錯位相減求和（原卷版）

錯位相減求和思路引導思路引導1.錯位相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，這個數(shù)列的前n項和可用錯位相減法求解.2.特殊數(shù)列的求和公式(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a1（1－qn）,1－q)，q≠1.))掌握解題“三步驟”4.四類特殊數(shù)列的前n項和①1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)．②1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.③12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)．④13＋23＋33＋…＋n3＝eq\f(1,4)n2(n＋1)2.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例】(2021·全國乙卷)設{an}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(nan,3).已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列．(1)求{an}和{bn}的通項公式；[切入點：設基本量q](2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和．證明：Tn<eq\f(Sn,2).[關鍵點：bn＝n·]方法總結方法總結1.如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法．2.錯位相減法求和時，應注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式．②應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.模擬訓練模擬訓練1．（2023·陜西安康·統(tǒng)考二模）已知公比大于1的等比數(shù)列滿足，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求的前項和.2．（2023·四川·校聯(lián)考模擬預測）在①，②這兩個條件中選一個合適的補充在下面的橫線上，使得問題可以解答，并寫出完整的解答過程問題：在各項均為整數(shù)的等差數(shù)列中，，公差為，且__________(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和3．（2023·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，記為數(shù)列的前n項和，求，并證明：當時，．4．（2022·四川遂寧·四川省遂寧市第二中學校校考一模）已知數(shù)列?的前?項和為?，且?，__________．請在?成等比數(shù)列;?，這三個條件中任選一個補充在上面題干中，并解答下面問題．(1)求數(shù)列?的通項公式;(2)設數(shù)列?的前?項和?，求證：?．5．（2022·河北·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)①；②；③．從上面三個條件中任選一個，求數(shù)列的前項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．6．（2022·湖南郴州·安仁縣第一中學?？寄M預測）已知數(shù)列中，前n項的和為，且(1)求數(shù)列的通項公式；(2)如果恒成立，求最小值.7．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）數(shù)列滿足，.(1)若，求證：是等比數(shù)列.(2)若，的前項和為，求滿足的最大整數(shù).8．（2022·遼寧鞍山·鞍山一中?？级＃┮阎獢?shù)列的前n項和為，，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列滿足，記數(shù)列的前n項和為，若，對任意恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．9．（2022·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知數(shù)列的前項和為，，當時，.(1)求；(2)設數(shù)列的前