三垂線定理及其逆定理 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

3.4.2課時(shí)2三垂線定理及其逆定理一條直線在平面外,那么這條直線是平面的一條斜線嗎?不一定，也可能平行于平面.1.理解并掌握三垂線定理及其逆定理.2.會(huì)用空間向量解決立體幾何問題，掌握其一般步驟.例1

已知：如圖，AB⊥α，垂足為點(diǎn)B，

求證：l⊥AC.證明：設(shè)向量l是直線l的方向向量.由l⊥BC可知，本例所證明的結(jié)論，通常稱為三垂線定理.這里，直線BC實(shí)際上是斜線AC在平面α內(nèi)的投影.歸納總結(jié)三垂線定理：若平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直，則它也和這條斜線垂直.類似地可以得到：三垂線定理的逆定理：若平面內(nèi)的一條直線和這個(gè)平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的投影垂直.例2

如圖，PD⊥平面ABC，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，求證:AB⊥PC.證明:∵PD⊥平面ABC，∴DC為PC在平面ABC內(nèi)的投影，而在△ABC中，AC=BC，D為AB的中點(diǎn)，∴AB⊥CD.∴由三垂線定理得AB⊥PC.歸納總結(jié)用三垂線定理證明空間兩直線垂直問題，關(guān)鍵是找出或作出平面的垂線，至于投影則是由垂足和斜足來確定的.證明a⊥b(線線垂直)的一個(gè)程序:一垂、二投、三證.即第一，找或作平面垂線.第二，找投影，這時(shí)a，b變成平面內(nèi)的一條直線與平面的一條斜線.第三，證明直線a與投影垂直，從而得出a與b垂直.例3

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面GBD.

例3

如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面GBD.

例4

在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.

例4

在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分別是AC、AD的中點(diǎn)，求證：平面BEF⊥平面ABC.

歸納總結(jié)利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個(gè)途徑：一是利用兩個(gè)平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個(gè)平面的法向量，證明兩個(gè)法向量垂直，從而得到兩個(gè)平面垂直．1.若直線l1、l2的方向向量分別為a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，則l1與l2的位置關(guān)系是(

)A.l1⊥l2

B.l1∥l2C.l1、l2相交不垂直

D.不能確定2.已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1，2，3)，(2，-1，1)，(3，λ，λ).若AB⊥AC，則實(shí)數(shù)λ等于

.

A

3.(多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點(diǎn)，則直線OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.與AC，MN都不垂直AC根據(jù)今天所學(xué)，回