《電路分析基礎(chǔ)》課件第3章 動(dòng)態(tài)電路分析

3.1電感元件和電容元件一、電感元件二、電容元件3.2動(dòng)態(tài)方程及其解

一、動(dòng)態(tài)電路方程二、動(dòng)態(tài)電路方程解3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)一、一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)二、一階動(dòng)態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)三、一階電路的完全響應(yīng)

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頁(yè)3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)一、階躍函數(shù)二、階躍響應(yīng)3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

一、α＞ω0(R2＞4L/C)，過(guò)阻尼情況二、α=ω0(R2=4L/C)，臨界阻尼情況三、α<ω0(R2<4L/C)，欠阻尼情況3.6正弦函數(shù)激勵(lì)下一階電路的響應(yīng)一、正弦激勵(lì)下一階RC電路的全響應(yīng)二、一個(gè)重要結(jié)論

第3章動(dòng)態(tài)電路時(shí)域分析包含電感、電容的電路稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路。整個(gè)分析過(guò)程都在時(shí)間t域里進(jìn)行，稱(chēng)為時(shí)域分析。(本章共88頁(yè))P2P84P23P48P75P67點(diǎn)擊目錄中各節(jié)后頁(yè)碼即可打開(kāi)該節(jié)返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第2-2

頁(yè)3.1電感元件和電容元件

用良金屬導(dǎo)線(xiàn)繞在骨架上就構(gòu)成了一個(gè)實(shí)際的電感器，常稱(chēng)為電感線(xiàn)圈，如圖(1)所示。當(dāng)電流i(t)通過(guò)電感線(xiàn)圈時(shí)，將激發(fā)磁場(chǎng)產(chǎn)生磁通Φ(t)與線(xiàn)圈交鏈，其中儲(chǔ)存有磁場(chǎng)能量。與線(xiàn)圈交鏈的總磁通稱(chēng)為磁鏈，記為Ψ(t)。若線(xiàn)圈密繞，且有N匝，則磁鏈Ψ(t)=NΦ(t)。1、電感的一般定義應(yīng)用磁鏈與電流的關(guān)系(習(xí)慣上稱(chēng)為韋安關(guān)系)來(lái)定義電感元件。一個(gè)二端元件，如果在任意時(shí)刻t，其磁鏈Ψ(t)與電流i(t)之間的關(guān)系能用Ψ一i平面上的韋安關(guān)系曲線(xiàn)描述，就稱(chēng)該二端元件為電感元件，簡(jiǎn)稱(chēng)電感。若曲線(xiàn)是通過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，且不隨時(shí)間變化，如圖2(a)所示，則稱(chēng)該元件為線(xiàn)性時(shí)不變電感，其理想電感電路模型符號(hào)如圖2(b)所示。u(a)iLOψi(b)圖2線(xiàn)性時(shí)不變電感元件的韋安關(guān)系及電路模型前一頁(yè)第2-2

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頁(yè)

設(shè)電感元件的磁鏈Ψ(t)與電流i(t)的參考方向符合右手螺旋關(guān)系，則由圖2(a)可寫(xiě)得

(3.1-1)上式稱(chēng)為電感元件的韋安關(guān)系式。式中L稱(chēng)為電感元件的電感量，單位為亨(H)。在國(guó)際單位制中，磁通和磁鏈的單位都是韋伯(Wb)，簡(jiǎn)稱(chēng)韋；2、電感的VAR(或VCR)

電感元件中，變化的電流會(huì)產(chǎn)生變化的磁鏈，并在元件兩端產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。習(xí)慣上，規(guī)定感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的參考方向由“-”極指向“+”極。

設(shè)電感元件的電流i、電壓u與感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)e的參考方向如圖3中所標(biāo)，且電流i與磁鏈Ψ的參考方向符合右手螺旋定則，則根據(jù)電磁感應(yīng)定律和韋安關(guān)系，其感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為所以第3-3

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頁(yè)稱(chēng)為電感VAR的微分形式3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-4

頁(yè)對(duì)微分式從-∞到t進(jìn)行積分，并設(shè)i(-∞)=0，可得電感元件VCR的積分形式

設(shè)t=0為觀察時(shí)刻，記t=0的前一瞬間為0_，可將上式改寫(xiě)為是t=0_時(shí)刻電感元件的電流，稱(chēng)為電感起始電流。3、電感元件上吸收功率與貯能

在電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)時(shí)，電感元件吸收的功率為對(duì)上式從-∞到t進(jìn)行積分并約定i(-∞)=0，求得電感元件的儲(chǔ)能第3-4

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頁(yè)綜上所述，對(duì)于電感元件有以下重要結(jié)論：（1）電感元件上的電壓、電流關(guān)系是微積分關(guān)系，因此，電感元件是動(dòng)態(tài)元件。而電阻元件上的電壓、電流關(guān)系是代數(shù)關(guān)系，它是瞬時(shí)元件。（2）由VCR的微分形式可知：任意時(shí)刻的電感電壓與該時(shí)刻電流的變化率成正比。當(dāng)電感電壓為有限值時(shí)，其di(t)／dt也為有限值，相應(yīng)電流必定是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，此時(shí)電感電流不能躍變；當(dāng)電感電流為直流時(shí)，則恒有u=0，即電感對(duì)直流相當(dāng)于短路。(3)由VCR的積分形式可知：任意時(shí)刻的電感電流i(t)均與t時(shí)刻電壓及該時(shí)刻以前電壓的“全部歷史”有關(guān)。式中，起始電流i(0-)體現(xiàn)了t=0以前電感電壓的全部作用效果，積分項(xiàng)則反映了t=0-以后電壓的作用效果。因此，電感電流具有“記憶”電壓的作用，電感元件是一種記憶元件

。與此不同．電阻元件的電流僅取決于該時(shí)刻的電壓，是無(wú)記憶的元件。

(4)貯能式表明，對(duì)于任一電流i(t)，恒有wL(t)≥0，即電感元件是儲(chǔ)能元件，它從外部電路吸收的能量，以磁場(chǎng)能量形式儲(chǔ)存于自身的磁場(chǎng)中。第3-5

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頁(yè)

(5)如圖4所示，若電感上的電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，則相應(yīng)的微、積分式分別改寫(xiě)為圖4電感上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)uiL4、應(yīng)用舉例

例3.1-l

圖(a）所示電感元件，已知L=2H，電流i(t)的波形如圖(b))所示。求電感元件上的電壓u(t)、吸收功率p(t)和儲(chǔ)能wL(t)，并畫(huà)出它們的波形。第3-6

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頁(yè)u(t)i(t)L0t/si/A11230t/su/V11232-10t/sp/W-112320t/swL/J1123(a)(b)(c)(d)(e)

例3.1-1用圖第3-7

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頁(yè)解：寫(xiě)出電流i(t)的數(shù)學(xué)表達(dá)式為電流、電壓參考方向關(guān)聯(lián)，由電感元件VCR的微分形式，得將i(t)、u(t)表達(dá)式代入L吸收功率表示式得其余其余其余3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-9

頁(yè)將i(t)表達(dá)式代入L上貯能表示式，求得其余畫(huà)出u(t)、p(t)和wL(t)的波形如例3.1-1用圖中(c)、(d)、(e)所示。點(diǎn)評(píng)：(1)由波形圖可見(jiàn)，電感電流i和儲(chǔ)能wL都是t的連續(xù)函數(shù)，其值不會(huì)跳變，但電感電壓u和功率p是可以跳變的。(2)在圖(d)中，p(t)>0期間，表示電感吸收功率，儲(chǔ)藏能量；p(t)<0期間，表示電感供出功率，釋放能量；兩部分面積相等，表明電感元件不消耗功率，只與外電路進(jìn)行能量交換。例3.1-2

如圖(a)電路，已知電感電壓u(t)，L=0.5H，i(0)=0；試求電感上電流i(t)及在t=1s時(shí)的儲(chǔ)能wL(1)。3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-10

頁(yè)解：

寫(xiě)出u(t)的表達(dá)式為當(dāng)0<t≤0.5s時(shí)當(dāng)t>0.5s時(shí)，波形如(b)圖所示。例3.1-2用圖請(qǐng)看！電壓為零而電流不是零呦！！3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-11

頁(yè)二、電容元件

電容器是最常用的電能儲(chǔ)存器件。在兩片金屬極板中間填充電介質(zhì)，就構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的實(shí)際電容器，如圖5所示。qqiu圖5

接通電源后，會(huì)在兩個(gè)極板上聚集起等量的異性電荷，從而在極板之間建立電場(chǎng)，電場(chǎng)中儲(chǔ)存有電場(chǎng)能量。

即使移去電源，由于極板上電荷被介質(zhì)隔離而不能中和，故將繼續(xù)保留，電場(chǎng)也繼續(xù)存在。因此，電容器具有儲(chǔ)存電場(chǎng)能量的作用。

電容元件是電能儲(chǔ)存器件的理想化模型，它有精確的數(shù)學(xué)定義。

1、電容元件一般定義

一個(gè)二端元件，如果在任意時(shí)刻t，其電荷q(t)與電壓u(t)之間的關(guān)系能用q-u平面上的曲線(xiàn)描述，就稱(chēng)該二端元件為電容元件，簡(jiǎn)稱(chēng)電容。

若曲線(xiàn)是通過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)，且不隨時(shí)間變化，如圖6(a)所示，則稱(chēng)為線(xiàn)性時(shí)不變電容，其理想電容的電路模型符號(hào)如圖6(b)所示。qqiu(a)OquC(b)圖6線(xiàn)性時(shí)不變電容元件的庫(kù)伏關(guān)系及電路模型3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-12

頁(yè)在電容上，電壓參考極性與帶正、負(fù)電荷的極板相對(duì)應(yīng)時(shí)，由圖6(a)可知，電荷量q(t)與其端電壓u(t)的關(guān)系滿(mǎn)足

上式稱(chēng)為電容的庫(kù)伏關(guān)系式。式中C稱(chēng)為電容元件的電容量，單位為法拉(F)，簡(jiǎn)稱(chēng)法。2、電容的VAR(或VCR)在電路分析中，更關(guān)心的是電容元件上的電壓、電流關(guān)系。若設(shè)電容電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)，則有對(duì)上式從-∞到t進(jìn)行積分，并設(shè)u(-∞)=0，可得電容上電壓、電流微分關(guān)系電容上電壓、電流積分關(guān)系3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-13

頁(yè)

設(shè)t=0為觀察時(shí)刻，并記t=0的前一瞬間為0-，積分式可改寫(xiě)為式中是t=0-時(shí)刻電容元件上的電壓，稱(chēng)為電容起始電壓。3、電容上吸收的功率與貯能在電壓、電流參考方向關(guān)聯(lián)的條件下，電容元件的吸收功率和儲(chǔ)能分別為式中u(-∞)=03.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-14

頁(yè)對(duì)于電容元件，也有與電感元件概念上相對(duì)稱(chēng)的5點(diǎn)重要結(jié)論：（1）與電感元件一樣，電容元件也是一種動(dòng)態(tài)元件。電感是電流記憶電壓而電容是電壓記憶電流。（2）電容VCR的微分形式表明：任意時(shí)刻，通過(guò)電容元件的電流與該時(shí)刻電壓的變化率成正比。

當(dāng)電容電流i為有限值時(shí)，其du／dt也為有限值，相應(yīng)電壓必定是時(shí)間t的連續(xù)函數(shù)，此時(shí)電容電壓是不會(huì)躍變的；

當(dāng)電容電壓為直流電壓時(shí)，則電流i=0，即電容對(duì)于直流而言相當(dāng)于開(kāi)路。

（3）電容VCR的積分形式表明：任意時(shí)刻，電容電壓u(t)與t時(shí)刻電流及該時(shí)刻以前所有時(shí)刻的電流即電流的“全部歷史”有關(guān)。或者說(shuō)，電容電壓具有“記憶"電流的作用，故電容元件是記憶元件。（4）由貯能式可知，電容元件也是儲(chǔ)能元件，它從外部電路吸收的能量，以電場(chǎng)能量形式儲(chǔ)存于自身的電場(chǎng)中。(5)如圖7所示，若電容上的電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)，則相應(yīng)的微、積分式分別改寫(xiě)為iuC圖7電容上電壓、電流參考方向非關(guān)聯(lián)3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-15

頁(yè)4、應(yīng)用舉例u(t)iL(t)1H0.05FiC(t)2Ω例3.1-3電路如例3.1-3用圖所示，已知iC(t)=e-2tA(t≥0)，uc(0-)=2V，求t≥0時(shí)的電壓u(t)。例3.1-3用圖解

首先，根據(jù)電容元件VCR的積分形式，求得3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-16

頁(yè)由歐姆定律，計(jì)算電阻電流：然后，應(yīng)用KCL，求得電感電流為電感電壓：最后，應(yīng)用KVL得電壓三、電感、電容的串聯(lián)和并聯(lián)等效

圖8（a）是n個(gè)電感相串聯(lián)的電路，流經(jīng)各電感的電流是同一電流i。根據(jù)電感元件VCR的微分形式，第k(k=1，2，…，n)個(gè)電感的端電壓為1、電感串聯(lián)等效

k=1，2，…，n

由KVL，得端口電壓式中3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-17

頁(yè)稱(chēng)為n個(gè)電感串聯(lián)的等效電感。它等于n個(gè)相串聯(lián)電感之和！

由上式畫(huà)出等效電路如圖8（b）所示。

(1)由式(1)得所以電感串聯(lián)分壓公式，電感大者分得的電壓大！2、電感的并聯(lián)等效3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-18

頁(yè)圖9（a）是n個(gè)電感并聯(lián)的電路，各電感的端電壓為同一電壓u。根據(jù)電感VCR的積分形式，有k=1，2，…，n

由KCL，得端口電流式中(2)L稱(chēng)為n個(gè)電感并聯(lián)的等效電感。L的倒數(shù)等于相并聯(lián)各電感倒數(shù)之和！

由上式畫(huà)出其等效電路如圖9（b）所示。3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-19

頁(yè)由式（2）得

k=1，2，…，n

電感并聯(lián)分流公式。電感大者分得的電流?。?、電容串聯(lián)等效…uiu1unu2C1C2Cn(b)(a)iCu圖10電容串聯(lián)圖10（a）是n個(gè)電容相串聯(lián)的電路，流經(jīng)各電容的電流為同一電流i。根據(jù)電容VCR的積分形式，有k=1，2，…，n

3.1電感元件和電容元件返回本章目錄下一頁(yè)前一頁(yè)第3-20

頁(yè)應(yīng)用KVL，經(jīng)類(lèi)似電感并聯(lián)時(shí)的推導(dǎo)過(guò)程，可求得n個(gè)電容相串聯(lián)的等效電容C，其倒數(shù)表示式為C稱(chēng)為n個(gè)電容串聯(lián)的等效電容。C的倒數(shù)等于相串聯(lián)各電容倒數(shù)之和！相應(yīng)等效電路如圖10（b）所示。再將等效電容VCR的積分形式寫(xiě)成k=1，2，…，n

電容串聯(lián)分壓公式，電容大者分得的電壓??！下一頁(yè)前一頁(yè)第3-21

頁(yè)返回本章目錄4、電容并聯(lián)：電容并聯(lián)電壓u相同，根據(jù)電容VAR微分形式由KCL，有i=i1+i2+…+in∴C=C1+C2+…+Cn分流公式3.1電感元件和電容元件5、電容電感串并聯(lián)兩點(diǎn)說(shuō)明（1）電感的串并聯(lián)與電阻串并聯(lián)形式相同，而電容的串并聯(lián)與電導(dǎo)形式相同。（2）電感與電容也可以利用△-Y等效，但注意：對(duì)電容用1/C代入。下一頁(yè)前一頁(yè)第3-22

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頁(yè)返回本章目錄3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解

包含有動(dòng)態(tài)元件的電路稱(chēng)為動(dòng)態(tài)電路，因動(dòng)態(tài)元件上電壓、電流關(guān)系為微、積分關(guān)系，所以對(duì)動(dòng)態(tài)電路所建立的方程為微、積分方程，一般歸結(jié)為微分方程。一、動(dòng)態(tài)電路方程

列寫(xiě)動(dòng)態(tài)電路方程的依據(jù)仍然是KCL、KVL和元件上的VAR（也常稱(chēng)VCR），下面由具體的動(dòng)態(tài)電路來(lái)看微分方程的列寫(xiě)過(guò)程。1、一階RC串聯(lián)電路例圖3.2-1所示的RC串聯(lián)電路，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，求t≥0時(shí)電容上的電壓uC(t)。

電路中開(kāi)關(guān)的接通或斷開(kāi)、元件參數(shù)或電源數(shù)值的突然變化，這些現(xiàn)象的發(fā)生統(tǒng)稱(chēng)為發(fā)生了“換路”。對(duì)于發(fā)生換路的動(dòng)態(tài)電路，我們更關(guān)注換路后電路中響應(yīng)隨時(shí)間t的變化情況。對(duì)A回路列KVL方程，有由于代入上式得3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-24

頁(yè)返回本章目錄(3.2-1)2、一階RL并聯(lián)電路例圖示3.2-2所示RL并聯(lián)電路，以is(t)作為激勵(lì)，以iL(t)作為響應(yīng)，試列寫(xiě)該電路方程。對(duì)節(jié)點(diǎn)a列寫(xiě)KCL方程，有由于將它們代入上式并經(jīng)整理，得(3.2-2)

因（3.2-1）式、（3.2-2）式均為一階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程，所以圖3.2-1和圖3.2-2所示的RC和RL電路均稱(chēng)為一階電路。

此時(shí)二電路中分別只含一個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件。3、RLC串聯(lián)二階電路例

圖3.2-3所示的RLC串聯(lián)電路中含有兩個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件。若仍以u(píng)s作為激勵(lì)，以u(píng)C作為響應(yīng)，列寫(xiě)電路方程。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-25

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根據(jù)KVL對(duì)回路A列寫(xiě)方程，有由于將它們代入上述KVL方程并整理，得這是二階常系數(shù)微分方程，所以該電路稱(chēng)為二階電路。一般而言，如果電路中含有n個(gè)獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件，那么描述該電路的微分方程就是n階的，就稱(chēng)相應(yīng)的電路為n階電路。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-26

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根據(jù)以上列寫(xiě)動(dòng)態(tài)電路方程的例子，我們可歸納總結(jié)如下結(jié)論：

n階線(xiàn)性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路，其任何處的響應(yīng)與激勵(lì)間的電路方程均是n階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程。二、動(dòng)態(tài)電路方程解

數(shù)學(xué)中我們知道，要解微分方程還需知道初始條件，求解動(dòng)態(tài)電路微分方程所需要的初始條件就是電路響應(yīng)的初始值。

許多動(dòng)態(tài)電路問(wèn)題分析中初始值并不已知，而是由我們根據(jù)題意應(yīng)用電路基本概念來(lái)求得。那么如何求電路響應(yīng)初始值呢？

1.初始值的計(jì)算動(dòng)態(tài)電路的初始值即是動(dòng)態(tài)電路在發(fā)生換路后瞬間響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)值。若發(fā)生換路的時(shí)刻記為to，又常取t0＝0。0+表示換路后瞬間，0-就表示換路前瞬間。

設(shè)電路響應(yīng)為y（t）（或電流響應(yīng)或電壓響應(yīng)），電路初始值即指y（0+）、y’（0+)、…，一階動(dòng)態(tài)電路有意義的初始值就只有y（0+）一個(gè)，二階電路的初始值有y（0+）、y’（0+)兩個(gè)初始值，依此類(lèi)推，n階電路的初始值應(yīng)有n個(gè)。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-27

頁(yè)返回本章目錄由電感電流、電容電壓積分關(guān)系式可分別寫(xiě)得如果電感電壓uL和電容電流iC在無(wú)窮小區(qū)間0-～0+內(nèi)為有限值，那么上兩式中等號(hào)右端積分項(xiàng)的值為零，從而有

(3.2-4)該式是非常重要的換路定律又稱(chēng)開(kāi)閉定律。定律表明，若在換路時(shí)刻t＝0處電感電壓uL和電容電流iC為有限值，則電感電流iL和電容電壓uC在該處連續(xù)，其值不能躍變。特別指出，除電感電流和電容電壓之外，電路中其余各處的電流、電壓值，在換路前后是可以發(fā)生躍變的。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-28

頁(yè)返回本章目錄一個(gè)重要結(jié)論：直流電源作用的線(xiàn)性時(shí)不變漸近穩(wěn)定的電路（微分方程特征根的實(shí)部小于零的電路），電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)（定），電感相當(dāng)于短路，電容相當(dāng)于開(kāi)路。

若求得iL（0-）、uc（0-），由換路定律就很容易得到iL（0+）、uc（0+）。那么又如何求得iL（0-）、uc（0-）呢？這里再明確這樣一個(gè)重要結(jié)論。解釋?zhuān)褐绷麟娫醋饔玫倪@類(lèi)電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)，即是說(shuō)電路中任何處的電流、電壓均不再隨時(shí)間t變化，所以由它們的電壓、電流微分關(guān)系式容易得到電感相當(dāng)于短路、電容相當(dāng)于開(kāi)路的結(jié)論。

因電容電壓uC(0-)、電感電流iL(0-)的值決定于電路原有的儲(chǔ)能即換路前t＝0-時(shí)刻的儲(chǔ)能，與t≥0+（換路以后）所加的激勵(lì)無(wú)關(guān)，即是說(shuō)uC(0+)=uC（0-）、iL(0+)=iL（0-）相對(duì)t≥o+所加激勵(lì)源是獨(dú)立的，稱(chēng)uC（0+）、iL（0+）為獨(dú)立初始值。

其余變量的初始值稱(chēng)為非獨(dú)立初始值，它們由t≥0+時(shí)所加激勵(lì)及獨(dú)立初始值共同決定。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-29

頁(yè)返回本章目錄求動(dòng)態(tài)電路初始值的步驟一般歸納為如下三個(gè)步驟：（1）求獨(dú)立初始值uC（0+）、iL（0+）。①在t＝0-時(shí)若為直流電源作用達(dá)穩(wěn)態(tài)的電路，將L視為短路、C視為開(kāi)路，按電阻電路所學(xué)方法，容易求得uC（0-）、iL（0-）。②再應(yīng)用換路定律求得uC（0+）、iL（0+）。（2）畫(huà)t＝0+時(shí)等效電路。如何畫(huà)？(依據(jù)替代定理)

①在t＝0+時(shí)刻，將電容C用數(shù)值等于uC（0+）的電壓源替代；

②將電感L用數(shù)值等于iL（0+）的電流源替代；③直流電壓源或電流源及電阻在換路后若仍存在于電路中，將它們照原數(shù)值畫(huà)出。注意！所畫(huà)出的等效電路是電阻電路，電路中所有的電流、電壓值都是在t＝0+時(shí)刻的值。若t≠0+，該等效電路不成立，就失去意義。（3）在t＝0+等效電路中，應(yīng)用電阻電路所學(xué)各種方法求出欲求的各非獨(dú)立初始值。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-30

頁(yè)返回本章目錄例3.2-1圖3.2-4(a)所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S打開(kāi)，求初始值uC（0+）、i1（0+）、iC（0+）和u2（0+）。圖3.2-4例3.2-1用圖解（1）計(jì)算獨(dú)立初始值uC（0+）。先計(jì)算uC（0-）。題目中明確開(kāi)關(guān)打開(kāi)前電路處于直流穩(wěn)態(tài)，由前述結(jié)論知，在t＝0-時(shí)刻視電容為開(kāi)路。（2）畫(huà)t＝0+時(shí)刻的等效電路如（b）圖。

注意電容C用6V電壓源替代

（3）計(jì)算欲求的各非獨(dú)立初始值。由（b）圖得3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-31

頁(yè)返回本章目錄例3.2-2

圖3.2-5（a）所示電路，在t＜0時(shí)開(kāi)關(guān)S處于位置1且已達(dá)穩(wěn)態(tài)。在t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S打至位置2，求初始值iR（0+）、iC（0+）和uL（0+）。圖3.2-5例3.2-2用圖

解本問(wèn)題中要求的初始值都是非獨(dú)立初始值，但也必須先求獨(dú)立初始值。

若原題中電容上無(wú)電壓參考方向、電感上無(wú)電流參考方向，解題者應(yīng)先設(shè)上參考方向，再按求初始值的三個(gè)步驟求解下去。設(shè)uC、iL參考方向如（a）圖中所標(biāo)。（1）計(jì)算獨(dú)立初始值uC（0+）、iL（0+）。

由于t＜0時(shí)電路已達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，所以t＝0-時(shí)電容視為開(kāi)路，電感視為短路，如（b）圖所示。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-32

頁(yè)返回本章目錄應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式及歐姆定律分別計(jì)算，得圖3.2-5例3.2-2用圖由換路定律，得（2）畫(huà)t＝0+時(shí)等效電路如（c）圖。

注意C用12V電壓源替代，L用4A電流源替代

（3）計(jì)算非獨(dú)立初始值。由歐姆定律、KCL、KVL分別求得各非獨(dú)立初始值為3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-33

頁(yè)返回本章目錄2、微分方程經(jīng)典解法這個(gè)問(wèn)題中我們用經(jīng)典的方法求解由一階動(dòng)態(tài)電路所列寫(xiě)的微分方程，對(duì)求解出的結(jié)果，聯(lián)系電路中的有關(guān)量值賦于明確的電路響應(yīng)意義。圖3.2-6所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b，求t≥0時(shí)電容電壓uC（t），電流iC（t）。（設(shè)圖中US＞U0）為了概念上更清晰，采用定性討論與定量分析相結(jié)合求解。定性分析（從物理概念上說(shuō)明解釋?zhuān)﹖≤０-，

開(kāi)關(guān)S合于a，U0電壓源給電容C充電。由題意知電路已達(dá)穩(wěn)定，即是說(shuō)給C充滿(mǎn)了電。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-34

頁(yè)返回本章目錄t＝0-時(shí)

電壓uC（０-）＝U0

電容上電荷q（0-）＝CU0

電流iC（0-）＝0t≥0+

，

開(kāi)關(guān)S合于b，US電源接著再對(duì)電容C充電（因US＞U0）。再看幾個(gè)特定時(shí)刻：t=0+時(shí)由換路定律知

uC(0+)=uC(0-)=U0

電容上電荷在原有的基礎(chǔ)上增多，即q↑

（t）電容上電壓隨之升高，即u↑C(t)

電容上電流3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-35

頁(yè)返回本章目錄Us又給電容C充滿(mǎn)了電。uC(∞)=Us

,C上電壓最終上升到Us

。C上電流

最終下降至0。

但要問(wèn)換路后電容上電壓按什么規(guī)律上升？電流又按什么規(guī)律下降？?jī)H由定性討論是不能給出滿(mǎn)意的回答的。

這要由電路建立方程施以數(shù)學(xué)嚴(yán)密求解的結(jié)果來(lái)滿(mǎn)意回答吧！定量分析

（應(yīng)用數(shù)學(xué)工具嚴(yán)密求解）

換路后的電路如圖3.2-7所示。由圖中所設(shè)出的各電壓、電流參考方向，應(yīng)用各元件上的VCR和KVL，列寫(xiě)出的方程為3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-36

頁(yè)返回本章目錄(3.2-5)寫(xiě)（3.2-5）式對(duì)應(yīng)的特征方程及特征根式（3.2-5）微分方程的解為式中：

τ=RC具有時(shí)間量綱,稱(chēng)為時(shí)間常數(shù)。，稱(chēng)為方程的齊次解。，稱(chēng)為方程的特解。(初始條件)因激勵(lì)源Us是常數(shù)電源，所以設(shè)特解uCp（t）也為未知常數(shù)K。(3.2-6)3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-37

頁(yè)返回本章目錄將uCp（t）＝K代入原方程（3.2-5）式，有解得K＝US。即uCp（t）＝Us。

(3.2-7)將式（3.2-7）代入式（3.2-6），得(3.2-8)再將初始條件uC（0+）＝U0代入上式，解得待定系數(shù)A＝U0－Us，(3.2-9)(3.2-10)由式（3.2-9）、式（3.2-10）分別畫(huà)得uC（t）、iC（t）波形如圖3.2-8(a)、(b)所示。回答問(wèn)題

由式（3.2-9）、式（3.2-10）函數(shù)式或圖3.2-8（a）、（b）波形圖均能明確回答我們：3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-38

頁(yè)返回本章目錄uC（t）隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律上升且從最初的U0值最終上升至Us；iC（t）隨時(shí)間上升按指數(shù)規(guī)律下降且從最初的（Us-U0）／R值最終下降至0。微分方程解與電路響應(yīng)為討論問(wèn)題方便我們重寫(xiě)（3.2-9）式（32-11）（Ⅰ）

（Ⅱ）（Ⅰ）部分對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)解的齊次解，函數(shù)形式為取決于電路元件（R、C）固有參數(shù)的指數(shù)函數(shù)形式，稱(chēng)這部分為電路的固有響應(yīng),又因?yàn)檫@部分響應(yīng)函數(shù)形式相對(duì)所加激勵(lì)的函數(shù)形式是自由的，所以也稱(chēng)它為自由響應(yīng)。（Ⅱ）部分對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)解的特解，函數(shù)形式受限于電路激勵(lì)源的函數(shù)形式，稱(chēng)這部分為電路的強(qiáng)迫響應(yīng)，或理解為這部分響應(yīng)是電路在激勵(lì)源的“強(qiáng)迫”下所作出的反響。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-39

頁(yè)返回本章目錄(2)強(qiáng)迫響應(yīng)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，記為uCs(t)。關(guān)于暫態(tài)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)稱(chēng)謂若滿(mǎn)足(1)如果自由響應(yīng)為指數(shù)衰減函數(shù)（τ＝RC＞0）;(2)特解為穩(wěn)定有界函數(shù)。則稱(chēng)這時(shí)的(1)自由響應(yīng)為暫態(tài)響應(yīng)，記為uCr(t)；關(guān)于暫態(tài)過(guò)程與穩(wěn)態(tài)過(guò)程之說(shuō)(1)人們?cè)谟^察響應(yīng)波形時(shí)，對(duì)于波形隨時(shí)間t衰減或上升處于變動(dòng)之中的過(guò)程稱(chēng)為過(guò)渡過(guò)程，習(xí)慣稱(chēng)為暫態(tài)過(guò)程；(2)對(duì)于波形不再隨時(shí)間t衰減或上升而穩(wěn)定在一定的數(shù)值上（對(duì)于直流電源作用的電路）或穩(wěn)定為有界的時(shí)間函數(shù)（如正弦函數(shù)作用的電路），稱(chēng)這樣的過(guò)程為穩(wěn)態(tài)過(guò)程。(3)理論上講當(dāng)t→∞時(shí)暫態(tài)過(guò)程才結(jié)朿，而實(shí)際工程中，當(dāng)t≥（3～5）τ時(shí)就近似認(rèn)為暫態(tài)過(guò)程已結(jié)束，達(dá)到了穩(wěn)定狀態(tài)。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-40

頁(yè)返回本章目錄再改寫(xiě)（3.2-9）式（3.2-12）(Ⅰ’)(Ⅱ’)(Ⅰ’)部分只與U0有關(guān)即只與電路的初始狀態(tài)有關(guān)，與激勵(lì)源Us無(wú)關(guān)，稱(chēng)為零輸入響應(yīng),記為uCx(t)；零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)初步概念(Ⅱ’)部分只與激勵(lì)源Us有關(guān)，與電路初始狀態(tài)U0無(wú)關(guān)，稱(chēng)為零狀態(tài)響應(yīng),記為uCf(t)。3.直流電源作用一階動(dòng)態(tài)電路的三要素法

對(duì)于一般的直流電源作用的一階RC或一階RL動(dòng)態(tài)電路，均可從動(dòng)態(tài)元件兩端作戴文寧定理等效或諾頓定理等效，如圖3.2-9（a）、（b）所示。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-41

頁(yè)返回本章目錄對(duì)（a）、(b)圖分別應(yīng)用KVL、KCL列寫(xiě)方程(3.2-13)(3.2-14)

為了方程的求解更具有一般性，抽去它們各自具體元件參數(shù)的物理意義，概括為更數(shù)學(xué)化的一般方程形式。若電路響應(yīng)、激勵(lì)分別用y（t）、f（t）表示，于是方程為3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-42

頁(yè)返回本章目錄(3.2-15)式中：b為常數(shù)；τ為電路的時(shí)間常數(shù)。設(shè)y（t）的初始值為y（0+），式（3.2-15）是一階非齊次微分方程，其解(3.2-16)式中：yh（t）、yp（t）分別為微分方程的齊次解、特解。令上式中t＝0+，有將A＝y(tǒng)（0+）-yp（0+）代入式（3.3-16），得(3.2-17)3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-43

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式（3.2-17）是一階線(xiàn)性常系數(shù)微分方程解的一般形式，對(duì)任何函數(shù)形式的激勵(lì)源情況都適用。

如果電路時(shí)常數(shù)τ＞0，f（t）為直流激勵(lì)源，則這時(shí)特解yp（t）等于常數(shù)B，有yp（t）＝y(tǒng)p（0+）＝y(tǒng)p（∞）＝B，yh（∞）＝0，所以將t＝∞代入式（3.2-17），得

所以對(duì)于這種條件下的電路，可以用y（∞）代替yP（∞）亦可代替yP（0+）與yP（t），改寫(xiě)式（3.2-17）為(3.2-18)式（3.2-18）就是歸納總結(jié)出的直流電源作用下一階動(dòng)態(tài)電路求響應(yīng)的三要素公式。

今后遇到這類(lèi)一階電路問(wèn)題的求解，就不再列寫(xiě)方程、解方程而直接求出：初始值y（0+）、穩(wěn)態(tài)值y（∞）及時(shí)常數(shù)τ三個(gè)要素代入三要素公式即可快捷地求出所要求的響應(yīng)y（t），如果需要，再畫(huà)出所求響應(yīng)的波形圖。3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-44

頁(yè)返回本章目錄例3.2-3

圖3.2-13（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b，求t≥0時(shí)電壓u(t)，并畫(huà)出u(t)的波形。解應(yīng)用三要素法求解。（1）求初始值u（0+）由題意知t＝0-時(shí)處于直流穩(wěn)態(tài)，可將電感L視為短路線(xiàn)(t=0-時(shí)等效電路省略)，所以畫(huà)t＝0+時(shí)等效電路如（b）圖，由歐姆是律及KVL可求得3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-45

頁(yè)返回本章目錄(2)求穩(wěn)態(tài)值u（∞）。開(kāi)關(guān)S由a打向b且當(dāng)t＝∞時(shí)，電路又達(dá)到新的直流穩(wěn)態(tài)，此時(shí)又視電感為短路線(xiàn)，畫(huà)這時(shí)的等效電路如（c）圖。顯然(3)求時(shí)間常數(shù)τ。對(duì)換路后電路，求從電感L兩端看的戴維寧等效電源內(nèi)阻RO(求Ro電路太簡(jiǎn)單未畫(huà)出)，顯然套用三要素公式，得由函數(shù)表達(dá)式畫(huà)波形圖如（d）所示。圖3.2-13例3.2-3用圖3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-46

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例3.2-4

圖3.2-14（a）所示動(dòng)態(tài)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，求t≥0時(shí)電流i（t）。解（1）求初始值。由題意知t＝0-時(shí)電路處于直流穩(wěn)態(tài)，視電容為開(kāi)路，所以由電阻串聯(lián)分壓關(guān)系，算得畫(huà)t=0+時(shí)等效電路如(b)圖。列節(jié)點(diǎn)方程為解得3.2動(dòng)態(tài)電路方程及其解下一頁(yè)前一頁(yè)第3-47

頁(yè)返回本章目錄（2）求穩(wěn)態(tài)值i(∞)。t=∞時(shí)電路又達(dá)新的直流穩(wěn)態(tài)，又視電容C為開(kāi)路如（c）圖所示。再列節(jié)點(diǎn)方程為解得

(3)求時(shí)常數(shù)τ。

對(duì)換路后電路，畫(huà)求從電容C兩端看的戴維寧等效電源內(nèi)阻的電路如（d）圖。應(yīng)用電阻串并聯(lián)等效，求得套三要素公式，得

最后，還必須提醒讀者，今后若遇有的題目圖中電容上未設(shè)電壓參考方或電感上未設(shè)電流參考方向，解題者必須先設(shè)上它們的參考方向，再按三要素步驟求解下去。3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-48

頁(yè)返回本章目錄零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)定義零輸入響應(yīng)：輸入為零僅由初始儲(chǔ)能產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為電路的零輸入響應(yīng)，記為yx(t)。零狀態(tài)響應(yīng)：電路中原有儲(chǔ)能為零僅有t≥0時(shí)的輸入作用在電路中所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為電路的零狀態(tài)響應(yīng),記為yf(t)。全響應(yīng)：既有電路中原有儲(chǔ)能的作用，又有t≥0所加激勵(lì)的作用，二者共同作用產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為全響應(yīng)，記為y(t)。本節(jié)只討論直流電源作用一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-49

頁(yè)返回本章目錄一、一階電路的零輸入響應(yīng)1.一階RC電路的零輸入響應(yīng)圖3.3-1（a）所示一階RC電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b，求t≥0時(shí)電壓uC(t)和電流iC(t)。定性分析：

參看圖（a）可見(jiàn)t≤0-時(shí)為電壓源Us給C充電電路，題意告知已達(dá)穩(wěn)態(tài)即是說(shuō)t=0-時(shí)給C充滿(mǎn)了電，此時(shí)3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-50

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對(duì)于t≥0+時(shí)，參看圖(b)，為電容C放電電路，電路中無(wú)任何輸入（激勵(lì)源），所以對(duì)于（b）圖電路中任何處的響應(yīng)，都是由電容上的初始儲(chǔ)能產(chǎn)生,都屬于零輸入響應(yīng)。先看這樣幾個(gè)特殊時(shí)間點(diǎn)：

t＝0+時(shí)

由換路定律知：

由歐姆定律,得t↑電容放電致使電容上電荷減少電壓下降即

由歐姆定律，得t=∞

電容上電荷放完→q(∞)=0→uC(∞)=0→wC(∞)=0。由歐姆定律，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-51

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由上述定性分析可得出這樣的結(jié)論：開(kāi)關(guān)S由a打向b以后電壓隨時(shí)間t增長(zhǎng)而下降，從開(kāi)始的Us到最終下降到零；電流隨時(shí)間t增長(zhǎng)而上升，從最初的-Us/R(負(fù)值)上升至零。

但要問(wèn)uC(t)、iC(t)分別以什么規(guī)律隨時(shí)間t的增長(zhǎng)而變化？這要由定量分析的結(jié)果來(lái)回答。定量分析：對(duì)本問(wèn)題，三要素法求解的結(jié)果即是定量分析的結(jié)果，不需要列寫(xiě)方程求解方程。以后再求解這類(lèi)問(wèn)題時(shí)也不必如本例這樣經(jīng)定性、定量分析過(guò)程求解，而直接用三要素法求解即可。

本問(wèn)題的時(shí)間常數(shù)τ=RC,結(jié)合定性分析中得到的uC(t)、iC(t)初始值和穩(wěn)態(tài)值，分別套用三要素公式，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-52

頁(yè)返回本章目錄依據(jù)uC(t)、iC(t)的函數(shù)表達(dá)式畫(huà)二者的波形圖如（c）圖所示。

由圖可見(jiàn)，換路后隨時(shí)間t增長(zhǎng)電壓uC(t)按指數(shù)規(guī)律下降，最終下降至零。而電流iC(t)按指數(shù)規(guī)律上升，最終上升至零。2.一階RL電路的零輸入響應(yīng)如圖3.3-2(a)所示一階RL電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a切換至b，求t≥0時(shí)電流iL(t)和電壓uL(t)。因t＝0-時(shí)處于直流穩(wěn)態(tài)，視電感L為短路線(xiàn)，所以電流3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-53

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開(kāi)關(guān)S切換至b點(diǎn)后，電路如(b)圖所示，電路中無(wú)任何激勵(lì)源(輸入為零)，對(duì)于t≥0+時(shí)電路中任何處的響應(yīng)，都是電感L上原有的儲(chǔ)藏能量產(chǎn)生，屬于零輸入響應(yīng)。當(dāng)t=∞時(shí)，原有的儲(chǔ)能消耗巳盡，所以時(shí)間常數(shù)τ=(L／R)套三要素公式，得由電感上電壓與電流的微分關(guān)系，得電壓根據(jù)iL(t)、uL(t)函數(shù)式畫(huà)得二者的波形如(c)圖所示。

說(shuō)明：如上述討論的RC、RL一階電路的零輸入響應(yīng)例，在換路后(t≥0+)的電路中無(wú)任何激勵(lì)源，所求的任何響應(yīng)都屬于零輸入響應(yīng)，這種情況的響應(yīng)雖無(wú)標(biāo)示零輸入“x”下腳標(biāo)表示符號(hào)，但不會(huì)引起誤會(huì)。3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-54

頁(yè)返回本章目錄二、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1.一階RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)如圖3.3-3（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b，求t≥0時(shí)電壓uC(t)，電流i(t)。

觀察（a）圖電路，開(kāi)關(guān)S與a相接時(shí)是電容放電電路，t=0-時(shí)處于穩(wěn)態(tài)意味著電容C放完了電，即q(0-)=0，uC(0-)=0，wC(0-)=0，電路初始儲(chǔ)能為零，或稱(chēng)為電路處于零狀態(tài)。

開(kāi)關(guān)S打向b時(shí)(t≥0+)是電壓源Us給電容C充電電路（參看（b）圖），由換路電律知3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-55

頁(yè)返回本章目錄當(dāng)t＝∞時(shí)電路達(dá)到直流穩(wěn)態(tài)（US給C充滿(mǎn)了電），視電容C為開(kāi)路，所以時(shí)間常數(shù)套三要素公式，分別得到由uC(t)、i(t)函數(shù)表達(dá)式畫(huà)二者的波形如（c）圖所示。當(dāng)然，這里的uC(t)、i(t)雖未加腳標(biāo)“f”但它們是零狀態(tài)響應(yīng)。

2.一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-56

頁(yè)返回本章目錄如圖3.3-4（a）所示RL一階電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b，求t≥0時(shí)iL(t)，uL(t)，iR(t)。觀察(a)圖電路，t≤0-時(shí)開(kāi)關(guān)S與a相接為電感L釋放能量電路，t＝0-時(shí)電路處于穩(wěn)態(tài)即是說(shuō)L上能量釋放完，wL(0-)=0→iL(0-)=0，電路初始能量為零，或稱(chēng)電路處于零狀態(tài)。開(kāi)關(guān)S打向b時(shí)（t≥0+）為電流源Is給電感L儲(chǔ)能的電路（參看（b）圖）。由換路定律知：由KCL、OL、KVL得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-57

頁(yè)返回本章目錄在t=∞時(shí)電路達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，視電感L為短路線(xiàn)，故得時(shí)間常數(shù)

分別套用三要素公式，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-58

頁(yè)返回本章目錄由iL(t)，iR(t)，uL(t)函數(shù)表達(dá)式分別畫(huà)它們的波形圖如（c）、（d）圖所示。

本問(wèn)題也可以按這樣的思路求解：先用三要素法求出電感電流iL(t)，然后應(yīng)用KCL求得iR(t)，再應(yīng)用KVL求得uL(t)。

三、一階電路的全響應(yīng)由動(dòng)態(tài)元件上的初始儲(chǔ)能和t≥0時(shí)外加輸入（激勵(lì)）共同作用所產(chǎn)生的響應(yīng)，稱(chēng)為電路的全響應(yīng)。對(duì)于這類(lèi)線(xiàn)性動(dòng)態(tài)電路，我們也可以分別單獨(dú)求出零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。如果需要，再將二者相加得到全響應(yīng)。1、全響應(yīng)的三種分解形式如果不局限于某具體的電路、某具體的電壓或電流響應(yīng)，用y（t）表示全響應(yīng)；用yh（t）、yp（t）分別表示自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)；用yr（t）、ys（t）分別表示暫態(tài)響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)響應(yīng)；用yx（t）、yf（t）分別表示零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)。我們可將全響應(yīng)歸納如下三種分解形式：3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-59

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(3.3-1)滿(mǎn)足τ＞0,yp(t)為穩(wěn)定有界函數(shù)條件(3.3-2)(3.3-3)說(shuō)明：(1)式(3.3-1)、(3.3-2)是從函數(shù)形式隨時(shí)間t的變化規(guī)律看，對(duì)全響應(yīng)作分解的。(2)而式(3.3-3)是就產(chǎn)生響應(yīng)的原因?qū)θ憫?yīng)作分解的。(3)三種分解方式各有各的用處，但式(3.3-3)的分解方式因果關(guān)系明確，物理概念清晰，是現(xiàn)代電路理論學(xué)習(xí)、研究中使用最多的一種全響應(yīng)分解形式。2、應(yīng)用舉例3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-60

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例3.3-1

如圖3.3-5(a)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a打向b,求t≥0+時(shí)電壓u(t)的零輸入響應(yīng)ux(t)、零狀態(tài)響應(yīng)uf(t)及全響應(yīng)u(t)，并畫(huà)出它們的波形圖。

解設(shè)電流iL的參考方向如圖(a)中所標(biāo)。由題意知t=0-時(shí)電路已處于直流穩(wěn)態(tài)，L相當(dāng)于短路，所以應(yīng)用電阻并聯(lián)分流公式，得(1)計(jì)算零輸入響應(yīng)當(dāng)t≥0+時(shí)，令輸入為零（將12V電壓源短路）的電路如圖（b）所示。3個(gè)要素顯然容易求得，分別為代三要素公式，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-61

頁(yè)返回本章目錄再應(yīng)用電阻并聯(lián)等效及歐姆定律，算得(2)計(jì)算零狀態(tài)響應(yīng)

當(dāng)t≥0+時(shí)，設(shè)電感元件上儲(chǔ)能為零，即初始狀態(tài)為零（iLf(0+)=0)僅由t≥0+時(shí)的輸入作用的電路如圖（c）所示。所以t＝0+時(shí)刻L相當(dāng)于開(kāi)路由電阻串聯(lián)分壓關(guān)系，得

當(dāng)t=∞時(shí)，電路又達(dá)新的直流穩(wěn)態(tài)，電感又視為短路，再次應(yīng)用電阻串、并聯(lián)等效及分壓關(guān)系，求得時(shí)常數(shù)τ仍為0.5s再套三要素公式，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-62

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(3)計(jì)算全響應(yīng)。將零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)相加，便得全響應(yīng)：畫(huà)ux(t)、uf(t)、u(t)的波形圖如圖(d)中所示。再說(shuō)明：(1)嚴(yán)格說(shuō)來(lái)，對(duì)所求響應(yīng)ux(t)、uf(t)、u(t)應(yīng)加的時(shí)間區(qū)間條件為t≥0+，正如本例這樣。(2)但更多的情況，從題目條件到所求響應(yīng)加注的條件習(xí)慣書(shū)寫(xiě)為t≥0，這成了同行中的共識(shí)，所以就不必苛求書(shū)寫(xiě)形式上的嚴(yán)密性，隨其大流吧！例3.3-2

如圖3.3-6(a)為含受控源的電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開(kāi)關(guān)S由b打向a,求t≥0時(shí)的電壓uC(t)和電流i(t)，并畫(huà)出波形圖。解本問(wèn)題為含有受控源的一階動(dòng)態(tài)電路，一般在用三要素法求解之前先對(duì)電路中含受控源部分用戴文寧定理作等效，如圖（b）所示電路，由KVL得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-63

頁(yè)返回本章目錄將圖（b）中a、d端短接并設(shè)短路電流如圖（c）電路所示。應(yīng)用KVL、KCL于(c)圖，易得畫(huà)出圖（a）電路的等效電路如圖（d）所示。3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-64

頁(yè)返回本章目錄(1)應(yīng)用三要素法求uC(t)。由圖(d)電路分別求得三要素代入三要素公式，得(2)回圖(a)原電路求電流i(t)。

應(yīng)用KVL求得電流畫(huà)uC、i的波形分別如圖3.3-7（a）、（b）所示。3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-65

頁(yè)返回本章目錄例3.3-3

如圖3.3-8（a）所示電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S閉合，求t≥0時(shí)電壓u(t)。解

設(shè)各量的參考方向如（a）圖中所標(biāo)。由題意知（a）圖電路在t＝0-時(shí)刻處于直流穩(wěn)態(tài)，將L看作短路，將C視為開(kāi)路，所以容易求得:對(duì)求t≥0+時(shí)u1、u2，應(yīng)用對(duì)短路線(xiàn)壓縮、伸長(zhǎng)變形等效將（a）圖等效為（b）圖；再依據(jù)置換定理將（b）圖分別等效為（c）圖（對(duì)求u1等效）、（d）圖（對(duì)求u2等效）。（c）圖是一階RL電路，應(yīng)用三要素法求u1

。它的三個(gè)要素易求得此時(shí)L相當(dāng)于開(kāi)路代三要素公式，得3.3一階動(dòng)態(tài)電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-66

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(d)圖是一階RC電路，應(yīng)用三要素法求u2。

它的三個(gè)要素也易求得(t＝∞時(shí)電路又達(dá)直流穩(wěn)態(tài)，C相當(dāng)于開(kāi)路。)再代入三要素公式，得回（a）圖原電路，應(yīng)用KVL，得所求電壓再?gòu)?qiáng)調(diào):（1）今后遇到直流電源作用的一階動(dòng)態(tài)電路問(wèn)題的求解，不管是求零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)都可以使用三要素法求解，而不要再去列寫(xiě)微分方程、解微分方程求解。三要素法求解的結(jié)果與通過(guò)列方程解方程得到的結(jié)果完全相同，但它的求解過(guò)程簡(jiǎn)單明了、易于掌握。（2）原則上講三要素法只適用于直流電源作用的一階動(dòng)態(tài)電路的求解，但對(duì)于某些具有特征、可應(yīng)用置換定理將之等效為若干個(gè)一階電路的高階電路，亦可間接使用三要素法求解。如本節(jié)的例3.4-3就是這樣的問(wèn)題。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-67

頁(yè)返回本章目錄一、階躍函數(shù)1、單位階躍函數(shù)定義單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義為（3.4-1）

式中符號(hào)這比上節(jié)所述的換路前一瞬間、換路后一瞬間數(shù)學(xué)上更嚴(yán)密。波形如圖3.4-1所示。

說(shuō)明：(1)ε(t)在t≤0-時(shí)恒為0，t≥0+時(shí)恒為1。(2)ε(t)在t=0時(shí)則由0階躍到1，這是一個(gè)躍變過(guò)程，其函數(shù)值不定。

(3)從數(shù)學(xué)看，t=0為第一類(lèi)間斷點(diǎn)，函數(shù)間斷點(diǎn)處左極限值為0，右極限值為1。2、單位階躍函數(shù)的應(yīng)用(1)表示一般的階躍函數(shù)ε(t)乘以常數(shù)A，所得結(jié)果Aε(t)稱(chēng)為一般的階躍函數(shù)，其表達(dá)式為3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-68

頁(yè)返回本章目錄（3.4-2）

波形如圖3.4-2(a)所示，其中階躍幅度A稱(chēng)為階躍量。

階躍函數(shù)在時(shí)間上延遲t0，稱(chēng)為延遲階躍函數(shù)，波形如圖3.4-2(b)所示，它在t=t0處出現(xiàn)階躍，數(shù)學(xué)上可表示為

(3.4-3)(2)描述某些情況下的開(kāi)關(guān)動(dòng)作例如在圖4.6-3(a)中，階躍電壓Us表示電壓源Us在t=0時(shí)接入二端電路N。類(lèi)似地，圖3.4-3(b)中的階躍電流Isε(t-t0)表示電流源Is在t=t0時(shí)接入二端電路N。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-69

頁(yè)返回本章目錄(3)簡(jiǎn)潔形式表示復(fù)雜信號(hào)如圖3.4-4(a)所示矩形脈沖信號(hào)，可以看成是圖3.4-4(b)、(c)所示兩個(gè)延遲階躍信號(hào)的疊加，即

依據(jù)上例疊加單位階躍函數(shù)移位加權(quán)代數(shù)和的思想，用階躍函數(shù)還可以簡(jiǎn)潔表示“臺(tái)階式”或稱(chēng)“樓梯式”的更為復(fù)雜的信號(hào)，如圖3.4-5(a)、(b)中的f1(t)、f2(t)，不必畫(huà)疊加過(guò)程圖即可寫(xiě)出用ε(t)簡(jiǎn)潔表示的形式，即寫(xiě)的規(guī)律：從時(shí)間軸負(fù)無(wú)窮向正方向“走”，若遇t=t1處是突跳點(diǎn)(第一類(lèi)間斷點(diǎn))且向上跳，此處就出現(xiàn)正階躍函數(shù)，跳的高度就是正階躍函數(shù)的權(quán)系數(shù)；

若遇t=t2處是向下跳的突跳點(diǎn)，此處就出現(xiàn)負(fù)階躍函數(shù)，下跳的高度就是負(fù)階躍函數(shù)的權(quán)系數(shù)。上兩式就是按此規(guī)律快速寫(xiě)出的。3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-70

頁(yè)返回本章目錄還可用ε(t)表示任意函數(shù)的作用區(qū)間設(shè)給定信號(hào)f(t)如圖3.4-6(a)所示，如果要求f(t)在t=0開(kāi)始作用，那么可以將f(t)乘以ε(t)，如圖3.4-6(b)所示。如果要求f(t)在區(qū)間(t1，t2)上的信號(hào)起作用，那么只需將f(t)乘以[ε(t-t1)-ε(t-t2)]即可，如圖3、4-6(c)所示。二、階躍響應(yīng)1、單位階躍響應(yīng)定義電路在單位階躍函數(shù)激勵(lì)下產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)定義為單位階躍響應(yīng)，簡(jiǎn)稱(chēng)為階躍響應(yīng)，以符號(hào)g(t)表示。

用數(shù)學(xué)式描述這一定義可表示為（3.4-4）明確：?jiǎn)挝浑A躍函數(shù)ε(t)作用于電路相當(dāng)于單位直流源(1V或1A)在t=0時(shí)接入電路，因此對(duì)于一階電路，階躍響應(yīng)g(t)仍可用三要素法求解。2、時(shí)不變電路概念及特性如果電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)均不隨時(shí)間變化，那么該電路就稱(chēng)為時(shí)不變電路。時(shí)不變電路標(biāo)志性的特征是其零狀態(tài)響應(yīng)的函數(shù)形式與激勵(lì)接入電路的時(shí)間無(wú)關(guān)。即若則（3.4-5）下一頁(yè)前一頁(yè)第3-71

頁(yè)返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)(3.4-5)式表明激勵(lì)延遲t0時(shí)間，零狀態(tài)響應(yīng)也延遲t0時(shí)間，圖3.4-7更直觀地表征時(shí)不變電路的這一特征。在線(xiàn)性時(shí)不變動(dòng)態(tài)電路中，零狀態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)之間的關(guān)系滿(mǎn)足齊次、疊加和時(shí)不變性質(zhì)。

電路的齊次、時(shí)不變、疊加三性質(zhì)可以用圖3.4-8簡(jiǎn)明表示。圖3.4-8齊次、時(shí)不變、疊加三性質(zhì)簡(jiǎn)圖表示這個(gè)簡(jiǎn)圖把單位階躍函數(shù)、單位階躍響應(yīng)、線(xiàn)性電路的齊次性、疊加性、時(shí)不變電路的時(shí)不變性等重要基本概念綜合在一起，很有參考價(jià)值！為什么要定義階躍響應(yīng)g(t)？若加激勵(lì)如圖3.4-5中(b)圖的f2(t)你會(huì)如何求零狀態(tài)響應(yīng)？3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)下一頁(yè)前一頁(yè)第3-72

頁(yè)返回本章目錄例3.4-1

圖3.4-9(a)所示一階電路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，C＝0.02F。(1)若以is（t）為輸入，以u(píng)C（t）為輸出，求階躍響應(yīng)g(t)；(2)若激勵(lì)電流源is的波形如圖(b)所示，求零狀態(tài)響應(yīng)uCf（t）。解

(1)用三要素法求g(t)。令is(t)=ε(t)，并考慮零狀態(tài)條件及階躍響應(yīng)定義，

因零狀態(tài)（uC(0+)=uC(0-)=0），t=0+時(shí)C視為短路，所以

t=∞時(shí)C視為開(kāi)路，所以時(shí)常數(shù)套三要素公式，得V

（2）將信號(hào)分解，即,由齊次性、時(shí)不變性及疊加性，顯然下一頁(yè)前一頁(yè)第3-73

頁(yè)返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)例3.4-2

圖3.4-10(a)所示電路，已知R1=6Ω，R2=4Ω，L=1.2H。(1)以u(píng)s為激勵(lì)(輸入)，以i為響應(yīng)(輸出)，求該電路的階躍響應(yīng)g(t)；(2)若us為圖(b)所示的波形，求零狀態(tài)響應(yīng)if(t)。

解

(1)用三要素法求g(t)。

令并考慮零狀態(tài)條件及階躍響應(yīng)定義，因零狀態(tài)，t=0+時(shí)L視為開(kāi)路，所以t=∞時(shí)L視為短路，所以時(shí)常數(shù)套三要素公式，得（2）將信號(hào)分解，即下一頁(yè)前一頁(yè)第3-74

頁(yè)返回本章目錄3.4階躍函數(shù)與階躍響應(yīng)由齊次性、時(shí)不變性及疊加性，顯然可得3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

用二階微分方程描述的電路稱(chēng)為二階電路。分析二階電路，需要給定兩個(gè)獨(dú)立的初始條件。本節(jié)以RLC串聯(lián)電路為例，僅討論二階電路的零輸入響應(yīng)。

如圖3.5-1所示RLC串聯(lián)電路已處于穩(wěn)態(tài)，t＝0時(shí)開(kāi)關(guān)S由a切換至b，求t≥0時(shí)電壓uC

。以電容電壓uC作為電路響應(yīng)，列寫(xiě)該電路的方程。根據(jù)KVL,有由于代入上式并整理得(3.5-1)令式中

α稱(chēng)為衰減常數(shù)

稱(chēng)為RLC串聯(lián)電路的諧振角頻率求解式（3.5-1）二階常系數(shù)齊次微分方程所需的兩個(gè)初始條件uC(0+)、uC’(0+)并未給出，需由題意確定。下一頁(yè)前一頁(yè)第3-75

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頁(yè)返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)

根據(jù)題目條件知：t=0-時(shí)電路處于直流穩(wěn)態(tài)，視L為短路，電容為開(kāi)路，所以由換路定律可知：考慮

所以初始條件之一初始條件之二將設(shè)定的α、ω0參數(shù)代入式（3.5-1）并加注上確定的初始條件，有(3.5-2)從圖3.5-1電路看，對(duì)于t≥0+時(shí)電路中無(wú)任何輸入，所以響應(yīng)為零輸入響應(yīng)。從（3.5-2）式方程看，它是二階常系數(shù)齊次微分方程，響應(yīng)一定是與齊次解的函數(shù)形式相同。式（3.5-2）方程的特征方程為下一頁(yè)前一頁(yè)第3-77

頁(yè)返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)(3.5-3)特征根僅與電路結(jié)構(gòu)和元件參數(shù)有關(guān)，通常稱(chēng)為電路的固有頻率，其值可能為實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。當(dāng)R、L、C取不同值時(shí)，電路的固有頻率及相應(yīng)的零輸入響應(yīng)存在3種不同情況，下面將分別討論。

在討論之前先給出二階電路齊次解的各種形式，如表3-2所示，以供在討論各種情況的零輸入響應(yīng)時(shí)對(duì)照選用。

特征根

齊次解yh(t)(不相等實(shí)根)

(相等實(shí)根)(共軛復(fù)根)或(共軛虛根)或下一頁(yè)前一頁(yè)第3-78

頁(yè)返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)一、α＞ω0（R2＞4L/C），過(guò)阻尼情況此時(shí)為不相等的負(fù)實(shí)數(shù)，稱(chēng)為過(guò)阻尼情況。令特征根

(3.5-4)由表3-2得式(3.5-2)的解為

(3.5-5)式中A1、A2為積分常數(shù)。將初始條件代入上式，得(3.5-6)由式（3.5-6）解得下一頁(yè)前一頁(yè)第3-79

頁(yè)返回本章目錄3.5二階電路的零輸入響應(yīng)將A1、A2代入式(3.5-5)，得(3.5-7)由電容上電流、電壓微分關(guān)系，得(3.5-8)由式(3.5-7)、式(3.5-8)畫(huà)得uC(t)、i(t)波形如圖3.5-2所示。由圖可見(jiàn):(1)電路在初始儲(chǔ)能作用下產(chǎn)生的零輸入響應(yīng)uC的波形呈單調(diào)下降，表明電容不斷釋放電場(chǎng)能量，一直處于放電狀態(tài)。(2)在0＜t＜tm期間，由于uC的加速下降，使得放電電流的絕對(duì)值逐漸增大，電感儲(chǔ)能也不斷增加。在t＝tm時(shí)，電感儲(chǔ)能達(dá)到最大。在這期間，電容釋放的能量，一部分被電阻R所消耗，另一部分轉(zhuǎn)換成磁場(chǎng)能量存儲(chǔ)于電感中。。圖3.5-2過(guò)阻尼