湖南省邵陽市2023-2024學年高一上學期拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)競賽（初賽）數(shù)學試題 含解析

2023年拔尖創(chuàng)新人才早期培養(yǎng)學科知識競賽（初賽）（數(shù)學）試題卷溫馨提示:1.時量100分鐘，滿分150分。2.請你將姓名、準考證號等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上。3.請你在答題卡上作答，答在本卷上無效。一．單選題（每小題5分，共40分）1.已知一元二次方程有一個根為零，則（）A.1 B. C.1或 D.或4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)有，即可求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，可得.故選：B2.如果將一組數(shù)據(jù)5、4、6、5、4、13、5依次重復寫10次，會得到70個數(shù)組成的一組新數(shù)據(jù)，關(guān)于這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)，下列說法正確的是（）A.中位數(shù)和眾數(shù)都是5 B.眾數(shù)是10C.中位數(shù)是4 D.中位數(shù)、平均數(shù)都是5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】將這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為4，4，5，5，5，6，13，處于中間位置的那個數(shù)是5，每個數(shù)字重復寫10次，5依然處于中間位置，由中位數(shù)的定義可知，這組新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5，這組新數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是5，出現(xiàn)了30次，所以眾數(shù)為5，故A正確，BC錯誤．平均數(shù)，故D錯誤．故選：A3.已知函數(shù)與圖象的交點為，，，則不等式的解為（）A.或 B.或或C.或 D.或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)以及二次函數(shù)的圖象，即可結(jié)合圖象求解.【詳解】作出與的大致圖象如下：由圖象可知：不等式的解集實際上就是當拋物線的圖象位于值反比例函數(shù)的圖象上方時，所對應的自變量的取值范圍，根據(jù)圖象可以得到：在第一象限，當時，二次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，在第三象限，有兩部分，即當或時，二次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值，故選：B．4.已知實數(shù)滿足且，則的值為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意整理可得，代入運算即可.【詳解】因為，即，可得，可得或，即或，且，可得，所以.故選：A.5.圓內(nèi)切于正三角形，半徑為R，圓與圓及，均相切，圓的半徑為r，則等于（）A.4 B.2 C.3 D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)分析求解.【詳解】設(shè)正三角形的邊長為，則圓的半徑，設(shè)圓與圓切于點，過點作∥，因為，則，可知圓為正三角形的內(nèi)切圓，且為的中點，則，所以.故選：C.6.割圓術(shù)是我國古代數(shù)學家劉微創(chuàng)造的一種求周長和面積的算法：隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的增加，它的周長和面積越來越接近圓周長和圓面積，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”．這一思想在數(shù)學領(lǐng)域中有廣泛的應用．例如：求值．則可以設(shè)，根據(jù)上述思想方法有，解方程得；試用這個方法解決問題：（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】由，設(shè)，則，由此能求出結(jié)果．【詳解】可設(shè)，則，解得：．故選：B．7.如圖，中，，，，點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，同時點從點出發(fā)，以的速度沿向點運動，直到它們都到達點為止．若的面積為，點的運動時間為，則與的函數(shù)圖象是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)勾股定理可得，然后分兩段：當點在邊上時，，當點在邊上時，，分別求出函數(shù)關(guān)系式，即可求解．【詳解】∵，，，∴，根據(jù)題意得：點到達點的時間是，到達點的時間為，點到達點的時間為，當點邊上時（不含端點），，，如圖，過點作于點，則，∴，∴，∴，解得：，，∴，當點在邊上時，，，，如圖，∴，，∴，即,綜上所述，與的函數(shù)關(guān)系式為，∴函數(shù)圖象第一段為過原點的開口向上的拋物線的一部分，第二段為自左向右逐漸下降的拋物線的一部分．故選：C8.如圖，中，，，，P是內(nèi)部的一個動點，滿足，則線段CP長的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)可得，進而有在以為直徑的圓上，即圓心為中點，半徑為，即可求線段CP長的最小值.【詳解】由題設(shè)，即，所以在以為直徑的圓上，即圓心為中點，半徑為，且在內(nèi)部，所以線段CP長的最小值為.故選：D二．多選題（每小題5分，少選得2分，多選不得分，共20分）9.已知關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組的解集為，求滿足條件的整數(shù)的值可以為（）A.﹣4 B.﹣2 C.﹣1 D.1【答案】BD【解析】【分析】解不等式組結(jié)合不等式組的解集從而得到，逐項分析即可.【詳解】解不等式組得：.因為關(guān)于的不等式組的解集為，所以，即.因為關(guān)于的分式方程有整數(shù)解：，時，符合題意；時，由于分式方程分母為，所以不符合題意；時，，符合題意.所以或.故選：BD10.有依次排列的2個整式：，，對任意相鄰的兩個整式，都用右邊的整式減去左邊的整式，所得之差寫在這兩個整式之間，可以產(chǎn)生一個新整式串：，2，，這稱為第一次操作；將第一次操作后的整式串按上述方式再做一次操作，可以得到第二次操作后的整式串；以此類推．通過實際操作，分別得出一個結(jié)論，以下四個結(jié)論正確的有（）．A.第二次操作后整式串為：，，2，，；B.第二次操作后，當時，所有整式的積為非負數(shù)；C.第三次操作后整式串中共有8個整式；D.第2023次操作后，所有的整式的和為；【答案】ABD【解析】【分析】由第一次操作得到：，2，，重復操作可判斷A選項；將第二次操作后整式串為：，，2，，，相乘驗證，即可判斷B選項；進行第三次操作得到結(jié)果，即可判斷C選項；利用前三次操作，找到其整式和與次數(shù)之間滿足關(guān)系，進而判斷D選項.【詳解】對于A選項：由第一次操作得到：，2，，則第二次操作后整式串為：，，2，，，故選項A正確；對于B選項：由第二次操作后整式串為：，，2，，，因為，所以，所以，故選項B正確；對于C選項：由第二次操作后整式串為：，，2，，，第三次操作后為：共有9個整式，故C選項錯誤；對于D選項：由第一次操作得到：，2，，其和為；由第二次操作后整式串為：，，2，，，其和為；第三次操作后為：其和為；第2023次操作后，所有的整式的和為，故D選項正確；故選：ABD.11.如圖，正方形的對角線相交于點，點又是正方形的一個頂點，而且這兩個正方形的邊長相等．下列結(jié)論正確的有（）A.；B.正方形繞點旋轉(zhuǎn)時，四邊形的面積隨的長度變化而變化；C.△BEF周長的最小值為；D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)三角形全等的判斷可得，進而可判斷A，根據(jù)等面積法即可判斷B，根據(jù)垂直時距離最小，即可求解C，由勾股定理即可判斷D.【詳解】A四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，故，，，，；故A正確；由A得，故B錯誤；由A可知，，周長，為定值，則最小時,的周長最小，當時最小，的周長最小，此時，故周長的周長最小值．故C正確，在中，，，又．，故D錯誤．故選:AC．12.已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項正確的有（）A.B.當時，函數(shù)的最大值為C.關(guān)于的不等式的解為或D.若關(guān)于的函數(shù)與關(guān)于的函數(shù)有相同的最小值，則【答案】ACD【解析】【分析】A選項，由開口方向，與軸交點，及對稱軸，求出的正負，得到A正確；B選項，當時，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項，結(jié)合，化簡不等式，求出解集；D選項，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.【詳解】A選項，二次函數(shù)圖象開口向上，故，對稱軸，故，圖象與軸交點在軸正半軸，故，所以，故，A正確；B選項，因為，故，因為，所以，當時，隨著的增大而減小，所以時，取得最大值，最大值為，B錯誤；C選項，因為，所以，，故不等式變形為，因為，，解得：或，故C正確；D選項，，當時，取得最小值，最小值為，，當時，取得最小值，最小值為，所以，即，所以，即，故D正確.故選：ACD三．填空題（每小題5分，共20分）13.一個不透明口袋中有4個完全相同的小球，把它們分別標號為1，2，3，4，現(xiàn)隨機取一個小球然后放回，再隨機取出一個小球，則第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號的概率為______．【答案】【解析】【分析】畫出樹狀圖,借助古典概型計算即可.【詳解】畫出樹狀圖:由樹狀圖可知：基本事件的總數(shù)共有16種，其中第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號有6種，所以第一次取出的小球標號大于第二次取出的小球標號的概率為.故答案為：.14.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍______．【答案】且．【解析】【分析】由根式性質(zhì)及一元二次方程根的個數(shù)有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設(shè)，可得，即k的取值范圍為且.故答案為：且15.如圖，在菱形ABCD中，已知，以為直徑的⊙O與菱形相交，則圖中陰影部分的面積為____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，即可利用三角形面積以及扇形面積公式求解.【詳解】在菱形中，已知，，以為直徑的與菱形相交，，，，，陰影部分的面積為：，故答案為：16.閱讀理解：高斯上小學時，有一次數(shù)學老師讓同學們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常煩瑣，且易出錯．聰明的小高斯經(jīng)過探索后，給出了下面漂亮的解答過程．解：設(shè)①，則②，①+②，得．（兩式左右兩端分別相加，左端等于2S，右端等于100個101的和）所以，③，所以．后來人們將小高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”計算：=_____．【答案】885【解析】【分析】根據(jù)“倒序相加法”的定義依次求出目標式中各個片段的和，即可得結(jié)果.【詳解】令，則，有，令，則，有，令，則，有，令，則，有，所以目標式，同理可得，故目標式的值為.故答案為：四．解答題（七小題，共70分）17.（1）計算：（2）已知，，求的值．【答案】（1）1；（2）11【解析】【分析】（1）由指數(shù)冪的運算法則及特殊角的正弦函數(shù)值計算即可得；（2）借助因式分解計算即可得【詳解】（1）原式；（2）由、，則，故.18.已知等式（1）若均為正整數(shù)，求的值；（2）設(shè)，分別是分式中的取（>>2）時所對應的值，試比較的大小，說明理由．【答案】（1）或者（2），理由見解析【解析】【分析】（1）由等式可得，結(jié)合均為正整數(shù)即可求解，（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可比較.【小問1詳解】①由得：，即，②∵為正整數(shù)，，∴可知y只能為1或者2，∴當時，，當時，，即的值為：或者；【小問2詳解】，理由如下：根據(jù)題條件可知，，∵，∴，設(shè)，，∵，∴，∴，∵，，∴，，即，則有：，即，∵，∴，∴，∴，∴，結(jié)論得證．19.已知：如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B.（1）若點C為直線AB上第二象限的點，且，求點C的坐標；（2）在（1）的條件下，直線AB上是否存在點Q，使得OAQ與BOC相似，若存在，求出點Q的坐標，若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）存在，或【解析】【分析】（1）過點C作CDy軸交x軸于D，然后根據(jù)相似關(guān)系求解出，則點坐標可知；（2）根據(jù)條件結(jié)合角度大小先判斷出點位置，然后采用分類討論的方法并根據(jù)相似對應的線段比例關(guān)系求解出點坐標.【小問1詳解】如圖，過點C作CDy軸交x軸于D，∴AOBADC，∴，∵直線AB的解析式為，令，則，∴，，令，則，∴，∴，，∵，∴，∴，∵點C為直線AB上第二象限的點，∴；【小問2詳解】直線AB上存在點Q，使得OAQ與BOC相似；如圖，由（1）知，，∴，∴，當點Q在射線AB上時，，∴BOC與AOQ不可能相似，當點Q在BA的延長線上時，設(shè)，∵，∴，由（1）知，，，∴，∵OAQ與BOC相似，當BOCAOQ，則，，∴，∴；當，則，，∴，∴，綜上所述，存在或滿足條件.20.某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調(diào)的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調(diào)的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數(shù)量與用64000元購進空調(diào)的數(shù)量相等．（1）求每臺電冰箱與空調(diào)的進價分別是多少；（2）現(xiàn)在商城準備一次購進這兩種家電共100臺，設(shè)購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13200元，請分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調(diào)k（）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．【答案】（1）每臺空調(diào)的進價為1600元，則每臺電冰箱的進價為2000元（2）3種方案；購買電冰箱34臺，購進空調(diào)66臺，利潤最大，為13300元（3）答案見解析【解析】【分析】（1）列方程求解原價即可.（2）合理列出不等式組，確定方案個數(shù)，再求利潤即可（3）分析一次函數(shù)單調(diào)性求解即可.【小問1詳解】設(shè)每臺空調(diào)的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元，由題意，得：，解得：，經(jīng)檢驗是原方程的解；∴；故每臺空調(diào)的進價為元，則每臺電冰箱的進價為元；【小問2詳解】設(shè)購進電冰箱x臺，則購進空調(diào)臺，由題意，得：，解得：，為整數(shù)，，共3種方案；，隨的增大而減小，∴當時，有最大值為元，即當購買電冰箱34臺時，購進空調(diào)臺，利潤最大，為元．【小問3詳解】由題意得：，當，即：，隨的增大而增大，∴當購買電冰箱36臺，購進空調(diào)臺，利潤最大，當，即：，隨的增大而減小，∴當購買電冰箱34臺，購進空調(diào)臺，利潤最大，當，即：，每種方案的總利潤相同，均為元．21.如圖是體育公園步道示意圖．從A處測得點B在北偏東，測得點C在北偏東，在點C處測得點B在北偏西，米．（1）求步道的長度（結(jié)果保留根號）；（2）游客中心Q在點A的正東方向，步道與步道交于點P，測得，小明和爸爸分別從B處和A處同時出發(fā)去游客中心，小明跑步的速度是每分鐘米，請計算說明爸爸的速度要達到每分鐘多少米，他倆可同時到達游客中心．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）米；（2）每分鐘25.1米【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)方位角得到、，由直角三角形中余弦函數(shù)定義求的長度；（2）作交延長線于，求得，進而得到，結(jié)合已知求爸爸的速度.【小問1詳解】如圖從A處測得點B在北偏東，測得點C在北偏東，則，，又點C處測得點B在北偏西，則，故，易知，又米，則米.【小問2詳解】作交延長線于，由（1）知：，又，，由，則，故，，所以，故小明到達游客中心所需時間為分鐘，若要同時到達，則爸爸的速度要達到每分鐘米.22.如圖，以的兩邊分別向外作等邊和等邊，與交于點P，已知．（1）求證：；（2）求的度數(shù)及的長；（3）若點Q、R分別是等邊和等邊的重心（三邊中線的交點），連接，作出圖象，求的長．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)邊角邊即可求證三角形全等，（2）根據(jù)全等關(guān)系，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)即可求解，（3）根據(jù)三角形重心的性質(zhì)，結(jié)合相似即可求解.【小問1詳解】∵和都為等邊三角形，∴∴，即，∴【小問2詳解】∵；∴，設(shè)交于O，∵，∴；如圖①在上取點F，使，同（1）可得∴為等邊三角形，∴【小問3詳解】如圖②，過點Q作于G，設(shè)，∵點Q、R分別是等邊和等邊的重心，∴∵，，∴，∴，∴，∴23.如圖，在平面直角坐標系中，已知拋物線與直線AB相交于A，B兩點，其中，．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P為直線AB下方拋物線上的任意