2024-2025學(xué)年天津市南開中學(xué)高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（五）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年天津市南開中學(xué)高三（上）統(tǒng)練數(shù)學(xué)試卷（五）一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x|x2=4}，則下列說法正確的是A.2?A B.{?2}∈A C.{2}?A D.??A2.命題“?x∈R，x3+|x|?2>0”的否定是(

)A.?x?R，x3+|x|?2≤0 B.?x∈R，x3+|x|?2≤0

C.?x∈R，x33.已知f(x)=ex?e?x?2sinxA. B.

C. D.4.已知函數(shù)f(x)=x?sinx，x∈R，則f(?π4),f(1)及A.f(?π4)>f(1)>f(π3) B.f(1)>f(5.數(shù)列{an}是遞增的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足aA.d>0 B.a1<0

C.當(dāng)n=4時(shí)，Sn最小 D.Sn6.設(shè)各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1A.?2 B.?1 C.?12 7.已知偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x?1x+1，則使不等式f(a2?2a)<1A.(?1,3) B.(?3,3) C.(?1,1) D.(?∞,3)8.四張卡片的正面分別寫上y=|cosx|，y=tanx+2sinx，y=|sinx|+sin|x|，y=sinx+cosx+|sinx?cosx|，現(xiàn)將這四張卡片反過來，小明從中任意抽取兩張，則所抽到的兩張卡片所書寫函數(shù)周期相同的概率為(

)A.23 B.16 C.139.已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π3)(ω>0)的圖象在區(qū)間[0,π]上有且僅有兩條對稱軸，則A.(π2,2π3) B.(二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。10.已知(1x+ax2)611.復(fù)數(shù)z=(2cosθ?1)+(2sinθ+3)i為純虛數(shù)，則tanθ=12.已知log23=m，log72=n，則log4256=______.(用13.已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0(a,b,c∈R)的解集為(?4,1)，則c14.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯及其信徒組成的學(xué)派，他們常把沙灘上的沙?；蛐∈佑脭?shù)表示，并由它們排列而成的形狀對自然數(shù)進(jìn)行研究.如圖，圖形中的圓點(diǎn)數(shù)分別為1，5，12，22，…，以此類推，第7個(gè)圖形對應(yīng)的圓點(diǎn)數(shù)為______；若這些數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則a1+a15.若方程x2?2ax+a+2+|x2?1|=0在區(qū)間(0,3]三、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題12分)

已知△ABC中的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a>b，a=5，c=6，△ABC的面積是9．

(Ⅰ)求b的值；

(Ⅱ)求sinA的值；

(Ⅲ)求cos(2A?π617.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足Sn+2n=2an．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若b18.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC，AB//DC，AB=12CD=AD=1，M為棱PC的中點(diǎn)．

(1)證明：BM//平面PAD；

(2)若PC=5，PD=1，

(i)求二面角P?DM?B的余弦值；

(ii)在線段PA上是否存在點(diǎn)Q，使得點(diǎn)Q到平面BDM的距離是219.(本小題12分)

已知橢圓E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn)(3,1)，且離心率為63,O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求E的方程．

(2)過點(diǎn)P(0,3)且不與y軸重合的動(dòng)直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為Q．

(i)20.(本小題12分)

已知函數(shù)f(x)=ex+e?x+kcosx．

(1)若k=?2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍；

參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.C

7.A

8.B

9.D

10.±6

11.312.3n+1mn+n+113.(?∞,?6]

14.70

438

15.(1+16.解：(Ⅰ)在△ABC中，由a=5，c=6，△ABC的面積是9，

可知S△ABC=12acsinB=12×5×6sinB=9，

得到sinB=35，

因?yàn)閍>b，可得cosB=45，

由已知及余弦定理，有b2=a2+c2?2accosB=13，

所以b=13；

(Ⅱ)因?yàn)閎=13，sinB=35，a=5，

由正弦定理asinA17.解：(1)由Sn+2n=2an，得Sn=2an?2n，①

當(dāng)n=1時(shí)，S1=2a1?2，解得a1=2，

當(dāng)n≥2時(shí)，有Sn?1=2an?1?2(n?1)，②

兩式作差可得an=2an?2an?1?2，即an=2an?1+2，

∴an+2=2(an?1+2)，n≥2，

又a1+2=4，∴數(shù)列18.(1)證明：取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，如圖所示：

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，

∴MN/?/CD，MN=12CD，

∵AB/?/CD，AB=12CD，

∴AB/?/MN，AB=MN，

∴四邊形ABMN是平行四邊形，∴BM/?/AN，

又BM?平面PAD，AN?平面PAD，

∴BM//平面PAD；

(2)解：∵PC=5，PD=1，CD=2，

∴PC2=PD2+CD2，∴PD⊥DC，

∵平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=DC，

PD?平面PDC，

∴PD⊥平面ABCD，

又AD?平面ABCD，∴PD⊥AD，又AD⊥DC，

∴以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

則P(0,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,2,0)，

∵M(jìn)為棱PC的中點(diǎn)，

∴M(0,1,12)，B(1,1,0)，

(i)DM=(0,1,12)，DB=(1,1,0)

設(shè)平面BDM的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，

則n?DM=y+12z=0n?DB=x+y=0，令z=2，則y=?1，x=1，

∴n=(1,?1,2)，

平面PDM的一個(gè)法向量為DA=(1,0,0)，

∴cos<n，DA>=n?DA|n||DA|=11×6=619.解：(1)由已知，得9a2+1b2=1,ca=63,a2=b2+c2,解得a=23,b=2,

故E的方程為x212+y24=1．

(2)(i)證明：由題可設(shè)l：y=kx+3，A(x1,y1)，B(x2,y2).

聯(lián)立x212+y24=1y=kx+3，消去y得(1+3k2)x2+18kx+15=0．

當(dāng)Δ=4(36k2?15)>0，即k2>512時(shí)，有x1+x2=?18k1+3k2,20.(1)由題意可得f′(x)=ex?e?x+2sinx，x∈R，

記u(x)=f′(x)，則u′(x)=ex+e?x+2cosx≥2+2cosx≥0，且等號(hào)不同時(shí)成立，

∴f′(x)在R上單調(diào)遞增，且f′(0)=0，

∴x<0時(shí)，f′(x)<0；x>0時(shí)，f′(x)>0，

∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?∞,0)，單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)；

(2)若f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，則f′(x)=ex?e?x?ksinx≥0=f′(0)恒成立，

設(shè)?(x)=f′(x)，則?′(x)=ex+e?x?kcosx，

當(dāng)k>2時(shí)