第19章 幾何證明 壓軸題（解析版）-A4

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第頁第19章幾何證明壓軸題一、單選題1．（24-25八年級上·上海徐匯·期中）如圖，在中，，角平分線BD，CE交于點O，于點F．下列結論：①BE；②；③；④；其中正確結論是（

）A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①③【答案】A【分析】如圖1過作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式得到，故①正確；根據(jù)角平分線的定義得到，，求得，于是得到，故②錯誤；在上截取，連接，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，，于是得到，故③正確；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，，于是得到，故④正確．【詳解】解：如圖1過作于，平分，，，，故①正確；，，、分別平分、，且、相交于點，，，，，，，，，故②錯誤；在上截取，連接，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，故③正確；，，，，，，故④正確，故選：A．【點睛】此題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論等知識，解題的關鍵是正確地作出所需要的輔助線，構造全等三角形，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題．2．如圖，在平面直角坐標系中，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點B、O分別落在點、處，點在x軸上，再將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點在x軸上，依次進行下去……，若點，．則點的坐標是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)已知求出三角形三邊長度，然后通過旋轉(zhuǎn)發(fā)現(xiàn)，…，由圖象可知點在x軸上，，根據(jù)這個規(guī)律可以求得的坐標．【詳解】解：由圖象可知點在x軸上，，，，，，．故選C．【點睛】本題考查坐標與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識，解題的關鍵是從特殊到一般探究規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．二、填空題3．（22-23八年級上·上海長寧·期末）我們把不等邊三角形一條邊上的中線與這條邊上的高的夾角叫做該三角形的“偏離角度”．已知直角三角形的“偏離角度”為，斜邊長為4，那么它的面積等于．【答案】或【分析】本題考查了直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，三角形中線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．分情況討論：①如圖，當直角三角形斜邊上的中線與它高夾角為時，可知，再利用直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，得到，利用勾股定理求得，即可得到答案；②如圖，當直角三角形直角邊上的中線與它高夾角為時，可得到，利用勾股定理求得，即可得到答案．【詳解】解：①如圖，在中，為斜邊的高，為斜邊的中線，,為斜邊的中線，又，，即②如圖，在中，為直角邊的中線，根據(jù)題意，為直角邊邊的中線，即解得：綜上，直角三角形的面積為或故答案為：或．4．（2023·上海虹口·一模）我們規(guī)定：如果一個三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”．如圖，已知直線，與之間的距離是3，“等高底”的“等底”在直線上（點在點的左側），點在直線上，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應點分別為點，那么的長為．【答案】或【分析】根據(jù)題意分情況畫出相應圖，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)找到線段對應關系求解即可．【詳解】解：當如下圖所示時，，，點到直線的距離為，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，；當如下圖所示時，，，點到直線的距離為，，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，，，，在中，，故答案為：或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、勾股定理、二次根式的運算等知識，分情況討論并畫出相應圖像是解題關鍵．5．（20-21八年級上·上海普陀·期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，點D為邊BC上一點，將△ACD沿直線AD翻折得到△AED，點C的對應點為點E，聯(lián)結BE，如果△BDE是以BD為直角邊的等腰直角三角形，那么BC的長等于．【答案】12或【分析】根據(jù)題意可知，需要分兩種情況，，，畫出對應的圖形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：①當時，如圖，此時，四邊形是正方形，則，又是等腰直角三角形，屬于，所以；②當時，如圖，設，則，，由折疊可知，，由題意可知，，，，即是等腰直角三角形，，，，，解得，．故答案為：12或．【點睛】本題考查了翻折變換、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想解決問題．6．（上海金山·期末）已知,在△ABC中,BC=3,∠A=22.5°,將△ABC翻折使得點B與點A重合,折痕與邊AC交于點P,如果AP=4,那么AC的長為【答案】【分析】過B作BF⊥CA于F，構造直角三角形，分兩種情況討論，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性質(zhì)，即可得到AC的長．【詳解】分兩種情況：①當∠C為銳角時，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，由折疊可得，折痕PE垂直平分AB，∴AP=BP=4，∴∠BPC=2∠A=45°，∴△BFP是等腰直角三角形，∴BF=DF=，又∵BC=3，∴Rt△BFC中，CF=，∴AC=AP+PF+CF=5+；②當∠ACB為鈍角時，如圖所示，過B作BF⊥AC于F，同理可得，△BFP是等腰直角三角形，∴BF=FP=，又∵BC=3，∴Rt△BCF中，CF=，∴AC=AF-CF=3+.故答案為：5+或3+．【點睛】本題主要考查了折疊問題以及勾股定理的運用，解決問題的關鍵是分兩種情況畫出圖形進行求解．解題時注意：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等．7．（上海閔行·期末）在中，，，點是中點，點在上，，將沿著翻折，點的對應點是點，直線與交于點，那么的面積．【答案】或【分析】通過計算E到AC的距離即EH的長度為3，所以根據(jù)DE的長度有兩種情況：①當點D在H點上方時，②當點D在H點下方時，兩種情況都是過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AH,DH的長度，進而可求AD的長度，然后利用角度之間的關系證明，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出GQ的長度，最后利用即可求解．【詳解】①當點D在H點上方時，過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，，點是中點，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，；②當點D在H點下方時，過點E作交AC于點E，過點G作交AB于點Q，，點是中點，．∵，．，，．，，，，

，．由折疊的性質(zhì)可知，，，，．又，．，．，即，．，，綜上所述，的面積為或．故答案為：或．【點睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，含30°的直角三角形的性質(zhì)，能夠作出圖形并分情況討論是解題的關鍵．8．如圖，在中，，于點，平分，且于點，與相交于點，是邊的中點，連接與相交于點，下列結論：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正確的是．【答案】①②④【分析】證明即可判斷①，證明即可判斷②；過作于點，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，結合，可得，又可得，即可判斷③，證明、，可判斷④．【詳解】解：①∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，在和△FBD中，，∴，∴，故①正確；②∵平分，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴，故②正確；③如圖所示，過作于點，∵是邊的中點，，∴，即，∴，又∵平分，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，故③錯誤；④∵，，，∴，又∵，∴，∴，∴為等腰三角形，∵，∴，∴為等腰三角形，即、都為等腰三角形，故④正確，∴正確的是①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題是三角形綜合題，考查等腰三角形的判定性質(zhì)，等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積等知識點的綜合運用，第三個問題難度比較大，添加輔助線是解題的關鍵．9．如圖，在等腰梯形中，，，，，直角三角板含角的頂點放在邊上移動，直角邊始終經(jīng)過點，斜邊與交于點，若為等腰三角形，則的長為．

【答案】或或2【分析】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．分三種情況討論：①當時，過點D作于點G，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，易證四邊形是矩形，進而證明，得到，的長，由勾股定理求得，然后證明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的長；②當時，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進而得到，再利用，即可求出得長；③當時，利用等腰梯形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，求得，進而利用勾股定理，得出的長，再利用三角形內(nèi)角和定理，易證是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的長．【詳解】解：①如圖1，當時，過點D作于點G，

等腰梯形中，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，，在中，，，，，，，是等腰直角三角形，，在中，，；②如圖2，當時，

，等腰梯形中，，，，，，，，，，，；③如圖3，當時，

等腰梯形中，，，，，，在中，，，，，是等腰直角三角形，，在中，；綜上所述，CF的長為或或2．故答案為：或或2．10．（2023·江蘇蘇州中考）如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則．（結果保留根號）

【答案】/【分析】如圖，過作，交CA的延長線于點，設，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作，交CA的延長線于點，

設，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構建直角三角形是解本題的關鍵．11．如圖，在等邊中，，，，點從點出發(fā)沿方向運動，連接，以為邊，在的右側按如圖所示的方式作等邊，當點從點運動到點時，點運動的路徑長是．【答案】8【分析】連接，作于，如圖，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得，過點作，則，則點與點重合，所以，，接著證明得到，于是可判斷點運動的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當點在點時，作等邊三角形，則，當點在點時，作等邊三角形，作于，則△，所以，所以，于是得到當點從點運動到點時，點運動的路徑長為8．【詳解】解：連接，作于，如圖所示：為等邊三角形，，過點作，則，點與點重合，，，為等邊三角形，，，，，，在和中，，，，點從點運動到點時，點運動的路徑為一條線段，此線段到的距離為2，當點在點時，作等邊三角形，，則，當點在點時，作等邊三角形，作于，則△，，，當點從點運動到點時，點運動的路徑長為8．故答案是：8．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，也考查了等邊三角形的性質(zhì)．在解決問題時，關鍵要掌握點運動的軌跡，利用代數(shù)或幾何方法確定點運動的規(guī)律．12．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，過A作AEBC，且AE＝AB，AB上有一點F，連接EF．若EF＝AC，CD＝4BD，則＝．【答案】【分析】在CD上取一點G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點H，先證明△AEH≌△GAD，得EH=AD，AH=GD，再證明Rt△EHF≌Rt△ADC，得FH=CD，于是得AF=GC，則，得S△AEF=S△GAC，設GD=BD=m，則CD=4BD=4m，所以CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，則，，得，于是得到問題的答案．【詳解】解：如圖，在CD上取一點G，使GD=BD，連接AG，作EH⊥AB交BA的延長線于點H，∵AD⊥BC于點D，∴AG=AB，∠H=∠ADG=90°∴∠AGD=∠B，∵AE//BC，∴∠EAH=∠B，∴∠EAH=∠AGD，∵AE=AB，∴AE=AG，在△AEH和△GAD中，，∴△AEH≌△GAD（AAS），∴EH=AD，AH=GD，在Rt△EHF和Rt△ADC中，，∴Rt△EHF≌Rt△ADC（HL），∴FH=CD，∴FH-AH=CD-GD，∴AF=GC，∴，∴S△AEF=S△GAC，設GD=BD=m，則CD=4BD=4m，∴CG=4m-m=3m，BC=4m+m=5m，∴，∴，故答案為：．【點睛】此題考查平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、有關面積比問題的求解等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．三、解答題13．（22-23八年級上·上海長寧·期末）在中，已知，，點在射線上，連接，．(1)如圖1，若的垂直平分線經(jīng)過點，求的度數(shù)；(2)如圖2，當點在邊上時，求證：；(3)若，，請直接寫出的長．【答案】(1)(2)見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可推出，得到，再利用三角內(nèi)角和可得到，求出，最后由，即可得到答案；（2）取的中點，連接，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得到，從而推出，再由，推出，從而得到，得證；（3）①當在邊上時，作于，由，推出，設，用表示出、、、、，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可；②當在的延長線上時，連接，作于，再取的中點，連接，先證明，同①，設，然后在中和在中利用勾股定理建立方程，求解即可．【詳解】（1）解：的垂直平分線經(jīng)過點又又，（2）證明：如圖1，取的中點，連接又（3）解：如圖2，當在邊上時，作于，由（2）可知，設，，，在中，在中，解得：，即如圖3，當在的延長線上時，連接，作于，再取的中點，連接．由題意，又設，．在中，在中，解得：，即綜上，的長為或．故答案為：的長為或．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識點并能作出合適的輔助線是解題的關鍵．14．（23-24八年級上·上海長寧·期末）已知在，，點P在邊上，連接．(1)如圖1，如果點P在線段AB的垂直平分線上，求證：；(2)過點P作，交邊于點D，①如圖2，如果點P是線段的中點，且，求的度數(shù)；②填空：如果，，且是以為腰的等腰三角形，那么的長等于．【答案】(1)見解析(2)①30°；②或【分析】（1）由線段垂直平分線的性質(zhì)得，則，再證，得，即可得出結論；（2）①取BD的中點E，連接，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得，再證，得，則，即可解決問題；②分兩種情況，a、時，b、時，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求出的長即可．【詳解】（1）證明：∵點P在線段AB的垂直平分線上，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴；（2）解：①如圖2，取BD的中點E，連接，則，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，點P是線段的中點，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴，即的度數(shù)為30°；②∵，，，∴，分兩種情況：a、如圖3，時，由（1）可知，，過點P作于點M，則，∴，設，則，在和中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，∴；b、如圖4，時，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴；綜上所述，的長等于或，故答案為：或．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理以及分類討論等知識，本題綜合性強，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關鍵，屬于中考?？碱}型．15．（21-22八年級下·上海·期末）梯形中，，，，，點是中點，過點作的垂線交射線于點，的角平分線交射線于點，交直線于點．(1)當點與點重合時，求的長；(2)若點在線段上，，，求關于的函數(shù)關系式，并寫出函數(shù)定義域；(3)聯(lián)結、，當是以為腰的等腰三角形時，求的長．【答案】(1)(2)(3)的長為或或．【分析】（1）聯(lián)結，過作于，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理可得，然后證明四邊形ABHD是矩形，求出DH＝AB＝4，CH＝2，在中，由勾股定理可得CD的長；（2）聯(lián)結，過點作于，求出，，在中，由勾股定理可得，整理后可得答案；分情況討論：當在線段上時，當時，可證≌，過作于，在中，求出，即可求得；當時，設，可證≌（ASA），求出，然后在中，利用勾股定理可求AD；當點在射線上時，如圖4，此時，同理可得≌，過作交BC的延長線于，在中，求出CH即可解決問題．【詳解】（1）解：如圖，聯(lián)結，過作于，，平分，，，，，∴在中，，∵，，∴∠A＝180°－90°＝90°，又∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴DH＝AB＝4，AD＝BH＝3，∴CH＝5－3＝2，∴在中，；（2）如圖，聯(lián)結，過點作于，是的垂直平分線，，，，，，，，，在中，由得：，整理得：，∵點與點重合時，AD＝3，∴，∴；（3）如圖，當在線段上時，當時，是的垂直平分線，，，∴∠PED＝∠PDE，∠PDC＝∠PCD，∵∠PED＋∠PDE＋∠PDC＋∠PCD＝180°，，平分，，又∵CE＝CE，≌（AAS），，，，過作于，在中，，；當時，，設，則，，，，，，，又∵，≌（ASA），，，，，∴在中，，（負值已舍去）；當點在射線上時，如圖4，此時，，同理可得：≌（AAS），，過作交BC的延長線于，在中，，，；綜上所述：的長為或或．【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，綜合性較強，熟練掌握分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用是解題的關鍵．16．（21-22八年級上·上海松江·期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，點D是邊AC上一點（不與點A、C重合），EF垂直平分BD，分別交邊AB、BC于點E、F，聯(lián)結DE、DF．(1)如圖1，當BD⊥AC時，求證：EF=AB；(2)如圖2，設CD=x，CF=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義域；(3)當BE=BF時，求線段CD的長．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）先證明再證明是等邊三角形，結合垂直平分線的性質(zhì)求解再求解即可得到結論；（2）如圖，當過點，是的垂直平分線，求解如圖，當過點則所以分別在AB、BC上時，則如圖，過作于再利用勾股定理與線段的和差寫函數(shù)關系式，整理后可得答案；（3）先畫出符合題意的圖形，再證明設則由再列方程解方程即可.【詳解】（1）解：∠ABC=90°，∠C=30°，AB=1，是的垂直平分線，是等邊三角形，而（2）解：如圖，當過點，是的垂直平分線，則如圖，當過點則所以分別在AB、BC上時，則如圖，過作于同理：整理得：（3）解：當同理可得：設則【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的混合運算，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的掌握以上知識是解本題的關鍵.17．（21-22八年級上·上海松江·期末）如圖，在直角坐標平面內(nèi)，正比例函數(shù)的圖像與一個反比例函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的交點為點A，過點A作AB⊥x軸，垂足為點B，AB=3．(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)在直線AB上是否存在點C，使點C到直線OA的距離等于它到點B的距離？若存在，求點C的坐標；若不存在，請說明理由；(3)已知點P在直線AB上，如果△AOP是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．【答案】(1)(2)或(3)的坐標為：或或或【分析】（1）先求解的坐標，再代入反比例函數(shù)解析式，從而可得答案；（2）分兩種情況討論：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則再利用角平分線的性質(zhì)與全等三角形的性質(zhì)，勾股定理可得答案；（3）畫出圖形，分4種情況討論，當時，當時，當時，當時，再結合等腰三角形的性質(zhì)與勾股定理可得答案.【詳解】（1）解：AB⊥x軸，AB=3，則設反比例函數(shù)為所以反比例函數(shù)為（2）解：存在，或；理由如下：如圖，作的角平分線交于過作于而軸，則則而如圖，作的角平分線交于過作于交軸于則而而設解得：綜上：或（3）解：如圖，為等腰三角形，當時，當時，當時，當時，設解得：綜上：的坐標為：或或或【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解反比例函數(shù)的解析式，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應用，二次根式的化簡與二次根式的除法運算，熟練的運用以上知識解題是關鍵.18．（20-21八年級上·上海浦東新·期末）已知：如圖，在△ABC紙片中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，按圖所示的方法將△ACD沿AD折疊，使點C恰好落在邊AB上的點C′處，點P是射線AB上的一個動點．(1)求折痕AD長．(2)點P在線段AB上運動時，設AP＝x，DP＝y(tǒng)．求y關于x的函數(shù)解析式，并寫出此函數(shù)的定義域．(3)當△APD是等腰三角形時，求AP的長．【答案】(1)(2)y關于x的函數(shù)解析式為(3)PA的值為或或6【分析】（1）根據(jù)題意由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設CD=DC′=x，在Rt△BDC中，根據(jù)BD2=C′D2+C′B2，構建方程即可解決問題；（2）根據(jù)題意直接利用勾股定理進行分析即可解決問題；（3）根據(jù)題意分三種情形：①PA=PD，②AP=AD，③當PD=AD時，分別求解即可．【詳解】（1）解：如圖1中，由翻折可知：CD=DC′，AC=AC′=3，設CD=DC′=x，在Rt△BDC中，∵BD2=C′D2+C′B2，∴（4-x）2=x2+22，解得：x=，∴．（2）如圖2中，當點P在C'D左側，AC=AC'=3，則PC'=3-x，∵，∴．當點P在C'D右側，同理可得．∴y關于x的函數(shù)解析式為．（3）如圖3中，①當PA=PD時，設PA=PD=m，在Rt△PCD中，∵PD2=DC′2+C′P2，∴，解得：，∴PA=．②當AD=AP′=時，即P在P′時，△ADP是等腰三角形，③當PD=AD時，點P在AB的延長線上．如圖4，AP=2AC'=6．綜上所述，滿足條件的PA的值為或或6．【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查翻折變換，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會由分類討論的思想思考問題．19．（19-20八年級上·上海奉賢·期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，CB=CD，點E、F分別在AB、AD上，AE=AF．連接CE、CF．（1）求證：CE=CF；（2）如果∠BAD=60°，CD=．①當AF=時，設，求與的函數(shù)關系式；（不需要寫定義域）②當AF=2時，求△CEF的邊CE上的高．【答案】（1）見解析；（2）①；②．【分析】（1）先證明△ACD≌△ACB，再證明△CAF≌△CAE即可；（2）①分別求出AO，EO和CO的長，再根據(jù)三角形面積公式求解即可；②先求出CE的長，再求出△CEF的面積即可．【詳解】（1）證明：連接AC，∵∠ADC=∠ABC=90°，在Rt△ACD和RT△ACB中，，∴△ACD≌△ACB（HL），∴∠CAF=∠CAE，在△CAF和△CAE中，，∴△CAF≌△CAE(SAS)，∴CE=CF；（2）①設AC與EF交于點O，∵AE=AF，∠BAD=60°∴△AFE是等邊三角形，由（1）知∠CAF=∠CAE=30°，∴AC⊥FE，∵AF=x，∴EF=x，F(xiàn)O=，AO=，∵∠ADC=90°，∠CAF=30°，CD=，∴AC=，∴CO=-，∵，∴；②作FH⊥EC于H，∵△ACD≌△ACB，∠DAB=60°，∴AD=AB，∠CAD=∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠D=90°，CD=2，∴AC=2CD=4，AD=，∴DF=AD-AF=4，CE=CF==，由（2）①可得：當AF=2時，S△EFC=，又∵S△EFC=CE?FH，∴3=×2FH，∴FH=，∴△CEF的邊CE上的高為．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，學會轉(zhuǎn)化的思想，求高想到求面積，屬于中考?？碱}型．20．（19-20八年級上·上海浦東新·期末）已知：如圖，，是上一點，以為圓心，長為半徑作弧，交于點，聯(lián)結.求證：.【答案】見解析【分析】解法一：取的中點,聯(lián)結，證得AC=AF,由得到是等邊三角形，求出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，結論得到證明.解法二：過作邊上的高，設，由求出，AC=2m，由AB=2AC=4m，求出BH、BC，利用勾股定理求得BC，由此即可利用勾股定理的逆定理證得△ABC是直角三角形，且.【詳解】解法一：取的中點,聯(lián)結.∵∴∵,∴是等邊三角形，∴∵∴∴∵∴∴解法二：過作邊上的高.設.中，,∴,∴,∴∵,∴,∴△ABC是直角三角形，且.【點睛】此題考查勾股定理的逆定理，判斷一個角是直角時，可以用勾股定理的逆定理，證明該角所在的三角形是直角三角形，由此證明結論.21．（22-23九年級上·廣東清遠·期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知四邊形是矩形，且，，．反比例函數(shù)（）的圖象分別交、于點E、點F．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)連接、、，求的面積；(3)是否存在x軸上的一點P，使得是不以點P為直角頂點的直角三角形？若存在，請求出符合題意的點P的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)，【分析】（1）根據(jù)題意得到點的坐標為，根據(jù)待定系數(shù)法可得的值，即可；（2）求出點與點的坐標，然后根據(jù)三角形面積公式即可求出；（3）設點坐標為，求出點與點的坐標，運用分類討論思想結合勾股定理解決問題．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，，，，，，所以點的坐標為，點在反比例函數(shù)上，代入，得到，故反比例函數(shù)解析式為；（2）如圖，，，時，，，即，，，，；（3）如圖，

，設所求點坐標為，，，，，，當時，，即，，解得，，故；當時，，即，，解得，，故，綜上所述；存在點，坐標為，．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與矩形的綜合性問題，涉及到反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、坐標表與圖形的關系、勾股定理等知識，分類討論思想的運用是解決最后一問的關鍵．22．（21-22八年級上·上海·期末）已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，連接BD、EC，點M為EC的中點，連接BM、DM．(1)如圖1，當點D、E分別在AC、AB上時，求證：△BMD為等腰直角三角形；(2)如圖2，將圖1中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°，使點D落在AB上，此時（1）中的結論“△BMD為等腰直角三角形”還成立嗎？請對你的結論加以證明；(3)如圖3，將圖2中的△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，△BMD為等腰直角三角形的結論是否仍成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，證明見解析；(3)成立，理由見解析【分析】（1）根據(jù)∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，利用直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得BM=DM=MC，即有∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，則可得∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得，∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠ACB=245=90，即可證得△BMD為等腰直角三角形；（2）延長DM交BC于N，先證明△EMD≌△CMN，即有DM=MN，ED=CN，進而有AD=CN，BD=BN，則有BM=DN=DM，可得BM⊥DN，即∠BMD=90，則有△BMD為等腰直角三角形；（3）作交DM延長線于N，連接BN，先證明△EMD≌△CMN，根據(jù)（2）的方法同理可證得△BMD為等腰直角三角形．【詳解】（1）∵∠ABC=∠CDE=90°，點M為EC的中點，∴BM=MC=EC，DM=MC=EC，∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，∴∠MBC+∠MDC=∠MCB+∠MCD=∠ACB，∵∠EMB=∠MBC+∠MCB，∠EMD=∠MDC+∠MCD，∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=∠MBC+∠MCB+∠MDC+∠MCD=2∠ACB=245=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（2）成立；如圖1，延長DM交BC于N，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，∴BA=BC，DE=DA，∠EDB=90，∴∠EDB=∠DBC，∴，∴∠DEM=∠NCM，∵M為EC中點，∴EM=CM，又∠EMD=∠CMN，∴△EMD≌△CMN，∴DM=MN，ED=CN，∴AD=CN，∴BD=BN，∴BM=DN=DM，∴BM⊥DN，即∠BMD=90，∴△BMD為等腰直角三角形；（3）成立；如圖2，作交DM延長線于N，連接BN，∵，∴∠BAC=∠MCN=45，∴∠E=∠MCN=45，∵∠DME=∠NMC，EM=CM，∴△EMD≌△CMN，∴CN=DE=AD，MN=DM，又∵∠DAB=180-45-45=90，∠BCN=45+45=90，∴∠DAB=∠BCN，又BA＝BC，∴△DBA≌△NBC(SAS)，∴∠DBA=∠NBC，BD=BN；∴∠DBN=∠ABC=90，∴△DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊中線，∴BM⊥DM，∠DBM=∠BDM=45，BM=DM=MN，即△BMD為等腰直角三角形．【點睛】本題是一道三角形的綜合題，主要考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行的性質(zhì)等知識，充分利用直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的性質(zhì)是解答本題的關鍵．23．（23-24八年級上·上?！るA段練習）若在中，，，，，則試用兩種方法證明．【答案】見解析【分析】方法一：用4個全等的拼成如圖所示的“弦圖”，由圖可得：大正方形的面積為，小正方形的面積為，直角三角形的面積為，根據(jù)大正方形的面積建立等式即可得到答案；方法二：用兩個全等的和一個等腰直角三角形構成直角梯形，由全等三角形的性質(zhì)可得，，，，，用兩種方法表示出梯形的面積，建立等式即可得出答案．【詳解】證明：方法一：如圖，用4個全等的拼成如圖所示的“弦圖”，，由圖可得：大正方形的面積為，小正方形的面積為，直角三角形的面積為，，；方法二：如圖，用兩個全等的和一個等腰直角三角形構成直角梯形，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了勾股定理的證明、全等三角形的性質(zhì)、掌握正方形、三角形、梯形的面積的計算是解此題的關鍵．24．（20-21八年級下·上海·階段練習）在直角梯形中，，，，聯(lián)結，如圖（a）．點沿梯形的邊，按照點移動，設點移動的距離為，．（1）當點從點移動到點時，與的函數(shù)關系如圖（b）中折線所示．則______，_____，_____．（2）在（1）的情況下，點按照點移動（點與點不重合），是否能為等腰三角形？若能，請求出所有能使為等腰三角形的的值；若不能，請說明理由．【答案】（1）5，3，1；（2）2或或或【分析】（1）由圖（b）得：AB＝5，作DE⊥AB于E，則DE＝BC＝3，CD＝BE，由勾股定理求出AE＝4，得出CD＝BE＝AB?AE＝1；（2）分情況討論：①點P在AB邊上時；②點P在BC上時；③點P在AD上時；由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得出答案．【詳解】解：（1）由圖（b）得：AB＝5，AB＋BC＝8，∴BC＝3，作DE⊥AB于E，如圖1所示：則DE＝BC＝3，CD＝BE，∵AD＝AB＝5，∴AE＝＝4，∴CD＝BE＝AB?AE＝1，故答案是：5，3，1；（2）解：可能；理由如下：分情況討論：①點P在AB邊上時，當DP＝DB時，BP＝2BE＝2，當BP＝BD時，BP＝BD＝；②點P在BC上時，存在PD＝PB，設PD=BP=m，則CP=3-m，∴，解得：m=，∴BP=；③點P在AD上時，當BP＝BD時，則BP＝BD=，當時，則AP=5-，過點P作PM⊥AB，則sinA=，cosA=，∴PM=（5-）=3-，AM=（5-）=4-，∴BM=5-（4-）=1+，∴PB==，綜上所述：△BDP可能為等腰三角形，能使△BDP為等腰三角形的的值為：2或或或．【點睛】本題是四邊形綜合題目，考查了梯形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度．25．（24-25九年級上·湖北武漢·階段練習）已知如圖，點D是外一點，，．(1)如圖（1），若，，求證：；(2)如圖（2），若，，，，求證：；(3)如圖（3），若，，，，則__________．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）通過證明，即可求證；（2）延長交于，連接，通過證明，即可求證；（3）過在的上方作，，連接，，利用前面的結論以及勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：，∴，又∵，，∴，∴．（2）證明：延長交于，連接，如下圖：∵，∴，又∵，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴；（3）解：過在的上方作，，連接，，如下圖：則，設，交于點，，交于點，由（1）可得，則，，∵，∴，又∵，∴，，∴，∴，由勾股定理可得：，，∴，解得：或（不符合題意，舍去），∴，∴．【點睛】本題考查了三角形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，一元二次方程的解法，正確作出輔助線是解題的關鍵．26．（23-24八年級上·浙江寧波·期中）在等邊的邊上各取一點P、Q，相交于點O．(1)若，求證；(2)在（1）的條件下，當時，求的邊長；(3)連接，若，，求的值．【答案】(1)見解析(2)1+(3)或【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識點，利用高相等的兩個三角形面積之比等于底之比是解題的關鍵，（1）利用證明，再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明結論；（2）由（1）知，則，作于H，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，進而得到即可解答；（3）分或兩種情形，利用高相同的兩個三角形面積之比等于底之比求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴．（2）解：由（1）知，，∴，∴，如圖：作于H，∵，∴，∴，∴的邊長為．（3）解：如圖，當時，∵，∴，∴，此時，∴，則，∴，∴，∴的值為；如圖，當時，由等邊三角形的對稱性知，當時，仍然有，同理可得的值為．綜上所述：的值為或．27．（24-25八年級上·江蘇揚州·階段練習）在中，，．若點D在的平分線所在的直線上．(1)如圖1，當點D在的外部時，過點D作于E，作交的延長線于F，且．①求證：點D在的垂直平分線上；②________；(2)如圖2，當點D在線段上時，若，平分，交于點E，交與點F，過點F作，交于點G．①________；②若，，求的長度；(3)如圖3，過點A的直線，若，，點D到三邊所在直線的距離相等，則點D到直線l的距離是________．【答案】(1)①見解析；②1(2)①；②(3)2或6．【分析】本題考查了線段垂直平分線和角平分線的性質(zhì)，以及三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練使用各性質(zhì)定理是解決問題的關鍵．（1）①點D在的平分線所在的直線上,過點D作于E，作交的延長線于F，得出，借助，得到，即可證明點D在的垂直平分線上；②通過證出，從而有，即可得出；（2）①先利用角平分線的定義求得，再利用三角形的外角性質(zhì)求得，即可求解；②延長交于H，證明，得到，再由，即可求解；（3）分2種情況討論，分別畫出圖形利用角平分線的性質(zhì)結合圖形求解即可．【詳解】（1）①證明：連接，∵點D在的平分線所在的直線上,過點D作于E，作交的延長線于F，∴，在和中，，∴，∴，∴點D在的垂直平分線上；②由①知：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：1；（2）①∵平分，平分，，∴，即，∴，∵，即，∴；故答案為：；②延長交于H，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）當點D在內(nèi)部時，如圖：∵，∴，∴，點D到直線l的距離是；當點D在的下方時，如圖：設點D到三邊的距離為x，由題意得：，∴，∴，點D到直線l的距離是；綜上，點D到直線l的距離是2或6．故答案為：2或6．28．（20-21八年級上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，點是邊上的動點（不與點、重合），把沿過點的直線折疊，點的對應點是點，折痕為．

(1)若點恰好在邊上．①如圖1，當時，連接，求證：．②如圖2，當，且，，求與的周長差．(2)如圖3，點在邊上運動時，若直線始終垂直于，的面積是否變化？請說明理由．【答案】(1)①證明見解析；②(2)定值，理由見解析【分析】（1）①如圖1中，連接，．交于．證明點是的中點，即可解決問題．②設，則，，在中，利用勾股定理構建方程求出即可解決問題．（2）如圖3中，連接，證明，利用等高模型解決問題即可．【詳解】（1）解：①如圖1中，連接，．交于．

是由翻折得到，垂直平分線段，，，，，，，，，，．②如圖2中，設，則，，

，，，，，解得，，的周長的周長．（2）解：如圖3中，結論：定值．理由：連接，

與關于直線對稱，，，，定值．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，翻折變換，平行線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)．29．（22-23八年級上·河北邯鄲·期中）已知和，其中，．

(1)將和按如圖1所示位置擺放，點落在上，的延長線交于點，連接，且平分．①求證；②猜想，與之間的數(shù)量關系是__________；(2)若將圖1中的按如圖2所示位置擺放，交于點，的延長線交于點，，連接，且平分．試判斷（1）中②猜想的結論還成立嗎？并說明理由；(3)若將圖1中的按如圖3所示位置擺放，，分別交的延長線于點，，連接，且平分．你認為（1）中②猜想的結論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請直接寫出，與之間的數(shù)量關系．【答案】(1)①證明見解析，②，證明見解析；(2)結論成立，證明見解析(3)②的結論不成立，結論為：，證明見解析【分析】（1）①由角平分線的性質(zhì)可得結論；②先證明，證明，可得，從而可得結論；（2）證明，再證明，可得．證明，可得，從而可得結論；（3）證明，，可得，證明，可得．再證明，可得，結合，而，從而可得結論．【詳解】（1）證明：①∵平分，，∴，．②∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，而，∴；（2）∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；（3）②的結論不成立，結論為：，理由如下：∵平分，，∴，，∵，∴，∴．∵，，∴，∴，∵，而，∴；【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定方法是解本題的關鍵．30．（21-22八年級下·山西運城·期末）如圖，在和中，，，，CE的延長線交BD于點F．(1)求證：．(2)若，請直接寫出的度數(shù)．(3)過點A作于點H，求證：．【答案】(1)見解析(2)50°(3)見解析【分析】(1)根據(jù)SAS可證得；（2）由，可得，故，即可得出的度數(shù)；（3）連接AF，過點A作于點J．由可得：，，即可得出．可證得，得：，由，可得出，即可證得結論．【詳解】（1）證明：∵．∴．在和中，，∴．（2）∵，∴，∴．∴，∵，∴．故答案為：50°．（3）證明：如圖，連接AF，過點A作于點J．∵，∴，，∵，．∴，∴．在和中，，∴，∴．在和中，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等的證明和性質(zhì)，掌握全等的證明和性質(zhì)是解題的關鍵．31．（20-21八年級下·四川達州·期末）如圖，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）如圖①，連接BE、CD，求證：BE＝CD；（2）如圖②，連接BD、CD，若∠BAC＝∠DAE＝60°，CD⊥AE，AD＝3，CD＝5，求BD的長；（3）如圖③，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C點恰好落在DE上，試探究CD、CE和CA之間的數(shù)量關系，并加以說明．【答案】（1）見解析；（2）；（3）2AC2＝CD2+CE2，理由見解析【分析】（1）先判斷出∠BAE＝∠CAD，進而得出△ACD≌△ABE，即可得出結論；（2）先求出∠CDA＝∠ADE＝30°，進而求出∠BED＝90°，最后用勾股定理即可得出結論；（3）連接BE，由等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可得BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，由勾股定理可得2AC2＝CD2+CE2．【詳解】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD；又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ACD≌△ABE（SAS），∴CD＝BE；（2）如圖②，連接BE，∵AD＝AE，∠DAE＝60°，∴△ADE是等邊三角形，∴DE＝AD＝3，∠ADE＝∠AED＝60°，∵CD⊥AE，∴∠CDA＝∠ADE＝×60°＝30°，∵由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD＝5，∠BEA＝∠CDA＝30°，∴∠BED＝∠BEA+∠AED＝30°+60°＝90°，即BE⊥DE，∴．（3）2AC2＝CD2+CE2，理由如下：連接BE，∵AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠D＝∠AED＝45°，由（1）得△ACD≌△ABE，∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°，∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE，在Rt△BEC中，BC2＝BE2+CE2，在Rt△ABC中，AB2+AC2＝BC2，∴2AC2＝CD2+CE2．【點睛】此題考查了等腰直角三角形、全等三角形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握相關基本性質(zhì)是解題的關鍵．32．（20-21七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）在中，．（1）如圖1、求證：：（2）如圖2，D為AB上一點，連接CD，E為CD中點，過點E作于點E，連接，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，過點F作于點H，連接AF，若AF∥BC，F(xiàn)H=4，CH=20，BD=10，求的面積【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）30【分析】（1）過點A作于點，只需要證明即可得到答案；（2）只需要證明即可得到答案；（3）過點作延長線于點，然后證明，，然后計算求解即可得到答案.【詳解】解：（1）證明：過點A作于點，，，在和中，（2）證明：，，為中點，在和中，（3）過點作延長線于點，，，，，在和中，在和中，，，，的面積．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的面積公式，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定.33．（19-20八年級上·北京海淀·期中）如圖，在中，，平分線交于點，點為上一動點，過作直線于，分別交直線AB、、于點、、．（1）當直線經(jīng)過點時（如圖2），求證：；（2）當是線段的中點時，寫出線段CE和線段CD之間的數(shù)量關系，并證明；（3）請直接寫出、CE和CD之間的數(shù)量關系．【答案】（1）見解析；（2）CD=2CE，證明見解析；（3）當點M在線段BC上時，CD=BN+CE；當點M在BC的延長線上時，CD=BN-CE；當點M在CB的延長線上時，CD=CE-BN．【分析】（1）連接ND，先由已知條件證明DN=DC，再證明BN=DN即可；（2）當M是BC中點時，CE和CD之間的等量關系為CD=2CE，過點C作CN'⊥AO交AB于N'．過點C作CG∥AB交直線l于G，再證明△BNM≌△CGM問題得證；（3）BN、CE、CD之間的等量關系要分三種情況討論：①當點M在線段BC上時；②當點M在BC的延長線上時；③當點M在CB的延長線上時；由（2）即可得出結論．【詳解】（1）證明：連接ND，如圖2所示：∵AO平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵直線l⊥AO于H，∴∠AHN=∠AHE=90°，∴∠ANH=∠AEH，∴AN=AC，∴NH=CH，∴AH是線段NC的中垂線，∴DN=DC，∴∠DNH=∠DCH，∴∠AND=∠ACB，∵∠AND=∠B+∠BDN，∠ACB=2∠B，∴∠B=∠BDN，∴BN=DN，∴BN=DC；（2）解：當M是BC中點時，CE和CD之間的數(shù)量關系為CD=2CE，理由如下：過點C作CN'⊥AO交AB于N'，過點C作CG∥AB交直線l于點G，如圖3所示：由（1）得