，與橢圓方程聯(lián)立可得，與雙曲線方程聯(lián)立可得，可求的取值范圍．【解答】解：（1）若，則，，，，；（2）由已知得，，設(shè)，，即，，，，，，，代入求得；（3）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓可得，整理得，由△，，聯(lián)立雙曲線可得，整理得，由△，，，，又，，，綜上所述：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離心率的求法，考查橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，屬中檔題．四．拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線（共2小題）5．（2024?上海）已知拋物線上有一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為9，那么到軸的距離為．〖祥解〗根據(jù)已知條件，結(jié)合拋物線的定義，即可求解．【解答】解：設(shè)坐標(biāo)為，，到準(zhǔn)線的距離為9，即，解得，代入拋物線方程，可得，故到軸的距離為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題．6．（2021?上海）已知拋物線，若第一象限的，在拋物線上，焦點(diǎn)為，，，，求直線的斜率為．〖祥解〗將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)已知條件結(jié)合斜率的定義，求出直線的斜率即可．【解答】解：如圖所示，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線為，作于點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，由拋物線的定義，可得，，，直線的斜率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線斜率的定義與計(jì)算，拋物線的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．五．直線與拋物線的綜合（共2小題）7．（2023?上海）已知拋物線，在上有一點(diǎn)位于第一象限，設(shè)的縱坐標(biāo)為．（1）若到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，若軸上存在一點(diǎn)，使的中點(diǎn)在拋物線上，求到直線的距離；（3）直線，是第一象限內(nèi)上異于的動(dòng)點(diǎn)，在直線上的投影為點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)為．若在的位置變化過程中，恒成立，求的取值范圍．〖祥解〗（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，將其代入拋物線的方程，即可求得的值；（2）易知，設(shè)，由的中點(diǎn)在拋物線上，可得的值，進(jìn)而得到直線的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式得解；（3）設(shè)，表示出直線的方程，進(jìn)一步表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)恒成立，結(jié)合基本不等式即可得到的范圍．【解答】解：（1）拋物線的準(zhǔn)線為，由于到拋物線準(zhǔn)線的距離為3，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則，解得；（2）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，設(shè)，則的中點(diǎn)為，由題意可得，解得，所以，則，由點(diǎn)斜式可得，直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到直線的距離為；（3）如圖，設(shè)，則，故直線的方程為，令，可得，即，則，依題意，恒成立，又，則最小值為，即，即，則，解得，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，即當(dāng)時(shí)，也符合題意．故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義及其性質(zhì)，考查直線與拋物線的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．8．（2020?上海）已知拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．（1）若點(diǎn)縱坐標(biāo)為，求與焦點(diǎn)的距離；（2）若，，，求證：為常數(shù)；（3）是否存在，使得且為常數(shù)？若存在，求出的所有可能值，若不存在，請(qǐng)說明理由．〖祥解〗（1）點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，得，由此能求出與焦點(diǎn)的距離．（2）設(shè)，直線，當(dāng)時(shí)，，同理求出，由此能證明為常數(shù)．（3）解設(shè)，，直線，聯(lián)立，得，求出，同理得，由此能求出存在，使得且為常數(shù)1．【解答】解：（1）解：拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，，過分別作兩條直線交拋物線于、兩點(diǎn)，交直線于、兩點(diǎn)．點(diǎn)縱坐標(biāo)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，，，與焦點(diǎn)的距離為．（2）證明：設(shè)，直線，當(dāng)時(shí)，，直線，時(shí)，，，為常數(shù)．（3）解：設(shè)，，直線，聯(lián)立，得，，即，同理得，，，要使為常數(shù)，即，此時(shí)為常數(shù)1，存在，使得且為常數(shù)1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的求法，考查兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的證明，考查滿足兩點(diǎn)縱坐標(biāo)乘積為常數(shù)的實(shí)數(shù)值是否存在的判斷與求法，考查拋物線、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．六．雙曲線的幾何特征（共4小題）9．（2024?上海）三角形三邊長(zhǎng)為5，6，7，則以邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，過另外一個(gè)頂點(diǎn)的雙曲線的離心率為3．〖祥解〗利用雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式即可得出結(jié)論．【解答】解：由雙曲線的定義，，，解得，，．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的定義、離心率的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．10．（2022?上海）已知，，，兩點(diǎn)均在雙曲線的右支上，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為，．〖祥解〗取的對(duì)稱點(diǎn)，，結(jié)合，可得，然后可得漸近線夾角，代入漸近線斜率計(jì)算即可求得．【解答】解：設(shè)的對(duì)稱點(diǎn)，仍在雙曲線右支，由，得，即恒成立，恒為銳角，即，其中一條漸近線的斜率，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故答案為：，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．11．（2022?上海）雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6．〖祥解〗根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，實(shí)軸長(zhǎng)為．【解答】解：由雙曲線，可知：，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．12．（2021?上海）（1）團(tuán)隊(duì)在點(diǎn)西側(cè)、東側(cè)20千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)一點(diǎn)滿足千米，可知在、為焦點(diǎn)的雙曲線上，以點(diǎn)為原點(diǎn)，東側(cè)為軸正半軸，北側(cè)為軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，在北偏東處，求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和點(diǎn)坐標(biāo)．（2）團(tuán)隊(duì)又在南側(cè)、北側(cè)15千米處設(shè)有、兩站點(diǎn)，測(cè)量距離發(fā)現(xiàn)千米，千米，求（精確到1米）和點(diǎn)位置（精確到1米，〖祥解〗（1）求出，，的值即可求得雙曲線方程，求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，即可求得點(diǎn)坐標(biāo)；（2）分別求出以、為焦點(diǎn)，以，為焦點(diǎn)的雙曲線方程，聯(lián)立即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得，及點(diǎn)位置．【解答】解：（1）由題意可得，，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，直線，聯(lián)立雙曲線方程，可得，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，．（2）①，則，，所以，雙曲線方程為；②，則，，所以，所以雙曲線方程為，兩雙曲線方程聯(lián)立，得，，所以米，點(diǎn)位置北偏東．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線方程在實(shí)際中的應(yīng)用，屬于中檔題．七．曲線與方程（共1小題）13．（2023?上海）已知，是曲線上兩點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得曲線上任意一點(diǎn)都存在使得，則稱曲線是“自相關(guān)曲線”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①任意橢圓都是“自相關(guān)曲線”；②存在雙曲線是“自相關(guān)曲線”，則A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗根據(jù)定義結(jié)合圖象，驗(yàn)證是否恒成立即可．【解答】解：橢圓是封閉的，總可以找到滿足題意的點(diǎn)，使得成立，故①正確，在雙曲線中，，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不存在；當(dāng)，時(shí)，，但當(dāng)，此時(shí)，這與矛盾，故②錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查與曲線方程有關(guān)的新定義，根據(jù)條件結(jié)合圖象驗(yàn)證是否成立是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．八．直線與圓錐曲線的綜合（共4小題）14．（2024?上海）已知雙曲線，，左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交雙曲線于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．（1）當(dāng)離心率時(shí)，求的值；（2）當(dāng)，△為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）連接并延長(zhǎng)，交雙曲線于點(diǎn)，若，求的取值范圍．〖祥解〗（1）由題意可得，，可得，由求解即可；（2）由題意可得，，，，，則可得，再由，求解即可；（3）設(shè)，，則，，設(shè)直線，聯(lián)立直線與雙曲線方程，再結(jié)合韋達(dá)定理可得，，又由，得，即有，可得，即可得答案．【解答】解：（1）因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以（?fù)舍）；（2）因?yàn)椤鳛榈妊切危偃魹榈?，則點(diǎn)在線段的中垂線，即上，與雙曲線上且在第一象限矛盾，故舍去；②若為底，則，與矛盾，故舍去；③若為底，則，設(shè)，，，，則，即，又因?yàn)?，得，得，解得，即；?）由題可知，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，不合題意；則，設(shè)直線，設(shè)，，，，根據(jù)延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，則，，聯(lián)立，得，二次項(xiàng)系數(shù)，△，，，所以，，，，又因?yàn)?，得，則，即，化簡(jiǎn)后可得到，再由韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)得，所以，代入，得，所以，且，解得，又因?yàn)椋瑒t，綜上，，，，所以，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)、直線與雙曲線的位置關(guān)系及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．15．（2024?上海）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，求的長(zhǎng)；（2）設(shè)的上、下頂點(diǎn)分別為、，記△的面積為，△的面積為，若，求的取值范圍．（3）若點(diǎn)在軸上方，設(shè)直線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．〖祥解〗（1）由題意，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中再結(jié)合公式進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合三角形面積公式以及題目所給信息，列出等式再進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算以及題目所給信息求出，設(shè)出直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及點(diǎn)在直線上，即可求出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，不妨設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，易知，所以；（2）不妨設(shè)，，此時(shí)，因?yàn)?，所以，即，又，所以，解得，則，故的范圍為，；（3）不妨設(shè)，，，，，由對(duì)稱性可得、關(guān)于軸對(duì)稱，所以，，又，，此時(shí)，所以，同理得，因?yàn)?，所以，解得或（無解），不妨設(shè)直線，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，解得，此時(shí)，又，解得，此時(shí)．故存在軸上方的點(diǎn)，使得成立．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16．（2022?上海）設(shè)有橢圓方程，直線，下端點(diǎn)為，在上，左、右焦點(diǎn)分別為，、，．（1），中點(diǎn)在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直線與軸交于，直線經(jīng)過右焦點(diǎn)，在中有一內(nèi)角余弦值為，求；（3）在橢圓上存在一點(diǎn)到距離為，使，隨的變化，求的最小值．〖祥解〗（1）由題意可得橢圓方程為，從而確定點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)一步可得點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由直線方程可知，分類討論和兩種情況確定的值即可；（3）設(shè)，利用點(diǎn)到直線距離公式和橢圓的定義可得，進(jìn)一步整理計(jì)算，結(jié)合三角函數(shù)的有界性求得即可確定的最小值．【解答】解：（1）由題意可得，，的中點(diǎn)在軸上，的縱坐標(biāo)為，代入得．（2）由直線方程可知，①若，則，即，，．②若，則，，，，．即，，，綜上或．（3）設(shè)，由點(diǎn)到直線距離公式可得，很明顯橢圓在直線的左下方，則，即，，，據(jù)此可得，，整理可得，即，從而．即的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓方程的求解，點(diǎn)到直線距離公式及其應(yīng)用，橢圓中的最值與范圍問題等知識(shí)，屬于中等題．17．（2021?上海）已知，，是其左、右焦點(diǎn)，直線過點(diǎn)，，交橢圓于，兩點(diǎn)，且，在軸上方，點(diǎn)在線段上．（1）若是上頂點(diǎn)，，求的值；（2）若，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程；（3）證明：對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．〖祥解〗（1）利用橢圓的方程，求出，，的值，求出和，由，即可求出的值；（2）設(shè)點(diǎn)，，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示化簡(jiǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于的方程，求出的值即可得到答案．（3）聯(lián)立直線與橢圓的方程，得到韋達(dá)定理，利用向量平行的坐標(biāo)表示，化簡(jiǎn)可得，然后再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，由此得到關(guān)于和的等式，整理可得，利用的取值范圍以及題中的條件，即可證明．【解答】解：（1）因?yàn)榈姆匠蹋?，所以，，所以，所以，，若為的上頂點(diǎn)，則，所以，，又，所以；（2）設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)樵诰€段上，橫坐標(biāo)小于0，解得，故，設(shè)直線的方程為，由原點(diǎn)到直線的距離為，則，化簡(jiǎn)可得，解得或，故直線的方程為或（舍去，無法滿足，所以直線的方程為；（3）聯(lián)立方程組，可得，設(shè)，，，，則，因?yàn)?，所以，又，故化?jiǎn)為，又，兩邊同時(shí)平方可得，，整理可得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)辄c(diǎn)，在軸上方，所以有且僅有一個(gè)解，故對(duì)于任意，使得的直線有且僅有一條．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，在解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時(shí)，一般會(huì)聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，利用韋達(dá)定理和“設(shè)而不求”的方法進(jìn)行研究，屬于難題．九．圓錐曲線的軌跡問題（共1小題）18．（2020?上海）已知橢圓，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，作垂直于軸的垂線交橢圓于、兩點(diǎn)，且，兩垂線相交于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡是A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．拋物線〖祥解〗利用已知條件判斷軌跡是雙曲線，或利用求解軌跡方程，推出結(jié)果即可．【解答】解：，，判斷軌跡為上下兩支，即選雙曲線，設(shè)，，所以，因?yàn)椋タ傻茫?，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軌跡方程的求法與判斷，是基本知識(shí)的考查，基礎(chǔ)題．一．選擇題（共10小題）1．（2024?嘉定區(qū)二模）雙曲線和雙曲線具有相同的A．焦點(diǎn) B．頂點(diǎn) C．漸近線 D．離心率〖祥解〗分別求得雙曲線的焦點(diǎn)、頂點(diǎn)和漸近線方程、離心率，可得結(jié)論．【解答】解：雙曲線的焦點(diǎn)為，，頂點(diǎn)，漸近線方程為；離心率；雙曲線的焦點(diǎn)為，頂點(diǎn)，漸近線方程為；離心率．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（2024?金山區(qū)二模）若拋物線的焦點(diǎn)是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，則的值為A．2 B．3 C．4 D．8〖祥解〗先求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用橢圓方程求出，即可求出的值．【解答】解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，中，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，是基礎(chǔ)題．3．（2024?青浦區(qū)二模）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，是軸上一點(diǎn)，則“點(diǎn)的坐標(biāo)為”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖祥解〗將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的方程，可得的值，從而知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的定義可知充分性成立，結(jié)合圖形，舉反例說明必要性不成立，即可得解．【解答】解：將點(diǎn)代入方程，有，解得，所以拋物線的焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，由拋物線的定義知必有；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)不一定為，理由如下：如圖，連接，當(dāng)時(shí)，，因此“點(diǎn)的坐標(biāo)為”是“”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的定義與方程，充分必要條件的判斷，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2024?虹口區(qū)模擬）已知拋物線方程，過點(diǎn)的直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，這樣的直線有A．0條 B．1條 C．2條 D．3條〖祥解〗由題意可知，點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，當(dāng)過的直線的斜率不存在時(shí)，直線與拋物線有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，和拋物線方程聯(lián)立后由判別式等于0求解斜率的值，從而判出與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的條數(shù)．【解答】解：點(diǎn)在拋物線上，當(dāng)直線過點(diǎn)且斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得．由△，解得：．過點(diǎn)的拋物線的切線有一條．綜上，過點(diǎn)與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有2條．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，訓(xùn)練了利用判別式判斷一元二次方程解的個(gè)數(shù)，是中檔題．5．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線、的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)都在軸上，且與不重合．記、的離心率分別為、，則“”是“與沒有公共點(diǎn)”的條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要〖祥解〗由離心率相同，設(shè)出兩雙曲線的方程，顯然可得兩曲線沒有交點(diǎn)即可得充分性，然后舉反例即可推出不必要性．【解答】解：因?yàn)榻裹c(diǎn)都在軸上，，設(shè)的方程為，的方程為，又與不重合，故，顯然兩雙曲線沒有公共點(diǎn)，故“”是“與沒有公共點(diǎn)”的充分條件；取，，顯然兩曲線無公共點(diǎn)，此時(shí)，則，即“與沒有公共點(diǎn)”不是“”的必要條件，綜上：“”是“與沒有公共點(diǎn)”的充分不必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及充分性和必要性的判斷，屬于中檔題．6．（2024?閔行區(qū)三模）設(shè)為曲線上的任意一點(diǎn)，記到的準(zhǔn)線的距離為．若關(guān)于點(diǎn)集和，，給出如下結(jié)論：①任意，中總有2個(gè)元素；②存在，使得．其中正確的是A．①成立，②成立 B．①不成立，②成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②不成立〖祥解〗根據(jù)題意可得點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在點(diǎn)的軌跡圓外，即可得出結(jié)論．【解答】解：曲線的焦點(diǎn)，則，由得，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，的圓心，當(dāng)點(diǎn)在原點(diǎn)處時(shí)，，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的軌跡方程為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，則存在，使得兩圓相離，即，故①錯(cuò)誤，②正確，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．7．（2024?虹口區(qū)模擬）已知農(nóng)歷每月的第天的月相外邊緣近似為橢圓的一半，方程為，其中為常數(shù)，根據(jù)以上信息，下列說法中正確的有①農(nóng)歷每月第天和第天的月相外邊緣形狀相同；②月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為；③月相外邊緣的離心率第8天時(shí)取最大值；④農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣離心率在區(qū)間內(nèi)．A．①③ B．②④ C．①② D．③④〖祥解〗對(duì)于①，取特值法驗(yàn)證即可；對(duì)于②，求出，，根據(jù)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離最大為，利用三角函數(shù)的有界性即可判斷；對(duì)于③，求出離心率，轉(zhuǎn)化為求的最大值，即可判斷；對(duì)于④，農(nóng)歷初六至初八的月相外邊緣對(duì)應(yīng)的，，求函數(shù)的范圍即可判斷．【解答】解：對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，月相外邊緣形狀為：，第29天，即，月相外邊緣形狀為：，顯然不同，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，所以月相外邊緣上的點(diǎn)到橢圓焦點(diǎn)的距離的最大值為：，當(dāng)，即，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，，當(dāng)或22，即第8天或第23天離心率最大，故③正確；對(duì)于④，農(nóng)歷初六至初八，，，所以，故④正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)學(xué)文化背景下的橢圓問題，屬中檔題．8．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知直線與橢圓，點(diǎn)，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，直線，，垂足分別為點(diǎn)，，那么“直線與橢圓相切”是“”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充分必要條件 D．既非充分又非必要條件〖祥解〗根據(jù)題意可知，，設(shè)直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，△，充分與必要條件的概念，即可求解．【解答】解：根據(jù)題意可知，，設(shè)直線的方程為，即，，，解得；聯(lián)立，可得，若直線與橢圓相切，則△，解得，“直線與橢圓相切”是“”的充分必要條件．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，充分與必要條件的概念，屬中檔題．9．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知是圓柱下底面的一條半徑，，，為該圓柱側(cè)面上一動(dòng)點(diǎn)，垂直下底面于點(diǎn)，若，則對(duì)于下述結(jié)論：①動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓；②動(dòng)點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為；以下說法正確的為A．①②都正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①②都錯(cuò)誤〖祥解〗將圓柱的側(cè)面展開得，可知點(diǎn)的軌跡為兩條互相垂直的線段，進(jìn)而可以得到軌跡．【解答】解：以為原點(diǎn)將圓柱側(cè)面和底面展開如下圖，設(shè)，所以，，由題意，，所以當(dāng)時(shí)，同理時(shí)，所以點(diǎn)的軌跡在展開圖中為兩條互相垂直的線段，在圓柱面上不是橢圓，兩條線段的長(zhǎng)度均為，故軌跡長(zhǎng)為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，屬于中檔題．10．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)集合，，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足“對(duì)任意，都有”的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為，滿足“存在，使得”的點(diǎn)構(gòu)成的圖形為．對(duì)于下述兩個(gè)結(jié)論：①為正方形以及該正方形內(nèi)部區(qū)域；②的面積大于32．以下說法正確的為A．①、②都正確 B．①正確，②不正確 C．①不正確，②正確 D．①、②都不正確〖祥解〗先確定所表達(dá)的意義，了解滿足該條件的點(diǎn)的軌跡，再求點(diǎn)軌跡區(qū)域的面積，可以得到問題的答案．【解答】解：因?yàn)?，，，表示除原點(diǎn)外的平面內(nèi)的所有點(diǎn)，，所以表示到直線和的距離之和不大于4的點(diǎn)，如圖，易知直線和垂直，則，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以是以原點(diǎn)為圓心，半徑在范圍內(nèi)的圓形以及該圓形的內(nèi)部區(qū)域（原點(diǎn)除外），故①不正確；當(dāng)時(shí)，存在使得，故②正確．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線與方程的綜合應(yīng)用，屬于難題．二．填空題（共31小題）11．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知，2，3，，且，，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則這樣的橢圓共有6個(gè)．〖祥解〗根據(jù)焦點(diǎn)在軸上，得到，然后就可以得到答案．【解答】解：若橢圓焦點(diǎn)在軸上，則，當(dāng)時(shí)，，3，4；當(dāng)時(shí)，，4；當(dāng)時(shí)，，所以這樣的點(diǎn)有6個(gè)．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，屬于基礎(chǔ)題．12．（2024?金山區(qū)二模）已知雙曲線，給定的四點(diǎn)、、、中恰有三個(gè)點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率是．〖祥解〗先判斷，在雙曲線上，則一定不在雙曲線上，則在雙曲線上，則可得，求出，，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．【解答】解：根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得，在雙曲線上，則一定不在雙曲線上，則在雙曲線上，所以，解得，所以，則，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考査了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)和離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題．13．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、．若為等邊三角形，則的邊長(zhǎng)為4．〖祥解〗根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可．【解答】解：如圖，設(shè)的邊長(zhǎng)為，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，，即，，解得，．所以的邊長(zhǎng)為4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）將拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，得到拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2．〖祥解〗由題意得拋物線的方程為：，求得即可求解．【解答】解：拋物線關(guān)于直線對(duì)稱，拋物線的方程為：，，，則拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，，，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．〖祥解〗設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點(diǎn)為，則可知，又，從而可求出，從而可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再代入拋物線方程，即可求解．【解答】解：如圖，設(shè)準(zhǔn)線為與軸交點(diǎn)為，根據(jù)題意及拋物線的幾何性質(zhì)可得：，又，，，，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬基礎(chǔ)題．16．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）若拋物線的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為1，則實(shí)數(shù)．〖祥解〗根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)即可求解．【解答】解：，，又拋物線的焦點(diǎn)到它的準(zhǔn)線距離為1，，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．17．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）雙曲線的漸近線夾角大小為．〖祥解〗首先求出雙曲線的漸近線方程，求出漸近線的斜率，由夾角公式即可求出漸近線的夾角．【解答】解：因?yàn)殡p曲線，所以漸近線方程為和，設(shè)兩條漸近線的夾角為銳角，則，所以夾角為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線漸近線方程的求法以及夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．18．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）已知雙曲線的一條漸近線方程為，則1．〖祥解〗由雙曲線的漸近線方程，可得的方程，解方程可得所求值．【解答】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，解得．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．19．（2024?閔行區(qū)三模）如圖，、是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)、．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為．〖祥解〗設(shè)的邊長(zhǎng)為，則由雙曲線的定義，為等邊三角形，可求的值，在△中，由余弦定理，可得結(jié)論．，利用余弦定理算出，結(jié)合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)的邊長(zhǎng)為，則由雙曲線的定義，可得，，，由余弦定理可得，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查余弦定理的運(yùn)用，屬于中檔題．20．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的離心率，則的取值范圍是，．〖祥解〗根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，，結(jié)合離心率公式，可得關(guān)于的不等式組，解不等式組可得所求．【解答】解：依題意知，，，所以，則，有，解得，故的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．21．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓的焦點(diǎn)、都在軸上，為橢圓上一點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為6，且，，成等差數(shù)列，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．〖祥解〗由題意得，，利用橢圓的定義即可求解．【解答】解：橢圓的焦點(diǎn)、都在軸上，為橢圓上一點(diǎn)，△的周長(zhǎng)為6，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，且，又，，成等差數(shù)列，，則，，，，，，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬于中檔題．22．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形滿足，，，若點(diǎn)，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)不在橢圓上，則橢圓的焦距為4．〖祥解〗由，可得，，，四點(diǎn)共圓，再由題設(shè)求出圓心，表示出圓的方程，將代入橢圓及圓的方程，求出，即可得出答案．【解答】解：由題意得，，設(shè)，，，，連接，如圖所示：，，，，，在以為直徑的圓上，且，又原點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則圓心在的垂直平分線上，即在軸上，則，又，則，，，，當(dāng)時(shí)，則，若時(shí)，則四邊形為矩形，則點(diǎn)也在橢圓上，與點(diǎn)不在橢圓上矛盾，，，故圓的圓心坐標(biāo)為，圓的方程為，將代入得，又，解得，故橢圓的焦距為，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．23．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）設(shè)點(diǎn)是曲線右支上一動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，點(diǎn)是圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是8．〖祥解〗由雙曲線的方程，可得，的值，進(jìn)而求出的值，由雙曲線的定義及三點(diǎn)共線的性質(zhì)可得的最小值．【解答】解：由雙曲線的方程可得，，則，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，則，圓的圓心，半徑，由題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且在，之間時(shí)取等號(hào)．即的最小值為8．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用及三點(diǎn)共線時(shí)線段和最小的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．24．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)到的焦點(diǎn)的距離為16，到軸的距離為10，則12．〖祥解〗根據(jù)題意結(jié)合拋物線的定義分析求解．【解答】解：由題意可知拋物線的準(zhǔn)線方程為，根據(jù)拋物線的定義可得，所以．故答案為：12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．25．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知是拋物線上的一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，則．〖祥解〗由已知結(jié)合拋物線的定義可求得，再根據(jù)余弦定理求解．【解答】解：過作準(zhǔn)線的垂線，過作的垂線，垂足分別為，．由題意，點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：，解得，則，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．26．（2024?青浦區(qū)校級(jí)模擬）已知，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，，則的漸近線方程為．〖祥解〗由已知得，結(jié)合求出可得答案．【解答】解：如圖，因?yàn)?，所以，可得，即，可得，則的漸近線方程為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．27．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線與交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率是．〖祥解〗根據(jù)橢圓定義，，，，都用表示，由，構(gòu)造齊次式即可求解．【解答】解：依題得，，又，則，，則，則，即，則，則，即．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．28．（2024?寶山區(qū)三模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，若橢圓上存在一點(diǎn)，滿足線段相切于橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為．〖祥解〗設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用是△的中位線，以及橢圓的定義求出直角三角形的三邊之長(zhǎng)，再由勾股定理結(jié)合隱含條件求離心率．【解答】解：設(shè)線段的中點(diǎn)為，由題意知，，又是△的中位線，，則，由橢圓的定義知，又，，在直角三角形中，由勾股定理得：，又，可得，故有，由此可求得離心率，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的定義，考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的應(yīng)用，是中檔題．29．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）如圖，用一塊形狀為半橢圓的鐵皮截取一個(gè)以短軸為底的等腰梯形，記所得等腰梯形的面積為，則的最大值是．〖祥解〗設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，由點(diǎn)在橢圓上知，得，用，表示出等腰梯形的面積為，將代入得，利用導(dǎo)數(shù)求此函數(shù)的最值【解答】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，由點(diǎn)在橢圓上知，得等腰梯形的面積為（2分），令，得，即，，，又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上，有唯一的極大值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有最大值為；即當(dāng)時(shí)，有最大值為故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的方程消元，將面積表示成的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的最值，此題運(yùn)算量很大，解題時(shí)極易因運(yùn)算出錯(cuò)，做題時(shí)要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．30．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）考慮這樣的等腰三角形：它的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，且其中至少有兩個(gè)頂點(diǎn)為橢圓的頂點(diǎn)．這樣的等腰三角形有24個(gè)．〖祥解〗分等腰三角形的底為；為等腰三角形的腰，以為圓心，為半徑作圓與橢圓的交點(diǎn)；為等腰三角形的腰，以為圓心，為半徑作圓與橢圓的交點(diǎn)；為等腰三角形的腰，以為圓心，為半徑作圓與橢圓的交點(diǎn)的等腰三角形的個(gè)數(shù)．【解答】解：不妨設(shè)，①如下圖，連接，當(dāng)為等腰三角形的底時(shí)，作的垂直平分線交橢圓于，兩點(diǎn)，連接，，，，則△，△為等腰三角形，滿足題意，同理當(dāng)，，為等腰三角形的底時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足要求的等腰三角形，共有8個(gè)；②如下圖，當(dāng)為等腰三角形的腰時(shí)，以為圓心，為半徑作圓，則圓的方程為，聯(lián)立，解得或或或．即圓與橢圓相交于點(diǎn)，，，，連接，，，，其中△，△滿足要求，△三個(gè)頂點(diǎn)均為橢圓頂點(diǎn)，不合題意，同理當(dāng)，，為等腰三角形的腰時(shí)，也可以各作出2個(gè)滿足要求的等腰三角形，共有8個(gè)；③如下圖，以為圓心，為半徑作圓，此時(shí)圓與橢圓相交于點(diǎn)，，，連接，，，，此時(shí)△，△為等腰三角形，滿足題意，共有2個(gè)，④如下圖，以為圓心，為半徑作圓，此時(shí)圓與橢圓相交于點(diǎn)，，，連接，，，，此時(shí)△，△為等腰三角形，滿足題意，共有2個(gè)，由橢圓性質(zhì)可知，為橢圓中的最長(zhǎng)弦，所以不能作為等腰三角形的腰，而作為底時(shí)，剛好等腰三角形的頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)，不合要求，最后再算3個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓頂點(diǎn)的情況，易知這樣的等腰三角形有4個(gè)，綜上：滿足要求的等腰三角形個(gè)數(shù)為．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想，屬于中檔題．31．（2024?浦東新區(qū)三模）已知點(diǎn)、位于拋物線上，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，記點(diǎn)到軸的距離為．若的最小值為7，則當(dāng)取該最小值時(shí)，直線的斜率為．〖祥解〗由已知結(jié)合拋物線的定義可知取得最小值時(shí)，，，共線，然后設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及拋物線定義即可求解．【解答】解：分別從，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，，，由拋物線定義可知，，，則，所以到軸的距離，當(dāng)，，共線時(shí)取等號(hào)，所以，即，故拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，，則，所以，所以，因?yàn)?，解得，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線的定義，直線與我、拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)三模）過拋物線的焦點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，，交的準(zhǔn)線于點(diǎn)，，點(diǎn)為垂足．若是的中點(diǎn)，且，則4．〖祥解〗由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和拋物線的焦半徑公式，解方程可得和的坐標(biāo)，求得直線的斜率和方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求得弦長(zhǎng)．【解答】解：可設(shè)在第一象限，且為，，，，由，，是的中點(diǎn)，可得，而在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，又，解得，，，即有，，，，直線的斜率為，即有直線的方程為，代入拋物線方程，可得，解得或，則．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，以及直線和拋物線的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．33．（2024?普陀區(qū)模擬）已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線的法向量，與軸以及的左支分別相交，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2．〖祥解〗求出直線的方程，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合，可得，的值，從而可得實(shí)軸長(zhǎng)．【解答】解：由拋物線方程知，，又直線的法向量，所以直線的方程為，令，得，所以，設(shè)，，由，得，，，所以，，代入雙曲線方程，得，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，所以，解得，，所以雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線與雙曲線的性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．34．（2024?浦東新區(qū)二模）已知雙曲線的焦點(diǎn)分別為，，為雙曲線上一點(diǎn)，若，，則雙曲線的離心率為．〖祥解〗由雙曲線的定義和三角形的余弦定理與中線長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，可得雙曲線的離心率．【解答】解：設(shè)，，由雙曲線的定義可得，在△中，由余弦定理可得，即為，即有，由三角形的中線長(zhǎng)公式，可得，即，化為，則．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及三角形的余弦定理和中線長(zhǎng)公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．35．（2024?奉賢區(qū)三模）若曲線的右頂點(diǎn)，若對(duì)線段上任意一點(diǎn)，端點(diǎn)除外，在上存在關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)、使得三角形為等邊三角形，則正數(shù)的取值范圍是．〖祥解〗根據(jù)雙曲線的性質(zhì)列不等式求解即可．【解答】解：雙曲線的右頂點(diǎn)為，，為線段上一動(dòng)點(diǎn)，，又，是雙曲線右支上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，設(shè)，，則，，為等邊三角形，，由雙曲線方程得，，由雙曲線性質(zhì)知，，即，，解得，正實(shí)數(shù)的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，是中檔題．36．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，，過左焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)在第一象限），若線段的中垂線經(jīng)過點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為，則雙曲線的離心率為．〖祥解〗根據(jù)題意，由雙曲線的定義可得，再由勾股定理列出方程即可得到，的關(guān)系，進(jìn)而求解結(jié)論．【解答】解：設(shè)雙曲線的半焦距為，，，根據(jù)題意得到，又，故，設(shè)的中點(diǎn)為，在中，，，故，則，，根據(jù)，可知，故，可得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．37．（2024?閔行區(qū)校級(jí)二模）我們把形如和的兩個(gè)雙曲線叫做共軛雙曲線．設(shè)共軛雙曲線，的離心率分別為，，則的最大值是．〖祥解〗由，設(shè)，然后由離心率公式和輔助角公式化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：由題知，共軛雙曲線和的半焦距相等，記為，則，所以，又，故設(shè)，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，以及正弦函數(shù)的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．38．（2024?虹口區(qū)二模）從某個(gè)角度觀察籃球（如圖，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點(diǎn)將圓的周長(zhǎng)八等分，且，則該雙曲線的離心率為．〖祥解〗設(shè)圓半徑為，利用半徑表示出和圓上第一象限的八等分點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程可得，然后可得離心率．【解答】解：設(shè)圓半徑為，雙曲線方程為．已知，得，設(shè)雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)為，則，代入雙曲線方程，得，解得．．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查雙曲線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．39．（2024?松江區(qū)二模）已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過的直線與的左、右兩支分別交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為．〖祥解〗根據(jù)雙曲線的定義可求得，，再利用勾股定理可求得，從而可求得雙曲線的離心率．【解答】解：，不妨令，，，，，又由雙曲線的定義得：，，，．，．在△中，，，，．雙曲線的離心率．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，求得與的值是關(guān)鍵，屬于中檔題．40．（2024?閔行區(qū)二模）雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)，若，則4．〖祥解〗推得四邊形是平行四邊形，再由雙曲線的定義和平行四邊形的性質(zhì)，推得平行四邊形的鄰邊的長(zhǎng)，由余弦定理和向量數(shù)量積的定義，可得所求值．【解答】解：雙曲線的，，，設(shè)在第一象限，在第四象限，設(shè)，，由題意可得，由，，可得四邊形是平行四邊形，則，由雙曲線的定義，可得，即，即有，，在△中，由余弦定理可得，即有，則．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及平行四邊形的性質(zhì)、余弦定理的運(yùn)用和向量數(shù)量積的定義，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．41．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）若曲線的圖象上任意不同的兩點(diǎn)，，，，坐標(biāo)都滿足關(guān)系，則在①；②；③；④中，不可能是曲線的方程的序號(hào)為①②（填上所有正確答案的序號(hào)）．〖祥解〗由，將兩邊平方可得，即可得到恒成立，利用特殊值判斷①②，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)判斷③④．【解答】解：因?yàn)?，，，，所以，，，則，由，所以，即，所以，所以，所以，依題意可得恒成立，對(duì)于①：，取，不為時(shí)，，此時(shí)恒有，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②：，取，不為時(shí)，，此時(shí)恒有，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下所示：當(dāng)、在同一支時(shí)，顯然，所以；當(dāng)、在不同支時(shí)，顯然，所以；綜上可得恒成立，故③正確；對(duì)于④：，雙曲線的漸近線方程為，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以，所以，即兩漸近線的夾角小于，所以當(dāng)、在雙曲線的同一支時(shí)，，所以；當(dāng)、在雙曲線的不同支時(shí)，顯然，所以；綜上可得恒成立，故④正確；故不可能是曲線的方程的序號(hào)為①②．故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線方程，考查邏輯推理能力，屬于難題．三．解答題（共19小題）42．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知橢圓，、分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，、分別為左、右焦點(diǎn)，直線交橢圓于、兩點(diǎn)不過點(diǎn)．（1）若為橢圓上（除、外）任意一點(diǎn)，求直線和的斜率之積；（2）若，求直線的方程；（3）若直線與直線的斜率分別是、，且，求證：直線過定點(diǎn)．〖祥解〗（1）根據(jù)題意可得左、右頂點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，，再計(jì)算，即可得出答案．（2）設(shè)，，，，由，得，，，得，代入橢圓的方程，聯(lián)立，解得，，由點(diǎn)斜式，即可得出答案．（3）設(shè)，，，，可知直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓的方程，由韋達(dá)定理可得，，由，解得，即可得出答案．【解答】解：（1）在橢圓中左、右頂點(diǎn)分別為，，設(shè)點(diǎn)，，則．（2）設(shè)，，，，由已知可得，則，，，，由，得，，，化簡(jiǎn)得，代入可得，聯(lián)立，解得，所以由，得直線過點(diǎn)，，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為．（3）證明：設(shè)，，，，可知直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得，由△，得，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?，化為，所以，由，得，化?jiǎn)得，解得，所以直線的方程為，恒過定點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，熟練掌握向量共線的坐標(biāo)表示，弦長(zhǎng)公式，點(diǎn)到直線的距離公式等是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．43．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓（常數(shù)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)；（1）若是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的值；（2）設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，，求的取值范圍；（3）設(shè)，，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，試探究的面積是否為定值，說明理由．〖祥解〗（1）根據(jù)與坐標(biāo)化簡(jiǎn)已知等式，確定出坐標(biāo)，由在橢圓上列出關(guān)系式，求出所求式子的值即可；（2）設(shè)，利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則表示出，配方后求出的最大值與最小值，即可確定出的范圍；（3）根據(jù)題意，利用斜率公式得到，兩邊平方，整理得到，表示出三角形的面積，整理后把代入得到結(jié)果為定值．【解答】解：（1）點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，即，把坐標(biāo)代入橢圓方程得：，即；（2）設(shè)，則，，，由，得，當(dāng)時(shí)，的最大值為0；當(dāng)時(shí)，的最小值為，則的范圍為，；（3）設(shè)，，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足，由條件得：，平方得：，即，，則的面積為定值．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，斜率公式，以及平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．44．（2024?浦東新區(qū)二模）已知相圓，點(diǎn)、分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)．（1）若橢圓上點(diǎn)滿足，求的值；（2）點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)，定點(diǎn)在軸上，若點(diǎn)為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)點(diǎn)恰與點(diǎn)重合，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知為常數(shù)，過點(diǎn)且法向量為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)滿足，求的最大值．〖祥解〗（1）設(shè)點(diǎn)，然后代入橢圓方程，即可求出，再根據(jù)橢圓定義求；（2）設(shè)，求出，根據(jù)二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值要求列不等式求解；（3）設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算，利用基本不等式求最值．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以設(shè)點(diǎn)，則，所以，即，所以；（2）設(shè)，則，則，所以，要時(shí)取最小值，則必有，所以；（3）設(shè)過點(diǎn)且法向量為的直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去得，△，則，則，，又，又點(diǎn)在橢圓上，則，所以，即，所以，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．45．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)橢圓，的離心率是短軸長(zhǎng)的倍，直線交于、兩點(diǎn)，是上異于、的一點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）若直線過的右焦點(diǎn)，且，，求的值；（3）設(shè)直線的方程為，且，求的取值范圍．〖祥解〗（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及，，之間的關(guān)系列出等式，進(jìn)而可得橢圓的方程；（2）設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，利用向量的運(yùn)算以及橢圓的定義和對(duì)稱性推出，再代入三角形面積公式中即可求解；（3）設(shè)出，，三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的運(yùn)算得到，，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理得到和，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程中得到，此時(shí)滿足△，再結(jié)合弦長(zhǎng)公式和換元法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率是短軸的長(zhǎng)的倍，所以，即，又，解得，則橢圓的方程為；（2）不妨設(shè)的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋?，兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，所以，由橢圓的對(duì)稱性得，且三角形與三角形全等，所以，因?yàn)?，解得，則；（3）不妨設(shè)，，，，，，因?yàn)?，所以，，?lián)立，消去并整理得，此時(shí)△，由韋達(dá)定理得，，此時(shí)，所以，，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，整理得，此時(shí)滿足△，所以，不妨令，，則．故的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．46．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“伴橢圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．（1）求橢圓的方程及其“伴橢圓”方程；（2）若傾斜角為的直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與橢圓的“伴橢圓”相交于、兩點(diǎn)，求弦的長(zhǎng)；（3）在橢圓的“伴橢圓”上任取一點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，，使得，與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，且，分別與橢圓的“伴橢圓”交于，兩點(diǎn)．證明：直線過原點(diǎn)．〖祥解〗（1）根據(jù)已知條件求得，，，從而求得橢圓的方程及其“伴橢圓”方程；（2）設(shè)出直線的方程并與橢圓方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后利用判別式求得，利用點(diǎn)到直線的距離公式以及圓的弦長(zhǎng)的計(jì)算公式求得．（3）通過證明來證得直線過原點(diǎn)．【解答】解：（1）依題意，，所以，，所以橢圓的方程為，“伴橢圓”方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由消去并化簡(jiǎn)得，由△得，圓心到直線的距離為，所以．（3）證明：①當(dāng)、都有斜率時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，其中，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)，與橢圓相切，且斜率存在的直線的方程為，聯(lián)立，消去得到，即，，整理可得，設(shè)、的斜率分別為、，因?yàn)?、與橢圓都只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以、是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，因而，即；②當(dāng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，此時(shí)、分別與兩坐標(biāo)軸垂直，則．綜上所述，．所以，所以是“伴橢圓”的直徑，過原點(diǎn)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．47．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）我們將離心率相等的所有橢圓稱為“一簇橢圓系”．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為．（1）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，求常數(shù)的值；（2）設(shè)橢圓，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，過作斜率為的直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求當(dāng)為何值時(shí)，取得最小值，并求其最小值；（3）若橢圓與橢圓在“一簇橢圓系”中，橢圓上的任意一點(diǎn)記為，求證：的垂心必在橢圓上．〖祥解〗（1）計(jì)算橢圓離心率的等量關(guān)系，求解即可．（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，可得出，與的關(guān)系，結(jié)合不等式可求出最小值；（3）先由“一簇橢圓系”定義計(jì)算橢圓的方程，再根據(jù)垂心的性質(zhì)計(jì)算垂心與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，代入點(diǎn)滿足的橢圓方程，即可證明．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的離心率，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．則或；（2）易得，所以直線，的方程分別為，聯(lián)立，消去并整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△，因?yàn)椋?，?lián)立，消去并整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以△，因?yàn)椋?，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)．故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．（3）證明：易知橢圓．不妨設(shè)，為橢圓上的任意一點(diǎn)，此時(shí)，①不妨設(shè)的垂心的坐標(biāo)為，，連接，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，②?lián)立①②，解得，因?yàn)辄c(diǎn)，在橢圓上，所以．故的垂心在橢圓上．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．48．（2024?閔行區(qū)二模）如圖，已知橢圓和拋物線，的焦點(diǎn)是的上頂點(diǎn)，過的直線交于、兩點(diǎn)，連接、并延長(zhǎng)之，分別交于、兩點(diǎn)，連接，設(shè)、的面積分別為、．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的取值范圍．〖祥解〗（1）根據(jù)題意即可求出的值．（2）設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，、，，聯(lián)立直線與拋物線，即可得出的值．（3）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)點(diǎn)所在象限和均值不等式，即可得出答案．【解答】解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，故．（2）若直線與軸重合，則該直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，、，，聯(lián)立，可得，△恒成立，則，．（3）設(shè)直線、的斜率分別為、，其中，，聯(lián)立，可得，解得，點(diǎn)在第三象限，則，點(diǎn)在第四象限，同理可得，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，屬于中檔題．49．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知曲線．（1）若曲線為雙曲線，且漸近線方程為，求曲線的離心率；（2）若曲線為橢圓，且在曲線上．過原點(diǎn)且斜率存在的直線和直線與不重合）與橢圓分別交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且點(diǎn)滿足到直線和的距離都等于，求直線和的斜率之積．（3）若，過點(diǎn)的直線與直線交于點(diǎn)，與橢圓交于，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，直線交直線交于點(diǎn)，求的最小值．〖祥解〗（1）分焦點(diǎn)在軸、軸兩種情況討論，分別求出離心率；（2）將點(diǎn)代入方程，求出的值，即可求出曲線方程，設(shè)直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，利用韋達(dá)定理計(jì)算可得；（3）首先得到橢圓方程，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立方程，求得點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，令，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得到的表達(dá)式，再根據(jù)均值不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)榍€為雙曲線，若焦點(diǎn)在軸，則，又漸近線方程為，則，即，解得或（舍去），此時(shí)曲線的離心率；若焦點(diǎn)在軸上，則，又漸近線方程為，則，即，解得（舍去）或，此時(shí)曲線的離心率．綜上可得曲線的離心率為或2．（2）依題意，解得或，當(dāng)時(shí)，曲線，符合題意；當(dāng)時(shí)，曲線，符合題意；設(shè)直線的方程為，直線的方程為，設(shè)，，則根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得，化簡(jiǎn)得，同理可得，所以是一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根，△，則有，又點(diǎn)，所以．（3）當(dāng)時(shí)，曲線，不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得，則，即，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，此時(shí)，所以直線的方程為，當(dāng)時(shí)，解得，即，所以，則，因?yàn)?，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為16．故的最小值為4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與橢圓的綜合，考查了分類討論思想及方程思想，屬于中檔題．50．（2024?浦東新區(qū)三模）已知雙曲線，點(diǎn)、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，，、，為雙曲線上的點(diǎn)．（1）求右焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離；（2）若，求直線的方程；（3）若，其中、兩點(diǎn)均在軸上方，且分別位于雙曲線的左、右兩支，求四邊形的面積的取值范圍．〖祥解〗（1）由已知結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可直接求解；（2）先設(shè)直線的方程，聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系可求；（3）由對(duì)稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，先設(shè)，，直線程為，直線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，及平行線與之間的距離，進(jìn)而表示出四邊形的面積，再由函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【解答】解：（1）由題，右焦點(diǎn)，漸近線方程為，因此焦點(diǎn)到漸近線的距離為；（2）顯然，直線不與軸重合，設(shè)直線方程為，由，得，聯(lián)立方程，得，其中，△恒成立，，，代入，消元得，，即，解得，所以，直線的方程為；（3）延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交雙曲線于點(diǎn)．則由對(duì)稱性得，四邊形為平行四邊形，且面積為四邊形面積的2倍，由題，設(shè)，，直線程為，直線方程，由第（2）問，易得，因?yàn)椋?，即，因而，平行線與之間的距離為，因此，，令，則，故，得在上是嚴(yán)格增函數(shù)，故（等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立）所以，四邊形面積的取值范圍為，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．51．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）已知橢圓為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求的離心率；（2）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)在上，求的最大值和最小值；（3）點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)且與平行的直線與交于，兩點(diǎn)；試探究：是否存在常數(shù)，使得恒成立；若存在，求出該常數(shù)的值；若不存在，說明理由．〖祥解〗（1）利用橢圓方程即可直接求得其離心率；（2）利用參數(shù)方程，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）分別利用向量的模與線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，，，再聯(lián)立直線與橢圓方程得到，關(guān)于的表達(dá)式，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到與的關(guān)系，由此得解．【解答】解：（1），，，則，所以；（2）設(shè)，，，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．（3）設(shè)，，，，，直線，，故，，，聯(lián)立方程，消去整理得，則，，，故．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的性質(zhì)，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．52．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)．設(shè)在點(diǎn)、處的切線分別為，，與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為．（1）設(shè)點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求切線的斜率，并證明；（2）證明：點(diǎn)必在直線上；（3）若、、、四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo)．〖祥解〗（1）由，，得點(diǎn)處的切線斜率為，從而切線的方程為，切線與軸的交點(diǎn)為，又，，，由此能證明；（2）直線，直線，聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，推導(dǎo)出由，由此能證明點(diǎn)在直線上．（3），，，設(shè)的外接圓方程為，求出外接圓方程為，由此能求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）證明：，，點(diǎn)處的切線斜率為，切線的方程為，切線與軸的交點(diǎn)為，又，，，，當(dāng)時(shí)，亦有，綜上，；（2）證明：直線，直線，聯(lián)立方程組，解得交點(diǎn)，又點(diǎn)，，，由，得，所以，點(diǎn)在直線上．（3），，，設(shè)的外接圓方程為，解得，，外接圓方程為將代入方程，得又，解得，，點(diǎn)坐標(biāo)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的斜率、直線方程、直線與直線垂直的性質(zhì)、三角形外接圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．53．（2024?松江區(qū)二模）如圖，橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過上焦點(diǎn)與軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)、分別在直線與橢圓上．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）若線段的中點(diǎn)在軸上，求△的面積；（3）是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．〖祥解〗（1）根據(jù)已知求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得的長(zhǎng)；（2）求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由三角形面積公式求解即可；（3）假設(shè)存在以，為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上，顯然，設(shè)，，，，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，由，在橢圓上及，可得方程組，從而可求得點(diǎn)的縱坐標(biāo)．【解答】解：（1）依題意得：，由軸，得：，代入橢圓方程得：，所以線段的長(zhǎng)為．分（2）顯然，線段的中點(diǎn)在軸上，則，即軸，，，分所以．分（3）假設(shè)存在以，為鄰邊的矩形，使得點(diǎn)在橢圓上，顯然，設(shè)，，，，則，，因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，一定為平行四邊形，所以，代入?jì)算得，，由題意知，在橢圓上及，代入，得，即，分將①②代入③并化簡(jiǎn)得，，再結(jié)合①，得，即或．若，則；分若，則聯(lián)立①②，得，消去，得，解得，由于，故．分綜上，存在滿足題意的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為或．分【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．54．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線：，焦點(diǎn)為，，為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是在點(diǎn)處的切線，點(diǎn)在上且與點(diǎn)不重合．直線與交于、兩點(diǎn)，且平分直線和直線的夾角．（1）求的方程（用，表示）；（2）若從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)反射，證明：反射光線平行于軸；（3）若點(diǎn)坐標(biāo)為，求點(diǎn)坐標(biāo)．〖祥解〗（1）設(shè)定直線的方程，并與拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，相切需保證△，求解即可；（2）由拋物線定義得到，設(shè)為反射光線上與相異的一點(diǎn)，進(jìn)而證明即可；（3）先求得為的中點(diǎn)，設(shè)定直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立得出一元二次方程，進(jìn)而得出直線和的方程，求出點(diǎn)，的橫坐標(biāo)，證明即可．【解答】解：（1）易知切線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，此時(shí)△，又，所以，解得，則直線的方程為，又，所以，即；（2）證明：過點(diǎn)作的垂線并交軸于點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，令，解得，即，，因?yàn)?，所以，作點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線上的投影，由拋物線定義可知，此時(shí)，即，設(shè)為反射光線上與相異的一點(diǎn)，則，綜上得，，軸，故從點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過點(diǎn)反射后平行于軸；（3）若點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)直線方程為，連，取，的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)點(diǎn)在直線上，所以直線與直線垂直，設(shè)直線，與的交點(diǎn)分別為，，此時(shí)為，的中點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，因?yàn)椋藭r(shí)，所以直線的方程為，即，易知直線的方程為，聯(lián)立，解得，同理得，因?yàn)椋裕淼?，即，解得，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，，即，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以直線即為，則，兩點(diǎn)重合，不符合題意．綜上得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于難題．55．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）已知拋物線，為第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)．（1）設(shè)，若經(jīng)過的焦點(diǎn)，求與的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）設(shè)，已知與軸負(fù)半軸有交點(diǎn)，與有、兩個(gè)交點(diǎn)，若將這三個(gè)交點(diǎn)從左至右重新命名為、、，有，求出所有滿足條件的的方程；（3）設(shè)，，已知是在點(diǎn)處的切線，過點(diǎn)作直線使得，是與的另一個(gè)交點(diǎn)，求出關(guān)于的表達(dá)式，并求的最小值．〖祥解〗（1）寫出拋物線的準(zhǔn)線方程和直線直線的方程，聯(lián)立方程求解即可；（2）討論時(shí)，由方程聯(lián)立為方程組，求點(diǎn)的坐標(biāo)，得出斜率的值，即可寫出直線的方程，同理求出時(shí)直線的方程；（3）由題意聯(lián)立方程組，消去，化簡(jiǎn)為的二次方程，由此求的表達(dá)式，計(jì)算最小值即可．【解答】解：（1）由題意知，，拋物線的準(zhǔn)線方程為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，解得，所以與的準(zhǔn)線交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）當(dāng)時(shí)，，消去，化簡(jiǎn)得，解得，；此時(shí)的方程為；當(dāng)時(shí)，同理可得，此時(shí)的方程為；（3）由，消去，化簡(jiǎn)得，解得，所以，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓錐曲線的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算求解能力，是難題．56．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知點(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)且．（1）求雙曲線的方程；（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程；（3）過點(diǎn)的直線與雙曲線左右兩支分別交于點(diǎn)、，求證：．〖祥解〗（1）設(shè)雙曲線的漸近線為，將代入漸近線方程，得出，關(guān)系式，再由，解出，綜合，解出，即可；（2）斜率不存在時(shí)剛好滿足，斜率存在與漸近線平行時(shí)也成立，分情況討論，求出直線方程即可；（3）用弦長(zhǎng)公式求出，將看作的函數(shù)，然后借助導(dǎo)數(shù)知識(shí)研究函數(shù)最小值，結(jié)合放縮法即可證明．【解答】解：（1）設(shè)雙曲線：的漸近線為，，，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的一條漸近線上，所以，，，又，故，，又，解得，故雙曲線的方程為．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，由雙曲線的性質(zhì)可得，當(dāng)直線過點(diǎn)且平行于雙曲線的漸近線時(shí)，直線與雙曲線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，，此時(shí)直線方程為：，即，綜上：直線的方程為或．（3）證明：由題，直線斜率存在，設(shè)直線方程為，即，，，，，聯(lián)立，整理得：，則，由弦長(zhǎng)公式：，，則，則，，則，令，，與同正負(fù)，，，此時(shí)△，則，即單調(diào)遞增，則（1），且，則，使得，則當(dāng)，，即，則單調(diào)遞減．當(dāng)，，即，則單調(diào)遞增．則在出取得最小值，且，故，即，原命題得證．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于難題．57．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)，是雙曲線上的兩點(diǎn)．直線與雙曲線的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)．（1）若雙曲線的離心率是，且點(diǎn)在雙曲線上，求雙曲線的方程；（2）設(shè)、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，直線平行于軸．求直線與斜率的乘積，并求直線與的交點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)雙曲線，其中，，點(diǎn)是拋物線上不同于點(diǎn)、的動(dòng)點(diǎn)，且直線與雙曲線相交于另一點(diǎn)，直線與雙曲線相交于另一點(diǎn)，問：直線是否恒過某一定點(diǎn)？若是，求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由．〖祥解〗（1）根據(jù)所給條件得到關(guān)于，的方程組，解得即可；（2）設(shè)，或，，則，，表示出，，利用點(diǎn)在雙曲線上得到，再由三點(diǎn)共線得到，代入雙曲線方程，整理可得；（3）設(shè)，，，，，則，即可得到、的方程，表示出、，根據(jù)對(duì)稱性定點(diǎn)在軸上，利用特殊值求出定點(diǎn)坐標(biāo)，再證明即可．【解答】解：（1）由題意可得，解得，，故雙曲線的方程為；（2）設(shè)，或，則，，，，，則，所以，又，即，所以，則，，由，，三點(diǎn)共線得：，，，由，，三點(diǎn)共線得：，所以，，又，所以，即，則，故直線與直線的交點(diǎn)的軌跡的方程為；（3）設(shè)，，，，，，則，直線，即，直線，即，由，化簡(jiǎn)得，所以，即，則，同理，，由對(duì)稱性知，若過定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，取，得，，則直線，過，下證明直線恒過定點(diǎn)為，則，，所以，所以直線恒過定點(diǎn)為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及直線與雙曲線的位置關(guān)系，屬于難題．58．（2024?奉賢區(qū)三模）如圖1：已知橢圓的方程為和橢圓，其中，分別是橢圓的左右頂點(diǎn)．（1）若，恰好為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，橢圓和橢圓有相同的離心率，求橢圓的方程；（2）如圖2，若橢圓的方程為．是橢圓上一點(diǎn)，射線，分別交橢圓于，，連接，，，均在軸上方），求證：，斜率之積為定值，求出這個(gè)定值；（3）在（2）的條件下，若，且兩條平行線的斜率為，求正數(shù)的值．〖祥解〗（1）由題意得，橢圓的離心率為，結(jié)合，可求得橢圓的方程；（2）設(shè)，則，又，，由兩點(diǎn)的斜率公式整理可得結(jié)論；（3）解法一：設(shè)，，，，設(shè)直線方程，設(shè)直線方程，分別聯(lián)立直線和橢圓方程后，整理可得，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合即可求解．解法二：設(shè)，，作交橢圓與另一點(diǎn)，，可得到四邊形是平行四邊形，所以，，在同一直線上，，，設(shè)直線方程，聯(lián)立直線和橢圓的方程，整理得，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合即可求解．【解答】（1）解：橢圓的離心率為，，即，所以，，，所以橢圓的方程為．（2）證明：設(shè)，則，，的斜率即為，的斜率，因?yàn)椋?，所以，，所以，故，斜率之積為定值．（3）解法一：設(shè)，，，，由于，所以，，設(shè)直線方程，設(shè)直線方程，聯(lián)立，得到，聯(lián)立，得到，，所以，所以，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，△恒成立，，，整理得：，，所以，．解法二：設(shè)，，作交橢圓與另一點(diǎn)，，根據(jù)橢圓中心對(duì)稱得，由可得到四邊形是平行四邊形，所以，，在同一直線上，，，設(shè)直線方程，聯(lián)立，得，△恒成立，，，整理得，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程及性質(zhì)，考查聯(lián)立直線和橢圓的方程解決綜合問題，屬于難題．59．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，設(shè)是第一象限內(nèi)上的一點(diǎn)，、的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)、．（1）求△的周長(zhǎng)；（2）求△面積的取值范圍；（3）求的最大值．〖祥解〗（1）由題意，根據(jù)題目所給信息以及橢圓的定義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及三角形面積公式再進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)直線，的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，將兩直線方程分別與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，再代入三角形面積公式中進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）因?yàn)闄E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且，為橢圓上的點(diǎn)，所以，可得△的周長(zhǎng)為．即，則△的周長(zhǎng)為；（2）不妨設(shè)直線的方程為，，，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，所以，不妨令，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，則△面積的取值范圍為；（3）不妨設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，則，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，同理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，若軸時(shí)，易知，此時(shí)．綜上，的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．60．（2024?楊浦區(qū)二模）已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，直線、分別與軸交于點(diǎn)、．（1）求橢圓的方程；（2）已知命題“對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)”為真命題，求的重心坐標(biāo)；（3）是否存在直線，使得？若存在，求出所有滿足條件的直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．（其中、分別表示、的面積）〖祥解〗（1）由條件列方程求出，可得，由此能求出橢圓的方程．（2）對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，由，得，由此能求出的重心．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，得，由△，利用韋達(dá)定理、直線方程、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式，由此能求出直線的方程．【解答】解：（1）由條件：，可知，，，，橢圓的方程為．（2）由條件，對(duì)任意直線，線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)，我們只需要取一條特殊的直線，不妨取，則直線，聯(lián)立，可得，解得，，直線，解得，，，設(shè)的重心為，由，得，．（3）設(shè)滿足條件的直線存在，其斜率為，，設(shè)，，，，不妨令，由，消去得，由△，解得，由韋達(dá)定理得，，直線的方程為，令，解得，直線的方程為，令，解得，，，，，即，，，，，直線的方程為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、韋達(dá)定理、直線方程、弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．專題1