計量經(jīng)濟學 第2版 課件 第5章 異方差性課件

ECONOMETRICS第五章異方差性教學目的和要求0105040302掌握異方差性的概念和類型了解異方差性的產(chǎn)生原因掌握異方差性的后果掌握異方差性的檢驗方法及EVIEWS軟件實現(xiàn)掌握異方差性的修正方法及EVIEWS軟件實現(xiàn)課程內(nèi)容01040302異方差性的含義、類型及產(chǎn)生原因異方差性的后果異方差性的檢驗異方差性的修正引例：高技術產(chǎn)業(yè)各行業(yè)開發(fā)經(jīng)費支出對新產(chǎn)品銷售收入影響一致嗎？高技術產(chǎn)業(yè)體現(xiàn)了國家科技競爭力，展現(xiàn)了國家實力。我國一直大力扶持高技術產(chǎn)業(yè)，國家科技水平不斷提高?？萍佳邪l(fā)對高技術產(chǎn)業(yè)的發(fā)展具有重要意義，那么高技術產(chǎn)業(yè)各行業(yè)開發(fā)經(jīng)費支出對新產(chǎn)品銷售收入是否存在差異影響呢？引例：高技術產(chǎn)業(yè)各行業(yè)開發(fā)經(jīng)費支出對新產(chǎn)品銷售收入影響一致嗎？為了解高技術產(chǎn)業(yè)研發(fā)投入對其產(chǎn)出的影響，現(xiàn)選取高技術制造業(yè)新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出X作為解釋變量,新產(chǎn)品銷售收入Y作為被解釋變量，樣本為2018年我國高技術制造業(yè)分行業(yè)數(shù)據(jù)，建立的新產(chǎn)品銷售收入關于開發(fā)經(jīng)費支出的回歸模型為：從回歸模型估計結(jié)果來看，可決系數(shù)和修正的可決系數(shù)較高，F(xiàn)檢驗和t檢驗顯著，表明新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出對新產(chǎn)品銷售收入有顯著影響。估計的模型參數(shù)表明：新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出每增加一萬元，各行業(yè)新產(chǎn)品銷售收入將平均增長7.2977萬元。引子：高技術產(chǎn)業(yè)各行業(yè)開發(fā)經(jīng)費支出對新產(chǎn)品銷售收入影響一致嗎？然而，從2018年高技術產(chǎn)業(yè)各行業(yè)新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出和新產(chǎn)品銷售收入實際數(shù)據(jù)來看，這一結(jié)論可能并不可靠。盡管隨著新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出的增加，新產(chǎn)品銷售收入平均水平也不斷增加，但其離散程度也隨之而增加。當新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出較低時，不同行業(yè)的新產(chǎn)品銷售收入差距較小；而當新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出較高時，不同行業(yè)的新產(chǎn)品銷售收入差距較大。這種情況下，建立的模型可能存在異方差性，而存在異方差的模型估計結(jié)果不可靠。為什么估計模型會存在異方差性？為何用OLS估計存在異方差的模型得到的結(jié)果不可靠？又該如何消除異方差性呢？5.1.1異方差性的含義對于線性回歸模型在模型經(jīng)典假定中，要求隨機誤差項

具有同方差性，即對所有的隨機誤差項

，偏離其均值的離散程度均相同，用公式表達為：若上述假定不成立，則對于不同樣本點，隨機誤差項離散程度各不相同或著說不再是一個固定常數(shù)，即

，則稱模型存在異方差性（

Heteroscedasticity）。5.1異方差性的含義、類型及產(chǎn)生原因5.1.1異方差性的含義由于隨機誤差項方差隨樣本點不同而不同，因而可以將異方差看成是解釋變量的某種函數(shù)形式，即：5.1異方差性的含義、類型及產(chǎn)生原因5.1.2異方差性的類型單調(diào)遞增型：指隨機誤差項的方差，隨著解釋變量Xi的增大而增大。例如：隨著居民家庭收入水平的提高，家庭儲蓄水平的差異將逐漸增大。單調(diào)遞減型：指隨機誤差項的方差，隨著解釋變量Xi的增大而減小。例如：打字出錯率與練習時間之間的關系，一般地打字時間越長，人們的打字出錯率越低，打字出錯率波動幅度隨打字時間增加會越來越小。復雜型：是指隨機誤差項的方差，隨著解釋變量Xi的增大而呈現(xiàn)出復雜的變化形式。例如：我國收入分配的變化，在改革開放初，社會收入差距非常小，改革開放后，收入差距逐步增大，目前我國政府采取了相應的政策如精準扶貧，以逐步縮小收入差距?？梢?，我國社會收入差距隨著經(jīng)濟發(fā)展像橄欖球形一樣變化。5.1異方差性的含義、類型及產(chǎn)生原因5.1.3異方差性的產(chǎn)生原因遺漏了某些重要解釋變量模型函數(shù)形式設定誤差測量誤差的變化隨機因素影響5.1異方差性的含義、類型及產(chǎn)生原因5.2.1參數(shù)的OLS估計量仍具無偏性，但非有效由于隨機誤差項方差隨樣本點不同而不同，因而可以將異方差看成是解釋變量的某種函數(shù)形式，即：以一元線性回歸模型為例，由第2章參數(shù)OLS估計的無偏性證明可知：在解釋變量非隨機和零均值假定滿足的情況下，可證明參數(shù)的OLS估計量具有無偏性?？梢姡Ｐ痛嬖诋惙讲畈⒉挥绊憛?shù)OLS估計的無偏性。5.2異方差性后果5.2.1參數(shù)的OLS估計量仍具無偏性，但非有效由第2章證明可知，若模型滿足同方差性假定，則：若模型存在異方差，，則：比較上述結(jié)果，當時，這表明模型若存在異方差，則難以確保OLS估計量的方差最小。同理也無法保證其有效性。5.2異方差性后果5.2.2無法正確估計參數(shù)的標準誤差在同方差性假定下，參數(shù)的估計標準誤差為：而在模型存在異方差情況下，假定若此時仍用則將產(chǎn)生偏差，偏差大小取決于：當其大于1，則低估參數(shù)估計的標準誤差，反之，則高估。5.2異方差性后果5.2.3參數(shù)顯著性檢驗的可靠性降低若模型存在異方差，此時可能高估或低估參數(shù)估計的標準誤差，則據(jù)此計算的t統(tǒng)計量也不正確，此時，用錯誤的t統(tǒng)計量進行參數(shù)顯著性檢驗，則有可能得到不正確的結(jié)論，t檢驗失效。F檢驗也如此。5.2異方差性后果5.2.4預測失效若模型存在異方差，

隨著

的變化而變化，

也在不斷變化，則Y預測區(qū)間將難以確定，此外，

不正確，預測誤差增大，Y的預測精度將降低。5.2異方差性后果鑒于異方差性的存在將會對回歸模型的估計、檢驗和預測產(chǎn)生一系列消極的影響，因而，在建立回歸模型時必須檢驗其是否存在異方差性。異方差性檢驗的基本思路是：通常利用OLS法估計模型產(chǎn)生的殘差及其平方或者絕對值來替代隨機誤差項方差，根據(jù)殘差的分布圖或者建立殘差平方（或絕對值）關于原模型中解釋變量的輔助回歸方程來判定其是否存在異方差性。5.3異方差性的檢驗異方差性常用檢驗方法：1.圖示檢驗法2.戈德菲爾德-夸特（Goldfeld-Quandt）檢驗法3.White檢驗法4.Park檢驗法5.Glejser檢驗法6.ARCH檢驗法5.3.1圖示檢驗法1.被解釋變量與解釋變量相關圖利用sort命令先對

進行排序：sortX然后，利用scat命令繪制相關圖，如果隨著解釋變量的增加，被解釋變量

散點分布區(qū)域逐漸變寬（或變窄），則可初步診斷模型存在遞增型（或遞減型）的異方差。5.3異方差性的檢驗5.3.1圖示檢驗法2.殘差平方或者殘差絕對值與X相關圖首先，對解釋變量值進行排序。EVIEWS軟件命令格式為：SORTX；其次，利用最小二乘法估計回歸模型。EVIEWS軟件命令格式為LSYCX，進而利用序列生成命令計算得到殘差的平方或者殘差絕對值；

Genrz1=resid^2Genrz2=abs(resid)最后，繪制出或者對X的散點圖。若隨著X變化，或者大體在兩條水平線內(nèi)變動（如圖5-2a），則表明隨機誤差項方差為同方差；若隨著X變化，或者也隨之發(fā)生變化（如圖5-2b、c、d），則表明模型存在異方差。5.3異方差性的檢驗2.殘差平方或者殘差絕對值與X相關圖5.3異方差性的檢驗5.3.2戈德菲爾德-夸特檢驗法1965年戈德菲爾德和夸特提出Goldfeld-Quandt檢驗方法，其基本思想是：對原樣本按某一解釋變量進行排序，刪除中間一定組數(shù)的數(shù)據(jù)，將容量相同的兩端數(shù)據(jù)分別作為兩個子樣本，利用OLS法估計兩個子樣本回歸模型，比較其產(chǎn)生的殘差平方和是否具有顯著差異，據(jù)此進行異方差性檢驗。5.3異方差性的檢驗戈德菲爾德-夸特檢驗步驟：5.3異方差性的檢驗1.數(shù)據(jù)排序：對所有樣本數(shù)據(jù)按某一解釋變量進行排序2.選取子樣本：將排在中間的C組（大約n/4）數(shù)據(jù)刪除，兩端的樣本數(shù)據(jù)分別作為子樣本1和子樣本23.估計模型：利用OLS法分別對子樣本1和子樣本2建立回歸模型，求得各自的殘差平方和4.提出假設：即原假設子樣本1和子樣本2的方差相等，滿足同方差性假定5.構造統(tǒng)計量：6.判別結(jié)論：給定顯著性水平，查F分布表，得臨界值。若F＞，則認為模型中的隨機誤差項存在異方差。戈德菲爾德-夸特檢驗的適用條件：戈德菲爾德-夸特檢驗法主要適用于大樣本且具有遞增或遞減規(guī)律的異方差情況。注意：G-Q檢驗結(jié)果往往與被刪除的數(shù)據(jù)組數(shù)c有關。G-Q檢驗僅能幫助判斷是否存在異方差性，而不能判斷異方差性是由哪些解釋變量的哪種函數(shù)引致的。5.3異方差性的檢驗5.3.3White檢驗法基本思想：基于異方差性的定義，如果模型存在異方差性，則隨機誤差項的方差會隨著解釋變量變化而變化。因此，可以建立殘差平方關于解釋變量多項式函數(shù)的輔助回歸模型，并對該輔助回歸模型進行統(tǒng)計檢驗，以此判斷原模型是否存在異方差性。由于隨機誤差項的方差未知，一般用殘差平方

近似替代。5.3異方差性的檢驗White檢驗步驟（以二元回歸為例）：5.3異方差性的檢驗1.用OLS法估計回歸模型，計算殘差，并求殘差的平方2.估計殘差平方對解釋變量一次項、二次項和交叉乘積項的輔助回歸模型3.計算統(tǒng)計量，其中n為樣本容量，為輔助回歸模型的可決系數(shù)。4.給定顯著性水平，查分布表得臨界值，若＞，或?qū)陌殡S概率小于顯著性水平，則拒絕原假設，認為模型存在異方差。White檢驗的適用條件與軟件實現(xiàn)：White檢驗法不僅可以檢驗模型是否存在異方差性（無論何種類型的異方差），而且還可以在多變量的情況下對輔助回歸模型的回歸系數(shù)進行t檢驗，判斷出異方差性與哪個或哪些解釋變量有關。但此方法建立輔助回歸模型包含的解釋變量較多，自由度損失較大，因此在實際應用中通常要求數(shù)據(jù)為大樣本。軟件實現(xiàn)：對于Eviews9.0，在利用全部樣本數(shù)據(jù)和OLS法估計回歸方程窗口中,選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests，在Testtype中選擇White，點擊OK后可得到檢驗統(tǒng)計量的值和輔助回歸方程。5.3異方差性的檢驗5.3.4Park檢驗法基本思想:以殘差平方近似隨機誤差項的方差，建立殘差平方關于某個解釋變量冪函數(shù)形式的輔助回歸模型，根據(jù)輔助回歸模型的統(tǒng)計顯著性判斷原模型是否存在異方差性。Park檢驗步驟：用OLS法估計模型，得到殘差建立殘差平方

對某個解釋變量

的冪函數(shù)輔助回歸方程：

或者應用t或F檢驗法對輔助回歸方程進行統(tǒng)計顯著性檢驗，如果輔助回歸方程能夠通過檢驗，則表明原回歸模型存在異方差性。

5.3異方差性的檢驗5.3.4Park檢驗法軟件實現(xiàn)：對于Eviews9.0，在利用全部樣本數(shù)據(jù)和OLS法估計回歸方程窗口中,選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在對話窗口Regressors中加入“clog(x)”,即可得到輔助回歸方程和相關檢驗統(tǒng)計量值。Park檢驗法也可以直接應用于對多元回歸模型的異方差性檢驗：利用OLS法估計被解釋變量

關于所有解釋變量的回歸模型；在估計回歸方程窗口中選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在彈出的對話窗口Regressors中鍵入常數(shù)c和各解釋變量的對數(shù)并以空格隔開。5.3異方差性的檢驗5.3.5Glejser檢驗法基本思想:

Glejser檢驗法的基本思想與White檢驗、Park檢驗大體相同，都是通過建立輔助回歸模型檢驗異方差，其區(qū)別在于采用的輔助回歸方程形式不同，它建立的是殘差絕對值

關于某個解釋變量

的各種函數(shù)形式的輔助回歸。Glejser檢驗步驟：用OLS法估計模型，得到殘差建立殘差絕對值

對某個解釋變量

的各種函數(shù)形式輔助回歸方程：

，式中

取不同值并進行估計、檢驗方程，在一定顯著性水平下，應用t或F檢驗法對某個輔助回歸方程進行統(tǒng)計顯著性檢驗，若拒絕相關原假設，則表明原模型存在異方差性。5.3異方差性的檢驗5.3.5Glejser檢驗法適用條件：Park檢驗和Glejser檢驗也要求大樣本，它們不僅能對異方差的存在進行判斷，而且還能診斷異方差具體形式，即方差與某個解釋變量之間的函數(shù)形式，可為后續(xù)修正異方差提供依據(jù)。軟件實現(xiàn)：對于Eviews9.0，在利用全部樣本數(shù)據(jù)和OLS法估計回歸方程窗口中,選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Glejser,在對話窗口Regressors中加入“cx^h”,即可得到輔助回歸方程和相關檢驗統(tǒng)計量值。Glejser檢驗法也可以直接應用于對多元回歸模型的異方差性檢驗：利用OLS法估計被解釋變量

關于所有解釋變量的回歸模型；在估計回歸方程窗口中選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在彈出的對話窗口Regressors中鍵入常數(shù)c和各解釋變量的h次冪并以空格隔開。5.3異方差性的檢驗5.3.6ARCH檢驗法基本思想:在利用金融時間序列數(shù)據(jù)建立回歸模型時，其隨機誤差項的方差往往不僅在不同時間上存在較大差異，而且在不同時間上還存在較強相關性，人們把這種現(xiàn)象稱為模型中存在ARCH（AutoregressiveConditionalHeteroscedasticity自回歸條件異方差）效應。ARCH效應檢驗方法由恩格爾（Engel）于1982年首先提出，該檢驗方法主要適用于大樣本下的時間序列數(shù)據(jù)。對于回歸模型如果成立，其中

獨立同分布，并滿足

,

即在

中存在不為0的情形，則認為回歸模型存在異方差性。5.3異方差性的檢驗5.3.6ARCH檢驗法檢驗步驟：1.利用OLS法估計回歸模型。2.建立輔助回歸模型。利用OLS法估計殘差平方

對滯后殘差平方

進行回歸，得到：3.提出假設。

；

至少有一個不為04.構建統(tǒng)計量。可以證明在

成立下，有

漸近地服從自由度為

的

分布，即5.判斷。給定顯著性水平

，查

分布表得到臨界值

，若

＞

或?qū)陌殡S概率表明回歸模型存在ARCH效應，即存在異方差；反之，則表明回歸模型不存在異方差性。5.3異方差性的檢驗ARCH檢驗軟件實現(xiàn)在Eviews9.0中，可以利用如下兩種方式進行ARCH檢驗：命令方式：archtest(

)菜單方式：（1）估計回歸模型（2）在估計方程窗口選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\ARCH,輸入檢驗階數(shù)

（系統(tǒng)默認為1），點擊OK?；蛘吖烙嫹匠檀翱邳c擊Views/ResidualDiagnostic/CorrelagramSquaredResiduals,屏幕輸出

與

的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)，利用偏自相關系數(shù)大致判斷回歸模型是否存在ARCH效應。5.3異方差性的檢驗異方差性修正路徑：根據(jù)異方差產(chǎn)生的原因，采取相應的措施。如增加重要的解釋變量、改變模型的設定函數(shù)形式（如將線性模型轉(zhuǎn)換為對數(shù)-線性模型）等，其中，在對數(shù)-線性模型中，對原變量取對數(shù)使得變量尺度縮小，由此估計模型得到的殘差為相對誤差，這些相對誤差之間的差異往往比絕對誤差的小，進而降低異方差程度；在查找不出具體產(chǎn)生原因時，可以采用模型變換法或加權最小二乘法，以消除或者緩解異方差。5.4異方差性的修正5.4.1模型變換法模型變換法是對存在異方差性的模型進行適當?shù)淖兞孔儞Q，使之成為滿足同方差假定的模型，再運用最小二乘法估計變換后的模型。模型變換法需要事先合理確定異方差性的具體形式，即

，一般地可以通過Park檢驗或者Glejser檢驗所提供的輔助回歸結(jié)果加以確定。5.4異方差性的修正5.4.1模型變換法現(xiàn)以一元線性回歸模型為例予以說明。若

，其中

為常數(shù)。用

除原模型式左右兩端，則原模型式變換為：令則原模型變換為：易證，新模型的隨機擾動項滿足同方差性假定。5.4異方差性的修正5.4.2加權最小二乘法基本原理：加權最小二乘法是在原有殘差平方

基礎上加上權數(shù)

，使得加權的殘差平方和即

最小，這樣估計的參數(shù)

稱為加權最小二乘估計，這種求解參數(shù)估計式的方法稱為加權最小二乘法(WeightedLeastSquare，簡稱WLS)。5.4異方差性的修正5.4.2加權最小二乘法的權數(shù)為何將這種方法稱為加權最小二乘法？權數(shù)

在加權最小二乘法計算中起到了什么樣的作用？普通最小二乘法的基本原理是使殘差平方和

最小，其對每一個樣本點的殘差均同等對待，賦予相同的權數(shù)1，這在同方差假定下是合理的；但在異方差下，對于不同的樣本點，方差各不相同，方差越小，其樣本值偏離總體回歸線的幅度越小，樣本點代表性越強，反之樣本點代表性越弱，因此，在擬合存在異方差模型的回歸線時，對不同的

應該區(qū)別對待。從樣本角度而言，就是殘差平方若越小，則在擬合回歸線中作用越大，應賦予較大權數(shù)，而殘差平方越大，作用越小，應賦予較小的權數(shù)，從而更好地反映

對殘差平方和的影響，在估計模型時使

最小。5.4異方差性的修正5.4.2加權最小二乘法的權數(shù)實際中，權數(shù)一般可以采用OLS法下的殘差絕對值（或殘差平方）的倒數(shù)（

或

），也可以根據(jù)Park檢驗、Glejser檢驗的結(jié)果分別取

（Park檢驗結(jié)果）、

（判定系數(shù)最大時的Glejser檢驗結(jié)果）模型變換法與加權最小二乘法關系容易證明，模型變換法與加權最小二乘法實際上是等價的。5.4異方差性的修正加權最小二乘法的軟件實現(xiàn)利用Eviews9.0軟件，可以很便捷的得到相關運算結(jié)果?；静僮鞑襟E為：第一步，利用LS命令或菜單方式估計回歸方程。第二步，利用上述檢驗方法，判別估計模型是否存在異方差性。第三步，利用GENR生成權重變量。如

GENR

第四步，利用WLS法估計模型。

命令方式：LS(W=W1)YC解釋變量

菜單方式：①在利用OLS法估計的方程窗口點Estimate按鈕；②在彈出的方程說明中點擊Option按鈕；③在參數(shù)設置框中輸入權重變量，點擊ok返回方程對話框，再點擊OK，系統(tǒng)將采用WLS法估計模型。5.4異方差性的修正5.5.1樣本數(shù)據(jù)和模型設定2020年我國高技術制造業(yè)新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出及其銷售收入如表5-1所示，試建立回歸模型分析新產(chǎn)品銷售收入與新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出的數(shù)量聯(lián)系。

5.5案例分析……數(shù)據(jù)來源：《中國統(tǒng)計年鑒-2021》，中國統(tǒng)計出版社，2021.5.5.1樣本數(shù)據(jù)和模型設定根據(jù)新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出X和新產(chǎn)品銷售收入Y樣本數(shù)據(jù)繪制的散點圖（如圖5-5），從散點圖可以看出，新產(chǎn)品開發(fā)經(jīng)費支出X和新產(chǎn)品銷售收入Y大體上呈現(xiàn)出線性相關關系，因而設定理論模型為：

5.4案例分析5.5.2利用OLS法估計模型模型命令方式:LSYCX菜單方式：主菜單Quick/EstimateEquation，進入EquationSpecification窗口，在空白處鍵入“ycx”，點擊ok，得樣本回歸估計結(jié)果，見圖。由圖可得到回歸模型：

5.4案例分析5.5.3異方差性檢驗1.圖示檢驗5.4案例分析Y對X的相關圖對X的相關圖G-Q檢驗對解釋變量排序后，剔除中間5個觀測值，選取樣本1和樣本2分別回歸：計算F統(tǒng)計量，查F分布表得臨界值為

，由于

F=

，故拒絕原假設，表明模型存在異方差。5.4案例分析3.White檢驗最小二乘法估計模型，命令為lsycx，得到圖5-4估計結(jié)果，在方程窗口中點擊view/residualdiagnostics/heteroskedasticitytests，進入異方差檢驗選擇框，選擇White檢驗，可得：由于

，故拒絕原假設，認為模型存在異方差。5.4案例分析4.Park檢驗用最小二乘法估計模型，命令為LSYCX得到回歸方程窗口如圖5-4估計結(jié)果，選擇View\ResidualDiagnostic\HeteroskedasticityTests\Harvey,在對話窗口Regressors中加入“clog(x)”,即可得到輔助回歸方程和相關檢驗統(tǒng)計量值。5.4案例分析從圖可以看出,輔助回歸模型F統(tǒng)計量為12.1943,其伴隨概率P為0.0028,小于顯著性水平0.05,故拒絕原假