新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)精講練+易錯題型第32講 復(fù)數(shù)（解析版）

第32講復(fù)數(shù)【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.虛數(shù)單位SKIPIF1<0:（1）它的平方等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0與－1的關(guān)系:SKIPIF1<0就是－1的一個平方根，即方程SKIPIF1<0的一個根，方程SKIPIF1<0的另一個根是SKIPIF1<0；（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立；（4）SKIPIF1<0的周期性：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.2.概念形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，SKIPIF1<0叫復(fù)數(shù)的虛部。說明：這里SKIPIF1<0容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。3.復(fù)數(shù)集全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母SKIPIF1<0表示；復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<04.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系：對于復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0叫做虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0就是實(shí)數(shù)0.所以復(fù)數(shù)的分類如下:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<05.復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等。即：如果SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0.特別地:SKIPIF1<0.應(yīng)當(dāng)理解:（1）一個復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.（2）復(fù)數(shù)相等的充要條件是將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)解決問題的基礎(chǔ).一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比較大?。灰仓挥挟?dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時才能比較大小。6.共軛復(fù)數(shù)：兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：復(fù)數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）互為共軛復(fù)數(shù)。二：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其四則運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:復(fù)數(shù)通常用字母SKIPIF1<0表示，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），把復(fù)數(shù)表示成SKIPIF1<0的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。2.四則運(yùn)算SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：SKIPIF1<0。三：復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)是SKIPIF1<0，縱坐標(biāo)是SKIPIF1<0，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）可用點(diǎn)SKIPIF1<0表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，SKIPIF1<0軸叫做實(shí)軸，SKIPIF1<0軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)。對于虛軸上的點(diǎn)原點(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為SKIPIF1<0，它所確定的復(fù)數(shù)是SKIPIF1<0表示是實(shí)數(shù)。故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)SKIPIF1<0這是因?yàn)?，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)，這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。2.復(fù)數(shù)的幾何表示（1）坐標(biāo)表示:在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；（2）向量表示:以原點(diǎn)SKIPIF1<0為起點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0為終點(diǎn)的向量SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0.向量SKIPIF1<0的長度叫做復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的模，記作SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.【微點(diǎn)撥】（1）向量SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0以及復(fù)數(shù)SKIPIF1<0有一一對應(yīng)；（2）兩個復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)時不能比較大小，但它們的?？梢员容^大小。3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：如果復(fù)數(shù)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別對應(yīng)于向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為兩邊作平行四邊形SKIPIF1<0，對角線SKIPIF1<0表示的向量SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的和所對應(yīng)的向量。4.復(fù)數(shù)減法的幾何意義：兩個復(fù)數(shù)的差SKIPIF1<0與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng)。【微點(diǎn)撥】1.復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算一般用代數(shù)形式進(jìn)行；2.求解計算時，要充分利用i的性質(zhì)計算問題；3.在復(fù)數(shù)的求解過程中，要注意復(fù)數(shù)整體思想的把握和應(yīng)用；4.復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是解決復(fù)數(shù)問題的最基本也是最重要的思想方法，其依據(jù)是復(fù)數(shù)的有關(guān)概念和兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件?！究键c(diǎn)研習(xí)一點(diǎn)通】考點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念【例1】設(shè)復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，試求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0取何值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別滿足：(1)SKIPIF1<0是純虛數(shù)；(2)SKIPIF1<0對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限。【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得?！敬鸢浮?1)當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是純虛數(shù)；(2)當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)的點(diǎn)位于復(fù)平面的第二象限.【總結(jié)】復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性，對復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對一些概念的等價表達(dá)式要熟知。比如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0是純虛數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；【變式1-1】實(shí)數(shù)m取什么數(shù)值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別是：實(shí)數(shù)？(2)虛數(shù)?(3)純虛數(shù)？(4)表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限?【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念易求得。【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0(1)當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù).當(dāng)SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)為虛數(shù).當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù).當(dāng)SKIPIF1<0時即SKIPIF1<0時，表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0的點(diǎn)在復(fù)平面的第四象限.【總結(jié)】復(fù)習(xí)中，概念一定要結(jié)合意義落實(shí)到位，對復(fù)數(shù)的分類條件要注意其充要性，對復(fù)數(shù)相等、共軛復(fù)數(shù)的概念的運(yùn)用也是這樣；對一些概念的等價表達(dá)式要熟知。比如：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0是純虛數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）SKIPIF1<0SKIPIF1<0；【變式1-2】求當(dāng)實(shí)數(shù)SKIPIF1<0取何值時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0分別是：（1）實(shí)數(shù)；（2）虛數(shù)；（3）純虛數(shù)。【解析】（1）當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)；（2）當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為虛數(shù)；（3）當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時，復(fù)數(shù)SKIPIF1<0為純虛數(shù).【變式1-3】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,則復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（）A.必為純虛數(shù)B.是虛數(shù)但不一定是純虛數(shù)C.必為實(shí)數(shù)D.可能是實(shí)數(shù)也可能是虛數(shù)【答案】[法1]設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，故應(yīng)選C。[法2]∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.[法3]∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.考點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等【例2】復(fù)數(shù)z1＝SKIPIF1<0＋(10-a2)i，z2＝SKIPIF1<0若SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.【點(diǎn)撥】SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，將SKIPIF1<0化簡成a+bi形式可得。【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0是實(shí)數(shù)，∴a2＋2a-15＝0，解得a＝-5或a＝3.又(a＋5)(a-1)≠0，∴a≠-5且a≠1，故a＝3.【總結(jié)】兩個復(fù)數(shù)相等，a+bi=c+diSKIPIF1<0SKIPIF1<0.【變式2-1】已知集合M=｛（a+3）+（b2-1）i,8｝,集合N=｛3，（a2-1）+(b+2)｝同時滿足M∩NSKIPIF1<0M，M∩N≠Φ，求整數(shù)a,b【點(diǎn)撥】先判斷兩集合元素的關(guān)系，再列方程組，進(jìn)而解方程組，最后檢驗(yàn)結(jié)果是否符合條件?！窘獯稹縎KIPIF1<0…………①或SKIPIF1<0…………②或SKIPIF1<0…………③由①得a=-3,b=±2,經(jīng)檢驗(yàn)，a=-3,b=-2不合題意，舍去?！郺=-3，b=2由②得a=±3,b=-2.又a=-3,b=-2不合題意，∴a=3,b=-2;由③得SKIPIF1<0,此方程組無整數(shù)解。綜合①②③得a=-3，b=2或a=3,b=-2?！究偨Y(jié)】1、a+bi=c+diSKIPIF1<0SKIPIF1<0.2、利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。注：對于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z=a+bi(a,b∈R)?！咀兪?-2】已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i(i為虛數(shù)單位)，復(fù)數(shù)z2的虛部為2，且z1·z2是實(shí)數(shù)，求z2.【解析】設(shè)z2=a+2i(a∈R)，由已知復(fù)數(shù)z1滿足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i，又已知z1·z2=(2-i)·(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是實(shí)數(shù)，則虛部4-a=0，即a=4，則復(fù)數(shù)z2=4+2i.【變式2-3】實(shí)數(shù)m分別取什么數(shù)值時？復(fù)數(shù)z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)與復(fù)數(shù)2－12i相等；(2)與復(fù)數(shù)12＋16i互為共軛復(fù)數(shù)；(3)對應(yīng)的點(diǎn)在x軸上方．【點(diǎn)撥】利用復(fù)數(shù)相等定義?！窘馕觥?1)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得SKIPIF1<0解之得m＝－1.(2)根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義得SKIPIF1<0解之得m＝1.(3)根據(jù)復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)在x軸上方可得m2－2m－15＞0，解之得m＜－3或m＞5.【總結(jié)】利用復(fù)數(shù)相等可實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)問題的轉(zhuǎn)化。解題時要把等號兩邊的復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式。對于復(fù)數(shù)z，如果沒有給出代數(shù)形式，可設(shè)z=a+bi(a,b∈R)?？键c(diǎn)三：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算【例3】計算：SKIPIF1<0【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)?！窘馕觥縎KIPIF1<0【總結(jié)】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用SKIPIF1<0進(jìn)行運(yùn)算?！咀兪?-1】SKIPIF1<0【答案】：原式=SKIPIF1<0SKIPIF1<0【變式3-2】計算：計算SKIPIF1<0【點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)?！窘馕觥縎KIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【總結(jié)】復(fù)數(shù)除法關(guān)鍵是把分母實(shí)數(shù)化，通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，利用SKIPIF1<0進(jìn)行運(yùn)算?！咀兪?-3】SKIPIF1<0【解析】原式=SKIPIF1<0【總結(jié)】復(fù)數(shù)的綜合運(yùn)算中會涉及模、共軛及分類等，求z時要注意是把z看作一個整體還是設(shè)為代數(shù)形式應(yīng)用方程思想；當(dāng)z是實(shí)數(shù)或純虛數(shù)時注意常見結(jié)論的應(yīng)用.【變式3-4】已知z1，z2為復(fù)數(shù)，(3＋i)z1為實(shí)數(shù)，SKIPIF1<0且|z2|＝SKIPIF1<0求z2.【點(diǎn)撥】可不設(shè)代數(shù)形式利用整體代換的思想求解.z1＝z2(2＋i)，(3＋i)z1＝z2(2＋i)(3＋i)＝z2(5＋5i)∈R，∵|z2|＝SKIPIF1<0∴|z2(5＋5i)|＝50，∴z2(5＋5i)＝±50，SKIPIF1<0【總結(jié)】1、(1)復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式運(yùn)算，除法關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，注意要把i的冪寫成最簡形式.(2)記住以下結(jié)論，可提高運(yùn)算速度：①(1±i)2=±2i；SKIPIF1<0⑤i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i(n∈N).2、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算類似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算，此時含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項(xiàng)，不含i的看作另一類同類項(xiàng)，分別合并即可，但要注意把i的冪寫成最簡單的形式，在運(yùn)算過程中，要熟透i的特點(diǎn)及熟練應(yīng)用運(yùn)算技巧?？键c(diǎn)四：復(fù)數(shù)的幾何意義【例4】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)，若SKIPIF1<0所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求SKIPIF1<0的取值范圍.【點(diǎn)撥】在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價于SKIPIF1<0的實(shí)部大于零而虛部小于零?！窘馕觥俊逽KIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.【總結(jié)】每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)?！咀兪?-1】已知復(fù)數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0是純虛數(shù)，求m值；若SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求m的取值范圍.【點(diǎn)撥】在復(fù)平面內(nèi)以點(diǎn)SKIPIF1<0表示復(fù)數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0所對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限等價于SKIPIF1<0的實(shí)部大于零而虛部小于零?！窘馕觥?1)SKIPIF1<0復(fù)數(shù)SKIPIF1<0是純虛數(shù)，SKIPIF1<0解得m=0.(2)SKIPIF1<0復(fù)數(shù)SKIPIF1<0在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限SKIPIF1<0解之得SKIPIF1<0【總結(jié)】每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點(diǎn)，有唯一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。【變式4-2】已知SKIPIF1<0是復(fù)數(shù)，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為實(shí)數(shù)，且復(fù)數(shù)SKIPIF1<0對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍?！敬鸢浮浚涸O(shè)SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)∴SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，根據(jù)已知條件有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是SKIPIF1<0.考點(diǎn)五：化復(fù)數(shù)問題為實(shí)數(shù)問題【例5】已知SKIPIF1<0互為共軛復(fù)數(shù)，且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.【點(diǎn)撥】設(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）代入條件，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，易得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的兩個方程?！窘馕觥吭O(shè)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0,代入原等式得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0?！究偨Y(jié)】復(fù)數(shù)定義：“形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的數(shù)叫復(fù)數(shù)”就意味凡是復(fù)數(shù)都能寫成這樣，求一個復(fù)數(shù)，使用一個復(fù)數(shù)都可通過這一形式將問題化虛為實(shí)；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來研究是解決復(fù)數(shù)問題的常用方法。【變式5-1】求使關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0至少有一個實(shí)根的實(shí)數(shù)SKIPIF1<0.【點(diǎn)撥】根的判別式只適用實(shí)系數(shù)的一元二次方程，虛系數(shù)有實(shí)根用兩復(fù)數(shù)相等，化虛為實(shí)?！窘馕觥吭O(shè)SKIPIF1<0為方程的一個實(shí)根，則有SKIPIF1<0即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【總結(jié)】設(shè)出實(shí)根，化虛為實(shí)，再利用兩復(fù)數(shù)相等。【變式5-2】已知SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0的兩根為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】：∵SKIPIF1<0，∴方程的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以用SKIPIF1<0來判定方程有無實(shí)根。(1)當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，方程的根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0,②當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.(2)當(dāng)SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0時，方程的根SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為虛根SKIPIF1<0。SKIPIF1<0【易錯易錯】易錯一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，則z＝（）A．163i B．6i C．20【解析】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，得a=?23，此時z=故選：C．2．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）＝i，則z的虛部為（）A．110 B．?110 C．i【解析】解：由z（1+3i）＝i，得z=i∴z的虛部為110故選：A．3．已知復(fù)數(shù)z=2i1+i（i虛數(shù)單位），則zA．2 B．2 C．1 D．1【解析】解：由題意知|z|=|2i|利用性質(zhì)z?z=|z|2故選：B．4．若a?ii=b+2i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3【解析】解：∵a?ii=?ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，∴a＝﹣2，b＝﹣1∴a+b＝﹣3．故選：A．5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z=i?11+i，則|A．1 B．2 C．3 D．2【解析】解：z=i?1故|z|＝1，故選：A．易錯二.復(fù)數(shù)的幾何意義1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)(1?i)2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：由(1?i)2則復(fù)數(shù)(1?i)21+i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，故選：C．2．設(shè)i是虛數(shù)單位，z的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＝1+2i，則復(fù)數(shù)z+i?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：∵z＝1+2i，∴z+i?z=1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i∴復(fù)數(shù)z+i?z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），位于第一象限．故選：A．3．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解析】解：∵復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，∴a+1＝0，即a＝﹣1．故選：B．4．已知復(fù)數(shù)z＝3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第象限．【解析】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，∴z=3+4i則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），位于第一象限．故答案為：一．5．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量OA→對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量OB→對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為【解析】解：∵向量OA→對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，∴A（﹣又點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴B（﹣2，﹣1）．∴向量OB→對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣2﹣i，該復(fù)數(shù)的模為|﹣2﹣i|=故答案為：5．易錯三.復(fù)數(shù)的指數(shù)冪運(yùn)算1．若復(fù)數(shù)z=2i1+i7（A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解析】解：∵z=2i1+i∴z=?1﹣i∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣1）；∴它對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，故選：C．2．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則a+iA．1 B．0 C．1+i D．1﹣i【解析】解：復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，可得a＝1，a+i20161+i=故選：D．3．已知復(fù)數(shù)z=(1+i)3(1?i)A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解析】解：z=(1+i)3(1?i則z的虛部為﹣1，故選：A．4．已知復(fù)數(shù)z滿足z?i2020＝1+i2019（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解析】解：∵i4＝1，∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，則z?i2020＝1+i2019化為z＝1﹣i，∴z的虛部為﹣1．故選：A．5．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（1+i1?i）2013A．﹣1 B．1 C．﹣i D．i【解析】解：∵1+i1?i∴z＝（1+i1?i）2013＝i2013＝（i2）1006?i＝i故選：D．易錯四.待定系數(shù)在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用——最值問題1．若復(fù)數(shù)z滿足3z+z=?4+2i，則A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【解析】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），則3z+z=3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2∴4a=?42b=2，即a＝﹣1，b∴z＝﹣1+i．故選：D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為（）A．25 B．5 C．5 D．2+i【解析】解：法一、設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，∴a2?b2=3∴|z|=a故選：C．法二、由z2＝3+4i，得|z則|z|=5故選：C．3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+3i，則|z1﹣z2|＝【解析】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d為實(shí)數(shù)），因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足|z所以a+c=?1b+d=3且a2+b2＝1，c2+d所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，即2ac+2bd＝﹣1，則|z1﹣z2|=(a?c故答案為：6．4．已知z∈C，且|z|＝1，則|z﹣2﹣2i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（）A．22?1 B．22+1 C．2 【解析】解：∵|z|＝1且z∈C，作圖如圖：∵|z﹣2﹣2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P（2，2）的距離，∴|z﹣2﹣2i|的最小值為：|OP|﹣1＝22?故選：A．5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，則|z1﹣z2|的最大值為（）A．3+23 B．210 C．3+10 【解析】解：因?yàn)閨z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，所以z1，對應(yīng)的點(diǎn)在以A（1，0）為圓心，以1為半徑的圓上，z2對應(yīng)的點(diǎn)在以B（0，﹣3）為圓心，以2為半徑的圓上，則|z1﹣z2|的幾何意義是兩圓上點(diǎn)的距離，則則|z1﹣z2|的最大值為AB+1+2＝3+12+(?3故選：C．【鞏固提升】1.互為共軛復(fù)數(shù)的兩復(fù)數(shù)之差是()A、實(shí)數(shù)B、純虛數(shù)C、0D、零或純虛數(shù)【答案】D【解析】選D.設(shè)互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)分別為z=a+bi,SKIPIF1<0=a-bi(a、b∈R)，則z-SKIPIF1<0=2bi或SKIPIF1<0-z=-2bi.∵b∈R,當(dāng)b≠0時，z-SKIPIF1<0,SKIPIF1<0-z為純虛數(shù)；當(dāng)b=0時，z-SKIPIF1<0=SKIPIF1<0-z=0.故選D.2.若SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為虛數(shù)單位)，則SKIPIF1<0的值分別等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【答案】A【解析】由SK