第16講 三角恒等變換及其拓展（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊）

第16講三角恒等變換及其拓展【人教A版2019】模塊一模塊一兩角和與差的三角函數(shù)公式1．兩角差的余弦公式對于任意角，有.

此公式給出了任意角,的正弦、余弦與其差角-的余弦之間的關(guān)系，稱為差角的余弦公式，簡記作.

公式巧記為：兩角差的余弦值等于兩角的同名三角函數(shù)值乘積的和.2．兩角和的余弦公式(1)公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的余弦公式的記憶技巧

兩角和與差的余弦公式可以記憶為“余余正正，符號相反”.

①“余余正正”表示展開后的兩項分別為兩角的余弦乘余弦、正弦乘正弦；

②“符號相反”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相反，即兩角和時用“-”，兩角差時用“+”.3．兩角和與差的正弦公式(1)兩角和與差的正弦公式的結(jié)構(gòu)特征(2)兩角和與差的正弦公式的記憶技巧

兩角和與差的正弦公式可以記憶為“正余余正，符號相同”.

①“正余余正”表示展開后的兩項分別為兩角的正弦乘余弦、余弦乘正弦；

②“符號相同”表示展開后兩項之間的連接符號與展開前兩角之間的連接符號相同，即兩角和時用“+”,兩角差時用“-”.4．兩角和與差的正切公式兩角和與差的正切公式的結(jié)構(gòu)特征符號變化規(guī)律可簡記為“分子同，分母反”.5．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形運用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.【題型1利用和（差）角公式化簡、求值】【例1.1】（24-25高三上·湖北·期中）已知cosα+β=12，cosαA．?2 B．2 C．?12 D．12【例1.2】（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）設(shè)θ是銳角，cosθ+πA．2+1 B．2+12 C．2【變式1.1】（2024·北京·模擬預測）已知sin(α+β)=13，tanαtanA．?13 B．?19 C．【變式1.2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知α為第一象限角，β為第四象限角，tanα?tanβ=3，tanαtanA．1010 B．?1010 C．3【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用】【例2.1】（23-24高一下·北京東城·期末）cos30°cos15°?A．12 B．22 C．3【例2.2】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知sinα+cosβ=12A．6772 B．?6772 C．59【變式2.1】（23-24高一下·湖北黃岡·期中）tan3π4A．3 B．?3 C．?33【變式2.2】（23-24高一下·江蘇·階段練習）已知3tanα+β?A．33 B．3 C．?33模塊模塊二二倍角公式1．二倍角公式二倍角的正弦、余弦、正切公式函數(shù)公式β=α簡記符號正弦sin2α=2sinαcosαS(α+β)S2α余弦cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2αC(α+β)C2α正切T(α+β)T2α2．二倍角公式的變形應(yīng)用(1)倍角公式的逆用

①：，，.

②：.

③：.

(2)配方變形

.

(3)因式分解變形

.

(4)升冪公式

；.【題型3二倍角公式】【例3.1】（24-25高三上·重慶·階段練習）已知tanα=2，則1+cos2αA．3 B．13 C．2 D．【例3.2】（24-25高三上·江西·階段練習）已知sinα+cosα=13A．?23 B．19 C．8【變式3.1】（23-24高一·上?！ふn堂例題）利用二倍角公式，求下列各式的值：(1)sin5(2)cos2(3)tan15°【變式3.2】（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知tanα=17，tanβ=1(1)求sin2α(2)求α+2β的值.模塊模塊三三角恒等變換思想1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學中一種重要的解題方法，在解決三角問題時，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個三角函數(shù)[或].這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.【題型4輔助角公式】【例4.1】（23-24高三上·河北唐山·階段練習）若銳角α滿足sinα?cosα=55A．45 B．C．?35或35 D．【例4.2】（23-24高三上·河南·期中）已知函數(shù)f(x)=asinx+cosx+π6的圖象關(guān)于直線A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【變式4.1】（24-25高三上·上海寶山·階段練習）已知f(x)=2cos(1)求函數(shù)y=fx(2)若x∈[0,π2]【變式4.2】（23-24高一下·廣東茂名·期中）已知函數(shù)f(x)=3(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當x∈?π6,π【題型5給值求值型問題】【例5.1】（2024·江蘇徐州·模擬預測）已知角α,β滿足cosβ=13,cosA．13 B．14 C．16【例5.2】（24-25高三上·四川綿陽·開學考試）已知sin4θ2?cosA．?2635 B．?325 C．?314 D．?1728(1)求sinα?(2)已知β∈0,π2，cos【變式5.2】（23-24高一下·山東德州·階段練習）已知0<α<π2，(1)求tanα(2)求cos2α+(3)若0<β<π2且cosα+β【題型6給值求角型問題】【例6.1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）已知α,β∈0,π4，cos2α?sin2A．π12 B．π6 C．π4【例6.2】（23-24高一下·遼寧遼陽·期中）已知α，β∈(0,π)，且cosα=55，sinA．?π4 B．3π4 C．?π4或【變式6.1】（23-24高一上·天津南開·期末）已知sinα=4(1)求tan2α的值；(2)求β【變式6.2】（23-24高一下·江蘇南通·期中）已知tanα+π4=?3，cosβ=?(1)sin2α(2)2α?β的值．【題型7三角恒等式的證明】【例7.1】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）求證：(1)sinα+1(2)tan3x【例7.2】（23-24高一·上海·課堂例題）證明下列恒等式：(1)sinα+(2)cos4(3)sin3α=3【變式7.1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）證明下列三角恒等式：(1)sinx(2)1+sin【變式7.2】（23-24高一·全國·隨堂練習）求證：(1)tanα+β(2)sinθ(3)sin4(4)tanπ【題型8三角綜合問題】【例8.1】（24-25高三上·北京·階段練習）已知函數(shù)fx=asin(1)求a的值和fx(2)求fx在0,【例8.2】（24-25高三上·天津南開·階段練習）已知函數(shù)fx=sin(1)求m的值；(2)求fx在0,(3)若fx02=11【變式8.1】（23-24高一下·云南曲靖·期中）已知函數(shù)fx=3(1)求fx的解析式，并求f(2)將fx圖象上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向左平移π6個單位，最后將整個函數(shù)圖象向上平移32個單位后得到函數(shù)gx的圖象，若π6【變式8.2】（24-25高三上·重慶·期中）已知f(x)=(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)y=|f(x)|?m在區(qū)間?5π24,①求m的取值范圍；②求x1一、單選題1．（2024·浙江杭州·一模）已知1sin10°?λA．1 B．2 C．3 D．22．（24-25高三上·重慶·階段練習）已知cosα+β=13，A．23 B．19 C．?13．（2025·黑龍江齊齊哈爾·一模）已知sin(α?β)=2cos(α+β),tan(α?β)=A．47 B．74 C．764．（24-25高三上·湖南長沙·階段練習）若3cosα+10cosβ=85A．?54 B．54 C．?5．（2024·四川綿陽·一模）已知θ為第一象限角，且tanθ+π3+tanA．9 B．3 C．13 D．6．（23-24高一下·江西吉安·期末）在△ABC中，若sinAsinB=121+A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形7．（23-24高三上·四川廣安·階段練習）在△ABC中，下列等式錯誤的是（

）A．sinB．sinC．tanD．sin8．（24-25高三上·云南昆明·階段練習）已知函數(shù)fx=sinωx+cosωxω>0的圖象的一條對稱軸是x=2π，且A．458 B．418 C．378二、多選題9．（24-25高三上·河南安陽·階段練習）已知cosαcosβ=25,sinαC．cosα?β=310．（24-25高三上·廣東佛山·階段練習）已知tanα=2tanβA．若tanα=tanB．若sinαcosC．若α，β∈0,π2，則D．?α，β∈0,π11．（24-25高三上·安徽六安·階段練習）設(shè)函數(shù)fx=cosA．fx的一個周期為B．y=fx的圖象關(guān)于x=C．fx在0,D．fx在區(qū)間0,2024三、填空題12．（24-25高三上·河南·階段練習）已知α為銳角且sinα+π4=2cos2α13．（24-25高三上·安徽合肥·階段練習）已知0<α<β<π2，且sinα+β+cosα+β14．（24-25高三上·吉林長春·階段練習）已知函數(shù)fx=23sinxcosx?2sin2x，若四、解答題15．（2025高三上·全國