全國(guó)統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題四平面向量梳理糾錯(cuò)預(yù)測(cè)學(xué)案理含解析

PAGE平面對(duì)量專題專題4××平面對(duì)量命題趨勢(shì)命題趨勢(shì)平面對(duì)量主要考查平面對(duì)量的模、數(shù)量積的運(yùn)算、線性運(yùn)算等，難度一般偏簡(jiǎn)潔，有時(shí)也會(huì)與三角函數(shù)、圓錐曲線結(jié)合考查，難度中等．考點(diǎn)清單考點(diǎn)清單一、平面對(duì)量及其線性運(yùn)算1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模)一般用有向線段來(lái)表示向量零向量長(zhǎng)度為0的向量記作，其方向是隨意的單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)與任一向量平行或共線相等向量長(zhǎng)度相等且方向相同的向量?jī)上蛄恐挥邢嗟然虿幌嗟?，不能比較大小相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量的相反向量為2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則平行四邊形法則（1）交換律：a+（2）結(jié)合律：(減法若b+x=a，則向量x叫做三角形法則a數(shù)乘實(shí)數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘（1）|λa（2）當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ=0時(shí)，λ(μa(λ+μ)aλ(3．共線向量定理向量與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得．二、平面對(duì)量基本定理和平面對(duì)量的坐標(biāo)表示1．平面對(duì)量基本定理假如，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的非零向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使．其中，不共線的非零向量，叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．2．平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)，，則，，，．3．平面對(duì)量共線的坐標(biāo)表示設(shè)，，其中b≠0．．三、平面對(duì)量的數(shù)量積1．定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos記作a?規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2．投影：|a|cos<a3．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)向量，，則（1）a（2）a（3）四、平面對(duì)量的相關(guān)結(jié)論1．“三點(diǎn)”共線的充要條件：O為平面上一點(diǎn)，則A，B，P三點(diǎn)共線的充要條件是OP2．三角形中線向量公式：若P為ΔOAB的邊AB的中點(diǎn)，則．

精題集訓(xùn)精題集訓(xùn)（70分鐘）經(jīng)典訓(xùn)練題經(jīng)典訓(xùn)練題一、選擇題．1．已知平面對(duì)量a，b滿意|aA． B． C． D．【答案】D【解析】∵a⊥(a．，，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的夾角，以及向量垂直的條件，屬于基礎(chǔ)題．2．在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，若AD=a，AB=A． B． C． D．【答案】A【解析】解法一：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．解法二：如圖，取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為等腰梯形，AB=2CD，所以，所以四邊形BCDE為平行四邊形，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】在幾何圖形中進(jìn)行向量運(yùn)算：（1）構(gòu)造向量加、減法的三角形法則和平行四邊形法則；（2）樹立“基底”意識(shí)，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算．3．若平面對(duì)量a與b的夾角為，a=1，b=2，則2A．32 B．23 C．18 D【答案】B【解析】2a+b2=4a【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了向量的運(yùn)算以及向量的模長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量，b=(3，-2)，c=(1，m)A．1 B．2 C．3 D．2【答案】B【解析】由題設(shè)可得a-因?yàn)?a-b)⊥所以c=1，1，故c【點(diǎn)評(píng)】本題考了向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及向量的垂直的條件，模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5．若向量，BC=3，1A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，BC=3所以，BA=1，BC=2則，，所以，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)為向量夾角的計(jì)算，以及三角形面積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知△ABC為等邊三角形，AB=2，設(shè)點(diǎn)D，E滿意BD=DC，，AD與交于點(diǎn)P，則（）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以EC=2AE，所以E為AC的一個(gè)靠近又因?yàn)锽D=DC，所以D為過E作EF⊥AD交AD于F點(diǎn)，如下圖所示：因?yàn)榍褺D=CD，所以，所以，所以，所以，故選D．【點(diǎn)評(píng)】解答本題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)E，D，即可干脆依據(jù)數(shù)量積的計(jì)算公式完成求解．7．若向量a，b滿意a=2，a+2b?aA．1 B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)a，b的夾角為θ，則，則，即b在a方向上的投影為，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量投影的計(jì)算公式，考查了計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．8．已知向量a，b為平面內(nèi)的單位向量，且，向量c與a+b共線，則|A．1 B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄縞與a+b共線，所以存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得所以a+所以(a又向量a，b為平面內(nèi)的單位向量，所以|a|=1，又，所以，所以，所以|a+c|的最小值為，故選【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查共線定理的應(yīng)用及平面對(duì)量數(shù)量積，關(guān)鍵是依據(jù)共線，利用共線定理將c用向量a，b表示，再通過平方轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問題．9．如圖，延長(zhǎng)正方形ABCD的邊CD至點(diǎn)E，使得DE=CD，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周后回到點(diǎn)A，若，則下列推斷正確的是（）A．滿意的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn) B．滿意的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C．滿意的點(diǎn)P有且只有一個(gè) D．的點(diǎn)P有且只有一個(gè)【答案】C【解析】如圖建系，取AB=1，∵AE=∴，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A動(dòng)身，沿正方形的邊按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，當(dāng)P∈AB時(shí)，有0≤λ-μ≤1且μ=0，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤1，當(dāng)P∈BC時(shí)，有λ-μ=1且0≤μ≤1，則λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈CD時(shí)，有0≤λ-μ≤1且μ=1，則μ≤λ≤μ+1，∴1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，當(dāng)P∈AD時(shí)，有λ-μ=0且0≤μ≤1，則λ=μ，∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，綜上，0≤λ+μ≤3．選項(xiàng)A，取λ=μ=1，滿意λ+μ=2，此時(shí)AP=AB+AE=AD，因此點(diǎn)故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P取B點(diǎn)或AD的中點(diǎn)時(shí)，均滿意λ+μ=1，此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時(shí)，λ-μ=1且μ=1，解得λ=2，λ+μ為3，故C正確；選項(xiàng)D，當(dāng)點(diǎn)P取BC的中點(diǎn)或DE的中點(diǎn)時(shí)，均滿意，此時(shí)點(diǎn)P不唯一，故D錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)評(píng)】求解本題的關(guān)鍵在于依據(jù)題中所給條件，利用建系的方法，探討P的位置，依據(jù)，確定λ+μ的范圍，即可求解．（向量用坐標(biāo)表示后，向量的計(jì)算和證明都?xì)w結(jié)為數(shù)的運(yùn)算，這使問題大大簡(jiǎn)化）10．在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，，線段CM與BN交于點(diǎn)O，動(dòng)點(diǎn)P在△BOC內(nèi)部活動(dòng)（不含邊界），且AP=λAB+μAN，其中λ、μ∈A． B． C． D．【答案】D【解析】如下圖所示，連接BP并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，設(shè)NG=mAN，PG=nBG，則AG=，又∵AP=λAB+μAN∴λ+μ=m+1-mn=m，0<1-n<1，則，即，即，因此，λ+μ的取值范圍是，故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用平面對(duì)量的基本定理求與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式的取值范圍，解題的關(guān)鍵在于引入?yún)?shù)表示λ、μ，并結(jié)合不等式的基本性質(zhì)求出λ+μ的取值范圍．二、填空題．11．已如|AB|=1，|BC|=2，且【答案】【解析】因?yàn)閨AB|=1，|BC所以，因?yàn)?lt;AB，BC>∈[0，π]，所以AB與因?yàn)锳D?DC=0，所以AD⊥DC以B為原點(diǎn)，BC為x軸正方向建系，如圖所示：所以，，，設(shè)以AC為直徑的圓的圓心為P，所以，且，所以D的軌跡的方程為，BD的最大值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】解題的關(guān)鍵是依據(jù)題意，分析可得D點(diǎn)的軌跡為圓，進(jìn)而求得圓的方程，依據(jù)圓的幾何性質(zhì)求解，考查分析理解，數(shù)形結(jié)合的實(shí)力，屬中檔題．12．如圖梯形ABCD，且AB=5，AD=2DC=4，E在線段BC上，AC?BD=0，則AE?【答案】【解析】因?yàn)?，所以向量AD與AB的夾角和向量AD與DC的夾角相等，設(shè)向量AD與AB的夾角為θ，因?yàn)锳C?BD=0即AD2整理得16+8cosθ-20cosθ如圖，過點(diǎn)D作AB垂線，垂足為O易知A-2，0，B3，則BC=-1，23E=3-λ，23λAE?因?yàn)?≤λ≤1，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積的求法，可通過建立直角坐標(biāo)系的方式進(jìn)行求解，考查向量的運(yùn)算法則，考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查計(jì)算實(shí)力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，是難題．13．已知向量的模長(zhǎng)為1，平面對(duì)量m，n滿意：|m-2e|=2【答案】-1【解析】由題意知：不妨設(shè)e=1，則依據(jù)條件可得x-22+y依據(jù)柯西不等式得m?因?yàn)閍-1x+bya-1x+by+x≤4x+x當(dāng)且僅當(dāng)bx=a-1令t=4x，則，又x-22+y所以t∈0，4，當(dāng)t=4時(shí)，，即，而t∈0，4，所以當(dāng)t=2時(shí)，，即m故m?n的取值范圍是【點(diǎn)評(píng)】設(shè)e=1，0，m=a-1214．已知，，是平面對(duì)量，且，是相互垂直的單位向量，若對(duì)隨意λ∈R均有的最小值為，則的最小值為___________．【答案】3【解析】，即，所以，即，設(shè)為x軸的方向向量，為y軸方向向量，所以，對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為，所以x2-2y+1=0，得，因?yàn)闉閽佄锞€x2=2y向上平移個(gè)單位，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，1)，準(zhǔn)線為y=0，所以點(diǎn)到(0，1)(1，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=1時(shí)，取最小值．故答案為3．【點(diǎn)評(píng)】關(guān)于向量模長(zhǎng)的問題，一般沒有坐標(biāo)時(shí)，利用平方公式綻開計(jì)算；有坐標(biāo)時(shí)，代入坐標(biāo)公式求解，涉及模長(zhǎng)的最值問題，一般須要轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，或者點(diǎn)到線的距離等問題，利用幾何方法求解．三、解答題．15．已知向量，，函數(shù)fx=m（1）若，求函數(shù)fx的最值；（2）若，且fθ=1，，求的值．【答案】（1）最大值為，最小值為；（2）．【解析】（1）因?yàn)?，，所以，因?yàn)椋?，所以?dāng)，即時(shí)，最小，最小值為0，此時(shí)fx最大，最大值為；所以當(dāng)，即時(shí)，最大，最大值為1，此時(shí)fx最小，最小值為．即fx的最大值為，最小值為．（2）由（1）得，又fθ=1，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法，以及兩角和的余弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)化實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題．解題關(guān)鍵是：整體思想的應(yīng)用，一是將看成整體，利用三角函數(shù)圖象求出最值；二是將看成整體，利用兩角和的余弦公式綻開求出．高頻易錯(cuò)題高頻易錯(cuò)題一、解答題．1．已知a=2，b=1，向量a與向量b的夾角為，設(shè)向量，向量．（1）求a?（2）設(shè)ft=m?n，求ft的表達(dá)式；若m與【答案】（1）1；（2）f(t)=t2+6t+2，t<-3-7或【解析】（1）．（2）=4t+2t+t因?yàn)閙與n的夾角θ為銳角，所以m?即t2+6t+2>0，解得t<-3-7又由m和n共線，解得t=2所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是t<-3-7或t>-3+7且【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積．向量m，n夾角為銳角是m?n>0的充分不必要條件，m，n夾角為0精準(zhǔn)精準(zhǔn)預(yù)料題一、選擇題．1．如圖所示的△ABC中，點(diǎn)D是線段AC上靠近A的三等分點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，則DE=A． B． C． D．【答案】B【解析】依題意，，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD=3，點(diǎn)P為△BCD內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OP=αOC+βA． B． C． D．【答案】D【解析】以O(shè)為原點(diǎn)，OD，OC為因?yàn)樗倪呅蜲ABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD=3，所以D(3，0)，，B(1，1)，OD所以O(shè)P=α設(shè)P(x，y)，則，所以，所以，即求的最大值，因?yàn)辄c(diǎn)P為△BCD所以由圖可知，平移直線到經(jīng)過點(diǎn)B(1，1)時(shí)，取得最大值，所以的最大值是，故選D．【點(diǎn)評(píng)】建立平面直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃求解是解題關(guān)鍵．3．如圖，B是AC的中點(diǎn)，BE=2OB，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且①當(dāng)x=0時(shí)，y∈②當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，，；③若x+y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段；④x-y的最大值為-1．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當(dāng)x=0時(shí)，OP=yOB，則P在線段上，故1≤y≤3，故①錯(cuò)當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，，故②對(duì)；x+y為定值1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故P的軌跡是線段，故③對(duì)；如圖，過P作，交OE于M，作，交AO的延長(zhǎng)線于N，則：OP=又OP=xOA+yOB；由圖形看出，當(dāng)P與B重合時(shí)：OP=0此時(shí)x取最大值0，y取最小值1；所以x-y取最大值-1，故④正確，所以選項(xiàng)②③④正確，故選C．【點(diǎn)評(píng)】若OC=xOA+yOB，則二、填空題．4．已知a=2，a?b=-8，b=-3，【答案】【解析】設(shè)向量a與b的夾角為θ，因?yàn)閎=-3，又因?yàn)閍=2，a?b=-8，所以又θ∈0，π，所以，即有所以向量a與b的夾角的正切值為，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用向量的數(shù)量積求夾角的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．5．已知單位向量，滿意：，則向量與向量的夾角θ=___________．【答案】【解析】因?yàn)閱挝幌蛄浚?，，所以，即，θ?，π故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量垂直的條件，以及向量夾角的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．6．已知向量，若，且，則x+y的最大值為______．【答案】【解析】∵，且，∴與的夾角為，設(shè)，則，∵，∴，又，∴，化簡(jiǎn)得x2+xy+y∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，∴，故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面對(duì)量的混合運(yùn)算，還涉及利用基本不等式解決最值問題，考查學(xué)生的邏輯推理實(shí)力，屬于中檔題．7．如圖，在直角梯形ABC