九上人教專題03與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類(lèi)型（五種技巧精講精練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）

第頁(yè)專題03與圓的切線有關(guān)的計(jì)算與證明的常見(jiàn)類(lèi)型（五種技巧精講精練+過(guò)關(guān)檢測(cè)）題型01證線段平行【典例分析】【例1-1】（23-24九年級(jí)上·福建龍巖·期末）如圖，是的外接圓，P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且，點(diǎn)D是中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，則下列結(jié)論：①；②垂直平分；③直線和都是的切線；④．其中正確的結(jié)論是（

）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①②③④【例1-2】（21-22九年級(jí)上·山東青島·單元測(cè)試）已知：如圖，直線切于點(diǎn)，為的弦．．求證：．【例1-3】（22-23九年級(jí)上·福建莆田·期中）如圖，內(nèi)接于，為的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：．【變式演練】【變式1-1】（24-25九年級(jí)上·山東·單元測(cè)試）是的外接圓，是直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．有下面四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)，直線與相切于點(diǎn)C，直線與切線相交于點(diǎn)E，與相交于另一點(diǎn)D，連接AB，CD．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【變式1-3】（22-23九年級(jí)上·內(nèi)蒙古烏?！るA段練習(xí)）如圖，是的外接圓，是的切線交的延長(zhǎng)線于D，交于E.

(1)求證：；(2)若，.求的半徑和線段的長(zhǎng).題型02求線段長(zhǎng)度【典例分析】【例2-1】（23-24九年級(jí)上·重慶北碚·期末）如圖，是的切線，為切點(diǎn)，經(jīng)過(guò)圓心，若，則的長(zhǎng)度是（

）A． B． C． D．【例2-2】（23-24九年級(jí)上·遼寧大連·期中）如圖，是的直徑，是的切線，切點(diǎn)為D，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C，，則的長(zhǎng)度為．【例2-3】（23-24九年級(jí)上·福建廈門(mén)·期中）如圖，在中，，與邊相切于點(diǎn)E．

(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)度．【變式演練】【變式2-1】（22-23九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，的半徑為4，直線是的切線，為切點(diǎn)，連接，是直徑．若弦于點(diǎn)，且，則的長(zhǎng)度為（

）A． B．4 C．6 D．【變式2-2】（21-22九年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期中）如圖，為的直徑，弦于點(diǎn)，直線切于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)度為．【變式2-3】（21-22九年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在中，弦于點(diǎn)D，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作的切線交于點(diǎn)H．(1)求證：．(2)若點(diǎn)C為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)度．題型03求圓的直徑（方程思想）【典例分析】【例3-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇常州·期中）工人為了測(cè)量某段圓木的直徑，把圓木截面、含60°角的三角板和直尺按如圖擺放，測(cè)得cm，由此可算得該圓木的直徑為cm．【例3-2】（24-25九年級(jí)上·福建福州·階段練習(xí)）如圖，等腰三角形內(nèi)接于，，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，已知，．(1)求證：四邊形為平行四邊形．(2)求的直徑長(zhǎng)度．【例3-3】（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑的分別交，于點(diǎn)、，的延長(zhǎng)線與的切線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)已知，，求的直徑【變式演練】【變式3-1】（21-22九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，∠ABC＝90°，在AB上取一點(diǎn)E，以BE為直徑的⊙O恰與AC相切于點(diǎn)D，若AE＝2cm，AD＝4cm．（1）求⊙O的直徑BE的長(zhǎng)；（2）求CD的長(zhǎng)．【變式3-2】如圖，為的直徑，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接、，過(guò)點(diǎn)作的切線，連接交于點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若，求的直徑的長(zhǎng)．【變式3-3】（22-23九年級(jí)上·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，已知等邊，以為直徑的與邊相交于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，垂足為；過(guò)點(diǎn)作，垂足為．(1)求證：是的切線；(2)若，求直徑的長(zhǎng)．題型04求角的大小【典例分析】【例4-1】（24-25九年級(jí)上·重慶·階段練習(xí)）如圖，與相切于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【例4-2】（24-25九年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，是的切線，A為切點(diǎn)，連接，點(diǎn)C在上，，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)D，連接，若，則的度數(shù)為．【例4-3】（24-25九年級(jí)上·遼寧盤(pán)錦·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式演練】【變式4-1】（2023九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，是弦，是切線，過(guò)點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，若平分，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【變式4-2】（24-25九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與相切于點(diǎn)，若，則．【變式4-3】（2024九年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，內(nèi)接于是上一點(diǎn)，若，連接，過(guò)點(diǎn)D作的切線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，求的度數(shù)．題型05證線段垂直【典例分析】【例5-1】（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，為半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，與半圓相切于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，．求證：．【例5-2】（23-24九年級(jí)上·四川瀘州·期末）如圖，以的邊為直徑的交于點(diǎn)E，平分，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且的切線交于點(diǎn)D．(1)求證：；(2)若，，求，的長(zhǎng)．【例5-3】如圖，在中，，為的外接圓，為的切線，為的直徑，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)若，，求的半徑．【變式演練】【變式5-1】（22-23九年級(jí)上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形內(nèi)接于⊙O，為直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作，垂足為E．(1)求證：；(2)若，求的長(zhǎng)．【變式5-2】（21-22九年級(jí)上·湖北鄂州·期末）如圖，點(diǎn)O是的邊上一點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)E，與邊分別相交于點(diǎn)D，F(xiàn)，且．(1)求證：；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．【變式5-3】（23-24九年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．一、單選題1．（2024九年級(jí)上·北京·專題練習(xí)）如圖，過(guò)點(diǎn)作的切線，，切點(diǎn)分別是，，連接．過(guò)上一點(diǎn)作的切線，交，于點(diǎn)，．若，的周長(zhǎng)為4，則的長(zhǎng)為（

）A．2 B． C．4 D．2．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為和，弦與小圓相切于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．3．（24-25九年級(jí)上·北京·階段練習(xí)）如圖，為的切線，切點(diǎn)為，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．二、填空題4．（24-25九年級(jí)上·江蘇宿遷·期中）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，切于點(diǎn)C，若，則的度數(shù)為．5．（23-24九年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，P是圓O的直徑上一點(diǎn)，與圓O相切于點(diǎn)M，連接，，若，則的長(zhǎng)為．6．（24-25九年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）如圖，，是的切線，若，，．7．（24-25九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，AB是的直徑，AC與相切，A為切點(diǎn)，連接BC交于點(diǎn)D．已知，則的度數(shù)為．三、解答題8．（24-25九年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖，與相切于點(diǎn)C，，的直徑為，，求長(zhǎng)．9．（24-25九年級(jí)上·云南紅河·期中）如圖，為的直徑，為的切線，交于點(diǎn)，為上一點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若的半徑為5，求的長(zhǎng)．10．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝45°，連接OC，交AB于