新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第14講 二次函數(shù)與冪函數(shù)（原卷版）

第14講二次函數(shù)與冪函數(shù)【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】知識點一冪函數(shù)(1)冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù).(2)常見的5種冪函數(shù)的圖象(3)冪函數(shù)的性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義；②當(dāng)α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；③當(dāng)α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減.知識點二二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).頂點式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，頂點坐標(biāo)為(m，n).零點式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2為f(x)的零點.(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象(拋物線)定義域R值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))對稱軸x＝－eq\f(b,2a)頂點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))奇偶性當(dāng)b＝0時是偶函數(shù)，當(dāng)b≠0時是非奇非偶函數(shù)單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是減函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是增函數(shù)在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函數(shù)；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上是減函數(shù)【特別提醒】1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān).2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0))時恒有f(x)>0，當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0))時，恒有f(x)<0.【考點研習(xí)一點通】考點01：二次函數(shù)的解析式1.已知二次函數(shù)SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0且方程SKIPIF1<0有兩個相等實根．（1）求函數(shù)SKIPIF1<0的解析式；（2）當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，試求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值．考點02：二次函數(shù)圖象的識別2.對數(shù)函數(shù)且與二次函數(shù)在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像不可能是（）A． B．C． D．考點03：二次函數(shù)的單調(diào)性問題3.已知函數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）若函數(shù)SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）求函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最小值.考點04：二次函數(shù)的最值問題4.已知二次函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點分別是0和5，圖象開口向上，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上的最大值為12．（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最小值為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的解析式．考點05：二次函數(shù)的恒成立問題5.已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1，1]上恒小于零，求實數(shù)a的取值范圍．考點06：二次函數(shù)與函數(shù)零點問題6.已知函數(shù).（1）若的值域為，求關(guān)于的方程的解；（2）當(dāng)時，函數(shù)在上有三個零點，求的取值范圍.考點07：一元二次不等式恒成立問題7.設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．若對于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，求m的取值范圍．考點08：二次函數(shù)的綜合應(yīng)用8.已知函數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0).（1）討論函數(shù)SKIPIF1<0的奇偶性；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為偶函數(shù)時，若方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有實根，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍.考點09：冪函數(shù)的概念9.已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·xm2＋m－1，m為何值時，f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)二次函數(shù)；(4)冪函數(shù).考點10：冪函數(shù)的圖象10.若四個冪函數(shù)，，，在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則、、、的大小關(guān)系正確的是（）A． B．C． D．考點11：冪函數(shù)的性質(zhì)11.已知定義在SKIPIF1<0上的冪函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為實數(shù)）過點SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關(guān)系為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0考點12：冪函數(shù)綜合問題12.（2020·江西省南康中學(xué)高一月考）已知冪函數(shù)滿足．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若函數(shù)，是否存在實數(shù)使得的最小值為0？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（3）若函數(shù)，是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上的值域為？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．【考點易錯】易錯01冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.已知α∈eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2，－1，－\f(1,2)))，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，2，3)).若冪函數(shù)f(x)＝xα為奇函數(shù)，且在(0，＋∞)上遞減，則α＝______.【變式1-1】已知點(m,8)在冪函數(shù)f(x)＝(m－1)xn的圖象上．設(shè)a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))，b＝f(lnπ)，c＝f(2eq\s\up8(－eq\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)<c<bB．a(chǎn)<b<cC．b<c<aD．b<a<c易錯02求二次函數(shù)的解析式2.已知二次函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(0)＝3，對?x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，則f(x)＝________.【變式2-1】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式．易錯03二次函數(shù)的圖象及應(yīng)用3.已知abc>0，則二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c的圖象可能是()【變式3-1】如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3,0)，對稱軸為直線x＝－1.下面四個結(jié)論中正確的是()A．b2<4ac B．2a－b＝1C．a(chǎn)－b＋c＝0 D．5a<b易錯04二次函數(shù)的單調(diào)性4.已知函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3,0) B．(－∞，－3]C．[－2,0] D．[－3,0]【變式4-1】函數(shù)f(x)＝x2－bx＋c滿足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，則f(bx)與f(cx)的大小關(guān)系是()A．f(bx)≤f(cx) B．f(bx)≥f(cx)C．f(bx)>f(cx) D．與x有關(guān)，不確定易錯05二次函數(shù)的最值問題5.已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值與最小值；(2)f(x)的最小值記為g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【變式5-1】若函數(shù)f(x)＝ax2＋20x＋14(a＞0)對任意實數(shù)t，在閉區(qū)間[t－1，t＋1]上總存在兩實數(shù)x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8成立，則實數(shù)a的最小值為________．易錯06二次函數(shù)中的恒成立問題6.已知函數(shù)f(x)＝x2－x＋1，在區(qū)間[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．【變式6-1】設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2－2x＋2，對于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，則實數(shù)a的取值范圍為________．【鞏固提升】1．已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．22．若冪函數(shù)f(x)＝xeq\s\up6(\f(m,n))(m，n∈N*，m，n互質(zhì))的圖象如圖所示，則()A．m，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)<1B．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)>1C．m是偶數(shù)，n是奇數(shù)，且eq\f(m,n)<1D．m是奇數(shù)，n是偶數(shù)，且eq\f(m,n)>13．定義域為R的函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝2f(x)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x∈[－2，－1]時，f(x)的最小值為()A．－eq\f(1,16) B．－eq\f(1,8)C．－eq\f(1,4) D．04．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域為[2，＋∞)，f(x)的值域為[k，＋∞)，則實數(shù)k的最大值為()A．0 B．1C．2 D．45．函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是冪函數(shù)，對任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，若a，b∈R，且a＋b>0，則f(a)＋f(b)的值()A．恒大于0 B．恒小于0C．等于0 D．無法判斷6．已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函數(shù)，若對任意實數(shù)x1，x2都有feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))≥eq\f(fx1＋fx2,2)，則f(x)的圖象可能是()7.．已知函數(shù)f