專題15三角恒等變換三角函數(shù)的應(yīng)用（重難點突破）（原卷版）-2021年秋季高一數(shù)學(xué)上學(xué)期講義（人教A版2019）

專題15三角恒等變換、三角函數(shù)的應(yīng)用一、考情分析二、考點梳理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，2正弦、余弦的誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）3和角與差角公式;;.=(由點的象限決定,).3二倍角公式及降冪公式..4三角函數(shù)的周期公式函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)，(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.三角函數(shù)的圖像：

三、題型突破重難點題型突破1和差公式的化簡及求值例1．（1）、（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡，得（）A． B． C． D．（2）、（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，，若，，則的值為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練11】、（2018·浙江諸暨·高一期末）化簡的結(jié)果為（）A． B． C． D．【變式訓(xùn)練12】、（2021·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高三月考）已知，則___________.【變式訓(xùn)練13】、（2021·浙江·寧波市北侖中學(xué)高一期中）已知，則（）A． B． C． D．例2、（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【變式訓(xùn)練21】、（2021·全國·高一課時練習(xí)）化簡：（1）；（2）；（3）；（4）.

重難點題型突破2二倍角公式與半角公式的順用與逆用例3、（1）、（2021·全國·高一課時練習(xí)）已知，則值為（）A． B．C． D．（2）、（2021·廣東·肇慶市第一中學(xué)高三月考）（多選題）下列三角式中，值為1的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練31】、（2020·江蘇·南京二十七中高二月考）（多選題）下列說法正確的是（）A． B．C． D．【變式訓(xùn)練32】、（2021·北京·東直門中學(xué)高三期中）若sin，則sin2α=_____________．【變式訓(xùn)練33】、（2021·江蘇·常州市武進(jìn)區(qū)禮嘉中學(xué)高一月考）若，則=_____．

重難點題型突破3簡單的三角恒等變換例4．（2021·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高三期中）設(shè)函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，的最小值為1，求函數(shù)的最大值及對應(yīng)的的值.例5．（2021·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)高三月考）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

【變式訓(xùn)練51】、（2020·福建省廈門市高三質(zhì)檢（理）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞減區(qū)間；【變式訓(xùn)練52】、（2021·北京·東直門中學(xué)高三期中）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）若在區(qū)間上的最小值為，求的最大值．

重難點題型突破4三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)例6．（1）、（2021·甘肅·靜寧縣第一中學(xué)二模（理））如圖，函數(shù)的部分圖象經(jīng)過點和，則（）A． B．C． D．（2）．（2021·湖南·長郡中學(xué)高三月考）（多選題）已知函數(shù)（，，，）的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A．的最小正周期為2B．的圖象關(guān)于點對稱C．的圖象關(guān)于直線對稱D．把的圖象向右平移個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖象【變式訓(xùn)練61】、（2021·四川省資中縣第二中學(xué)高三月考（文））已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的最小正周期及解析式；（2）設(shè)，求函數(shù)在區(qū)間上的值域．

【變式訓(xùn)練62】、（2021·河南·高三月考（理））函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）先將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度，再將橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求方程在區(qū)間上的實根之和.

重難點題型突破6三角函數(shù)的實際應(yīng)用例7．（1）如圖所示，“倫敦眼（TheLondonEye）”坐落在英國倫敦泰晤士河畔，是世界上首座觀景摩天輪，同時也是倫敦的地標(biāo).“倫敦眼”為慶祝新千年2000年而建造，因此又稱“千禧摩天輪”.乘客可以乘坐“倫敦眼”升上半空，鳥瞰倫敦.“倫敦眼”共有32個乘坐艙，按旋轉(zhuǎn)順序依次為1~33號（因宗教忌諱，沒有13號），并且每相鄰兩個乘坐艙與旋轉(zhuǎn)中心所成的圓心角均相等.已知乘客在乘坐艙距離地面最近時進(jìn)入，后距離地面的高度，“倫敦眼”的旋轉(zhuǎn)半徑為，最高點距地面，旋轉(zhuǎn)一周大約，現(xiàn)有甲乘客乘坐號乘坐艙，當(dāng)甲乘坐“倫敦眼”時，乙距離地面的高度為，則乙所乘坐的艙號為（）A．或 B．或C．或 D．或(2)、（2022·全國·高三專題練習(xí)）健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為和．心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)值．高三同學(xué)在參加高考之前需要參加統(tǒng)一的高考體檢，其中血壓、視力等對于高考報考有一些影響．某同學(xué)測得的血壓滿足函數(shù)式，其中為血壓為時間，其函數(shù)圖像如上圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．收縮壓為 B． C．舒張壓為 D．【變式訓(xùn)練71】、（2021·全國·高一課時練習(xí)）（多選）水車在古代是進(jìn)行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征．如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)；且旋轉(zhuǎn)一周用時60s．經(jīng)過后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標(biāo)為，其縱坐標(biāo)滿足．則下列結(jié)論正確的是（）A．，，B．當(dāng)時，點P到x軸的距離的最大值為6C．當(dāng)時，函數(shù)是減函數(shù)D．當(dāng)時，【變式訓(xùn)練72】、（2020·廣西桂林·高一期末）港口水深是港口重要特征之一，表明其自然條件和船舶可能利用的基本界限，如圖是某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數(shù)，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：）的最大值為__________.

例8．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）某港口海水的深度y(m)是時間t(時)(0≤t≤24)的函數(shù)，記為y＝f(t)．已知某日海水深度的數(shù)據(jù)如下：t(時)03691215182124y(m)10.013.09.97.010.013.010.17.010.0經(jīng)長期觀察，y＝f(t)的曲線可近似地看成函數(shù)的圖象．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝f(t)＝Asinωt＋b的振幅、和表達(dá)式；（2）一般情況下，船舶航行時，船底離海底的距離為5m或5m以上時認(rèn)為是安全的(船舶?？繒r，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底離水面的距離)為6.5m，如果該船希望在同一天內(nèi)安全進(jìn)出港，請問：它至多能在港內(nèi)停留多長時間(忽略進(jìn)出港所需時間)?

四、定時訓(xùn)練（30分鐘）1．（2021·重慶南開中學(xué)高三月考）___________.2．（2021·上海市第二中學(xué)高一期中）函數(shù)的最小正周期為________3．（2021·四川成都·高三月考（理））函數(shù)的部分圖象如圖中實線所示，圖中圓與的圖象交于?兩點，且在軸上，圓的半徑為，則___________.4．（2021·上?！ど贤馄謻|附中高一月考）設(shè)函數(shù)在的圖像大致如圖，則的最小正周期為______5．（2021·江蘇·濱?？h八灘中學(xué)高一期中）（多選題）下列等式成立的是（）A．B．C．D．6．（2021·湖南新邵·高一期末）（多選題）已知函數(shù)，則（）A．為偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．最大值為2 D．為奇函數(shù)7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用．假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運(yùn)動．現(xiàn)將筒車抽象為一個幾何圖形，如圖所示，圓的半徑為4米，盛水筒從點處開始運(yùn)動，與水平面的所成角為，且2分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒距離水面的高度（單位：米）與時間（單位：秒）之間的函數(shù)關(guān)系式是（）A． B．C． D．8．（2021·江蘇·高一課時練習(xí)）一根長的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：）和時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系式是，.（1）求小球擺動的周期；（2）已知，要使小球擺動的周期是1s，線的長度應(yīng)當(dāng)是多少？（精確到0.1，取3.14）

9．（2021·全國·高一單元測試）函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示．（1）求的值及的增區(qū)間；（2）若圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，然后再將所得圖象向右平移個單位長度，最后向上