(新教材)2020-2021高中數(shù)學人教B版選擇性必修三學案：6.3利用導數(shù)解決實際問題含解析

6.3利用導數(shù)解決實際問題新版課程標準學業(yè)水平要求利用導數(shù)解決與函數(shù)有關的問題1.借助教材實例進一步掌握導數(shù)在研究函數(shù)的單調性、極值、圖象、零點等問題中的應用.(數(shù)學運算)2.能利用導數(shù)解決簡單的實際問題.(數(shù)學運算)關鍵能力·素養(yǎng)形成類型一函數(shù)的圖象問題【典例】給定函數(shù)fQUOTE=ex-x.(1)判斷函數(shù)fQUOTE的單調性,并求出fQUOTE的值域;(2)畫出函數(shù)fQUOTE的大致圖象;(3)求出方程fQUOTE=mQUOTE在區(qū)間[-1,2]的解的個數(shù).【思維·引】(1)求導數(shù)、求極值后確定最值,得到值域;(2)利用函數(shù)的單調性,增長趨勢作圖;(3)利用圖象的交點個數(shù)判斷解的個數(shù).【解析】(1)函數(shù)的定義域為R.f′QUOTE=ex-1,令f′QUOTE=0,解得x=0.f′QUOTE,fQUOTE的變化情況如表所示:x0f′QUOTE-0+fQUOTE單調遞減1單調遞增所以,fQUOTE在區(qū)間QUOTE上單調遞減,在區(qū)間QUOTE上單調遞增.當x=0時,fQUOTE的極小值fQUOTE=1.也是最小值,故函數(shù)fQUOTE的值域為QUOTE.(2)由(1)可知,函數(shù)的最小值為1.函數(shù)的圖象經(jīng)過特殊點fQUOTE=QUOTE+1,fQUOTE=e2-2,fQUOTE=1,當x→+∞時,fQUOTE→+∞,f′QUOTE→+∞;當x→-∞時,指數(shù)函數(shù)y=ex越來越小,趨向于0,因此函數(shù)fQUOTE圖象上的點逐漸趨向于直線y=-x.根據(jù)上述信息,畫出函數(shù)fQUOTE的大致圖象如圖所示.(3)截取函數(shù)fQUOTE在區(qū)間[-1,2]上的圖象如圖所示.由圖象得:當fQUOTE<m≤fQUOTE,即m∈QUOTE時,fQUOTE與y=m恰有兩個不同交點,即m∈QUOTE時,方程fQUOTE=m在區(qū)間QUOTE上恰有兩個不同的實根;同理,當m=1或QUOTE+1<m≤e2-2時,方程fQUOTE=m在區(qū)間QUOTE上有唯一的實根;當m<1或m>e2-2時,方程fQUOTE=m在區(qū)間QUOTE上無實根.【內化·悟】作函數(shù)的圖象時需要關注哪些方面?提示:定義域、單調性、極值、最值以及圖象的變化趨勢等.【類題·通】作函數(shù)fQUOTE圖象的步驟(1)求出函數(shù)的定義域;(2)求導數(shù)f′QUOTE及函數(shù)f′QUOTE的零點;(3)用f′QUOTE的零點將fQUOTE的定義域劃分為若干個區(qū)間,列表給出f′QUOTE在各個區(qū)間上的正負,并得出fQUOTE的單調性與極值;(4)確定fQUOTE的圖象所經(jīng)過的一些特殊點,以及圖象的變化趨勢;(5)畫出fQUOTE的大致圖象.【習練·破】函數(shù)f(x)=(x2+tx)ex(實數(shù)t為常數(shù),且t<0)的圖象大致是 ()【解析】選B.由f(x)=0得x2+tx=0,得x=0或x=-t,即函數(shù)f(x)有兩個零點,排除A,C,函數(shù)的導數(shù)f′(x)=(2x+t)ex+(x2+tx)ex=[x2+(t+2)x+t]ex,當x→-∞時,f′(x)>0,即在x軸最左側,函數(shù)f(x)為增函數(shù),排除D.類型二實際生活中的最值問題【典例】(2020·泰州高二檢測)某連鎖分店銷售某種商品,每件商品的成本為4元,并且每件商品需向總店交a(1≤a≤3)元的管理費,預計當每件商品的售價為x(8≤x≤9)元時,一年的銷售量為(10-x)2萬件.(1)求該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與每件商品的售價x的函數(shù)關系式L(x);(2)當每件商品的售價為多少元時,該連鎖分店一年的利潤L最大,并求出L的最大值.【思維·引】(1)利潤=每件商品的利潤×銷售量;(2)利用導數(shù)求最值.【解析】(1)該連鎖分店一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關系式為L(x)=(x-4-a)(10-x)2,x∈[8,9].(2)L′(x)=(10-x)2-2(x-4-a)(10-x)=(10-x)(18+2a-3x),令L′(x)=0,得x=6+QUOTEa或x=10(舍去).因為1≤a≤3,所以QUOTE≤6+QUOTEa≤8.所以L(x)在x∈[8,9]上單調遞減,故L(x)max=L(8)=(8-4-a)(10-8)2=16-4a.當每件商品的售價為8元時,該連鎖分店一年的利潤L最大,最大值為(16-4a)萬元.【類題·通】解決實際優(yōu)化問題時應注意的問題(1)列函數(shù)關系式時,注意實際問題中變量的取值范圍,即函數(shù)的定義域;(2)一般地,通過函數(shù)的極值來求函數(shù)的最值.如果函數(shù)在給定區(qū)間上只有一個極值點,則根據(jù)所求即可判斷該值是最大值還是最小值.【習練·破】(2020·焦作高二檢測)欲制作一個容積為V的圓柱形蓄水罐(無蓋),為能使所用的材料最省,它的底面半徑應為 ()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTED.QUOTE【解析】選C.設圓柱的底面半徑為r,高為h,表面積為y,則由題意有πr2h=V,所以h=QUOTE.蓄水罐的表面積y=πr2+2πrh=πr2+2πrQUOTE=πr2+QUOTE(r>0).令y′=2πr-QUOTE=QUOTE=0,得r=QUOTE.檢驗得,當r=QUOTE時表面積取得最小值,即所用的材料最省.類型三利用導數(shù)研究函數(shù)的問題角度1恒成立問題【典例】(2020·龍鳳高二檢測)函數(shù)f(x)=ex-kx,當x∈(0,+∞)時,f(x)≥0恒成立,則k的取值范圍是 ()A.k≤1B.k≤2 C.k≤eD.k≤QUOTE【思維·引】轉化為最值問題.【解析】選C.依題意,ex-kx≥0在(0,+∞)上恒成立,即k≤QUOTE在(0,+∞)上恒成立,令g(x)=QUOTE(x>0),則g′(x)=QUOTE=QUOTE,當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x)min=g(1)=e,所以k≤e.【素養(yǎng)·探】將恒成立問題轉化為最值問題用到了核心素養(yǎng)中的邏輯推理.將本例改為在區(qū)間QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,試求k的取值范圍.【解析】在區(qū)間QUOTE上存在x,使f(x)≥0成立,即在區(qū)間QUOTE上存在x,使k≤QUOTE成立.令g(x)=QUOTE(x>0),則g′(x)=QUOTE=QUOTE,因為當x∈(0,1)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減,當x∈(1,+∞)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增,所以g(x)min=g(1)=e,又gQUOTE=2QUOTE,gQUOTE=QUOTEe3,所以g(x)max=gQUOTE=QUOTEe3.所以k≤QUOTEe3.角度2證明問題【典例】已知函數(shù)f(x)=aex-blnx在點(1,f(1))處的切線方程為y=(e-1)x+1.(1)求a,b的值;(2)求證:f(x)>2.【思維·引】(1)利用切點坐標、切線斜率構造方程(組)求值.(2)轉化為最值進行證明.【解析】(1)函數(shù)fQUOTE=aex-blnx的導數(shù)為f′QUOTE=aex-QUOTE,函數(shù)fQUOTE=aex-blnx在點QUOTE處的切線斜率為k=ae-b,由切線方程y=QUOTEx+1,可得ae-b=e-1,e=ae,解得a=1,b=1.(2)fQUOTE=ex-lnx,導數(shù)為f′QUOTE=ex-QUOTE,x>0,易知f′QUOTE為增函數(shù),且f′QUOTE>0,f′QUOTE<0.所以存在m∈QUOTE,有f′QUOTE=0,即em=QUOTE,且x>m時,f′QUOTE>0,fQUOTE遞增;0<x<m時,f′QUOTE<0,fQUOTE遞減,可得在x=m處fQUOTE取得最小值,fQUOTE=em-lnm=QUOTE+m>2,可得fQUOTE>2成立.【類題·通】1.關于恒成立問題注意區(qū)分“對于定義域內的任意值”“在定義域內存在值”成立的區(qū)別,兩種敘述反映了不同的邏輯關系,對應的最值類型不同,要準確判斷針對的是最大值還是最小值,確定好最值類型后利用導數(shù)求最值解題.2.關于證明問題首先分析要證明的命題是否與函數(shù)的最值、單調性等性質有關,如果有關則轉化為相應的問題證明;其次是針對要證明的命題構造函數(shù),再通過構造的函數(shù)性質證明.函數(shù)的證明問題往往都比較復雜,需要綜合應用函數(shù)、導數(shù)等知識進行構造、轉化等方式證明.【習練·破】1.(2020·秦州高二檢測)已知函數(shù)f(x)=QUOTE-mx(e為自然對數(shù)的底數(shù)),若f(x)<0在(0,+∞)上有解,則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.(e,+∞)B.(-∞,e)C.QUOTED.QUOTE【解析】選C.由f(x)=QUOTE-mx<0在(0,+∞)上有解,可得,m>QUOTE在(0,+∞)上有解,令g(x)=QUOTE,x>0,則m>g(x)min,g′(x)=QUOTE,則當0<x<2時,g′(x)<0,函數(shù)單調遞減,當x>2時,g′(x)>0,函數(shù)單調遞增,故當x=2時,函數(shù)g(x)取得最小值,g(2)=QUOTE.故m>QUOTE.2.已知函數(shù)f(x)=alnx+bx,g(x)=QUOTEx2-QUOTE,曲線y=fQUOTE在點QUOTE處的切線方程為x-2y-2=0.(1)求a,b的值;(2)證明:f(x)≤g(x).【解析】(1)f′(x)=QUOTE+b,則a+b=QUOTE,f(1)=b=-QUOTE,解得a=1,b=-QUOTE.(2)令h(x)=lnx-QUOTEx-QUOTEx2+QUOTE,則h′(x)=QUOTE-QUOTE-QUOTEx=QUOTE,又x>0,則h(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,所以h(x)≤h(1)=0,f(x)≤g(x)成立.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.有一長為16m的籬笆,要圍成一個矩形場地,A.4m2B.8【解析】選D.設矩形一邊長為xm(0<x<8),則另一邊長為(8-x)m.S=x(8-x),易知當x=4時,S有最大值162.一個箱子的容積與底面邊長x的關系為V(x)=x2·QUOTE(0<x<60),則當箱子的容積最大時,x的值為 ()A.30B.40 【解析】選B.V(x)=-QUOTEx3+30x2,V′(x)=-QUOTEx2+60x,令V′(x)=0,得x=40(x=0舍去),且當0<x<40時,V′(x)>0,當40<x<60時,V′(x)<0,故V(x)在x=40時取得最大值.3.函數(shù)f(x)=x3-QUOTEx2-2x+5,若對于任意x∈[-1,2],都有f(x)<m,則實數(shù)m的取值范圍是________.

【解析】f′(x)=3x2-x-2,令f′(x)=0,得x=-QUOTE或x=1.可求得f(x)max=f(2)=7.所以對于任意x∈[-1,2],f(x)<m恒成立時,m>7.答案:m>74.已知函數(shù)f(x)=ex(lnx-1),使得f(m)≥-e成立的實數(shù)m的取值范圍為________.

【解析】f′(x)=exQUOTE,令g(x)=lnx+QUOTE-1,則g′(x)=QUOTE-QUOTE=QUOTE,當0<x<1時,g′(x)<0,函數(shù)單調遞減,當x>1時,g′(x)>0,函數(shù)單調遞增,故g(x)≥g(1)=0,即f′(x)≥0恒成立,從而f(x)在(0,+∞)上單調遞增,且f(1)=-e,故m≥1.答案:[1,+∞)【新情境·新思維】隨著人們生活水平的提高,汽車的擁有量越來越多,據(jù)有關