數(shù)學學案：課堂探究橢圓的標準方程

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一利用橢圓的定義解題橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF1｜＋｜MF2｜＝2a(2a＞|F1F2｜）,則點M的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點M到兩焦點的距離之和必為2a【典型例題1】設F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2，9)＋eq\f（y2，4)＝1的兩個焦點，P為橢圓上的一點,PF1⊥PF2，且｜PF1|＞|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值．思路分析：利用橢圓的定義，結合直角三角形的三邊關系即可求出｜PF1｜，|PF2|的值．解:因為PF1⊥PF2，所以∠F1PF2為直角，則|F1F2|2＝｜PF1｜2＋|PF2|2所以有eq\b\lc\{\rc\(eq\a\vs4\al\co1(｜PF1｜2＋|PF2｜2＝20，,|PF1｜＋|PF2|＝6，）)解得｜PF1｜＝4，|PF2|＝2，所以eq\f(|PF1｜,|PF2｜）＝2.探究二求橢圓的標準方程解決求橢圓的標準方程問題主要是“定位"與“定量"：“定位”是要確定焦點位于哪條坐標軸上,以判斷方程的形式；“定量”是確定a2，b2的具體數(shù)值,常根據(jù)條件列方程（組)求解．【典型例題2】求符合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點的坐標分別為（－4,0)和（4，0)，且橢圓經(jīng)過點(5，0)；（2）焦點在y軸上,且經(jīng)過點(0,2)和（1,0)；（3)經(jīng)過點P（－2eq\r(3)，1)，Q（eq\r（3）,－2)．思路分析：應用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程,要注意“定位”與“定量”．解：（1）因為橢圓的焦點在x軸上，所以設它的標準方程為eq\f(x2,a2）＋eq\f（y2,b2)＝1（a＞b＞0)．所以2a＝eq\r（（5＋4）2)＋eq\r((5－4）2）＝10.所以a＝5,所以a2＝25。又c＝4，所以b2＝a2－c2＝25－16＝9.所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2，25)＋eq\f（y2,9)＝1.(2）因為橢圓的焦點在y軸上，所以設它的標準方程為eq\f（y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1（a＞b＞0)．又橢圓經(jīng)過點（0，2）和（1,0),所以eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(eq\f（4，a2)＋eq\f(0，b2)＝1,，eq\f(0，a2）＋eq\f(1，b2）＝1）)?eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（a2＝4，，b2＝1.）)所以所求橢圓的標準方程為eq\f（y2，4)＋x2＝1。（3）設橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，因為點P（－2eq\r（3),1)，Q(eq\r（3)，－2）在橢圓上，所以eq\b\lc\｛\rc\（eq\a\vs4\al\co1（12m＋n＝1，,3m＋4n＝1。））解得eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1(m＝eq\f(1，15），，n＝eq\f(1，5）。）)所以所求橢圓的標準方程為eq\f(x2，15)＋eq\f(y2，5）＝1。點評:已知橢圓經(jīng)過兩點，求橢圓的標準方程時，把橢圓的方程設成mx2＋ny2＝1（m＞0,n＞0，且m≠n）的形式有兩個優(yōu)點：（1)列出的方程組中分母不含字母；（2)不用討論焦點所在的坐標軸．探究三求與橢圓有關的軌跡方程求與橢圓有關的軌跡方程常用兩種方法：（1）定義法，即依據(jù)條件確定動點滿足的幾何等式，聯(lián)想橢圓的定義來確定；(2)代入法，即當問題中的動點軌跡是由另一動點按照某種規(guī)律運動而形成的，可選用代入法求軌跡方程．【典型例題3】如圖，已知圓A：(x＋3)2＋y2＝100，圓A內(nèi)一定點B（3，0)，圓P過點B且與圓A內(nèi)切，求圓心P的軌跡方程．思路分析:根據(jù)兩圓內(nèi)切的特點，得出｜PA｜＋|PB|＝10。由于點A的坐標為(－3,0)，點B的坐標為（3，0)，所以點P的軌跡方程是以A，B為焦點的橢圓的標準方程，這就把求點P的軌跡方程的問題轉化成了求a2，b2的問題．解：設｜PB|＝r.因為圓P與圓A內(nèi)切，圓A的半徑為10，所以兩圓的圓心距|PA｜＝10－r，即｜PA|＋|PB｜＝10（大于|AB|）．所以點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．所以2a＝10，2c＝|所以a＝5，c＝3.所以b2＝a2－c2＝25－9＝16，即點P的軌跡方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2，16)＝1.探究四易錯辨析易錯點對橢圓的標準方程認識不清【典型例題4】若方程eq\f(x2，5－k)＋eq\f(y2,k－3)＝1表示橢圓，求k的取值范圍．錯解：由eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1(5－k＞0，，k－3＞0，))得3＜k＜5。錯因分析：錯解中沒有注意到橢圓方程中a＞b＞0這一條件，當a＝b時,方程并不表示橢圓．正解：由題意，得eq\b\lc\｛\rc\（