《測(cè)試技術(shù)與傳感器》課件第2章

2.1測(cè)量概述

2.2測(cè)量數(shù)據(jù)的估計(jì)和處理

2.3不等精度測(cè)量的權(quán)與誤差以及誤差的合成與分配

2.4最小二乘法與線性回歸分析

思考題與習(xí)題2.1測(cè)量概述2.1.1測(cè)量的概念及測(cè)量結(jié)果的組成

1.測(cè)量的概念以確定量值為目的而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過(guò)程稱(chēng)為測(cè)量。測(cè)量是人類(lèi)認(rèn)識(shí)客觀世界、獲取定量信息的不可或缺的手段。測(cè)量的最基本形式是將待測(cè)量和同種性質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，確定待測(cè)量對(duì)標(biāo)準(zhǔn)量的倍數(shù)，即x=nu

(2-1)或

(2-2)式中：x為被測(cè)量值；u為標(biāo)準(zhǔn)量，即測(cè)量單位；n為比值(純數(shù))，含有測(cè)量誤差。

2.測(cè)量結(jié)果的組成被測(cè)量的量值x稱(chēng)為測(cè)量結(jié)果，包括比值n和測(cè)量單位u，是被測(cè)量的最佳估計(jì)值，而不是真值。所以測(cè)量結(jié)果中還應(yīng)包含測(cè)量的可信程度，以評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量，這個(gè)可信程度可用測(cè)量誤差表示。因此，測(cè)量結(jié)果由三部分組成，即測(cè)量結(jié)果＝測(cè)量數(shù)據(jù)＋測(cè)量單位＋測(cè)量誤差測(cè)量結(jié)果可以表示為數(shù)值、曲線或圖形等不同的形式。2.1.2測(cè)量方法及其分類(lèi)獲取被測(cè)量與標(biāo)準(zhǔn)量的比值的方法，稱(chēng)為測(cè)量方法。不同的測(cè)量任務(wù)需要不同的測(cè)量方法。測(cè)量方法可以從以下不同的角度分類(lèi):按獲得測(cè)量值的方法分：直接測(cè)量、間接測(cè)量、組合測(cè)量。按測(cè)量的精度分：等精度測(cè)量、不等精度測(cè)量。按測(cè)量方式分：偏差式測(cè)量、零位式測(cè)量、微差式測(cè)量。按被測(cè)量變化快慢分：靜態(tài)測(cè)量、動(dòng)態(tài)測(cè)量。按測(cè)量敏感元件是否與被測(cè)介質(zhì)接觸分：接觸測(cè)量、非接觸測(cè)量。按測(cè)量系統(tǒng)是否向被測(cè)對(duì)象施加能量分：主動(dòng)式測(cè)量、被動(dòng)式測(cè)量。

1.直接測(cè)量、間接測(cè)量與組合測(cè)量

1)直接測(cè)量無(wú)需經(jīng)過(guò)函數(shù)關(guān)系的運(yùn)算，直接通過(guò)測(cè)量?jī)x表，就能得到被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果的測(cè)量方法，稱(chēng)為直接測(cè)量，即y=x(2-3)式中：x為被測(cè)量值；y為直接測(cè)得的值；直接測(cè)量又可分為兩種，即直接比較和間接比較。直接比較是指直接把被測(cè)物理量和標(biāo)準(zhǔn)量做比較的測(cè)量方法。例如，用米尺進(jìn)行長(zhǎng)度測(cè)量。直接比較的顯著特點(diǎn)是被測(cè)物理量和標(biāo)準(zhǔn)是同一種物理量。間接比較是指把被測(cè)物理量通過(guò)儀器儀表變換為與之保持已知函數(shù)關(guān)系的另一種能為人類(lèi)感官所直接接受的物理量。例如，水銀溫度計(jì)、彈簧秤、彈簧管壓力表等。直接比較和間接比較的測(cè)量過(guò)程都簡(jiǎn)單、迅速，是比較常用的方法。

2)間接測(cè)量間接測(cè)量是指在直接測(cè)量的基礎(chǔ)上，根據(jù)已知的函數(shù)關(guān)系，計(jì)算出被測(cè)物理量的大小。被測(cè)量y是一個(gè)直接測(cè)量值x或幾個(gè)直接測(cè)量值x1，x2，…，xn的函數(shù)，即y=f(x)(2-4)或y=f(x1，x2，…，xn)(2-5)

間接測(cè)量程序較多，花費(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)，一般用在直接測(cè)量不方便，或者缺乏直接測(cè)量手段的場(chǎng)合，例如電功率的測(cè)量，先測(cè)量電壓U和電流I，再求功率P=UI。

3)組合測(cè)量組合測(cè)量是指被測(cè)量的最后結(jié)果必須經(jīng)過(guò)求解聯(lián)立方程組才能得到的測(cè)量，即

(2-6)式中：x1，x2，…，xn為測(cè)量值；y1，y2，…，ym為被測(cè)量，且n＞m(用最小二乘法求解)。組合測(cè)量方法精度高，是一種特殊的精密測(cè)量方法，但操作復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，多用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)或特殊場(chǎng)合。

2.等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量

1)等精度測(cè)量等精度測(cè)量是指在測(cè)量過(guò)程中，影響誤差大小的全部測(cè)量條件始終不變，如同一測(cè)量者，用相同的儀表與測(cè)量方法，在同樣的環(huán)境條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次重復(fù)測(cè)量。實(shí)際應(yīng)用中，很難保證測(cè)量條件始終不變，只能進(jìn)行近似的等精度測(cè)量。

2)不等精度測(cè)量不等精度測(cè)量是指在不同的測(cè)量條件下，如用不同精度的儀表或不同的測(cè)量方法，或以不同的測(cè)量次數(shù)，或在環(huán)境條件相差很大時(shí)，或由不同的測(cè)量者，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行的多次重復(fù)測(cè)量。不等精度測(cè)量多用于科學(xué)研究中的對(duì)比測(cè)量。

3.偏差式測(cè)量、零位式測(cè)量與微差式測(cè)量

1)偏差式測(cè)量偏差式測(cè)量是指用儀表指針的位移決定被測(cè)量的量值的測(cè)量方法。其中，儀表刻度需事先用標(biāo)準(zhǔn)器具標(biāo)定。偏差式測(cè)量測(cè)量過(guò)程簡(jiǎn)單、迅速，但測(cè)量結(jié)果精度較低。例如指針式萬(wàn)用表、彈簧秤等。

2)零位式測(cè)量零位式測(cè)量是指用指零儀表的零位指示檢測(cè)測(cè)量系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，當(dāng)測(cè)量系統(tǒng)達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，用已知的標(biāo)準(zhǔn)量決定被測(cè)量的量值的測(cè)量方法。例如天平、電位差計(jì)等。零位式測(cè)量有較高的測(cè)量精度，但測(cè)量過(guò)程復(fù)雜、費(fèi)時(shí)，多適用于信號(hào)變化緩慢的場(chǎng)合。

3)微差式測(cè)量微差式測(cè)量是指將被測(cè)量與已知的標(biāo)準(zhǔn)量相比較，取得差值后，再用偏差法測(cè)得該差值的測(cè)量方法。設(shè)N為標(biāo)準(zhǔn)量，x為被測(cè)量，Δ為二者之差，則x=N＋Δ

因?yàn)镹是標(biāo)準(zhǔn)量，其誤差很小，且Δ<<N，故:

(1)先用零位式測(cè)量方法進(jìn)行比較測(cè)量，測(cè)得N；

(2)再選用高靈敏度的偏差式儀表測(cè)量Δ；

(3)雖然Δ的精度較低，但N是標(biāo)準(zhǔn)量，Δ<<x，故最終測(cè)量精度很高。微差式測(cè)量反應(yīng)速度快，測(cè)量精度高，綜合了偏差式測(cè)量與零位式測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)，但測(cè)量過(guò)程復(fù)雜，適于在線控制參數(shù)的測(cè)量。

4.靜態(tài)測(cè)量與動(dòng)態(tài)測(cè)量

1)靜態(tài)測(cè)量靜態(tài)測(cè)量是指在測(cè)量過(guò)程中，對(duì)固定不變或變化緩慢的被測(cè)量進(jìn)行的測(cè)量。靜態(tài)測(cè)量可不考慮時(shí)間因素的影響，只檢測(cè)穩(wěn)態(tài)值。

2)動(dòng)態(tài)測(cè)量動(dòng)態(tài)測(cè)量是指在測(cè)量過(guò)程中，對(duì)隨時(shí)間不斷變化的被測(cè)量進(jìn)行的測(cè)量。動(dòng)態(tài)測(cè)量時(shí)，被測(cè)量變化速度快，需檢測(cè)其動(dòng)態(tài)值。

5.接觸測(cè)量與非接觸測(cè)量

1)接觸測(cè)量接觸測(cè)量是指?jìng)鞲衅骱捅粶y(cè)對(duì)象直接接觸而進(jìn)行的測(cè)量。如水銀溫度計(jì)測(cè)溫、稱(chēng)重等。

2)非接觸測(cè)量非接觸測(cè)量是指?jìng)鞲衅骱捅粶y(cè)對(duì)象不直接接觸而進(jìn)行的測(cè)量。如紅外測(cè)溫、碼盤(pán)測(cè)速等。

6.主動(dòng)式測(cè)量與被動(dòng)式測(cè)量

1)主動(dòng)式測(cè)量主動(dòng)式測(cè)量是指測(cè)量系統(tǒng)向被測(cè)對(duì)象施加能量而進(jìn)行的測(cè)量。

2)被動(dòng)式測(cè)量被動(dòng)式測(cè)量是指測(cè)量系統(tǒng)無(wú)需向被測(cè)對(duì)象施加能量而進(jìn)行的測(cè)量。2.1.3測(cè)量誤差分類(lèi)測(cè)量誤差是指測(cè)量值與真實(shí)值之間的差值，反映測(cè)量質(zhì)量的好壞。任何測(cè)量過(guò)程都存在誤差，而且貫穿于測(cè)量過(guò)程的始終。因此在測(cè)量時(shí)不僅需要知道測(cè)量值，還需要知道測(cè)量值的誤差范圍。只有通過(guò)正確的誤差分析，明確哪些量對(duì)測(cè)量結(jié)果影響大，哪些影響小，才能抓住關(guān)鍵因素，減小誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，增加測(cè)量的可靠性。

不同場(chǎng)合對(duì)測(cè)量結(jié)果可靠性的要求不同。測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度應(yīng)與測(cè)量的目的及要求相適應(yīng)，要有合理的性?xún)r(jià)比。例如，在量值傳遞、經(jīng)濟(jì)核算、產(chǎn)品檢驗(yàn)等場(chǎng)合應(yīng)保證測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確度；當(dāng)測(cè)量值用做控制信號(hào)時(shí)，則要保證測(cè)量的穩(wěn)定性和可靠性。造成誤差的主要原因在于傳感器本身性能不良，測(cè)量方法不完善，存在環(huán)境干擾等。測(cè)量誤差的分類(lèi)方法如圖2-1所示。圖2-1測(cè)量誤差的分類(lèi)

1.按誤差表示方法分類(lèi)

1)絕對(duì)誤差絕對(duì)誤差是示值與被測(cè)量真值之間的差值，可表示為Δ=x－L(2-7)式中：Δ為絕對(duì)誤差；x為測(cè)量值；L為被測(cè)量真值。絕對(duì)誤差用來(lái)修正測(cè)量結(jié)果x′，有x′=x+C(2-8)式中：C為修正值，C=－Δ。值得注意的是，絕對(duì)誤差不能真實(shí)反映測(cè)量結(jié)果的優(yōu)劣。

2)相對(duì)誤差相對(duì)誤差是指絕對(duì)誤差與被測(cè)量的約定值之比，主要表示形式有實(shí)際相對(duì)誤差、示值(標(biāo)稱(chēng))相對(duì)誤差、引用誤差和分貝誤差。

(1)實(shí)際相對(duì)誤差：實(shí)際相對(duì)誤差是指絕對(duì)誤差與被測(cè)量真值的百分比，表示為

(2-9)式中：δ為實(shí)際相對(duì)誤差；Δ為絕對(duì)誤差；L為被測(cè)量真值。

(2)示值(標(biāo)稱(chēng))相對(duì)誤差：示值(標(biāo)稱(chēng))相對(duì)誤差是指絕對(duì)誤差與器具的示值(測(cè)量值)的百分比，表示為

(2-10)式中：δ′為示值相對(duì)誤差；Δ為絕對(duì)誤差；x

為測(cè)量值，用以代替真值。

(3)引用誤差:引用誤差是指絕對(duì)誤差與器具的滿(mǎn)度值(量程)的百分比，表示為

(2-11)式中：γ為引用誤差；Δ為絕對(duì)誤差；xm為滿(mǎn)度值。引用誤差是儀表中通用的一種誤差表示方法，常用來(lái)確定儀表的精度等級(jí)。例如:0.5級(jí)儀表的引用誤差小于等于±0.5%；1.0級(jí)儀表的引用誤差小于等于±1%。

(4)分貝誤差:分貝誤差是指用對(duì)數(shù)形式表示的一種誤差。

3)基本誤差基本誤差是指儀表在規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件下所具有的誤差。通常，儀表規(guī)定的標(biāo)準(zhǔn)條件是:電源電壓為(220±5)V；電網(wǎng)頻率為(50±2)Hz；環(huán)境溫度為(20±5)℃；環(huán)境濕度為65%±5%。在該條件下儀表工作時(shí)所具有的誤差即為基本誤差。儀表精度等級(jí)由基本誤差決定。

4)附加誤差附加誤差是指當(dāng)儀表的使用條件偏離額定條件時(shí)出現(xiàn)的誤差，例如溫度附加誤差等。

5)容許誤差容許誤差是指測(cè)量?jī)x器在規(guī)定的使用條件下可能產(chǎn)生的最大誤差范圍。

2.按誤差性質(zhì)分類(lèi)

1)隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是指對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)不可預(yù)知地隨機(jī)變化，但總體上服從一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的誤差。

誤差的大小是測(cè)量結(jié)果與在重復(fù)性條件下、對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值之差。重復(fù)性條件指同一觀測(cè)者、相同的測(cè)量條件、相同的儀器和短時(shí)間內(nèi)的重復(fù)。隨機(jī)誤差表達(dá)式為

(2-12)式中：xi為被測(cè)量的某一個(gè)測(cè)量值；即。隨機(jī)誤差主要由一些難以控制的微小因素產(chǎn)生，如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、溫度、濕度、氣壓的波動(dòng)等。隨機(jī)誤差不能用簡(jiǎn)單的修正值來(lái)修正，要用統(tǒng)計(jì)的方法計(jì)算它出現(xiàn)的可能性。

2)系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差是指在同一測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量時(shí)，按照一定規(guī)律出現(xiàn)的誤差。系統(tǒng)誤差的大小是在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量所得結(jié)果的平均值與被測(cè)量真值之差，其表達(dá)式為

(2-13)式中:L為被測(cè)量的真值。系統(tǒng)誤差的主要特點(diǎn)是只要測(cè)量條件不變，誤差即為確定的值。產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的主要原因包括標(biāo)準(zhǔn)量值不準(zhǔn)、儀表刻度不準(zhǔn)、測(cè)量方法不妥、零點(diǎn)未調(diào)、采用近似公式、經(jīng)驗(yàn)不足等。系統(tǒng)誤差可用修正值來(lái)修正，但由于真值不確知，因此系統(tǒng)誤差只能有限度地補(bǔ)償。

3)粗大誤差粗大誤差是指明顯偏離測(cè)量結(jié)果的誤差，又稱(chēng)為疏忽誤差。產(chǎn)生粗大誤差的主要原因是測(cè)量者疏忽大意以及環(huán)境條件突變等。含有粗大誤差的測(cè)量結(jié)果明顯不符合客觀事實(shí)，測(cè)量值中往往含有壞值或奇異值，因此在做誤差分析時(shí)，應(yīng)先剔除粗大誤差。

例2-1

某電壓表的精度等級(jí)S為1.5級(jí)，試算出它在0～100V量程的最大絕對(duì)誤差。

解：電壓表的量程為xm=100V-0V=100V

因?yàn)榫鹊燃?jí)S=1.5，即引用誤差為γ＝±1.5％故可求得最大絕對(duì)誤差為

Δm=γ×xm=100V×(±1.5％)=±1.5V即該電壓表在0～100V量程的最大絕對(duì)誤差是±1.5V。

例2-2

某1.0級(jí)電流表，滿(mǎn)度值xm=100μA，求測(cè)量值分別為x1=100μA，x2=80μA，x3=20μA時(shí)的絕對(duì)誤差和示值相對(duì)誤差。

解：因?yàn)榫鹊燃?jí)S=1.0，即引用誤差為γ＝±1.0％所以可求得最大絕對(duì)誤差為

Δm=γ×xm=100μA×(±1.0％)=±1.0μA依據(jù)誤差的整量化原則，儀器在同一量程的各示值處的絕對(duì)誤差均等于Δm。故三個(gè)測(cè)量值處的絕對(duì)誤差分別為

Δx1=Δx2=Δx3=Δm=±1.0μA三個(gè)測(cè)量值處的示值(標(biāo)稱(chēng))相對(duì)誤差分別為

分析：測(cè)量?jī)x器在同一量程不同示值處的絕對(duì)誤差不一定處處相等，但對(duì)使用者來(lái)講，在沒(méi)有修正值可以利用的情況下，只能按最壞的情況處理，于是就有了誤差的整量化處理原則。因此，為減小測(cè)量中的示值誤差，在進(jìn)行量程選擇時(shí)應(yīng)盡可能使示值接近滿(mǎn)度值，一般示值不小于滿(mǎn)度值的2/3。

例2-3

要測(cè)量100℃的溫度，現(xiàn)有0.5級(jí)、測(cè)量范圍為0～300℃和1.0級(jí)、測(cè)量范圍為0～100℃的兩種溫度計(jì)，試分析它們各自產(chǎn)生的示值誤差，問(wèn)選用哪一個(gè)溫度計(jì)更合適？

解：(1)對(duì)于0.5級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)值誤差為

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)的絕對(duì)誤差為

所以示值相對(duì)誤差為

(2)對(duì)于1.0級(jí)溫度計(jì)，可能產(chǎn)生的最大絕對(duì)值誤差為

按照誤差整量化原則，認(rèn)為該量程內(nèi)的絕對(duì)誤差為

所以示值相對(duì)誤差為

(3)結(jié)論：用1.0級(jí)小量程的溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差比選用0.5級(jí)的較大量程的溫度計(jì)測(cè)量所產(chǎn)生的示值相對(duì)誤差小，因此選用1.0級(jí)小量程的溫度計(jì)更合適。2.2測(cè)量數(shù)據(jù)的估計(jì)和處理2.2.1隨機(jī)誤差分析隨機(jī)誤差分析是指當(dāng)多次等精度測(cè)量時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差及測(cè)量值服從統(tǒng)計(jì)學(xué)規(guī)律時(shí)，利用概率統(tǒng)計(jì)的一些基本結(jié)論，研究隨機(jī)誤差的表征及含有隨機(jī)誤差的測(cè)量數(shù)據(jù)的處理方法。隨機(jī)誤差處理的目的是:求出最接近真值的值，即真值的最佳估計(jì)；對(duì)數(shù)據(jù)精密度的高低(即可信賴(lài)的程度)進(jìn)行評(píng)定并給出測(cè)量結(jié)果。

1.隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線就單次測(cè)量而言，隨機(jī)誤差是偶然因素造成的，無(wú)規(guī)律可循，但當(dāng)測(cè)量次數(shù)足夠多時(shí)，隨機(jī)誤差總體服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。隨機(jī)誤差的概率分布有多種類(lèi)型，如正態(tài)分布、均勻分布、t分布、反正弦分布、梯形分布和三角分布等。由于大多數(shù)隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，因此用正態(tài)分布理論研究隨機(jī)誤差。對(duì)某一被測(cè)量進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，設(shè)測(cè)量值為xi，被測(cè)量真值為L(zhǎng)，則測(cè)量列中的隨機(jī)誤差δi為δi=xi-Li=1，2，…，n

(2-14)當(dāng)測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，測(cè)量誤差服從正態(tài)分布規(guī)律。概率分布密度函數(shù)為

(2-15)

(2-16)式中：y為概率密度；x為測(cè)量值(隨機(jī)變量)；σ為均方根偏差(標(biāo)準(zhǔn)誤差)；L為真值(隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望)；δ為隨機(jī)誤差(隨機(jī)變量)，δ=x-L。正態(tài)分布曲線如圖2-2所示，是一條鐘形曲線?？梢?jiàn)，隨機(jī)變量在x=L或δ=0附近區(qū)域內(nèi)具有最大概率。圖2-2正態(tài)分布曲線隨機(jī)誤差具有以下特征:

(1)單峰性:絕對(duì)值小的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率大于絕對(duì)值大的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率。測(cè)量值在其期望值上出現(xiàn)的概率最大，隨著對(duì)期望值偏離的增大，出現(xiàn)的概率急劇減小。

(2)有界性:隨機(jī)誤差的絕對(duì)值不會(huì)超出一定界限。

(3)對(duì)稱(chēng)性或抵償性:測(cè)量次數(shù)n足夠大時(shí)，絕對(duì)值相等、符號(hào)相反的隨機(jī)誤差出現(xiàn)的概率相等。

2.隨機(jī)誤差的數(shù)字特征

1)算術(shù)平均值x在實(shí)際測(cè)量時(shí)，真值L不可能得到，但隨機(jī)誤差服從正態(tài)分布，算術(shù)平均值處隨機(jī)誤差的概率密度最大，即算術(shù)平均值與被測(cè)量的真值最接近，且測(cè)量次數(shù)越多就越接近。因此測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值最可信賴(lài)，它可以作為等精度多次測(cè)量的結(jié)果，是被測(cè)量的最佳估計(jì)值。如果進(jìn)行無(wú)限多次測(cè)量，由于隨機(jī)誤差的抵償性，隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果無(wú)影響，或其影響可以忽略。設(shè)對(duì)被測(cè)量進(jìn)行等精度的n次測(cè)量，有n個(gè)測(cè)量值x1，x2，…，xn，則它們的算術(shù)平均值為

(2-17)算術(shù)平均值反映了隨機(jī)誤差的分布中心。由于真值不可知，代以算術(shù)平均值而求得的誤差稱(chēng)為殘余誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)殘差，即

(2-18)

2)標(biāo)準(zhǔn)偏差σ標(biāo)準(zhǔn)偏差又稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)誤差、均方根誤差或均方根偏差，簡(jiǎn)稱(chēng)標(biāo)準(zhǔn)差，可由下式求取:(2-19)式中：σ為標(biāo)準(zhǔn)偏差；xi為第i次測(cè)量值；L為真值；n為測(cè)量次數(shù)，n→∞。標(biāo)準(zhǔn)偏差反映了隨機(jī)誤差的分布范圍，描述測(cè)量數(shù)據(jù)和測(cè)量結(jié)果的精度。均方根偏差愈大，測(cè)量數(shù)據(jù)的分散性也愈大。圖2-3所示為不同σ下隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線?？梢?jiàn)，σ愈小，分布曲線愈陡峭，說(shuō)明隨機(jī)變量的分散性愈小，測(cè)量精度愈高；反之，σ愈大，分布曲線愈平坦，隨機(jī)變量的分散性愈大，精度也愈低。圖2-3不同σ下隨機(jī)誤差的正態(tài)分布曲線

3)標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值σs

標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值σs是指用殘余誤差計(jì)算的均方根偏差。在實(shí)際測(cè)量中，因?yàn)闇y(cè)量次數(shù)是有限次，因此，用算術(shù)平均值代替真值，用標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值表征有限次的測(cè)量值(隨機(jī)誤差)的分散性。標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值又稱(chēng)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，用下式計(jì)算:(2-20)式中：xi為第i次測(cè)量值；為n次測(cè)量值的算術(shù)平均值；νi為殘余誤差，即νi=xi-。另外，在有限次測(cè)量時(shí)，算術(shù)平均值不可能等于被測(cè)量的真值L，它也是隨機(jī)變動(dòng)的。設(shè)對(duì)被測(cè)量進(jìn)行m組的多次測(cè)量，各組所得的算術(shù)平均值分別為，則算術(shù)平均值的可靠性由算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)評(píng)定。它與標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值σs的關(guān)系如下:(2-21)

與n的關(guān)系曲線如圖2-4所示?？梢?jiàn)，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測(cè)量次數(shù)n的增大而減小。但從圖2-4可看出，當(dāng)n>10時(shí)，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差隨測(cè)量次數(shù)n的增大而緩慢減小。因此，不能單靠增加測(cè)量次數(shù)來(lái)提高測(cè)量精度，實(shí)際上，測(cè)量次數(shù)越多，越難保證測(cè)量條件的穩(wěn)定，這會(huì)帶來(lái)新的誤差。圖2-4算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差與n的關(guān)系曲線

3.正態(tài)分布隨機(jī)誤差的概率計(jì)算符合正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其概率為曲線所覆蓋的面積。

(1)全概率：全概率的計(jì)算公式為

(2-22)

(2)區(qū)間概率:在區(qū)間(a，b)上的概率為通常，區(qū)間表示成σ的倍數(shù)kσ。取對(duì)稱(chēng)的區(qū)間(-kσ，+kσ)，則以殘差表示有

(2-23)式中：k為置信系數(shù)；Pa為置信概率，亦即區(qū)間概率；±kσ為誤差限。典型的k值及其相應(yīng)的概率如表2-1所示。從表中可看出：當(dāng)k=±1時(shí)，Pa=0.6827，測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差出現(xiàn)在-σ～+σ范圍內(nèi)的概率為68.27%，即|ν|>σ的概率為31.73%；出現(xiàn)在-3σ～+3σ范圍內(nèi)的概率是99.73%,說(shuō)明誤差絕對(duì)值大于3σ?guī)缀醪豢赡?，通常該誤差稱(chēng)為極限誤差，表示為σlim＝±3σ。于是，測(cè)量結(jié)果可表示為

(2-24)或

(2-25)

例2-4

有一組測(cè)量值為237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4，設(shè)這些測(cè)量值已消除系統(tǒng)誤差和粗大誤差，求測(cè)量結(jié)果。

解：將測(cè)量值列于表2-2中。由表中的數(shù)據(jù)得則測(cè)量結(jié)果為x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)2.2.2系統(tǒng)誤差分析

1.系統(tǒng)誤差的判斷系統(tǒng)誤差判斷方法主要有理論分析法、實(shí)驗(yàn)比較法、殘差觀察法以及準(zhǔn)則檢測(cè)法。

1)理論分析法理論分析法針對(duì)測(cè)量方法、測(cè)量理論所引入的誤差，通過(guò)定性、定量分析來(lái)確定誤差。如用內(nèi)阻不高的電壓表測(cè)量高內(nèi)阻的電源電壓所造成的系統(tǒng)誤差。

2)實(shí)驗(yàn)對(duì)比法實(shí)驗(yàn)對(duì)比法針對(duì)測(cè)量條件所引入的誤差，通過(guò)進(jìn)行不同條件的測(cè)量，以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。這種方法適用于發(fā)現(xiàn)固定的系統(tǒng)誤差。如更換測(cè)量?jī)x表，用精度更高一級(jí)的測(cè)量?jī)x表測(cè)量；更換測(cè)量人員、測(cè)量環(huán)境等。

3)殘差觀察法殘差觀察法是根據(jù)殘余誤差的變化規(guī)律，判斷系統(tǒng)誤差的有無(wú)、類(lèi)型以及大小等，如圖2-5所示。圖2-5殘余誤差曲線從圖2-5可以看出:圖(a)中，殘余誤差基本上正負(fù)相同，無(wú)明顯的變化規(guī)律，“無(wú)系統(tǒng)誤差”；圖(b)中，殘余誤差線性遞增，存在累進(jìn)性系統(tǒng)誤差；圖(c)中，殘余誤差的大小、符號(hào)呈周期性變化，存在周期性系統(tǒng)誤差；圖(d)中，殘余誤差周期性遞增，同時(shí)存在累進(jìn)性系統(tǒng)誤差和周期性系統(tǒng)誤差。

4)準(zhǔn)則檢測(cè)法

(1)馬利科夫判據(jù):將殘余誤差按測(cè)量次序均分為前后兩組，若前組和與后組和之差明顯不為零，則可能含有線性系統(tǒng)誤差。

(2)阿貝檢驗(yàn)法:檢查殘余誤差是否偏離正態(tài)分布，若偏離，則可能存在變化的系統(tǒng)誤差。將測(cè)量值的殘余誤差按測(cè)量順序排列，且設(shè)

(2-26)(2-27)若

(2-28)則可能含有變化的系統(tǒng)誤差。

2.系統(tǒng)誤差的消除

(1)消除系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的根源。找出誤差根源，明確產(chǎn)生誤差的因素，采取相應(yīng)措施修正或消除?？蓮囊韵聨追矫婵紤]:①檢查傳感器和測(cè)量?jī)x表的安裝、調(diào)試、放置是否合理，如儀表是否在水平位置、安裝時(shí)是否偏心等；②測(cè)量方法是否完善，如用電壓表測(cè)量電壓，電壓表的內(nèi)阻的影響等；③傳感器或儀表是否準(zhǔn)確可靠，如靈敏度不足、刻度不準(zhǔn)、放大器與變換器的性能存在優(yōu)劣等；④環(huán)境條件是否符合要求，如環(huán)境溫度、濕度、氣壓等的變化會(huì)引起誤差等；⑤測(cè)量者的操作是否正確，如讀數(shù)時(shí)的視差、視力疲勞等會(huì)引起系統(tǒng)誤差等。

(2)在測(cè)量結(jié)果中進(jìn)行修正。①恒值系統(tǒng)誤差，可用修正值對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正；②變值系統(tǒng)誤差，可找出誤差的變化規(guī)律，用修正公式或修正曲線對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正；③未知系統(tǒng)誤差，可按隨機(jī)誤差進(jìn)行處理。

(3)在測(cè)量系統(tǒng)中采用補(bǔ)償措施。找出系統(tǒng)誤差的規(guī)律，在測(cè)量過(guò)程中自動(dòng)消除系統(tǒng)誤差。如用熱電偶測(cè)溫時(shí)，采用冷端補(bǔ)償法，進(jìn)行自動(dòng)補(bǔ)償；用熱電阻測(cè)溫時(shí)，對(duì)環(huán)境溫度進(jìn)行實(shí)時(shí)反饋修正。2.2.3粗大誤差剔除數(shù)據(jù)處理之前，應(yīng)首先依照一定的準(zhǔn)則，剔除粗大誤差。常用的準(zhǔn)則有3σ準(zhǔn)則、肖維勒準(zhǔn)則以及格拉布斯準(zhǔn)則。

1.

3σ準(zhǔn)則

3σ準(zhǔn)則又稱(chēng)萊以達(dá)準(zhǔn)則，當(dāng)某個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值|νi|>3σ(極限誤差)時(shí)，則剔除。

2.肖維勒準(zhǔn)則當(dāng)某個(gè)測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值|νi|>Zcσ時(shí)，則剔除。實(shí)用中Zc<3，Zc的取值如表2-3所示。

3.格拉布斯準(zhǔn)則當(dāng)某測(cè)量值的殘差的絕對(duì)值|νi|＞Gσ時(shí)，則剔除。G值與測(cè)量次數(shù)n和置信概率Pa有關(guān)，如表2-4所示。注意:以上準(zhǔn)則以數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布為前提，當(dāng)偏離正態(tài)分布或測(cè)量次數(shù)很少時(shí)，判斷的可靠性就降低。重要的是提高工作人員的技術(shù)水平和責(zé)任心，保證測(cè)量條件穩(wěn)定，防止環(huán)境條件發(fā)生劇變。

例2-5

對(duì)某一電壓進(jìn)行12次等精度測(cè)量，測(cè)量值如表2-5所示，若這些測(cè)量值已消除系統(tǒng)誤差，試判斷有無(wú)粗大誤差，并寫(xiě)出測(cè)量結(jié)果。

解：(1)求算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值:

(2)判斷有無(wú)粗大誤差:因測(cè)量次數(shù)不多，采用格拉布斯準(zhǔn)則。測(cè)量次數(shù)n＝12，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系數(shù)G＝2.28，則G·σs=2.28×0.032=0.073<|ν6|故剔除U6。

(3)剔除粗大誤差后的算術(shù)平均值及標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值如下:重新判斷粗大誤差：測(cè)量次數(shù)n＝11，取置信概率Pa＝0.95，查表2-4，可得系數(shù)G＝2.23,則G·σs=2.23×0.0145=0.032大于所有|νi2|，故無(wú)粗大誤差。

(4)計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差:

(5)測(cè)量結(jié)果如下：2.3不等精度測(cè)量的權(quán)與誤差以及誤差的合成與分配2.3.1不等精度測(cè)量的權(quán)與誤差

1.權(quán)的概念一被測(cè)量的m組測(cè)量結(jié)果及其誤差不能同等看待，各組具有不同的可靠性，即可信賴(lài)程度，這種可信賴(lài)程度的大小稱(chēng)為“權(quán)”。測(cè)量次數(shù)多，測(cè)量方法完善，測(cè)量?jī)x表精度高，測(cè)量的環(huán)境條件好，測(cè)量人員的水平高，則測(cè)量結(jié)果可靠，其權(quán)也大。權(quán)用符號(hào)p表示，有兩種計(jì)算方法:

(1)用各組測(cè)量列的測(cè)量次數(shù)n的比值表示，并取測(cè)量次數(shù)較小的測(cè)量列的權(quán)為1，則有p1∶p2∶…∶pm=n1∶n2∶…∶nm(2-29)

(2)用各組測(cè)量列的誤差平方的倒數(shù)的比值表示，并取誤差較大的測(cè)量列的權(quán)為1，則有

(2-30)權(quán)只表示相對(duì)可靠度，無(wú)量綱，故實(shí)際計(jì)算時(shí)，通常令最小的權(quán)數(shù)為1，以化簡(jiǎn)。

2.加權(quán)算術(shù)平均值對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行m組不等精度測(cè)量，得到m個(gè)測(cè)量列的算術(shù)平均值為，相應(yīng)各組的權(quán)分別為p1，p2，…，pm，則加權(quán)平均值可用下式表示:(2-31)

3.加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)誤差加權(quán)算術(shù)平均值可作為不等精度測(cè)量結(jié)果的最佳估計(jì)，此時(shí)其精度也由加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)表示:(2-32)式中，。

例2-6

用三種不同的方法測(cè)量某電感量，三種方法測(cè)得各平均值與標(biāo)準(zhǔn)差為求電感的加權(quán)算術(shù)平均值及其加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差。

解:

令p3=1，則加權(quán)算術(shù)平均值為加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為2.3.2誤差的合成與分配

1.測(cè)量誤差的合成

1)系統(tǒng)誤差的合成設(shè)系統(tǒng)總輸出與各環(huán)節(jié)之間的函數(shù)關(guān)系為y=f(x1，x2，…，xn)，各環(huán)節(jié)定值系統(tǒng)誤差分別為Δx1，Δx2，…，Δxn。系統(tǒng)誤差一般均很小，其誤差可用微分來(lái)表示，故其合成表達(dá)式為

(2-33)實(shí)際計(jì)算誤差時(shí)，式(2-33)中的微分項(xiàng)以各環(huán)節(jié)的定值系統(tǒng)誤差Δx1，Δx2，…，Δxn代替，即

(2-34)

2)隨機(jī)誤差的合成設(shè)測(cè)量系統(tǒng)或傳感器的n個(gè)環(huán)節(jié)的均方根偏差為，則隨機(jī)誤差的合成為

(2-35)

若有線性函數(shù)y=f(x1，x2，…，xn)，即y=a1x1+a2x2+…+anxn，則

(2-36)如果a1=a2=…=an=1，則

(2-37)

3)總合成誤差設(shè)測(cè)量系統(tǒng)或傳感器的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差均相互獨(dú)立，則總的合成誤差ε可表示為ε=Δy+σy(2-38)

例2-7

用手動(dòng)平衡電橋測(cè)量電阻R

x(如圖2-6所示)。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω,各橋臂電阻的恒值系統(tǒng)誤差為ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系統(tǒng)誤差后的Rx值。圖2-6測(cè)量電阻Rx的平衡電橋原理圖解：被測(cè)電阻Rx變化時(shí)，調(diào)節(jié)可變電阻，使電橋平衡，即使檢流計(jì)顯示的電流為0。于是有R1·RN＝R2·Rx即

當(dāng)不考慮系統(tǒng)誤差時(shí)，有已知R1、R2、RN存在系統(tǒng)誤差，則Rx也將產(chǎn)生系統(tǒng)誤差，按照誤差合成理論，利用式(2-34)可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影響后，即修正后的電阻Rx為Rx＝Rx0-ΔRx＝10-0.015＝9.985Ω

2.測(cè)量誤差的分配總誤差確定后，求各環(huán)節(jié)的誤差，以使總誤差值不超過(guò)規(guī)定值，稱(chēng)為誤差分配。

1)等準(zhǔn)確度分配按等準(zhǔn)確度分配誤差時(shí)，認(rèn)為各環(huán)節(jié)的誤差彼此相同，即系統(tǒng)誤差：

Δx1=Δx2=…=Δxn隨機(jī)誤差：則分配后各環(huán)節(jié)的誤差為

(2-39)(2-40)

2)等作用分配等作用分配指分配給各環(huán)節(jié)的誤差對(duì)總誤差的影響相同，即系統(tǒng)誤差：隨機(jī)誤差：

則分配后各環(huán)節(jié)的誤差為

(2-41)(2-42)

進(jìn)行誤差分配時(shí)應(yīng)注意抓住主要誤差項(xiàng)進(jìn)行分配，對(duì)影響較小的誤差項(xiàng)可不予考慮或酌情考慮。2.4最小二乘法與線性回歸分析2.4.1最小二乘法最小二乘法是一種數(shù)據(jù)處理手段，其原理是:為獲得最可信賴(lài)的測(cè)量結(jié)果，使各測(cè)量值的殘余誤差平方和為最小。在組合測(cè)量的數(shù)據(jù)處理、實(shí)驗(yàn)曲線擬合等方面，應(yīng)用廣泛。

1.最小二乘法的線性函數(shù)通式設(shè)被測(cè)量為X1，X2，…，Xm，直接測(cè)量值為Y1，Y2，…，Yn，其相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系為

(2-43)若x1，x2，…，xm是待求量X1，X2，…，Xm的最佳估計(jì)值，則相應(yīng)的估計(jì)值亦有下列函數(shù)關(guān)系:(2-44)設(shè)帶有誤差的實(shí)際直接測(cè)量值為l1，l2，…，ln，則相應(yīng)的誤差方程為

(2-45)按最小二乘法原理，要獲取最可信賴(lài)的結(jié)果x1，x2，…，xm，上述方程組的殘差平方和應(yīng)最小，即為最小。根據(jù)求極值條件，有

(2-46)整理后可寫(xiě)成

(2-47)式(2-47)為等精度測(cè)量的線性函數(shù)最小二乘估計(jì)的正規(guī)方程。由此可求出被測(cè)量x1，x2，…，xm的估計(jì)值。式中,

2.最小二乘法的矩陣表示誤差方程式(2-45)的矩陣表示為

(2-48)式中，系數(shù)矩陣為被測(cè)量估計(jì)值矩陣為直接測(cè)量值矩陣為

殘余誤差矩陣為