期末專題01解三角形大題綜合-2022-2023學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試真題必刷滿分訓(xùn)練

期末專題01解三角形大題綜合（北京專用）一、解答題1．（2022春·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）已知中，.(1)求的大小；(2)若，求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理及三角恒等變換可得，進而即得；（2）利用余弦定理即得.【詳解】（1）∵中，，∴，∴，又，∴，又，∴；（2）∵，，∴，∴，解得或（舍去）∴.2．（2022春·北京·高一統(tǒng)考期末）在中，角所對的邊分別為，若，，.(1)求的值；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理將角化邊，即可得到，再利用余弦定理計算可得；（2）首先求出，再根據(jù)面積公式計算可得.(1)解：因為，由正弦定理可得，由余弦定理，即，解得或（舍去）.(2)解：由（1）可得，所以.3．（2022春·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）已知中，.(1)求；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件利用正弦定理可求出，（2）由（1）求出角，再利用三角形面積公式可求出的面積(1)在中，，由正弦定理得，，所以，得，因為，所以(2)在中，，，所以，因為，所以4．（2022春·北京·高一期末）在△中，，.(1)如果，求的值；(2)如果銳角△的面積為，求的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理求解即可；（2）根據(jù)面積公式可得，再根據(jù)余弦定理可得【詳解】（1）由正弦定理，可得.因為，所以，所以，所以.（2）由題意知，，可得.在銳角中，.由余弦定理，.所以.5．（2022春·北京·高一統(tǒng)考期末）在中，所對的邊分別為，且，，.(1)求的大??；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理求出的值，再根據(jù)角的取值范圍即可求解；（2）由已知及（1）問結(jié)論，利用兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)正弦定理即可求解.(1)解：因為，所以由余弦定理可得，又，所以；(2)解：由（1）知，由正弦定理，得.6．（2021春·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）在中，，，，是鈍角.（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先求得，然后利用正弦定理求得，從而求得.（Ⅱ）先求得，然后利用正弦定理求得.【詳解】（Ⅰ），，，

，，，

是鈍角，.

（Ⅱ），

，

.7．（2021春·北京大興·高一?？计谀┰谥袃?nèi)角，，的對邊分別是，，，已知，，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的面積.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【分析】（Ⅰ）由正弦定理即可求出；（Ⅱ）先根據(jù)內(nèi)角和定理求出角，再由三角形面積公式即可求出．【詳解】（Ⅰ）由正弦定理得，所以．（Ⅱ）因為，又，所以，所以是銳角，，，．8．（2022春·北京豐臺·高一統(tǒng)考期末）在中，．(1)求；(2)若，，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理計算可得；（2）利用正弦定理計算可得；【詳解】（1）解：因為，即由余弦定理，因為，所以；（2）解：因為，，，由正弦定理，即，所以；9．（2022春·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）在中，，，．(1)求和的值；(2)求BC邊上的高．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）首先利用余弦定理和條件可求出的值，然后利用正弦定理可得的值；（2）BC邊上的高為，即可算出答案.(1)因為，，，所以由余弦定理得，所以，解得，所以，所以由正弦定理可得，；(2)BC邊上的高為.10．（2022春·北京西城·高一統(tǒng)考期末）在中，，，從①；②；③這三個條件中任選一個作為題目的已知條件.(1)求的值；(2)求的面積.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，由余弦定理求出，再由正弦定理代入即可求出答案；選②，由由兩角和的正弦公式代入即可求出答案；選③，由正弦定理求出，再由由兩角和的正弦公式代入即可求出答案；（2）選①或③，直接由面積公式代入即可得出答案；選②，，由正弦定理求出，再由由面積公式代入即可得出答案.(1)由題知，三角形為鈍角三角形選①，由余弦定理得：，解得：，所以由正弦定理得：.選②，因為，所以，所以選③，由正弦定理得：，所以，所以.(2)選①，因為，，所以的面積為：選②，由正弦定理得：，.選③，因為，，，所以.11．（2021春·北京昌平·高一統(tǒng)考期末）在中，，.再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(Ⅰ)的大??；(Ⅱ)和的值.條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】答案見解析.【分析】選擇①:(Ⅰ)利用正弦定理及大邊對大角，即可求出的值；(Ⅱ)根據(jù)可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和的余弦公式，即可求出，再利用正弦定理或余弦定理并結(jié)合解方程即可求出的值.選擇②：(Ⅰ)利用正弦定理可求出，再由可確定的范圍，從而可得的值；(Ⅱ)根據(jù)可得，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求出，再利用三角形內(nèi)角和定理及兩角和的余弦公式，即可求出，然后求出，再利用正弦定理或余弦定理即可求出的值.【詳解】解：選擇①：.（1）在中，因為，，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，所以.（Ⅱ）因為，所以，所以.因為，所以.所以.法一：所以，由正弦定理得，即，因為，所以.法二：因為，所以.因為，所以.所以.所以，所以.所以.（或，即）所以或，因為，所以（舍），所以.解：選擇②：.（Ⅰ）在中，因為，，所以由正弦定理得.在中，，所以，所以.（Ⅱ）因為，所以，所以，因為，所以，所以，.法一：所以，因為，所以，由正弦定理得，所以.法二：因為，所以，所以，所以，所以.12．（2021春·北京延慶·高一統(tǒng)考期末）在中，三內(nèi)角所對的邊分別為，，.（Ⅰ）若，求邊上的高；（Ⅱ）若，求的面積；（Ⅲ）求周長的最大值.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】（Ⅰ）先求得三角形的面積，然后利用等面積法求得邊上的高.（Ⅱ）結(jié)合余弦定理求得，由此求得三角形的面積.（Ⅲ）結(jié)合余弦定理以及基本不等式求得的最大值，由此求得三角形周長的最大值.【詳解】（Ⅰ），設(shè)邊上的高為，，.（Ⅱ），，，，，，，.（Ⅲ），，，，，，，，，當且僅當時，等號成立.，，，當且僅當時，，此時周長的最大值等于.13．（2021春·北京·高一?？计谀┰谥?，角所對應(yīng)的邊分別為，向量，且（1）求角（2）若，判斷的形狀.【答案】（1）；（2）直角三角形，【分析】（1）利用坐標表示，再利用輔助角公式化簡結(jié)合角的范圍即可求角；（2）利用正弦定理化邊為角，結(jié)合，將關(guān)系式轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的方程，進而可得角，再利用三角形的內(nèi)角和可得角，即可判斷的形狀.【詳解】（1）因為向量，且，所以，即，所以，可得，因為，所以，所以，所以；（2）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，即,所以，整理可得，所以，所以，因為，所以，所以或，所以或，當時，，可得，此時是直角三角形，當時，，可得，此時是直角三角形，綜上所述：是直角三角形，14．（2021春·北京·高一?？计谀┰谥?，角所對應(yīng)的邊分別為，，時，（1）若，求（2）記（i）當為何值時，使得有解；（寫出滿足條件的所有的值）（ii）當為何值時，為直角三角形（iii）直接寫出一個滿足條件的值，使得有兩解【答案】（1）；（2）（i）；（ii）或；（iii）（答案不唯一）【分析】（1）在中，由余弦定理即可求解；（2）（i）利用正弦定理將表示成關(guān)于角的三角函數(shù)求值域即可求解；（ii）分和結(jié)合銳角三角函數(shù)即可求解；（iii）中，、兩點固定，點運動，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】（1）在中，由余弦定理可得：，即，所以，解得：或（舍）（2）（i）由正弦定理可得記，因為，所以，所以，所以當時，使得有解，（ii）若，則，所以，若，則，所以，所以或時，為直角三角形，（iii）如圖：當點在線段和線段(不含端點)時，即或時，有兩解，所以，所以所以可以取滿足條件.15．（2021春·北京順義·高一統(tǒng)考期末）在中，，.（1）若，求的值；（2）若，求角的大小和的面積.【答案】（1）；（2），.【分析】（1）本題可通過余弦定理得出結(jié)果；（2）本題可根據(jù)求出，根據(jù)求出，然后根據(jù)即可求出，再然后根據(jù)求出，最后根據(jù)解三角形面積公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由余弦定理易知，，整理得，解得或（舍去），，（2）因為，，所以，因為，，所以，則，因為，所以，，，即，解得，故.16．（2022春·北京·高一?？计谀┒x:在中，若其某一內(nèi)角等于另一內(nèi)角的二倍，則稱為“二倍三角形”(1)若為二倍三角形，，求的面積(2)對于二倍三角形，記，用含的代數(shù)式表示的比.(3)根據(jù)（2）的計算結(jié)果，是否存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形?若存在，舉出一例并驗證;若不存在，則說明理由.【答案】(1)1或(2)(3)存在【分析】（1）若，則，求得三角形的邊可得的面積；若，則，求得三角形的邊可得的面積；（2）由正弦的二倍角公式和正弦的和角公式求得，再由正弦定理可得答案；（3）設(shè)，若存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形，則k為大于0的整數(shù)，由此可得結(jié)論.（1）因為為二倍三角形，若，則，又，所以，所以的面積為；若，則，又，所以，所以的面積為；（2）因為二倍三角形，，所以，，所以，所以；（3）存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形，理由如下：由（2）得，則設(shè)，若存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形，則k為大于0的整數(shù)，如，時，，即滿足題意.所以存在三邊長皆為整數(shù)的二倍三角形.17．（2022春·北京·高一?？计谀┮阎拿娣e為，再從條件①?條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：條件①，；條件②：，.(1)b和c的值.(2)的值.【答案】(1)若選①：，；若選②：，；(2)若選①：；若選②：.【分析】若選擇條件①：(1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求的值，利用三角形的面積公式可求，的值，進而根據(jù)余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，進而根據(jù)兩角差的正弦公式即可求解的值．若選擇條件②：(1)由題意可得，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用三角形的面積公式可求，的值，根據(jù)余弦定理可求的值．(2)由正弦定理可求，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，利用兩角差的正弦公式即可求解的值．【詳解】（1）若選擇條件①：在中，∵，∴，，∵，，∴，由余弦定理，，∴；若選擇條件②：在中，∵，∴．∵，∴，，∵，∴，由余弦定理，，∴；（2）若選擇條件①：由正弦定理，可得，∴，，∵，∴，，∴.若選擇條件②：由正弦定理得，∴，∵，∴，∴．18．（2022春·北京·高一統(tǒng)考期末）在中，，.(1)求；(2)再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求的面積.條件①：；條件②：；條件③：的周長為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)選①：不唯一；選②：；選③：【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合已知條件可得解；（2）選①，余弦定理知，知c有兩個，不符合題意；選②，由正弦定理知，再利用結(jié)合面積公式即可得解；選③：由已知得，再結(jié)合余弦定理及面積公式求解.【詳解】（1）利用余弦定理結(jié)合，得，即，因為，所以；（2）選擇條件①：因為，，，由余弦弦定理知，即，解得或都符合三角形的性質(zhì)，故此時滿足條件的有兩個，不符合題意.選擇條件②：因為，所以因為，由正弦定理又所以的面積選擇條件③：因為的周長為，，即①又，即②由①②解方程組所以的面積.19．（2022春·北京西城·高一北京師大附中校考期末）在中，.(1)求；(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結(jié)合內(nèi)角和與兩角和的正弦公式化簡即可；方法二：利用余弦定理化簡即可（2）選①則不合題意；選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計算即可；選③：根據(jù)面積公式可得，進而用余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求解高即可【詳解】（1）方法一：在中，因為，所以由正弦定理可得.因為，所以.所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因為，由余弦定理得，整理得所以，所以.（2）選條件②：由（1）知因為在中，，所以又，所以所以設(shè)邊上高線的長為h，則.選條件③：因為所以，由余弦定理得所以.設(shè)邊上高線的長為h，則20．（2022春·北京·高一101中學(xué)?？计谀┮阎谥?，所對邊分別為，且.(1)若，求的面積；(2)若，求的周長.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）利用余弦定理及三角形面積公式即得；（2）利用正弦定理及條件可求，再利用正弦定理即可求解.【詳解】（1），（2）依題意，正弦定理：，所以代入計算：，則.當為銳角時，，所以，當為鈍角時，，所以，綜上：或.21．（2022春·北京海淀·高一統(tǒng)考期末）在中，，，．(1)求；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理及三角形內(nèi)角和，結(jié)合兩角和的正弦公式即可求解；（2）利用平方關(guān)系即兩角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面積公式即可求解.(1)解：由正弦定理可得：,又，所以，整理得：，因為，所以，而B為三角形內(nèi)角，故.(2)解：因為，所以或，又，，所以當時，，不符合題意，故，，由正弦定理得，即，解得，故的面積為：.22．（2022春·北京·高一清華附中?？计谀┲校阎?邊上的中線為.(1)求；(2)從以下三個條件中選擇兩個，使存在且唯一確定，并求和的長度.條件①：；條件②；條件③.【答案】(1)(2)選擇條件②和條件③；.【分析】（1）利用三角恒等變換對已知等式進行化簡，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用余弦定理可判斷條件①錯誤；根據(jù)條件②和條件③，利用三角形面積公式可得，利用余弦定理可得，在中，利用正弦定理可得，進而得到，在中利用余弦定理可得.【詳解】（1）解：因為，則，，又，解得：，故.（2）解：由（1）得，又余弦定理得：，所以，而條件①中，所以，顯然不符合題意，即條件①錯誤，由條件②，條件③，解得，由余弦定理可得，所以.在中，由正弦定理可得，解得，又，所以，因為為邊上的中線，所以，在中，由余弦定理可得，解得.故.23．（2022春·北京平谷·高一統(tǒng)考期末）在△ABC中，．(1)求的大??；(2)若，．求，并計算的面積；從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面問題中并作答．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)若選①：，；若選②：，.【分析】（1）由條件結(jié)合正弦定理可得，然后利用三角函數(shù)的知識可得答案；（2）若選①，由余弦定理求出，然后可得答案；若選②，首先求出，然后求出，然后可得答案.【詳解】（1）在中，因為，所以由正弦定理可得，因為，所以，所以，在中，，所以，因為，所以.（2）若選①，，則在中，由余弦定理，得，解得或（舍）．所以．因此若選②，，則，由正弦定理，得，解得．24．（2022春·北京大興·高一統(tǒng)考期末）在中，.(1)若，求；(2)若存在且唯一確定，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)或【分析】（1）由，利用余弦定理求得角，然后利用余弦定理求得的值，然后利用正弦定理求得；（2）存在且唯一確定，則，或，從而求得的范圍.【詳解】