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文檔簡介

定積分的計算5.4.1定積分的換元積分法

對定積分和不定積分之間的聯(lián)系與區(qū)別熟悉以后,

不定積分的換元法和分部積分法

函數的奇偶性周期性等性質.就能繼續(xù)研究求解定積分的具體方法了.不定積分有換元法和分部積分法,定積分也有類似的方法.下面我們就來討論這兩種方法.預備知識定理5.6設函數在區(qū)間上連續(xù)，函數滿足條件：(1)當（或）時，且(2)在（或）上具有連續(xù)導數，則有此式叫做定積分換元公式．分析

連續(xù)函數為可積函數，因此被積函數的原函數存在，可用N-L公式計算.證明

假設是的一個原函數，則又由復合函數的求導法則知是的一個原函數，所以故應用換元公式時需要注意：“換元必換限”，即變量變換成新變量時，原積分限也要換成相應于新變量的積分限．分析

根號下含有二次函數一般采用第二類換元法例5.4.1

計算解令則

且由0增到1.由0變到時，當于是解

例5.4.2

計算分析

因為可知被積函數含有絕對值，一般要分區(qū)間求積分.例5.4.3

求

分析

此題的難點在于根號，因此可用根式換元法去掉根號.解設即換積分限：當時，時，于是例5.4.4

計算下列積分.分析

三角函數的平方或立方的積分,利用公式降次或變(1)(2)形,變?yōu)橐阎e分計算.解(1)(2)

上題中,第一題被積函數是奇函數,第二題被積函數是偶函數，像這種奇偶函數在定積分計算中有簡便方法,可以總結出一條有用的結論（簡稱為“偶倍奇零”）.設函數在區(qū)間上連續(xù)，則有結論(證明從略):(1)當為奇函數時，(2)當為偶函數時，利用這兩個結論可以簡化運算，尤其是第一個，比如：對于三角函數，還有如下的換元法：分析

抽象函數的運算,應設法改變積分變量.例5.4.5

設在上連續(xù)，證明：(1)(2)解(1)設則且當時,時,于是(2)設則且當時,時,于是移項得：5.4.2定積分的分部積分法利用不定積分的分部積分公式及牛頓萊布尼茲公式,即可得出定積分的分部積分公式.設函數在區(qū)間上具有連續(xù)導數，按不定積分的分部積分法有:從而得這就是定積分的分部積分公式．例5.4.6

計算下列積分.解(1)(2)(3)分析

對數函數與冪函數或常函數的乘積，將函數進行適當變形，對數函數作為再分部積分.(1)(2)(3)例5.4.7

設在連續(xù),且求分析

觀察題目,本題是抽象函數的積分,需要用到分部積分法.解因為代入計算可得：原式小

結

這一節(jié)是本章中的重點和難點，也是定積分學的主要內容.熟練應用換元法和分部積分法求解定積分是學好后續(xù)章節(jié)的基礎.但是，

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