高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟類）全書習(xí)題解答第1,2章（函數(shù)、極限與連續(xù)）

PAGEPAGE47習(xí)題解答總習(xí)題11．求下列函數(shù)的定義域：(1)；解要使函數(shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域為．(2)；解要使函數(shù)有定義，必須，且解之得函數(shù)的定義域為．(3)；解要使函數(shù)有定義，必須，解之得，故函數(shù)的定義域為．(4)；解要使函數(shù)有定義，必須，即，解之得，故函數(shù)的定義域為整數(shù)集．2．判斷下列各組中的兩個函數(shù)是否相同，并說明理由：(1)，；解這兩個函數(shù)不同．因為它們的定義域不同，前者的定義域為，而后者的定義域為．(2)，；解這兩個函數(shù)不同．因為它們的定義域不同，前者的定義域為，而后者的定義域為．(3)，；解這兩個函數(shù)不同．因為，所以它們的對應(yīng)法則不同．(4)與解：這兩個函數(shù)不同。因為對應(yīng)法則不同。3．（1）設(shè)求及。（2）設(shè)求函數(shù)的表達式。解：（1）（2）4．下列函數(shù)哪些是奇函數(shù)？哪些是偶函數(shù)？哪些是非奇非偶函數(shù)？(1)；解定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以所給函數(shù)是奇函數(shù)．(2)；解定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以所給函數(shù)是奇函數(shù)．(3)；解函數(shù)的定義域為，不關(guān)于原點對稱，所以此函數(shù)非奇非偶。(4)；解因為函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，且，所以所給函數(shù)是奇函數(shù)．(5)；解因為定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以所給函數(shù)是偶函數(shù)．(6)；解因為定義域為，關(guān)于原點對稱，，所以所給函數(shù)是偶函數(shù)．5．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的表達式．解當(dāng)時，，故．又由奇函數(shù)定義得，于是，．6．設(shè)是以3為周期的奇函數(shù)，且，求解：7．求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1)；解由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(2)；解由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(3)；解由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．(4)．解由得，．故所給函數(shù)的反函數(shù)為．8.設(shè)函數(shù)與的圖形關(guān)于直線對稱，求。解：由題設(shè)知，是的反函數(shù)，由可得，所以。9.設(shè)，求．解因為，故．于是，．10.設(shè)，求．解令，則，故．于是，．11.設(shè)，求，及．解；；．12.已知，，且，求的其定義域。解，所以。又，所以，所以，即的定義域為13.已知的定義域為，求下列復(fù)合函數(shù)的定義域：(1)；(2)；(3)．解(1)函數(shù)的定義域為．(2)函數(shù)的定義域為．(3)函數(shù)的定義域為14.指出下列復(fù)合函數(shù)是由哪些簡單函數(shù)復(fù)合而成的(1)；解函數(shù)由復(fù)合而成．或看成由復(fù)合而成。(2)；解函數(shù)由，復(fù)合而成．(3)．解函數(shù)由，，，復(fù)合而成．(4)解：函數(shù)由復(fù)合而成．15．設(shè)某行業(yè)只有兩家企業(yè)提供給市場某種產(chǎn)品。兩家企業(yè)的產(chǎn)品供給量與市場價格的函數(shù)關(guān)系分別為求市場的總供給量與價格的函數(shù)關(guān)系。解：由知，時，第一家企業(yè)愿意提供產(chǎn)品，由知，時，第二個企業(yè)愿意提供產(chǎn)品。所以市場價格在區(qū)間時，市場上僅有第二家企業(yè)愿意提供產(chǎn)品，而市場價格大于4時，兩家企業(yè)都愿意提供產(chǎn)品。所以市場的總供給量與價格的函數(shù)關(guān)系為16.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品1000噸，當(dāng)銷售量不超過700噸時，每噸售價為130元，超過700噸時，超過的部分按原價格的九折銷售。試寫出銷售總收入與總銷售量的函數(shù)關(guān)系。解設(shè)銷售收入與銷售量分別為(單位：元)，（單位：噸），則=第二章習(xí)題2.11．觀察下列數(shù)列的變化趨勢，指出是收斂還是發(fā)散．如果收斂，寫出其極限：(1)；(2)；(3)；(4)解(1)收斂于；(2)收斂于；(3)發(fā)散；(4)收斂于．2．根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：(1)；證對于任意給定的正數(shù)，要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當(dāng)時，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．(2)．證對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即．于是，取正整數(shù)，則當(dāng)時，總有．據(jù)數(shù)列極限的定義，得．（3）證對于任意給定的，要使，只要。所以，只要取正整數(shù),當(dāng)時，就有所以（4）證對于任意給定的充分小的，要使，只要。所以，取3．證明：當(dāng)且僅當(dāng)．證據(jù)數(shù)列極限的定義，對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有；對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有．由于，故當(dāng)且僅當(dāng)．4．證明：若，則．證由于，，所以因為，所以據(jù)數(shù)列極限的定義，對于任意給定的正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有，從而．再據(jù)數(shù)列極限的定義，有．5．（1）對于數(shù)列，證明：的充分必要條件是，且，（2）判斷數(shù)列的斂散性。證（1）必要性顯然。下證充分性對于任意給定的正數(shù)，由知，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有；由知，存在正整數(shù)，當(dāng)時，有；取，由當(dāng)時，有．因此，．（2）：當(dāng)為奇數(shù)時，=0，當(dāng)為偶數(shù)時，，所以此數(shù)列發(fā)散。習(xí)題2.21．設(shè)，求及，并說明是否存在．解，．因為，所以存在，且．2．設(shè)，證明不存在．證，．因為，所以不存在．3．設(shè)，求：(1)；(2)；(3)．解(1)因為，，故．(2)．(3)．4．設(shè)，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．解(1)．(2)因為，，故．(3)因為，，故不存在．(4)．(5)．5．根據(jù)函數(shù)極限的定義證明：(1)；證對于任意給定的正數(shù)，由于，故要使，只要，即，或．于是，取正數(shù)，則當(dāng)時，就有．據(jù)函數(shù)極限的定義，得．．（2）證：對于任意給定的正數(shù)，要使，只要0<,所以，取當(dāng)時，就有，所以。(3)。證對于任意給定的正數(shù)，要使成立，只要成立。取，則當(dāng)時，必有因此，由極限的定義可知，有（4）證對于任意給定的小正數(shù)，要使，只要,所以，取當(dāng)時，就有，所以。6．證明：＝的充分必要條件是＝＝．證(1)必要性若，則對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，當(dāng)時，有，即當(dāng)或時，均有，故，且．(2)充分性若＝＝，則對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)及，當(dāng)或時，均有．令，則當(dāng)時，有或，從而有，故．7．試說明極限不存在。解取數(shù)列，，顯然，但是。所以極限不存在。習(xí)題2.31．下列函數(shù)在其自變量的指定變化過程中哪些是無窮小？哪些是無窮大（包括正無窮大與負無窮大）？哪些既不是無窮小也不是無窮大？(1)，當(dāng)時；解因為，所以當(dāng)時，函數(shù)為無窮大．(2)，當(dāng)時；解因為，所以當(dāng)時，函數(shù)為無窮?。?3)，當(dāng)時；解因為，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)為正無窮大．(4)，當(dāng)時；解因為，且當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)為負無窮大．(5)，當(dāng)時；解因為且，所以當(dāng)時，函數(shù)既不是無窮小也不是無窮大．(6)，當(dāng)時；解因為，所以當(dāng)時，函數(shù)為無窮小．(7)，當(dāng)時；解因為，所以當(dāng)時，函數(shù)是無窮?。?8)，當(dāng)時解：因為，所以當(dāng)時不是無窮小，也不是無窮大。2．下列函數(shù)在自變量的哪些變化過程中為無窮??？在自變量的哪些變化過程中為無窮大（包括正無窮大與負無窮大）？(1)；解當(dāng)或時為無窮小，當(dāng)時為無窮大．(2)；解當(dāng)或時為無窮小，當(dāng)或當(dāng)時為無窮大．(3)．解當(dāng)時為無窮小，當(dāng)時為負無窮大，當(dāng)時為正無窮大．3．利用無窮小的性質(zhì)求下列極限：(1)；解因為，且，所以．(2)；解因為，且，所以．(3)；解因為，且，所以．(4)．(4)；解因為，所以．4．函數(shù)在內(nèi)是否有界？當(dāng)時此函數(shù)是否為無窮大？解對任意，必存在正整數(shù)，使．記，則，故函數(shù)在內(nèi)無界．對，對任意，存在，使，但．因此，函數(shù)不是當(dāng)時的無窮大．習(xí)題2.41．求下列極限：(1)；解．(2)解：．（3）解因，而所以(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)；解．(11)；解．(12)．解．（13）解因為，所以（14）解（15）解因，且，所以=02．（1）若已知，（為常數(shù)）且，證明（2）設(shè)，求常數(shù).解（1）（2）因為，所以，所以，故有==，所以3．設(shè)，若已知：(1)；(2)；(3)，試分別求這三種情形下常數(shù)與的值．解．(1)由得，故．(2)由得，故，．(3)由得，故，為任意實數(shù)．4．已知存在且等于，求常數(shù)與的值．解因為，故．另一方面，，故．于是．5．已知存在且等于，求常數(shù)與的值．解因為，故，由此得：，．6．設(shè)，，均為非負數(shù)列，且，，．指出下列陳述哪些是正確的，哪些是錯誤的．如果是正確的，說明理由；如果是錯誤的，給出反例．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)不存在；(6)不存在．解(1)錯誤，例如：，．(2)錯誤，例如：，．(3)錯誤，例如：，．(4)錯誤，例如：，．(5)錯誤，例如：，．(6)正確，因為若存在，則也存在，與已知條件矛盾．7.當(dāng)時，函數(shù)的極限是否存在？解：，，所以，當(dāng)時，函數(shù)的極限不存在。習(xí)題2.51．求下列極限：(1)；解因為，而且，，故由夾逼準(zhǔn)則得．（2）；解因為，而且，，故由夾逼準(zhǔn)則得．(3)；解因為，，故=3(4)．解因為，而且，故由夾逼準(zhǔn)則得．2．求下列極限：(1)解=（2）；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)解；(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)；解．（11）解(12)．解．（13）解=3．求下列極限：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．(7)；解．(8)；解．(9)；解．(10)．解．4．已知極限，求解法一，令，則，且，所以，.由，得.解法二，故由，得.5．設(shè)對任意，總有，且，是否一定有存在？解未必。例如，，，則，且，但不存在。又如，，，則，且，存在且等于０，這里且。習(xí)題2.61．當(dāng)時，與相比，哪一個是高階無窮??？解法一因為,所以當(dāng)時，是比高階的無窮小.解法二當(dāng)時，與是同階無窮小，與是同階無窮小，所以當(dāng)時，是比高階的無窮小.2．當(dāng)時，無窮小與下列無窮小是否同階？是否等價？(1)；(2)；(3)；(4)．解(1)因為,所以當(dāng)時，無窮小與同階但不等價．(2)因為,所以當(dāng)時，無窮小與同階且等價．(3)因為,所以當(dāng)時，無窮小與同階但不等價．(4)因為,所以當(dāng)時，無窮小與同階且等價．3．設(shè)當(dāng)時，與是等價無窮小，求常數(shù)與．解因為當(dāng)時，與是等價無窮小，所以,由此得:，.４.求值（1）當(dāng)時，與是同階無窮小量；（2）當(dāng)時，與是同階無窮小量；解(1)因為，故有與是同階無窮小量，所以。一般地，當(dāng)時，若某個無窮小量是關(guān)于的方冪的代數(shù)和，則它與其中次數(shù)最低的項是同階無窮小量。（2）因為，所以。５．設(shè)當(dāng)時，是的高階無窮小，而又是的高階無窮小，求正整數(shù)．解因為當(dāng)時，，，，故由題設(shè)得:，從而.６．已知當(dāng)時，是的階無窮小，求常數(shù)．解因為當(dāng)時，是的階無窮小，且,故，.７．若時，及都是無窮小，與是否一定可以比較“階”的高低？解未必。例如，時，，所以，時，及都是無窮小，但不存在，所以這里的與不可以比較“階”的高低。８．利用等價無窮小替換法求下列極限：(1)；解．(2)；解．(3)；解．(4)；解．(5)；解．(6)；解．（７）解＝(８)；解．(９)解＝＝（１０）解＝（１１）．解．（１２），解時，，，所以.（１３）解因為，且當(dāng)充分大時，，所以故有（１４）解令，則，且（１５）解習(xí)題2.71．研究下列函數(shù)在指定點處的連續(xù)性：(1)，；解因為，所以在點處不連續(xù)．(2)，；解因為，所以在點處連續(xù)．(3)，，．解因為在點處無定義，所以在點處不連續(xù)．因為，，所以，從而在點處不連續(xù)．2．討論下列函數(shù)的連續(xù)性，若有間斷點，指出其類型：(1)；解為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點及為間斷點．因為，所以是的第一類間斷點，且是可去間斷點．因為，所以是的第二類間斷點，且是無窮間斷點．(2)；解為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點，及為間斷點．因為，所以是的第二類間斷點，且是無窮間斷點．因為，，所以是的第一類間斷點，且是跳躍間斷點．因為，所以是的第一類間斷點，且是可去間斷點．(3)；解為分段函數(shù)，顯然在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．因為，，但，所以是的第一類間斷點，且是可去間斷點．(4)．解為分段函數(shù)，顯然在區(qū)間內(nèi)連續(xù)．因為，，且，所以是的連續(xù)點．因為，，所以是的第一類間斷點，且是跳躍間斷點．3．求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求．解為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．．4．設(shè)當(dāng)常數(shù)為何值時，(1)是函數(shù)的連續(xù)點？(2)是函數(shù)的可去間斷點？(3)是函數(shù)的跳躍間斷點？解，，．(1)當(dāng)，即時，是函數(shù)的連續(xù)點．(2)當(dāng)，即時，是函數(shù)的可去間斷點．(3)當(dāng)，即，為任意實數(shù)時，是函數(shù)的跳躍間斷點．5．求函數(shù)的間斷點，并判別間斷點的類型．解．因為，，所以為的第一類間斷點，且為跳躍間斷點．因為，，所以為的第一類間斷點，且為跳躍間斷點．6.判斷函數(shù)是否連續(xù)。若不連續(xù)，指出間斷點的類型。解求極限時自然數(shù)是變量，，且，所以。點處左、右極限分別為。所以此函數(shù)不連續(xù)，點是函數(shù)的跳躍間斷點。7.求下列極限：(1)；解．(2)；解．（3）解(4)；解(5)；解(6)；解(7)；解．(8)；解．(9)．解．（10）解=8．設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且與異號，問在區(qū)間內(nèi)是否必至少有一點，使得。解未必。例如，在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，，但在區(qū)間內(nèi)無零點。9．證明方程至少有一個介于與之間的實根．證令，則在上連續(xù)，且，故據(jù)零點定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程至少有一個介于與之間的實根．１0．證明方程至少有一個小于的正根．證令，則在上連續(xù)，且，據(jù)零點定理，函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程至少有一個小于的正根．11．證明方程()至少有一個不超過的正根．證令，則在上連續(xù)，且，，據(jù)零點定理，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少有一個零點，即方程()至少有一個不超過的正根．１2．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且對，有．證明：至少存在一點，使得．證令，則由題設(shè)知，函數(shù)在上連續(xù)，且，，據(jù)零點定理，至少存在一點，使得，即．１3．證明在內(nèi)存在，使。證將待證明的等式變形為，考慮函數(shù)，只要證明此函數(shù)在區(qū)間存在零點。顯然函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，。為利用連續(xù)函數(shù)的零值定理，在區(qū)間尋找一點使該點處函數(shù)值大于0。注意到，所以由連續(xù)函數(shù)的零值定理知，在區(qū)間的子區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使，故在內(nèi)存在，使。１4．設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，證明：至少存在一點，使得．證因為函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，所以在閉區(qū)間上連續(xù)．于是，據(jù)最值定理得，在上取得最大值與最小值，從而．再據(jù)介值定理得，至少存在一點，使得．總習(xí)題21．選擇題(1)設(shè)，則（）．(A)(B)(C)(D)解因為，所以，即應(yīng)選D．(2)設(shè)，則（）．(A)等于(B)等于(C)等于(D)不存在解因為，，所以，從而不存在，所以應(yīng)選D．(3)若存在，不存在，則下列命題正確的是（）．(A)與都存在(B)與都不存在(C)必不存在，而可能存在(D)可能存在，而必不存在解必不存在，而可能存在．因為如果存在，則由及存在，得存在．這與題設(shè)矛盾．當(dāng)，時，存在，不存在，而是未定式，可能存在．所以應(yīng)選C．(4)當(dāng)時，下列四個無窮小中，比其它三個更高階的無窮小是（）．(A)(B)(C)(D)解因為當(dāng)時，，，，，所以當(dāng)時，與其它三個無窮小相比，無窮小的階最高，即應(yīng)選A．(5)當(dāng)時，函數(shù)是的（）．(A)高階無窮小(B)低階無窮小(C)同階無窮小(D)等價無窮小解因為，所以當(dāng)時，函數(shù)是的同階無窮小，即應(yīng)選C．(6)設(shè)當(dāng)時，函數(shù)是的階無窮小，則（）．(A)(B)(C)(D)解因為當(dāng)時，函數(shù)是的階無窮小，而，所以，即應(yīng)選C．(7)函數(shù)的第一類間斷點共有（）．(A)個(B)個(C)個(D)個解為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)，而點，及為間斷點．因為，，所以是的第一類間斷點．因為，所以是的第二類間斷點．因為，所以是的第一類間斷點．因此，函數(shù)的第一類間斷點共有個，即應(yīng)選C．(8)是函數(shù)的（）．(A)可去間斷點(B)跳躍間斷點(C)無窮間斷點(D)連續(xù)點解因為，，是函數(shù)的跳躍間斷點，即應(yīng)選B．(9)設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，函數(shù)在上有定義，且有間斷點，則必有間斷點的函數(shù)是（）．(A)(B)(C)(D)解必有間斷點．事實上，因為函數(shù)在上連續(xù)，如果函數(shù)在上連續(xù)，則函數(shù)也在上連續(xù)，與題設(shè)矛盾．應(yīng)選D．(10)函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是（）．(A)(B)(C)(D)解因為為初等函數(shù)，其定義域為．由初等函數(shù)的連續(xù)性知，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為．因此，應(yīng)選D．2．填空題(1)設(shè)都是常數(shù)，若，則，．解因為，所以＝0．于是，，．(2)設(shè)都是常數(shù)，若，則，．解因為，所以，從而，且．于是，，．(3)設(shè)當(dāng)時，與是等價無窮小，則常數(shù)，．解因為，所以，，．(4)若為函數(shù)的可去間斷點，則常數(shù)．解因為為函數(shù)的可去間斷點，所以存在，從而，即．(5)設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則常數(shù)，．解因為，，且，而為連續(xù)函數(shù)，所以，從而，．(6)函數(shù)的第一類間斷點是