第21講概率初步單元測試（能力提升）

第21講概率初步單元測試（能力提升）一、填空題1．小華?小明?小李?小章去，，，四個(gè)工廠參加社會(huì)實(shí)踐，要求每個(gè)工廠恰有人去實(shí)習(xí)，則小華去工廠，且小李沒去工廠的概率是___________.【答案】【分析】先列出所有可能的情況，再求出符合條件的情況，再用古典概型的公式求解即可【解析】記小華?小明?小李?小章分別為：1、2、3、4，數(shù)組對應(yīng)A,B,C,D的順序，由題意可知總的分配情況有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種，其中符合條件的情況有：，，，，共種，故所求概率.故答案為：2．若集合滿足，則稱為集合A的一個(gè)分拆，并規(guī)定：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，與為集合A的同一種分拆，現(xiàn)從集合的所有不同分拆中任取一個(gè)，則的概率為_______.【答案】【分析】由題意中的定義，分，有一個(gè)元素，有2個(gè)元素，四種情況，分別求出分拆種數(shù)，結(jié)合古典概型概率公式即可得到答案．【解析】因?yàn)榧现杏腥齻€(gè)元素，當(dāng)時(shí)，必須，分拆種數(shù)為1；當(dāng)有一個(gè)元素時(shí)，分拆種數(shù)為；當(dāng)有2個(gè)元素時(shí)，分拆種數(shù)為；當(dāng)時(shí)，分拆種數(shù)為．所以總的不同分拆種數(shù)為種．則的概率為,故答案為:3．某公司根據(jù)上年度業(yè)績篩選出業(yè)績出色的，，，四人，欲從此4人中選擇1人晉升該公司某部門經(jīng)理一職，現(xiàn)進(jìn)入最后一個(gè)環(huán)節(jié)：，，，四人每人有1票，必須投給除自己以外的一個(gè)人，并且每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票的概率為___________.【答案】【分析】僅一人獲得最高得票，分為：獲得3票或者獲得2票，其它三人有兩2人各1票，由此可計(jì)算出概率．【解析】隨機(jī)事件的概率計(jì)算由題意可知，每個(gè)人投給其他任何一人的概率相同，則最終僅一人獲得最高得票有如下兩種情況：①若得3票，其概率為；②若得2票，其概率為，所以最終僅一人獲得最高得票的概率為..故答案為：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是把事件拆分兩個(gè)互斥事件的概率，一個(gè)事件是獲得3票，一個(gè)事件是獲得2票，其他三人中有2人各獲得一票，分別計(jì)算概率后由概率加法得出結(jié)論．4．現(xiàn)有五個(gè)分別標(biāo)有、、、、的小球，隨機(jī)取出三個(gè)小球放進(jìn)三個(gè)盒子，每個(gè)盒子只能放一個(gè)小球，則、至少有一個(gè)在盒子中的概率為______．【答案】【分析】計(jì)算出、都不在盒子中的概率，利用對立事件的概率公式可求得結(jié)果.【解析】記事件從五個(gè)分別標(biāo)有、、、、的小球，隨機(jī)取出三個(gè)小球放進(jìn)三個(gè)盒子，則、至少有一個(gè)在盒子中，則事件從五個(gè)分別標(biāo)有、、、、的小球，隨機(jī)取出三個(gè)小球放進(jìn)三個(gè)盒子，則、都不在盒子中，所有的基本事件有：、、、、、、、、、，共種，事件所包含的基本事件為：，共種，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.5．2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能服務(wù)器芯片“鯤鵬920”、清華大學(xué)“面向通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”“特斯拉全自動(dòng)駕駛芯片”寒武紀(jì)云端AI芯片“思元270”賽靈思“Versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”.現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為________.【答案】【分析】基本事件總數(shù)n=15×15×15=3375，至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的對立事件是沒有學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”，由此能求出至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率.【解析】第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響,基本事件總數(shù)n=15×15×15=3375，至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的對立事件是沒有學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率.【點(diǎn)睛】概率的計(jì)算:(1)等可能性事件的概率一般用列舉法列舉出基本事件（也可用排列組合計(jì)算事件個(gè)數(shù)）,直接套公式求概率；(2)互斥（對立）事件、相互獨(dú)立事件（條件概率）套公式求概率(3)二項(xiàng)分布（超幾何分布）直接套公式求概率.6．某射擊運(yùn)動(dòng)員平時(shí)100次訓(xùn)練成績的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：命中環(huán)數(shù)12345678910頻數(shù)24569101826128如果這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，估計(jì)射擊成績不少于9環(huán)的概率為____.【答案】【分析】根據(jù)頻數(shù)分布表中的數(shù)據(jù)求出射擊成績不少于9環(huán)的頻率，從而用頻率來估計(jì)概率即可【解析】由題意可得射擊成績不少于9環(huán)的頻率為，所以這名運(yùn)動(dòng)員只射擊一次，射擊成績不少于9環(huán)的概率約為，故答案為：7．隨著經(jīng)濟(jì)發(fā)展，江門市居住環(huán)境進(jìn)一步改善，市民休閑活動(dòng)的公園越來越多，其中，最新打造的網(wǎng)紅公園有兒童公園、湖連潮頭中央公園、下沙公園.某個(gè)節(jié)假日，甲、乙、丙、丁四組家庭到這個(gè)網(wǎng)紅公園打卡，通過訪問和意向篩查，最后將這四組家庭的意向匯總?cè)缦拢汗珗@兒童公園湖連潮頭中央公園下沙公園有意向的家族組甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁若每組家庭只能從已登記的選擇意向中隨機(jī)選取一項(xiàng)，且每個(gè)公園至多有兩組家庭選擇，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為________.【答案】【分析】分以下三種情況枚舉所有情況即可，①選兒童公園和湖連潮頭中央公園，②選兒童公園和下沙公園，③選下沙公園和湖連潮頭中央公園，利用古典概型計(jì)算公式即可.【解析】①選兒童公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲丙、乙?。灰冶?、甲丁；②選兒童公園和下沙公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙??；甲丙、乙丁；③選下沙公園和湖連潮頭中央公園時(shí)，有以下情況：甲乙、丙?。患锥?、乙丙；④選3個(gè)公園時(shí)，有以下幾種情況：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、?。槐?、甲乙、??；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙?。还灿?8種選擇，其中甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的4種，則甲、乙兩組家庭選擇同一個(gè)公園打卡的概率為.故答案為：.8．從一堆產(chǎn)品正品與次品都多于2件中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，則下列說法：“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”是互斥事件“至少有1件正品”和“全是次品”是對立事件“至少有1件正品”和“至少有1件次品”是互斥事件但不是對立事件“至少有1件次品”和“全是正品”是互斥事件也是對立事件其中正確的有______填序號．【答案】【分析】運(yùn)用不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件，如果兩個(gè)事件為互斥事件，且其中必有一個(gè)發(fā)生，即為對立事件，對選項(xiàng)一一判斷，即可得到正確結(jié)論．【解析】“恰好有1件次品”和“恰好2件都是次品”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件，故正確；“至少有1件正品”和“全是次品”，不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件也是對立事件，故正確；“至少有1件正品”和“至少有1件次品”存在恰有一件正品和一件次品，不是互斥事件但不是對立事件，故不正確；“至少有1件次品”和“全是正品”不能同時(shí)發(fā)生，是互斥事件也是對立事件，正確．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，主要是互斥事件和對立事件的判斷，考查判斷和分析能力，屬于基礎(chǔ)題．9．乒乓球賽規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分．設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，甲發(fā)球得1分的概率為，乙發(fā)球得1分的概率為，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨(dú)立，甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球.則開始第4次發(fā)球時(shí)，甲、乙的比分為1比2的概率為________.【答案】【分析】先確定比分為1比2時(shí)甲乙在三次發(fā)球比賽中得分情況，再分別求對應(yīng)概率，最后根據(jù)互斥事件概率公式求結(jié)果【解析】比分為1比2時(shí)有三種情況：（1）甲第一次發(fā)球得分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球得分（2）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球得分，乙第一次發(fā)球得分（3）甲第一次發(fā)球失分，甲第二次發(fā)球失分，乙第一次發(fā)球失分所以概率為【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)互斥事件概率公式求概率，考查基本分析求解能力，屬中檔題.10．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同的小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”.下列判斷中正確的序號為________.①與為對立事件；②與是互斥事件；③與是對立事件：④；⑤.【答案】①④【分析】在①中，由對立事件定義得與為對立事件；有②中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在③中，與有可能同時(shí)發(fā)生；在④中，（C）（E）；在⑤中，從而（B）（C）．【解析】口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球至少有一個(gè)白球”，“取出的兩球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”，①，由對立事件定義得與為對立事件，故①正確；②，與有可能同時(shí)發(fā)生，故與不是互斥事件，故②錯(cuò)誤；③，與有可能同時(shí)發(fā)生，不是對立事件，故③錯(cuò)誤；④，（C），（E），，從而（C）（E），故④正確；⑤，，從而（B）（C），故⑤錯(cuò)誤．故答案為：①④．【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，考查對立互斥事件，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對立事件、互斥事件等基本概念的合理運(yùn)用．11．甲罐中有5個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球，乙罐中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球和3個(gè)黑球．先從甲罐中隨機(jī)取出一球放入乙罐，分別以和表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機(jī)取出一球，以表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；②；③事件與事件相互獨(dú)立；④是兩兩互斥的事件；⑤的值不能確定，因?yàn)樗c中哪一個(gè)發(fā)生有關(guān)【答案】②④【分析】根據(jù)互斥事件的定義即可判斷④；根據(jù)條件概率的計(jì)算公式分別得出事件發(fā)生的條件下B事件發(fā)生的概率，即可判斷②；然后由，判斷①和⑤；再比較的大小即可判斷③.【解析】由題意可知事件不可能同時(shí)發(fā)生，則是兩兩互斥的事件，則④正確；由題意得，故②正確；,①⑤錯(cuò)；因?yàn)?，所以事件B與事件A1不獨(dú)立，③錯(cuò)；綜上選②④故答案為：②④【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷互斥事件，計(jì)算條件概率以及事件的獨(dú)立性，屬于中檔題.12．將給定的15個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)，排成五行，第一行1個(gè)數(shù)，第二行2個(gè)數(shù)，第三行3個(gè)數(shù)，第四行4個(gè)數(shù)，第五行5個(gè)數(shù)，則每一行中的最大的數(shù)都小于后一行中最大的數(shù)的概率是________.【答案】【分析】通過分析最大數(shù)在第行的概率，得到規(guī)律，從而可求得結(jié)果【解析】解：設(shè)是從上往下數(shù)第行的最大數(shù)，設(shè)的概率為，最大數(shù)在第行的概率為，在任意排好第行后余下的個(gè)數(shù)排在前行符合要求的排列的概率為，所以，以此類推，，所以當(dāng)時(shí)，，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查古典概型的概率的求法，考查推理能力和計(jì)算能力，解題的關(guān)鍵是求出最大數(shù)要第行的概率為，通過分析得到，以此類推，，從而可求得結(jié)果，屬于較難題二、單選題13．高一年級某同學(xué)為了豐富自己的課外活動(dòng)，參加了學(xué)?！拔膶W(xué)社”“詠春社”“音樂社”三個(gè)社團(tuán)的選拔，該同學(xué)能否成功進(jìn)入這三個(gè)社團(tuán)是相互獨(dú)立.假設(shè)該同學(xué)能夠進(jìn)入“文學(xué)社”“詠春社”“音樂社”三個(gè)社團(tuán)的概率分別為、、，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，且三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，列出關(guān)于，的方程，聯(lián)立求解即得.【解析】依題意，該同學(xué)可以進(jìn)入兩個(gè)社團(tuán)的概率為，則，整理得，又三個(gè)社團(tuán)都進(jìn)不了的概率為，則，整理得，聯(lián)立與，解得，所以.故選：B14．下列給出的命題中，錯(cuò)誤的命題有（）個(gè)①互斥的事件不一定是對立事件，對立事件一定是互斥事件；②事件與事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率一定比與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率大；③若，，則事件，相互獨(dú)立與，互斥可以同時(shí)成立；④對于事件，，，若成立，則，，兩兩獨(dú)立.A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)互斥事件，對立事件，獨(dú)立事件的定義以及關(guān)系，依次判斷選項(xiàng).【解析】①根據(jù)互斥事件與對立事件的定義可知，正確；②當(dāng)是對立事件時(shí)，事件與事件中至少有一個(gè)發(fā)生的概率和與中恰有一個(gè)發(fā)生的概率相等，故錯(cuò)誤；③若，互斥，則，不可能同時(shí)發(fā)生，若，相互獨(dú)立，則發(fā)生與否，對對方?jīng)]有影響，所以可以同時(shí)發(fā)生，故錯(cuò)誤；④對于事件，，，若，，，以及成立，則，，兩兩獨(dú)立，缺一不可，故錯(cuò)誤.故選：C15．算盤是中國傳統(tǒng)的計(jì)算工具，是中國人在長期使用算籌的基礎(chǔ)上發(fā)明的，是中國古代一項(xiàng)偉大的、重要的發(fā)明，在阿拉伯?dāng)?shù)字出現(xiàn)前是全世界廣為使用的計(jì)算工具．“珠算”一詞最早見于東漢徐岳所撰的《數(shù)術(shù)記遺》，其中有云：“珠算控帶四時(shí)，經(jīng)緯三才．”北周甄鸞為此作注，大意是：把木板刻為3部分，上、下兩部分是停游珠用的，中間一部分是作定位用的．下圖是一把算盤的初始狀態(tài)，自右向左，分別是個(gè)位、十位、百位、……，上面一粒珠（簡稱上珠）代表5，下面一粒珠（簡稱下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同組一粒上珠的大?。F(xiàn)從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠（上珠只能往下?lián)芮颐课恢炼鄵?粒上珠，下珠只能往上撥），則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠，利用列舉法列出整數(shù)共有32個(gè)，其中能夠被3整除的整數(shù)有16個(gè)，進(jìn)而根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式可解．【解析】解：從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠，得到的整數(shù)共有32個(gè)，分別為：11，15，51，55，101，105，501，505，110，150，510，550，1001，1005，5001，5005，1010，1050，5010，5050，1100，1500，5100，5500，2，20，200，2000，6，60，600，6000，其中算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的整數(shù)有16個(gè)，分別為：15，51，105，501，150，510，1005，5001，1050，5010，1500，5100，6，60，600，6000，則算盤表示的整數(shù)能夠被3整除的概率為．故選：．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵點(diǎn)是利用列舉法把從個(gè)位、十位、百位和千位這四組中隨機(jī)撥動(dòng)2粒珠所得到的整數(shù)列舉出來.16．關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn)．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請全校名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于的正實(shí)數(shù)對；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個(gè)數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)估計(jì)的值，那么可以估計(jì)的值約為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由試驗(yàn)結(jié)果知對0～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)，滿足，面積為1，再計(jì)算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式，得出所取的點(diǎn)在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計(jì)的值．【解析】解：根據(jù)題意知，名同學(xué)取對都小于的正實(shí)數(shù)對，即，對應(yīng)區(qū)域?yàn)檫呴L為的正方形，其面積為，若兩個(gè)正實(shí)數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機(jī)模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個(gè)封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到試驗(yàn)全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.三、解答題17．已知袋子內(nèi)裝有大小質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，m個(gè)黃球，1個(gè)白球，若從中隨機(jī)抽取一個(gè)小球，抽到每個(gè)小球的概率為.（1）求m的值；（2）若從中不放回地隨機(jī)取出兩個(gè)小球，求只有一個(gè)黃球的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)概率的計(jì)算公式可得，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）列出摸出兩個(gè)小球的所有可能，由概率的計(jì)算公式即可得解.【解析】（1）由題意知，.（2）記兩個(gè)紅球分別為，，兩個(gè)黃球分別為，，一個(gè)白球?yàn)?，從中不放回地隨機(jī)抽取兩個(gè)小球的所有情況為，，，，，，，，，，只有一個(gè)黃球的概率為.18．在一次抗洪搶險(xiǎn)中，準(zhǔn)備用射擊的方法引爆從上游漂流而下的一個(gè)巨大汽油罐，已知只有5發(fā)子彈，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中才能引爆，每次射擊是相互獨(dú)立的，且命中的概率都是.（1）求油罐被引爆的概率；（2）如果引爆或子彈打光則停止射擊，設(shè)射擊次數(shù)為，求不小于4的概率.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）汽油罐被引爆的對立事件為汽油罐沒有被引爆，根據(jù)射擊5次只命中一次或一次也沒命中，則沒有引爆，求出沒有引爆的概率，利用對立事件的概率公式即可得出答案；（2）不小于4的概率即為時(shí)和時(shí)的概率之和，分別求出時(shí)和時(shí)的概率即可得出答案.【解析】解：（1）汽油罐被引爆的對立事件為汽油罐沒有被引爆，沒有被引爆的可能情況：射擊5次只命中一次或一次也沒命中，它的概率為.所以所求的概率為；（2）當(dāng)時(shí)，記為事件A，表示前三次射擊只命中一次，第四次命中，則；當(dāng)時(shí)，記為事件，表示前四次射擊只命中一次或一次也沒命中，則.所以所求的概率為.19．袋中裝有6個(gè)形狀、大小完全相同的球，其中紅色球有3個(gè)，黃色球有2個(gè)，綠色球有1個(gè)．規(guī)定取出紅色球記1分，取出黃色球記2分，取出綠色球記3分．在無法看到球上面數(shù)字的情況下，首先由甲取出3個(gè)球，并不再將它們放回原袋中，然后由乙取出剩余的3球．規(guī)定取出球的總積分多者獲勝．（1）求甲、乙平局的概率；（2）從概率的角度分析先后取球的順序是否影響比賽的公平性．【答案】（1）；（2）不影響比賽的公平性．【分析】（1）列舉出甲取球的所有情況，要使平局即甲、乙都得5分，即知甲取球中平局事件數(shù)，利用古典概型概率求法求概率即可.（2）首先讓甲先取球，并確定甲獲勝的事件數(shù)，進(jìn)而求獲勝概率，結(jié)合（1）可得甲輸?shù)母怕剩砼袛嘁蚁热∏?，乙獲勝或輸?shù)母怕剩纯膳袛喙叫?【解析】（1）記紅色球?yàn)閍，b，c，黃色球?yàn)閐，e，綠色球?yàn)閒，∴甲取球的所有情況為：abc，abd，abe，abf，acd，ace，acf，ade，adf，aef，bcd，bce，bcf，bde，bdf，bef，cde，cdf，cef，def，共20種，由6個(gè)小球總分為分，故甲、乙平局時(shí)都得5分，此時(shí)，甲取出的三個(gè)小球中有1個(gè)紅色球和2個(gè)黃球，或有2個(gè)紅色球和1個(gè)綠色球，共有6種情況，∴平局的概率（2）由甲先取球時(shí)，若甲獲勝，得分只能是7分或6分，即取出的三個(gè)小球中有1個(gè)綠色球和2個(gè)黃色球，或有1個(gè)綠色球和1個(gè)黃色球和1個(gè)紅色球共7種情況，∴甲獲勝的概率，由（1）可得平局的概率，∴甲輸，即乙獲勝的概率，由上知：甲、乙獲勝的概率相同．同理，由乙先取球時(shí)，甲、乙獲勝的概率也相同．故先后取球的順序不影響比賽的公平性．20．袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是，從B中摸出一個(gè)紅球的概率為p．（1）從A中有放回地摸球，每次摸出一個(gè)，有3次摸到紅球即停止．求恰好摸5次停止的概率；（2）若A，B兩個(gè)袋子中的球數(shù)之比為，將A，B中的球裝在一起后，從中摸出一個(gè)紅球的概率是，求p的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，第5次必須摸到紅球，而前4次中必須恰好有兩次摸到紅球，計(jì)算概率得到答案.（2）設(shè)A中有球3k個(gè)，計(jì)算總球數(shù)和紅球個(gè)數(shù)，得到，解得答案.【解析】（1）第5次必須摸到紅球，而前4次中必須恰好有兩次摸到紅球，所求概率為.（2）設(shè)A中有球3k個(gè)，則其中有紅球k個(gè)，則B中有球6k個(gè)，并設(shè)B中有紅球x個(gè)，于是，，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了概率的計(jì)算，根據(jù)概率求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.21．（2015全國高考試題）某公司為了解用戶對其產(chǎn)品的滿意度，從，兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到用戶對產(chǎn)品的滿意度評分如下：地區(qū)：6273819295857464537678869566977888827689地區(qū)：7383625191465373648293486581745654766579根據(jù)用戶滿意度評分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)不同等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意記事件：“地區(qū)用戶的滿意度等級高于地區(qū)用戶的滿意度等級”假設(shè)兩地區(qū)用戶的評價(jià)結(jié)果相互獨(dú)立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，求的概率.【答案】0.48【分析】由題可知，事件分為兩種情況，第一種情況是：“地區(qū)用戶滿意度等級為滿意或非常滿意”，同時(shí)“地區(qū)用戶滿意度等級為不滿意”；第二種情況是“地區(qū)用戶滿意度等級為非常滿意”，同時(shí)“地區(qū)用戶滿意度等級為滿意”，結(jié)合互斥事件和獨(dú)立事件的概率，分別求出其概率，再運(yùn)用概率的加法公式可求出結(jié)果.【解析】解：根據(jù)題意，記表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意或非常滿意”，表示事件：“A地區(qū)用戶的滿意度等級為非常滿意”，表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為不滿意”，表示事件：“B地區(qū)用戶的滿意度等級為滿意”，而與獨(dú)立，與獨(dú)立，與互斥，即，所以，由所給數(shù)據(jù)得，，，發(fā)生的概率分別為，，，，故，，，，故.【點(diǎn)睛】本題考查互斥事件和獨(dú)立事件的概率，以及概率的加法公式，關(guān)鍵在于將事件分成相互獨(dú)立和互斥事件，考查理解分析和運(yùn)算能力．22．某超市隨機(jī)選取位顧客，記錄了他們購買甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計(jì)表，其中“√”表示購買，“×”表示未購買．甲乙丙丁√×√√×√×√√√√×√×√×√××××√××（Ⅰ）估計(jì)顧客同時(shí)購買乙和丙的概率；（Ⅱ）估計(jì)顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買中商品的概率；（Ⅲ）如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買乙、丙、丁中那種商品的可能性最大？【答案】（Ⅰ）0.2；（Ⅱ）0.3；（Ⅲ）同時(shí)購買丙的可能性最大.【解析】試題分析：本題主要考查統(tǒng)計(jì)表、概率等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.（Ⅰ）由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購買乙和丙的人數(shù)，計(jì)算出概率；（Ⅱ）先由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買中商品的人數(shù)，再計(jì)算概率；（Ⅲ）由統(tǒng)計(jì)表讀出顧客同時(shí)購買甲和乙的人數(shù)為，顧客同時(shí)購買甲和丙的人數(shù)為，顧客同時(shí)購買甲和丁的人數(shù)為，分別計(jì)算出概率，再通過比較大小得出結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在這位顧客中，有位顧客同時(shí)購買了乙和丙，所以顧客同時(shí)購買乙和丙的概率可以估計(jì)為.（Ⅱ）從統(tǒng)計(jì)表可以看出，在在這位顧客中，有位顧客同時(shí)購買了甲、丙、丁，另有位顧客同時(shí)購買了甲、乙、丙，其他顧客最多購買了種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時(shí)購買種商品的概率可以估計(jì)為.（Ⅲ）與（Ⅰ）同理，可得：顧客同時(shí)購買甲和乙的概率可以估計(jì)為，顧客同時(shí)購買甲和丙的概率可以估計(jì)為，顧客同時(shí)購買甲和丁的概率可以估計(jì)為，所以，如果顧客購買了甲，則該顧客同時(shí)購買丙的可能性最大.考點(diǎn)：統(tǒng)計(jì)表、概率.23．已知函數(shù)．（1）若，都是從集合中任取的一個(gè)數(shù)，求函數(shù)在上單調(diào)遞減的概率；（2）若是從集合中任取的一個(gè)數(shù)，是從集合中任取的一個(gè)數(shù)，求方程在區(qū)間上