重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué) 含解析

重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度第一期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（高2026屆）本試卷共4頁，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷的規(guī)定位置上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B坐標(biāo)是（）.A. B. C. D.2.過點(diǎn)，且與直線平行直線方程是（）A. B.C. D.3.已知點(diǎn)，，若是直線l方向向量，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.4.已知圓與軸相切，則（）A.1 B.0或 C.0或1 D.5.如圖，平行六面體的所有棱長均為1，AB，AD，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，，則（）A B. C.3 D.6.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A.； B.；C.； D.；7.已知直線過點(diǎn)，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（）A.，或 B.，或C. D.8.點(diǎn)P為圓A：上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為圓B：上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，是夾角的單位向量，且，，則下列說法正確的是（）A. B.C.在方向上的投影向量為 D.與的夾角為10.點(diǎn)P在圓M：上，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線AB關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱直線為B.點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為C.圓M關(guān)于直線AB對(duì)稱的圓的方程為D.當(dāng)最大時(shí)，11.在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知平面向量，若，則_______.13.方程表示圓，且坐標(biāo)原點(diǎn)在該圓外，則a的取值范圍是______．14.已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知頂點(diǎn)、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．16.如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點(diǎn).（1）證明：平面ACE；（2）求與平面ACE所成角的余弦值.17.直線的方程為（）.（1）證明：無論為何值，直線過定點(diǎn)；（2）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的周長及此時(shí)直線的截距式方程.18.如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.（1）證明：平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.19.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測試樣本之間的相似度，常用測量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，，求的最大值；（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度第一期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（高2026屆）本試卷共4頁，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷的規(guī)定位置上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在試卷及草稿紙上無效.3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示可得.【詳解】由空間向量的坐標(biāo)表示可知，，所以，所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為.故選：B2.過點(diǎn)，且與直線平行的直線方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行直線的斜率關(guān)系，利用待定系數(shù)法求出直線方程即可.【詳解】直線的斜率，過點(diǎn)的直線與直線平行，所以該直線的斜率，設(shè)該直線的方程為，且該直線過點(diǎn)，則，得，所以該直線的方程為，即.故選：.3.已知點(diǎn)，，若是直線l的方向向量，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)得到向量坐標(biāo)，即可求得該直線的傾斜角.【詳解】已知點(diǎn)，，則，斜率，又直線l的傾斜角，則直線l的傾斜角.故選：A4.已知圓與軸相切，則（）A.1 B.0或 C.0或1 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一般式得圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，即可根據(jù)相切得求解.【詳解】將化為標(biāo)準(zhǔn)式為：，故圓心為半徑為，且或，由于與軸相切，故，解得，或（舍去），故選：D5.如圖，平行六面體的所有棱長均為1，AB，AD，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，，則（）A. B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，連接，由向量的線性運(yùn)算可得，再由向量的模長公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】連接，由題意可得，所以，所以.故選：D6.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A.； B.；C.； D.；【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到直線過定點(diǎn)，若使得到直線的距離最大，則，求得，得到，進(jìn)而得到直線方程.【詳解】由直線，可得化為，聯(lián)立方程組，解得，即直線過定點(diǎn)，若要到直線的距離最大，只需，此時(shí)點(diǎn)到直線的最大距離，即為線段的長度，可得，又由直線的斜率為，因?yàn)?，可得，可得，故此時(shí)直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)，此時(shí)，上述直線的方程能夠成立.故選：C.7.已知直線過點(diǎn)，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（）A.，或 B.，或C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線所過點(diǎn)、傾斜角以及等腰三角形等知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)，直線過和，當(dāng)時(shí)，直線、直線與軸為成的三角形是不是等腰三角形.所以直線的斜率存在.設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)直線過兩點(diǎn)時(shí)，，三角形是等腰三角形，同時(shí)由于直線的斜率為，傾斜角為，所以三角形是等邊三角形，所以，此時(shí)直線的方程為設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，如圖所示，若，則，所以直線，也即直線的斜率為，對(duì)應(yīng)方程為.故選：A8.點(diǎn)P為圓A：上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為圓B：上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】B【解析】【分析】結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化成兩點(diǎn)之間直線段最短的問題解決.【詳解】P為圓A：上一動(dòng)點(diǎn)，Q為圓B：上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，取，則，∴，∴，∴.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：幾何問題中，線段和的最小值問題通常利用到兩個(gè)結(jié)論：第一：兩點(diǎn)之間直線段最短，第二：點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短.該題求線段和的最小值，該思考如何轉(zhuǎn)化，利用這兩個(gè)結(jié)論.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，是夾角的單位向量，且，，則下列說法正確的是（）A. B.C.在方向上的投影向量為 D.與的夾角為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算可判斷個(gè)選項(xiàng)是否正確.【詳解】由題意：，.對(duì)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)C：在方向上的投影向量為：，故C正確；對(duì)D：因?yàn)椋?所以，所以與的夾角為，故D正確.故選：BCD10.點(diǎn)P在圓M：上，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線AB關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱直線為B.點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為C.圓M關(guān)于直線AB對(duì)稱的圓的方程為D.當(dāng)最大時(shí)，【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，分別求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷；對(duì)于B，利用圓上動(dòng)點(diǎn)到直線的最大距離為即可判斷；對(duì)于C，求得圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)即可得解；對(duì)于D，判斷得最大時(shí)直線與圓相切，再利用兩點(diǎn)距離公式與勾股定理即可得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，則，則對(duì)稱直線方程為，化簡可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題意可得，直線的方程為，即，因?yàn)閳A，所以，半徑為，所以圓心到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，故B正確；對(duì)于C，設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則，解得，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)最大時(shí)，易得直線與圓相切，如圖，在中，，，所以，故D正確.故選：BD11.在長方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為【答案】ABC【解析】【分析】依題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)判斷得符號(hào)即可判斷A；當(dāng)平面，則有，從而求出可判斷B；當(dāng)時(shí)，取得最小值，結(jié)合B即可判斷C；利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離，分析即可判斷D.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，則，，對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，則，，則，，所以，所以為銳角，故A正確；當(dāng)平面，因?yàn)槠矫?，所以，則，解得，故存在點(diǎn)，使得平面，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，取得最小值，由B得，此時(shí)，則，，所以，即的最小值為，故C正確；對(duì)于D，，，設(shè)平面的法向量，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離為0，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以點(diǎn)到平面的最大距離為，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，求得，，從而利用空間向量法逐一分析判斷各選項(xiàng)即可.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示以及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，列出方程，即可求解.【詳解】由向量，可得，因?yàn)?，可得，即，解?故答案為：13.方程表示圓，且坐標(biāo)原點(diǎn)在該圓外，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)和圓的位置關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】圓的方程可化為，即，所以，解出.由于在圓外，所以，解得或.故.故答案為：14.已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)幾何關(guān)系確定點(diǎn)的軌跡方程，從而根據(jù)點(diǎn)到圓上動(dòng)點(diǎn)距離最值的求解方法求解即可.【詳解】解法1：如圖，因?yàn)?，所以，故四邊形為矩形，設(shè)的中點(diǎn)為S，連接，則，所以，又為直角三角形，所以，故①，設(shè)，則由①可得，整理得：，從而點(diǎn)S的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)部，所以，因?yàn)?，所以；解?：如圖，因?yàn)?所以，故四邊形為矩形，由矩形性質(zhì)，，所以，從而，故Q點(diǎn)的軌跡是以O(shè)為圓心，為半徑的圓，顯然點(diǎn)P在該圓內(nèi)，所以.故答案：.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知頂點(diǎn)、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點(diǎn)及斜率，進(jìn)而可得其中垂線方程；（2）當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)可得直線方程；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的截距式可得解.【小問1詳解】由、，可知中點(diǎn)為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問2詳解】當(dāng)直線過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16.如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點(diǎn).（1）證明：平面ACE；（2）求與平面ACE所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）先證得，再由線面平行判定定理證明即可；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.【小問1詳解】證明：連接BD和，設(shè)，連接EO，則O為BD中點(diǎn)，在中，因?yàn)镕，G分別為和的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樵谥?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，所以又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．【小問2詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖：設(shè)正方體的棱長為2，則A2,0,0，，E0,0,1，，所以，，，設(shè)m=x,y,z為平面則，所以，取設(shè)直線與平面ACE所成角為，所以直線與平面ACE所成角的正弦值為：．所以與平面ACE所成角的余弦值為.17.直線的方程為（）.（1）證明：無論為何值，直線過定點(diǎn)；（2）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的周長及此時(shí)直線的截距式方程.【答案】（1）證明見解析（2），【解析】【分析】（1）將直線的方程變形為，令，解得即可；（2）首先求出直線在、軸上的截距，即可求出的范圍，再由面積公式及基本不等式求出面積最小值及此時(shí)的值，從而求出直線的方程及三角形的周長.【小問1詳解】直線的方程變形為，由，得到，又時(shí)，恒成立，故直線恒過定點(diǎn)2,1【小問2詳解】由，依題意，即，令，得到，令，得到，由，得到，所以，令，得到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，直線的方程為，又，，，所以當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的周長為.18.如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.（1）證明：平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得結(jié)果，先證明線線垂直，再證明線面垂直；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面夾角正弦值得到點(diǎn)到平面的距離即三棱錐的高，即可求得體積.【小問1詳解】在原圖中，連接，由于，，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，在翻折過程中，，保持不變，即，保持不變，由于，，平面，所以平面；【小問2詳解】由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于，，，平面，所以平面，由于，平面，所以，