2024-2025學年高中數(shù)學第一章導數(shù)及其應用1.1.1-1.1.2變化率問題導數(shù)的概念課時素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修2-2

PAGE課時素養(yǎng)評價一改變率問題導數(shù)的概念(15分鐘30分)1.假如函數(shù)f(x)=ax+b在區(qū)間[1,2]上的平均改變率為3,則a=()A.-3 B.2 C.3 D.-2【解析】選C.依據(jù)平均改變率的定義,可知QUOTE=QUOTE=a=3.2.一物體的運動方程是s=t+QUOTE,則在t=2時刻的瞬時速度是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】選B.Δs=2+Δt+QUOTE-2-QUOTE=Δt-QUOTE,QUOTE=1-QUOTE,所以t=2時的瞬時速度為QUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知函數(shù)y=x2+1的圖象上一點(1,2)及鄰近點(1+Δx,2+Δy),則QUOTE=()A.2 B.2x C.2+Δx D.2+Δx2【解析】選A.由題意得QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+Δx,所以QUOTE(2+Δx)=2.4.已知點P(x0,y0)是拋物線y=3x2+6x+1上一點,且f′(x0)=0,則點P的坐標為、()A.(1,10) B.(-1,-2)C.(1,-2) D.(-1,10)【解析】選B.QUOTE=QUOTE=QUOTE=3Δx+6x0+6,所以f′(x0)=QUOTE=QUOTE(3Δx+6x0+6)=6x0+6=0,所以x0=-1.把x0=-1代入y=3x2+6x+1,得y=-2.所以P點坐標為(-1,-2).5.在曲線y=f(x)=x2+3上取一點P(1,4)及旁邊一點(1+Δx,4+Δy).求:(1)QUOTE.(2)f′(1).【解析】(1)QUOTE=QUOTE=QUOTE=2+Δx.(2)f′(1)=QUOTE=QUOTE(2+Δx)=2.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.質(zhì)點運動規(guī)律s=t2+3,則在時間[3,3+Δt]中,相應的平均速度等于()A.6+Δt B.6+Δt+QUOTEC.3+Δt D.9+Δt【解析】選A.質(zhì)點在時間[3,3+Δt]中,相應的平均速度為QUOTE=QUOTE=QUOTE=6+Δt.2.如圖,函數(shù)y=f(x)在A,B兩點間的平均改變率等于 ()A.-1 B.1C.-2 D.2【解析】選A.易知fQUOTE=3,fQUOTE=1,因此QUOTE=-1.3.甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示,則治污效果較好的是()A.甲 B.乙C.相同 D.不確定【解析】選B.在t0處,W1(t0)=W2(t0),但W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt),則QUOTE<QUOTE,所以,在相同的時間Δt內(nèi),甲廠比乙廠的平均治污率小,即乙廠的治污效果較好.4.若函數(shù)fQUOTE=x2由x=1至x=1+Δx的平均改變率的取值范圍是QUOTE,則Δx的取值范圍為 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.因為x由x=1至x=1+Δx時,Δy=fQUOTE-fQUOTE=QUOTE-12=QUOTE+2Δx,所以函數(shù)fQUOTE=x2由x=1至x=1+Δx的平均改變率為QUOTE=Δx+2,因為QUOTE=Δx+2∈QUOTE,所以Δx∈QUOTE.5.設f(x)為可導函數(shù),且f′(2)=QUOTE,則QUOTEQUOTE的值為 ()A.1B.-1C.QUOTED.-QUOTE【解析】選B.因為QUOTEQUOTE=-2QUOTEQUOTE=-2f′QUOTE=-2×QUOTE=-1.【誤區(qū)警示】對導數(shù)概念的不理解致錯導數(shù)定義f′(x0)=QUOTE中,分式的分母肯定是自變量的增量(x0+Δx)-x0,上面肯定是函數(shù)值的增量f(x0+Δx)-f(x0),假如不滿意,就要利用極限運算化簡.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知物體運動的速度與時間之間的關系是vQUOTE=t2+2t+2,則在時間間隔QUOTE內(nèi)的平均加速度是________.

【解析】由平均改變率的定義可知,該物體在QUOTE內(nèi)的平均加速度為QUOTE=QUOTE=Δt+4.答案:Δt+47.已知曲線y=f(x)=2x2+1在點M處的瞬時改變率為-4,則點M的坐標為________.

【解析】QUOTE=QUOTE(2Δx+4x0)=4x0=-4,解得x0=-1,所以點M的坐標為M(-1,3).答案:(-1,3)8.已知曲線y=x2-1上兩點A(2,3),B(2+Δx,3+Δy),當Δx=1時,割線AB的斜率是________;當Δx=0.1時,割線AB的斜率是________.

【解析】當Δx=1時,割線AB的斜率k1=QUOTE=QUOTE=QUOTE=5;當Δx=0.1時,割線AB的斜率k2=QUOTE=QUOTE=4.1.答案:54.1三、解答題(每小題10分,共20分)9.一質(zhì)點做直線運動,其位移s與時間t的關系為s(t)=t2+1,該質(zhì)點在2到2+Δt(Δt>0)之間的平均速度不大于5.求Δt的取值范圍.【解析】質(zhì)點在2到2+Δt之間的平均速度為QUOTE=QUOTE=QUOTE=4+Δt,又QUOTE≤5,即4+Δt≤5,所以Δt≤1.又Δt>0,所以Δt的取值范圍為(0,1].10.在F1賽車中,賽車位移與競賽時間t存在函數(shù)關系sQUOTE=10t+5t2(s的單位為m,t的單位為s).求:(1)t=20s,Δt=0.1s時的Δs與QUOTE;(2)t=20s時的瞬時速度.【解析】(1)Δs=sQUOTE-sQUOTE=10QUOTE+5QUOTE-10×20-5×202=21.05QUO