廣東省惠州市惠城區(qū)惠州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)科試卷含答案解析

惠州中學(xué)2023級(jí)高二年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)科試卷說(shuō)明：本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。答案須做在答卷上；選擇題填涂須用2B鉛筆，主觀題須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答?？荚嚱Y(jié)束后只需交答卷。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|?1≤x≤1}，B={x|x2?5x+6≥0}，則下列結(jié)論正確的是(

A.A?B B.A∪B=A C.A∩B=B D.?2.復(fù)數(shù)z=?2i2?i+1，則z的虛部是(

A.?i B.i C.?1 D.13.已知函數(shù)f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,則f(1)?f(3)=

(

A.?2 B.?7 C.27 D.74.已知cosx?π6=?33，則A.?1B.±2335.已知空間向量|a|=3，|b|=2，且a?b=2，則b在A.a B.29a C.926.點(diǎn)A(4,?3),B(?2,?2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(

)A.k≥1或k≤?4 B.k≥1或k≤?4C.?4≤k≤1 D.?7.方程|x|?1=1?(y?1)2所表示的圖形是(

A..一個(gè)半圓 B.一個(gè)圓 C.兩個(gè)半圓 D.兩個(gè)圓8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y?22=1，則|A.12B.277 二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量a=(2,?1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，則(

A.|a|=|b| B.c?b=(2,?1,2)

C.a⊥b 10.已知直線l：y=kx+k+1，下列說(shuō)法正確的是(

)A.直線l過(guò)定點(diǎn)(1,?1)

B.當(dāng)k=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為x+y+2=0

C.點(diǎn)P(3,?1)到直線l的最大距離為25

D.直線11.已知圓M:x2+(y?2)2=1，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與MP交于點(diǎn)CA.四邊形PAMB周長(zhǎng)的最小值為2+2B.|AB|的最大值為2

C.若P(1,0)，則三角形PAB的面積為85 D.若Q(154,0)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分,14題第一空2分,第二空3分．12.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?2,0)，B(0,4)，C(0,0)，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．

13.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3,1，且n=2,0,2是l的方向向量，則點(diǎn)P4,3,214.在平面直角坐標(biāo)系中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，定義d(P,Q)=x1?x2+y1?四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題13分)

為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨、愛(ài)國(guó)的熱情，我校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的生日”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將2000名師生的競(jìng)賽成績(jī)(滿分100分)整理成如圖所示的頻率直方圖．

(1)求頻率直方圖中a的值以及師生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù);(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80,90)，[90,100]的師生中，采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求216.(本小題15分)

已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°，A1C1=3NC1，D1B=?2MB，設(shè)17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx?12cos2x．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f(A)=1，18.(本小題17分已知點(diǎn)A(?1,2)和直線l:x?y+1=0.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足|PO|=3|PB|(3)若點(diǎn)P的軌跡與直線x+my+1=0有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．19.(本小題17分)在RtΔABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D,E分別是AC,AB上的點(diǎn)，滿足DE//BC且DE經(jīng)過(guò)ΔABC的重心，將ΔADE沿DE折起到ΔA1DE的位置，使A(1)求證：A1C⊥平面(2)在線段A1C上是否存在點(diǎn)N，使平面CBM與平面BMN的夾角的余弦值為34

惠州中學(xué)2023級(jí)高二年級(jí)上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)科試卷參考答案說(shuō)明：本試卷共4頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。答案須做在答卷上；選擇題填涂須用2B鉛筆，主觀題須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答?？荚嚱Y(jié)束后只需交答卷。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合A={x|?1≤x≤1}，B={x|x2?5x+6≥0}，則下列結(jié)論正確的是A.A?B B.A∪B=A C.A∩B=B D.?1.解：∵A={x|?1?x?1}，B=x|x2?5x+6≥0=x|x≥3或x≤2，∴A?B，故A選項(xiàng)正確；

∴A∪B=x|x≥3或x≤2=B，故B2.復(fù)數(shù)z=?2i2?i+1，則z的虛部是A.?i B.i C.?1 D.12.解：復(fù)數(shù)z=?2i2?i+1=2?i+1=3?i，故z的虛部為?13.已知函數(shù)f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,則A.?2 B.?7 C.27 D.7

3.解：f(x)=x2+1,x≥2f(x+3),x<2,∴f(1)=f(1+3)=f(4)=17，f(3)=104.已知cosx?π6=?3A.?1 B.±233 4.解：cosx+cos5.已知空間向量|a|=3，|b|=2，且a?b=2，則A.a B.29a C.925.解：由題意可知

b在

a上的投影向量為

a·baaa=23×a3=6.點(diǎn)A(4,?3),B(?2,?2)，直線l過(guò)點(diǎn)P(1,1)且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是(

)A.k≥1或k≤?4 B.k≥1或k≤?43 C.?4≤k≤1 6.解：如圖，點(diǎn)A4,?3，B?2,?2，點(diǎn)P(1,1)，

則kPA=1+31?4=?43，kPB=1+21+2=1，

直線l7.方程|x|?1=1?(y?1)2A..一個(gè)半圓 B.一個(gè)圓 C.兩個(gè)半圓 D.兩個(gè)圓7.解：由題意，首先|x|>1，平方整理得(|x|?1)2+(y?1)2=1，

若x>1，則是以(1,1)為圓心，以1為半徑的右半圓

若x<?1，則是以(?1,1)為圓心，以1為半徑的左半圓

總之，方程表示的曲線是以(1,1)為圓心，以1為半徑的右半圓與以(?1,1)為圓心，以8.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y?22=1，則A.12 B.277 8解：設(shè)P(x,y)表示圓x2+(y?2)2=1上一動(dòng)點(diǎn)，則|3x+y|2表示點(diǎn)P到直線3x+y=0的距離d1，

x2+y2表示點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離d2，又圓心0,2到直線3x+y=0的距離為2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量a=(2,?1,2)，b=(2,2,1)，c=(4,1,3)，則A.|a|=|b| B.c?b=(2,?1,2)

C.a⊥b 9.解：因?yàn)閍=(2,?1,2)，b=(2,2,1)，

所以|a|=22+(?1)2+22=3，|b|=22+22+10.已知直線l：y=kx+k+1，下列說(shuō)法正確的是(

)A.直線l過(guò)定點(diǎn)(1,?1)

B.當(dāng)k=1時(shí)，l關(guān)于x軸的對(duì)稱直線為x+y+2=0

C.點(diǎn)P(3,?1)到直線l的最大距離為25

D.直線10.BC解：對(duì)于A，由直線l：y=kx+k+1可化簡(jiǎn)為y?1=k(x+1)，

所以直線l表示經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(?1,1)、斜率為k的直線，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于B，當(dāng)k=1時(shí)，直線l的方程為y=x+2，

用?y代換y得?y=x+2，整理得x+y+2=0，即為直線l關(guān)于x軸對(duì)稱的直線，故B項(xiàng)正確；

對(duì)于C，因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(?1,1)，所以當(dāng)直線MP⊥l時(shí)，點(diǎn)P(3,?1)到直線l的距離最大，

最大距離為|MP|=(?1?3)2+(1+1)2=25，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D，當(dāng)k=1時(shí)，直線11.已知圓M:x2+(y?2)2=1，點(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB與MPA.四邊形PAMB周長(zhǎng)的最小值為2+23 B.|AB|的最大值為2

C.若P(1,0)，則三角形PAB的面積為85 D.若Q(11.解：

PA,PB均與圓M相切，MA=MB=1，PA⊥AM,PB⊥BM，

則PA=PB=PM2?1．

對(duì)于A，四邊形PAMB周長(zhǎng)為l=PA+PB+AM+BM=2PM2?1+2，

因?yàn)辄c(diǎn)P為x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以PM的最小值即為點(diǎn)M到x軸的距離d=2?0=2，則PM?2，

所以l=2PM2?1+2?24?1+2=23+2，

即四邊形PAMB周長(zhǎng)的最小值為2+23，故A正確；

對(duì)于B，可知△PAM≌△PBM，則∠AMP=∠BMP，

所以PM⊥AB，所以AB=2AC，

由S△PAM=12PA·AM=12PM·AC可得AC=PA·AMPM=PM2?1PM=1?1PM2，

因?yàn)镻M?2，所以0<1PM2?14，所以32?1?1PM2<1，

即32?AC<1，所以3?AB<2，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，若P(1,0)，則PM=1?02+0?22=5，

由選項(xiàng)AB可得PA=PM2?1=2，AC=1?1PM2=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分,14題第一空2分,第二空3分．12.已知圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?2,0)，B(0,4)，C(0,0)，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)________________．

12.解：設(shè)圓M的方程為(x?a)2+(y?b)2=r13.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,3,1，且n=2,0,213.解：

PA→=(?2,0,?1)，故|

PA|

=5，cos??PA→,n→?=PA→·n→|PA→||n→|=?325×2=?3101014.在平面直角坐標(biāo)系中，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，定義d(P,Q)=x1?x2+y14.解：如圖，

該直線與兩軸的交點(diǎn)分別為N(0,25),M(5,0)，設(shè)P(x,y)為直線上任意一點(diǎn)，

作PQ⊥x軸于Q，于是有|PQ|=2|QM|，所以d=OQ+QP≥OQ+QM=|OM|，

即當(dāng)P與M重合時(shí)，dmin=|OM|=5，

如圖所示：

設(shè)F為圓上任意一點(diǎn)，過(guò)P、F分別作x、y軸的垂線交于點(diǎn)R，延長(zhǎng)FR交直線于點(diǎn)R'，

將F看作定點(diǎn)，由問(wèn)題1知P與F的最小“折線距離”為|FR'|，設(shè)F的縱坐標(biāo)為m，

則dmin=|FR'|min,|FR'|=2四、解答題：本題共6小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(本小題13分)

為了加深師生對(duì)黨史的了解，激發(fā)廣大師生知史愛(ài)黨、愛(ài)國(guó)的熱情，我校舉辦了“學(xué)黨史、育文化”暨“喜迎黨的生日”黨史知識(shí)競(jìng)賽，并將2000名師生的競(jìng)賽成績(jī)(滿分100分)整理成如圖所示的頻率直方圖．

(1)求頻率直方圖中a的值以及師生競(jìng)賽成績(jī)的中位數(shù);(2)從競(jìng)賽成績(jī)?cè)赱80,90)，[90,100]的師生中，采用分層抽樣的方法抽取6人，再?gòu)某槿〉?人中隨機(jī)抽取2人，求15.解：(1)因?yàn)?0(0.01+0.01+a+0.04+a)=1......1分

所以a=0.02，......2分

因?yàn)楣参褰M，前三組的頻率和0.1+0.1+0.2＝0.4<0.5前四組的頻率和0.1+0.1+0.2+0.4=0.8>0.5，所以中位數(shù)位于第四組。......4分設(shè)中位數(shù)為x，則x∈[80,90)，因?yàn)?x?80)×0.04=0.1，......5分所以x=82.5；......6分

(2)因?yàn)榈谒慕M與第五組的頻率之比為2:1，

故按照分層抽樣第四組抽取人數(shù)為4人，記為a，b，c，d第五組抽取人數(shù)為2人，記為e，f，......8分

從6人中選出2人，共有(a,b)，(a,c)，(a,d)，(a,e)，(a,f)，(b,c)，(b,d)，(b,e)，(b,f)，(c,d)，(c,e)，(c,f)，(d,e)，(d,f)，(e,f)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)共有N=15種，......10分

其中選出的2人來(lái)自同一組的是：(a,b)，(a,c)，(a,d)，(b,c)，(b,d)，(c,d)，(e,f)，樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)有M=7種，......11分

......12分

答：選出的2人中來(lái)自同一組的概率為715．16.(本小題15分)

已知在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AD=AA1=AB=1，∠A1AB=∠DAB=∠DAA1=60°，A1C1=3NC1，D1B=?2MB16.解：(1)MN=MD1+D1A1+A1N......1分

=?12D1B?AD+23A1C1......2分

=?12∴MN的長(zhǎng)度為22．......10分

(3)BD→=AD→?AB→=16b?a=0......14分

∴直線MN與BD所成角的余弦值為0

......15分17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=3sinxcosx?12cos2x，

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若f(A)=117.解：(1)∵函數(shù)f(x)=3sinxcosx?12=sin(2x?π6)，......2分

∴f(x)的最小正周期π．......4分

(2)∵在△ABC中，三個(gè)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，f(A)=1，

∴f(A)=sin(2A?∴2A?π6=π2+2kπ，k?Z，∴A=π3+2kπ，k?Z，......6分

∵0<A<π，∴A=π3，......7分

∵c=2acosB，∴sinC=2sinAcosB，......8分

sinC=sin[π?(A+B)]=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosB，......9分

∴sinAcosB?cosAsinB=0，......10分

∴sin∴S△ABC=12×6×6×32=918.(本小題17分已知點(diǎn)A(?1,2)和直線l:x?y+1=0.點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且點(diǎn)P滿足|PO|=3|PB|(3)若點(diǎn)P的軌跡與直線x+my+1=0有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．18.解：(1)設(shè)B(a,b)，A(?1,2)，因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱，

則有線段AB的中點(diǎn)M(a?12,b+22)在直線l上，......1分又直線AB⊥直線l，且直線l的斜率為1，則b?2a+1=?1，即?a+b?1=0故點(diǎn)B的坐標(biāo)(1,0)；......6分

(2)設(shè)P(x,y)，