高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊第2版）課件：函數(shù)的微分

導(dǎo)數(shù)、微分1函數(shù)的微分三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則四、微分在近似計算中的應(yīng)用五、小結(jié)2一、微分的定義二、函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系一、微分的定義3函數(shù)當(dāng)時，大約是多少？由連續(xù)知，3當(dāng)時，自變量變化不大時，函數(shù)值相差很小.能否再精確？又根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義再由極限和無窮小的關(guān)系有即或的倍數(shù)高階無窮小主要部分只需進(jìn)行簡單的乘法運(yùn)算4定義

的微分,若函數(shù)在點(diǎn)的附近有定義，使得函數(shù)值的增量那么稱并把稱為記作或在點(diǎn)可微,如果存在不依賴于

的常數(shù)，可表示為在點(diǎn)即或從而，微分即函數(shù)增量的線性主部二、函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系函數(shù)在點(diǎn)可微的充要條件是且定理1在點(diǎn)可導(dǎo)，“充分性”已知即在點(diǎn)可導(dǎo),則證明：

事實上，就是把前面的討論一般化.故56“必要性”已知在點(diǎn)可微,則證明：

以除上式兩邊，因此,故在點(diǎn)可導(dǎo),且并令得注1則與是若在點(diǎn)可微,的等價無窮小.事實上，7注2該定理不僅表明函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)和可微是等價的，而且給出了通過導(dǎo)數(shù)求微分的方法.時,當(dāng)特別地，例如，因此，對于可微函數(shù)有——自變量的微分8由得，即，函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，導(dǎo)數(shù)又稱為微商.例1求函數(shù)的微分.解:例2（2）求函數(shù)在處的微分.

解:（1）求函數(shù)的微分.

（3）求函數(shù)在處當(dāng)時的微分，并討論微分與函數(shù)增量的誤差.（1）解:（2）（3）而可見，用近似代替的誤差為從而微分的幾何意義

MNT）P切線上縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量910三、基本初等函數(shù)的微分公式與微分運(yùn)算法則由，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式都可以轉(zhuǎn)化為基本初等函數(shù)的微分公式11設(shè)均可微,則(

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)1.3.4.2.由，還可以得到函數(shù)的微分運(yùn)算法則12例3求的微分.解:由微分的乘法運(yùn)算法則而由微分形式不變性可知于是，13例4求的微分.解:化簡，從而例5（參數(shù)方程求導(dǎo)法則）設(shè)參數(shù)方程中對可導(dǎo)，且利用微分形式不變性證明解:由于故，有1415例6求由方程所確定的隱函數(shù)的解:方程兩端微分，有微分和導(dǎo)數(shù)即，也就是，從而，16注3易見，利用微分形式不變性以及微分的運(yùn)算性質(zhì)，可以不必先求出復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的微分，進(jìn)一步地，通過微分得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例7在括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使得等式成立.上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.(1)(2)注417四、微分在近似計算中的應(yīng)用當(dāng)很小時,使用原則得近似等式:對于可微函數(shù)令（1）與靠近，（2）易計算近似計算時，如何選擇？即很小18例8求的近似值.解:設(shè)取代入近似公式得則19在應(yīng)用上面得近似公式時，常見的情形，此時需很小，近似公式即為當(dāng)很小時，可得到下列常用近似公式20例9求的近似值.解:當(dāng)很小時，從而，由于21五、小結(jié)1.微分概念

微分的定義

可導(dǎo)