專題04平面圖形的面積問題（原卷版）

專題04平面圖形的面積問題由直觀形象到抽象邏輯推理小學生的理解思維是建立在直觀的形象的思維基礎上的，在接觸初中幾何的時候，這種思維就無法完成學習。除了直觀的思維，還有需要一些歸納、推理、變量等復雜的思維，這樣才能學好初中幾何。舉例說明，在小學幾何學習中，推導一個長方體的體積公式的時候，首先要依靠模型操作，然后依靠幾組數(shù)據(jù)進行歸納，最終推導出長方體的體積公式。這里面就包含了合情推理的思維。在初中幾何中，隨著變量和演繹推理證明等知識的進入，初中學生學習幾何就需要提高相應的思維能力，比如抽象思維，判斷推理等等。難度自不必說，思維的層次也大為不同。甚至一些證明，必須用演繹推理來完成，比如“兩直線垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行”，這個命題就需要演繹推理思維，學生必須要在自己的心中構建直觀圖形，難度加大了。如“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個定理，在小學教材中是由實驗得出的，學生較熟悉。因此，在教學中既讓學生通過實驗得出結論，又要強調(diào)說明不能滿足于實驗，而必須從理論上給予嚴格論證。求幾何圖形面積常見方法及運用：1）割補法求面積（平移、對稱、旋轉等）；2）和差法求面積；3）等積變換（化線段比為面積比）；4）運用整體思想；5）容斥原理（韋恩圖）等。公式法，所求面積的圖形是規(guī)則圖形，如扇形、特殊三角形、特殊四邊形等，可直接利用公式計算。割補法，就是從割和補兩種不同角度認識同一個面積。還有的是從不同的角度認識某個長方形面積的一半。通過對面積問題的訓練可以打開思維。特別是結合算兩次的思想能讓我們的思維理念得到很大提升。最后我寫了算兩次解決面積問題，來詮釋前面的理論。和差法，所求面積的圖形是不規(guī)則圖形，可通過轉化變成規(guī)則圖形面積的和或差，這是求陰影部分面積最常用的方法。等積變換法，以線段比為對象運用兩個面積比來表示同一個面積比，有的是運用整體與局部思想整體由各個局部合成。有的是抓住面積不變，從兩個不同的底和高來表示同一個三角形的面積或者隨便求出直角邊的平方?！绢}型一】割補法求面積（一）平移與對稱【解題技巧】常見模型圖形轉化后的圖形秘籍計算方法【典題1】（2021·北京西城·小升初真題）如圖中有一個圓和等腰直角三角形，陰影部分的面積是（

）cm2。A．25 B．50 C．75 D．100【典題2】（2021·全國六年級培優(yōu)）計算圖中陰影部分的面積(單位：分米)．【變式練習】1．求如圖中陰影部分的面積（單位：厘米）2．（2021·江蘇小升初模擬）計算下圖中陰影部分的面積。3．（2021·黑龍江牡丹江·小升初真題）求陰影的面積。（單位：厘米）4．（2022·安徽·六年級期末）計算陰影部分的面積。（π取3.14）【題型二】割補法求面積（二）旋轉【解題技巧】常見模型圖形轉化后的圖形秘籍計算方法【典題1】（2021·江蘇揚州·小升初真題）如圖，兩個同樣大的正方形，把其中一個正方形的頂點固定在另一個正方形的中心點上。旋轉其中一個正方形如圖所示，重疊部分的面積是5平方厘米，正方形的面積是()平方厘米。【典題2】（2021·四川·成都外國語學校附屬小學小升初模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，連接PA、PB、PC。將繞著點B順時針旋轉90°到的位置。設，，，求旋轉到的過程中邊PA所掃過的區(qū)域（圖中陰影部分）的面積?！咀兪骄毩暋?．如圖所示的四邊形的面積等于多少？2．如圖所示，中，，，，以為一邊向外作正方形，中心為，求的面積．3.在一個正方形中放入一個四個頂點與大正方形相接的一個小正方形(如圖)，如果兩個正方形的周長相差厘米，面積相差平方厘米，求小正方形的面積是多少平方厘米？4．（2021·全國·六年級專題練習）求下圖中陰影部分的周長和面積。（單位：cm）【題型三】和差法求面積【解題技巧】常見模型圖形轉化后的圖形秘籍計算方法【典題1】（2021·成都外國語學校附屬小學小升初模擬）如圖，正方形ABCD的邊AB＝1，弧BD和弧AC都是以1為半徑的圓弧，則無陰影的兩部分的面積之差為()?！镜漕}2】（2021·四川成都·六年級期末）如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圓的直徑，A為扇形ACD的圓心，求陰影部分的面積是多少平方厘米?！咀兪骄毩暋?．（2021·四川成都·小升初模擬）如圖所示為某商品的商標，由兩顆愛心組成，每顆愛心都是由一個正方形和兩個半圓拼成，兩個正方形的邊長分別為40毫米和20毫米，則陰影部分的面積是多少平方毫米？（圓周率取3.14）2．（2021·四川·成都市鹽道街小學六年級期中）求圖中陰影①比陰影②的面積多多少平方厘米？3．（2022·全國·期中）如圖，在長方形ABCD中，M是CD邊中點，DN是以點A為圓心的一段弧，KN是以點B為圓心的一段弧，AN=3厘米，BN=2厘米．則圖中陰影部分的面積是平方厘米．（π取3.14）4．（2021·陜西西安·六年級期中）如圖，正方形的邊長是4厘米，以正方形的邊為直徑畫一個半圓，分別以A、B為圓心，正方形的邊長為半徑畫兩段圓弧。圖中兩個陰影部分的面積相差多少平方厘米？【題型四】整體代換法【解題技巧】有些參數(shù)（如圓的半徑）直接求很困難，但是可以直接求的半徑的平方，采用設而不求，整體代換即可?！镜漕}1】（2021·全國·六年級專題練習）如圖，陰影部分的面積是25平方米，求圓環(huán)面積?！镜漕}2】（2021·四川成都·六年級期末）如圖，已知陰影三角形的面積是50dm2，則圓的面積是()dm2?！咀兪骄毩暋?．（2021·四川成都·六年級期末）如圖所示，O為大小兩個圓的圓心，陰影部分的面積是8平方厘米，圓環(huán)的面積是_____平方厘米。2．（2021·四川成都·六年級期末）如圖，陰影部分的面積是a平方米，圓環(huán)的面積是()平方米。3．（2021·江蘇宿遷·五年級期末）如圖：（1）若大正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。（2）若小正方形的面積是20平方厘米，則圓的面積是()平方厘米。4.已知圖中正方形的面積是20平方厘米，則圖中里外兩個圓的面積之和是多少．(取)【題型五】等積變換法求面積【解題技巧】合理使用邊、高的比求面積的比例，靈活掌握邊、高、面積之間的關系。【典題1】（2021·成都市實驗外國語學校附屬小學小升初模擬）已知△ABC的面積是1，把它的各邊按照如圖所示的方式延長1倍后得到△。（1）△的面積為（

）；（直接寫出答案）（2）若按照之前的方式再把△的各邊延長2倍得到△，試求△的面積?！镜漕}2】（2021·四川·成都市實驗外國語學校附屬小學小升初模擬）如圖，三角形的面積是1，點是的中點，點在上，且，與交于點。求四邊形的面積?！咀兪骄毩暋?．（2021·四川·成都外國語學校附屬小學小升初模擬）如圖，在一個梯形內(nèi)有兩個三角形的面積分別為10和12，已知梯形的上底長是下底長的，求余下陰影部分的面積是多少？2.（2021·四川成都·小升初模擬）如圖，三角形EFC的面積是24平方厘米，AE＝CE，BF＝FC，則三角形ABC的面積為________平方厘米。3．如圖所示，,則陰影部分的面積=________．4．（2021·全國六年級培優(yōu)）如圖，中，點是邊的中點，點、是邊的三等分點，若的面積為1，那么四邊形的面積是多少？【題型六】容斥原理（韋恩圖）【解題技巧】容斥原理這個詞可能聽起來比較陌生，它還有另一個名詞，重疊法。如果運用得當，掌握其精髓，在求解陰影部分面積，以及相關應用題時，能起到事半功倍的作用。本文就來重點講一下，容斥原理在求解陰影部分面積時的妙用。【典題1】是邊長為4的正方形，分別以、、、為直徑畫半圓，則這四個半圓弧所圍成的陰影部分的面積是____________【典題2】（2022·河南南陽·六年級期末）如圖，直角三角形三條邊分別為3厘米、4厘米5厘米，分別以三邊為直徑畫半圓，圖中陰影部分的面積是()平方厘米?！咀兪骄毩暋?.如圖，矩形ABCD中，AB6厘米，BC4厘米，扇形ABE半徑AE6厘米，扇形CBF的半徑CB4厘米，求陰影部分的面積．(取3)2.在桌面上放置個兩兩重疊、形狀相同的圓形紙片.它們的面積都是平方厘米，蓋住桌面的總面積是平方厘米，張紙片共同重疊的面積是平方厘米.那么圖中個陰影部分的面積的和多少是平方厘米？1．（2021重慶市六年級月考）求圖中陰影部分的面積是（）平方厘米．A．28.5 B．31.4 C．36 D．42.52．（2021·四川成都·六年級期末）如圖，長方形ABCD內(nèi)陰影部分的面積之和為70m2，AB＝8m，AD＝15m，四邊形EFGO的面積是()m2。3．（2021·浙江嘉興·六年級期末）如圖，已知正方形邊長為，點為上一點，四邊形也為正方形，則三角形的面積是()cm2。4．（2022·全國·五年級課時練習）如圖，兩個等腰直角三角形疊放在一起，AF長3，AC長12，DE長8，重疊部分（陰影部分）五邊形AGHID的面積是．5．（2021·全國·六年級競賽）如圖所示，O1、O2分別是所在圓的圓心。如果兩圓半徑均為3厘米，且圖中兩塊陰影部分的面積相等，那么O1O2的長度是()厘米。（π取3.14）6．（2021·福建莆田·六年級期末）兩個小朋友用圓做剪紙游戲，一個小朋友將圓拼成一個近似長方形，另一個小朋友將圓剪成兩個半圓貼在長方形上，如下圖，如果長方形周長為16.56cm，那么S②比S①大()平方厘米．7．如圖，已知邊長為8的正方形ABCD,E為AD的中點，P為CE的中點，△BDP的面積________．8．（2021·江蘇南京市·長江路小學六年級期末）如圖所示，將一條邊長為10厘米的平行四邊形沿對角線對折，此時，圖中影陰部分是原平行四邊形面積的。長________厘米。9．（2021·江蘇揚州市·六年級期末）如圖，一張平行四邊形的紙沿AB折疊（點A把平行四邊形的一條邊按2∶3的比分成了兩段），陰影部分的面積是12平方厘米。這個平行四邊形的面積是（________）平方厘米。10．（2021·四川成都·六年級期末）在課堂中，淘氣通過轉化的思想，運用旋轉的技巧，輕松地求出了陰影部分的面積，你也能算嗎？（單位：cm）11．（2022·安徽亳州·六年級期末）求圖中陰影部分的面積。單位（厘米）12．（2022·陜西漢中·六年級期末）計算下面圖形陰影部分的周長和面積。13．（2021·河北邯鄲·小升初真題）求陰影部分的面積。（單位：cm）14．（2022·山東·曹縣教學研究室六年級期末）下圖是一個直角梯形，求圖中陰影部分的周長和面積。（單位：厘米）15．（2021·廣東深圳·六年級階段練習）如圖，O為圓心，AB＝BC＝8厘米，求陰影部分的面積。16．（2021·全國·五年級課時練習）圖中，正方形ABCD的邊長為10厘米，過它的四個頂點作液體個大圓，過它的各邊中點作一個小圓，再過兩組對邊中點作直線，求圖中各塊陰影部分的面積總和．（π=3.14）17．（2022·全國·六年級階段練習）求圖中陰影部分的周長和面積．18．（2021·貴州黔西·六年級期末）求陰影部分的周長。19．（2022全國·期中）如圖，一個鬧鐘內(nèi)圓的面積是30平方厘米，陰影部分的積是多少平方厘米？20．（2021·四川成都·六年級期末）如圖是一個正方形和半圓所組成的圖形，其中P為半圓周的中點，Q為正方形一邊上的中點，求陰影部分的面積．21．（2022·全國·五年級期末）如圖，ABCD是平行四邊形，BC＝8cm，EC＝6cm，陰影部分面積比△EFG的面積大12cm2，求FC的長。22．（2021·江蘇·五年級專題練習）如圖所示，長方形的長和寬分別是8厘米和6厘米，陰影部分的總面積是16平方厘米。求四邊形ABCD的面積。23．（2021·浙江·六年級期末）下圖是由兩個正方形和一個圓組成的，已知大正方形的面積是，那么陰影部分的面積是多少？（圓周率取3.14）24．（2022·上海普陀·六年級期末）汽車盲區(qū)是造成交通事故的罪魁禍首之一，它是指駕駛員位于正常駕駛座位置，其視線被車體遮擋而不能直接觀察到的那部分區(qū)域。有一種汽車盲區(qū)叫做內(nèi)輪差盲區(qū)，內(nèi)輪差是車輛在轉彎時前內(nèi)輪轉彎半徑與后內(nèi)輪轉彎半徑之差；由于內(nèi)輪差的存在而形成的這個區(qū)域（下圖所示）是司機視線的盲區(qū)?？ㄜ?，貨車等車身較長的大型車在轉彎時都會產(chǎn)生這種盲區(qū)，為了解決這個問題，現(xiàn)在許多路口都開始設置“右轉危險區(qū)”標線。下圖是我區(qū)某一路口“右轉危險區(qū)”的示意圖，經(jīng)過測址后內(nèi)輪轉彎半徑米，前內(nèi)輪轉彎半徑米，圓心角，求此“右轉危險區(qū)”的面積和周長。25．（2021·全國·期中）如圖，已知等腰三角形ABC，D為AC中點，AB=BC=2厘米，，分別是以B、A為圓心的?。敲搓幱安糠值拿娣e是多少平方厘米？26．（2020·