2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語(yǔ)第二講命題及其關(guān)系充分條件與必要條件學(xué)案含解析新人教版

PAGE其次講命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件學(xué)問(wèn)梳理·雙基自測(cè)eq\x(知)eq\x(識(shí))eq\x(梳)eq\x(理)學(xué)問(wèn)點(diǎn)一命題及四種命題之間的關(guān)系1．命題用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以推斷真假的__陳述句__叫做命題，其中__推斷為真__的語(yǔ)句叫做真命題，__推斷為假__的語(yǔ)句叫做假命題．2．四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系①若兩個(gè)命題互為逆否命題，則它們有__相同__的真假性；②兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性__沒(méi)有關(guān)系__.學(xué)問(wèn)點(diǎn)二充分條件與必要條件若p?q，則p是q的__充分__條件，q是p的__必要__條件p是q的__充分不必要__條件p?q且qpp是q的__必要不充分__條件pq且q?pp是q的__充要__條件p?qp是q的__既不充分又不必要__條件pq且qpeq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則(1)若A?B，則p是q的充分條件；(2)若A?B，則p是q的必要條件；(3)若A＝B，則p是q的充要條件；(4)若AB，則p是q的充分不必要條件；(5)若AB，則p是q的必要不充分條件；(6)若AB且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．2．充分條件與必要條件的兩個(gè)特征：(1)對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”．(2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件，即“p?q且q?r”?“p?r”(“p?q且q?r”?“p?r”)．留意：不能將“若p，則q”與“p?q”混為一談，只有“若p，則q”為真命題時(shí)，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，則q”為真命題．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測(cè))題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)語(yǔ)句x2－3x＋2＝0是命題．(×)(2)命題“三角形的內(nèi)角和是180°”的否命題是“三角形的內(nèi)角和不是180°”．(×)(3)已知集合A，B，則A∪B＝A∩B的充要條件是A＝B．(√)(4)“α＝β”是“tanα＝tanβ”的充分不必要條件．(×)(5)“若p不成立，則q不成立”等價(jià)于“若q成立，則p成立”．(√)[解析](4)當(dāng)α＝β＝eq\f(π,2)時(shí)，tanα、tanβ都無(wú)意義．因此不能推出tanα＝tanβ，當(dāng)tanα＝tanβ時(shí)，α＝β＋kπ，k∈Z，不肯定α＝β，因此是既不充分也不必要條件．題組二走進(jìn)教材2．(選修2－1P8T3改編)下列命題是真命題的是(A)A．矩形的對(duì)角線相等B．若a>b，c>d，則ac>bdC．若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則a是奇數(shù)D．命題“若x2>0，則x>1”的逆否命題3．(選修2－1P10T4改編)x2－3x＋2≠0是x≠1的__充分不必要__條件．[解析]x＝1是x2－3x＋2＝0的充分不必要條件．題組三走向高考4．(2024·天津，2,5分)設(shè)a∈R，則“a>1”是“a2>a”的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析]易知a>1?a2>a，而a2>a?a<0或a>1，所以“a>1”是“a2>a”的充分不必要條件．5．(2015·山東，5分)設(shè)m∈R，命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題是(D)A．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m>0B．若方程x2＋x－m＝0有實(shí)根，則m≤0C．若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m>0D．若方程x2＋x－m＝0沒(méi)有實(shí)根，則m≤0[解析]由原命題和逆否命題的關(guān)系可知D正確．6．(2024·北京，5分)能說(shuō)明“若f(x)>f(0)對(duì)隨意的x∈(0,2]都成立，則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是__f(x)＝sinx(答案不唯一)__.[解析]這是一道開放性試題，答案不唯一，只要滿意f(x)>f(0)對(duì)隨意的x∈(0,2]都成立，且函數(shù)f(x)在[0,2]上不是增函數(shù)即可．如f(x)＝sinx，答案不唯一．考點(diǎn)突破·互動(dòng)探究考點(diǎn)一命題及其關(guān)系——自主練透例1(1)(2024·新高考八省聯(lián)考)關(guān)于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四個(gè)命題：甲：x＝1是該方程的根；乙：x＝3是該方程的根；丙：該方程兩根之和為2；?。涸摲匠虄筛愄?hào)．假如只有一個(gè)假命題，則該命題是(A)A．甲 B．乙C．丙 D．丁(2)(2024·長(zhǎng)春模擬)已知命題α：假如x<3，那么x<5，命題β：假如x≥3，那么x≥5，則命題α是命題β的(A)A．否命題 B．逆命題C．逆否命題 D．否定形式(3)下列命題為真命題的是(D)A．“若a2<b2，則a<b”的否命題B．“全等三角形面積相等”的逆命題C．“若關(guān)于x的不等式ax2－2ax＋a＋3>0的解集為R，則a>1”的逆否命題D．“若eq\r(3)x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無(wú)理數(shù)”的逆否命題(4)命題“若a＋b＝0，則a，b中最多有一個(gè)大于零”的否定形式為__若a＋b＝0，則a，b都大于零__，否命題為__若a＋b≠0，則a，b都大于零__.[解析](1)若乙、丙、丁正確，明顯x1＝－1，x2＝3，兩根異號(hào)，x1＋x2＝2，故甲錯(cuò)，因此選A．(2)命題α：假如x<3，那么x<5，命題β：假如x≥3，那么x≥5，則命題α是命題β的否命題．(3)對(duì)于A，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對(duì)于B，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，是假命題；對(duì)于C，當(dāng)a＝0時(shí)，3>0恒成立，當(dāng)a≠0時(shí)，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,4a2－4aa＋3<0))，解得a>0，綜上a≥0，所以原命題為假命題，逆否命題也為假命題；對(duì)于D，原命題正確，因此該命題的逆否命題也正確，D正確．故選D．(4)否定形式：若a＋b＝0，則a，b都大于零．否命題：若a＋b≠0，則a，b都大于零．名師點(diǎn)撥(1)由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，假如命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)先改寫成“若p，則q”的形式；假如命題有大前提，寫其他三種命題時(shí)需保留大前提不變．(2)推斷一個(gè)命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；推斷一個(gè)命題為假命題，只需舉出反例．(3)依據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個(gè)命題干脆推斷不易進(jìn)行時(shí)，可轉(zhuǎn)化為推斷其等價(jià)命題的真假．考點(diǎn)二充分必要條件考向1充分條件與必要條件的推斷——師生共研方法1：定義法推斷例2(2024·北京，9,4分)已知α，β∈R，則“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sinα＝sinβ”的(C)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)充分性：已知存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，(ⅰ)若k為奇數(shù)，則k＝2n＋1，n∈Z，此時(shí)α＝(2n＋1)π－β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sinβ；(ⅱ)若k為偶數(shù)，則k＝2n，n∈Z，此時(shí)α＝2nπ＋β，n∈Z，sinα＝sin(2nπ＋β)＝sinβ.由(ⅰ)(ⅱ)知，充分性成立．(2)必要性：若sinα＝sinβ成立，則角α與β的終邊重合或角α與β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，即α＝β＋2mπ或α＋β＝2mπ＋π，m∈Z，即存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，必要性也成立，故選C．方法2：集合法推斷例3(理)(2024·天津，3)設(shè)x∈R，則“x3>8”是“|x|>2”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(文)(2024·天津一中高三月考)設(shè)x∈R，則“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的(B)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](理)本題主要考查解不等式和充分、必要條件的推斷．由x3>8得x>2，由|x|>2得x>2或x<－2.因?yàn)?2，＋∞)(－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以“x3>8”是“|x|>2”的充分而不必要條件．故選A．(文)解肯定值不等式可得－4<x－1<4，即－3<x<5，將分式不等式變形可得eq\f(x－5,x－2)<0，解得2<x<5，因?yàn)?2,5)(－3,5)，所以“|x－1|<4”是“eq\f(x－5,2－x)>0”的必要而不充分條件．方法3等價(jià)轉(zhuǎn)化法推斷例4(1)給定兩個(gè)條件p，q，若?p是q的必要不充分條件，則p是?q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)“已知命題p：cosα≠eq\f(1,2)，命題q：α≠eq\f(π,3)”，則命題p是命題q的(A)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)因?yàn)?p是q的必要不充分條件，則q??p，但?pq，其逆否命題為p??q，但?qp，所以p是?q的充分不必要條件．(2)?p：cosα＝eq\f(1,2)，?q：α＝eq\f(π,3)，明顯?q??p，?p?q，∴?q是?p的充分不必要條件，從而p是q的充分不必要條件，故選A．另解：若cosα≠eq\f(1,2)，則α≠2kπ±eq\f(π,3)(k∈Z)，則α也必定不等于eq\f(π,3)，故p?q；若α≠eq\f(π,3)，但α＝－eq\f(π,3)時(shí)，依舊有cosα＝eq\f(1,2)，故qp.所以p是q的充分不必要條件．故選A．名師點(diǎn)撥有關(guān)充要條件的推斷常用的方法(1)依據(jù)定義推斷：①弄清條件p和結(jié)論q分別是什么；②嘗試p?q，q?p.若p?q，則p是q的充分條件；若q?p，則p是q的必要條件；若p?q，qp，則p是q的充分不必要條件；若pq，q?p，則p是q的必要不充分條件；若p?q，q?p，則p是q的充要條件．(2)利用集合推斷記法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}關(guān)系A(chǔ)BBAA＝BAB且BA結(jié)論p是q的充分不必要條件p是q的必要不充分條件p是q的充要條件p是q的既不充分也不必要條件(3)利用等價(jià)轉(zhuǎn)化法：對(duì)于帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常用此法，即要推斷p是q的什么條件，只需推斷?q是?p的什么條件．〔變式訓(xùn)練1〕(1)指出下列各組中，p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要條件”“既不充分也不必要條件”中選出一種作答)．①非空集合A，B中，p：x∈(A∪B)，q：x∈B；②已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0；③在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；④對(duì)于實(shí)數(shù)x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6.(2)(理)(2024·天津，4)設(shè)x∈R，則“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的(A)A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(文)(2024·天津部分區(qū)期末)設(shè)x∈R，則“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的(A)A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件[解析](1)①明顯x∈(A∪B)不肯定有x∈B，但x∈B肯定有x∈(A∪B)，所以p是q的必要不充分條件．②條件p：x＝1且y＝2，條件q：x＝1或y＝2，所以p?q但qp，故p是q的充分不必要條件．③在△ABC中，A＝B?sinA＝sinB；反之，若sinA＝sinB，因?yàn)锳與B不行能互補(bǔ)(三角形三個(gè)內(nèi)角之和為180°)，所以只有A＝B，故p是q的充要條件．④易知?p：x＋y＝8，?q：x＝2且y＝6，明顯?q??p，但?p?q，所以?q是?p的充分不必要條件，依據(jù)原命題和逆否命題的等價(jià)性知，p是q的充分不必要條件．(2)(理)本題主要考查解不等式和充分、必要條件的推斷．由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)得－eq\f(1,2)<x－eq\f(1,2)<eq\f(1,2)，解得0<x<1.由x3<1得x<1.因?yàn)?0,1)(－∞，1)，所以“eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))<eq\f(1,2)”是“x3<1”的充分而不必要條件．(文)解不等式x2－2x<0得0<x<2，解不等式|x－1|<2得－1<x<3，所以“x2－2x<0”是“|x－1|<2”的充分不必要條件．故選A．考向2充要條件的應(yīng)用——多維探究角度1充要條件的探究例5下列函數(shù)中，滿意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件的是(B)A．f(x)＝tanx B．f(x)＝3x－3－xC．f(x)＝x2 D．f(x)＝log3|x|[解析]因?yàn)閒(x)＝tanx是奇函數(shù)，所以x1＋x2＝0?f(x1)＋f(x2)＝0，但feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)))＝0時(shí)，eq\f(π,4)＋eq\f(3π,4)≠0，不符合要求，所以A不符合題意；因?yàn)閒(x)＝3x－3－x均為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以滿意“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充要條件，符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C，f(x)＝x2是偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D，由f(x)＝log3|x|的圖象易知不符合題意，故選B．注：滿意條件的函數(shù)是奇函數(shù)且單調(diào)．角度2利用充要條件求參數(shù)的值或取值范圍例6已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是__[0,3]__.[解析]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}，由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))所以0≤m≤3.所以當(dāng)0≤m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]．[引申1]若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”改為“若x∈P是x∈S的必要不充分條件”，則m的取值范圍是__[0,3]__.[解析]解法一：由(1)若x∈P是x∈S的必要條件，則0≤m≤3，當(dāng)m＝0時(shí)，S＝{1}，不充分；當(dāng)m＝3時(shí)，S＝{x|－2≤x≤4}也不充分，故m的取值范圍為[0,3]．解法二：若x∈P是x∈S的必要且充分條件，則P＝S，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10))?m無(wú)解，∴m的取值范圍是[0,3]．[引申2]若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤叭舴荘是非S的必要不充分條件”，其他條件不變，則m的取值范圍是__[9，＋∞)__.[解析]由(1)知P＝{x|－2≤x≤10)，∵非P是非S的必要不充分條件，∴S是P的必要不充分條件，∴P?S且SP.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m<－2，,1＋m≥10.))∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)．名師點(diǎn)撥充分條件、必要條件的應(yīng)用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問(wèn)題的求解上．解題時(shí)需留意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后依據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解．(2)肯定要留意端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)簡(jiǎn)單出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象．(3)留意區(qū)分以下兩種不同說(shuō)法：①p是q的充分不必要條件，是指p?q但qp；②p的充分不必要條件是q，是指q?p但pq.(4)留意下列條件的等價(jià)轉(zhuǎn)化：①p是q的什么條件等價(jià)于?q是?p的什么條件，②p是?q的什么條件等價(jià)于q是?p的什么條件．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2024·江西贛州十四縣市高三上期中改編)角A，B是△ABC的兩個(gè)內(nèi)角．下列四個(gè)條件下，“A>B”的充要條件是(A)A．sinA>sinB B．cosA>cosBC．tanA>tanB D．cos2A>cos2B(2)(角度2)(2024·山東省試驗(yàn)中學(xué)高三診斷)已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0.假如p是q的充分不必要條件，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是(B)A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(