《隨機過程-計算與應用》課件平穩(wěn)過程4

在無線電、通信技術(shù)等領域的一些問題中,通常需要分析平穩(wěn)過程的頻域結(jié)構(gòu).平穩(wěn)過程的功率譜密度為此引入平穩(wěn)過程的功率譜密度定義5.4.1設X={Xt,-∞<t<+∞}是平穩(wěn)過程,記一些預備知識能量型信號—總能量有限的信號設能量型信號x(t)在(-∞,+∞)上絕對可積，則x(t)的Fouier變換存在，或說x(t)存在頻譜，即信號通常有能量型和功率型即信號的總能量等于能譜密度在全頻域上的積分.對總能量無限的信號—功率型信號x(t)，轉(zhuǎn)為討論其平均功率：相應的是否也有一個能計算平均功率的譜密度？為此構(gòu)造一個截尾函數(shù):定義5.4.1設X={Xt,-∞<t<+∞}是平穩(wěn)過程,記定理5.4.1

設平穩(wěn)過程X={Xt-∞<t<+∞}的相關函數(shù)RX(τ)絕對可積,則有上式表明相關函數(shù)和譜密度是一對傅里葉變換對.上兩式也稱為維納-辛欽公式.由定理5.4.1知道若平穩(wěn)過程X={Xt-∞<t<+∞}的相關函數(shù)RX(τ)絕對可積,則有傅里葉變換實現(xiàn)了時域與頻域的轉(zhuǎn)換.譜密度的性質(zhì)平穩(wěn)過程的譜密度有以下性質(zhì)：（1）譜密度是非負實函數(shù).（2）實平穩(wěn)過程的譜密度是非負實偶函數(shù).事實上，對實平穩(wěn)過程,平均功率說明平均功率可以用譜密度曲線下的總面積來計算.說明譜密度的零頻率分量等于相關函數(shù)曲線下的總面積.●

線性性質(zhì)●

位移性質(zhì)●

微分性質(zhì)譜密度的計算以維納-辛欽公式為基本公式,并結(jié)合Fourier變換的性質(zhì)等進行相關的計算.Fourier變換的性質(zhì)例5.4.1設平穩(wěn)過程X={Xt,t≥0}的相關函數(shù)為試計算X的譜密度.例5.4.2設X={Xt,-∞<t<+∞}為零均值的實的正交增量過程，且滿足令驗證Y={Yt,-∞<t<+∞}為平穩(wěn)過程，并計算Y的譜密度.例5.4.3.

設平穩(wěn)過程X的功率譜密度為計算X的平均功率.例5.4.4.

已知平穩(wěn)過程的功率譜密度為計算相關函數(shù).例5.4.6.

已知平穩(wěn)過程的相關函數(shù)求其譜密度.則以下級數(shù)收斂，平穩(wěn)序列譜密度的相應概念和結(jié)論設平穩(wěn)序列X={Xn,n=0,±1,…}的相關函數(shù)絕對收斂，即例5.4.8

設X={Xn,n=0,±1,…}為純隨機序列,即有驗證序列Y={Yn,n=0,±1,…}為平穩(wěn)序列，并計算其譜密度.設X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,則X和Y的互功率譜密度(簡稱互譜密度)為其中互譜密度及其性質(zhì)互譜密度的性質(zhì)則(1)聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程X={Xt,-∞<t<+∞}和Y={Yt,-∞<t<+∞}的互相關函數(shù)絕對可積:若X和Y是實聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,則SXY(ω)的

實部為偶函數(shù),虛部為奇函數(shù).同理證明另一個.例5.4.9

設X={Xt,-∞<t<+∞},Y={Yt,-∞<t<+∞}是聯(lián)合平穩(wěn)的平穩(wěn)過程,X和Y的譜密度與互譜密度分別為SX(ω),SY(