2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第2章等式與不等式2.22.2.1第1課時不等式及其性質(zhì)學(xué)案新人教B版必修第一冊

PAGE2.2不等式2.2.1第1課時不等式及其性質(zhì)學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．會用不等式(組)表示實際問題中的不等關(guān)系．(一般)2．會用比較法比較兩實數(shù)的大?。?重點)3．駕馭不等式的基本性質(zhì)，并能運用這些性質(zhì)解決有關(guān)問題.1．借助實際問題表示不等式，提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．2.通過大小比較，培育邏輯推理素養(yǎng).清麗、美麗的芭蕾舞劇《睡美人》序曲奏響了，一名女演員雙手摩挲著舞裙，眼里閃耀著倔強和自信的目光．只見她踮起腳尖，一個優(yōu)雅的旋轉(zhuǎn)，輕快地提著舞裙，飄然來到臺上，在追光燈下飄起舞裙，那飄灑翩躚的舞姿，把整個舞臺化成一片夢境……她為什么要踮起腳尖呢？因為一般的人，下半身長x與全身長y的比值eq\f(x,y)在0.57～0.6之間．設(shè)人的腳尖立起提高了m，則下半身長與全身長度的比由eq\f(x,y)變成了eq\f(x＋m,y＋m)，這個比值特別接近黃金分割值0.618.這便是不等式在實際生活中的應(yīng)用，不等式還有哪些重要的性質(zhì)呢？學(xué)問點一不等關(guān)系與不等式1．不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，稱為不等式．2．比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)的大小作差法的理論依據(jù)：a－b＜0?a＜b；a－b＝0?a＝b；a－b＞0?a＞b.1．(1)已知t＝a＋4b，s＝a＋b2＋4，則t和s的大小關(guān)系是()A．t＞sB．t≥sC．t＜sD．t≤s(2)設(shè)a，b＞0，P＝eq\r(a)＋eq\r(b)，Q＝eq\r(a＋b)，則P與Q的大小關(guān)系是()A．P≥QB．P≤QC．P＞QD．P＜Q(1)D(2)C[(1)∵s－t＝a＋b2＋4－(a＋4b)＝b2－4b＋4＝(b－2)2≥0，∴t≤s.(2)P2＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋b＋2eq\r(ab)，Q2＝(eq\r(a＋b))2＝a＋b.∵a，b＞0，∴P2＞Q2.∴P＞Q.]學(xué)問點二不等式的性質(zhì)1．不等式的性質(zhì)(1)性質(zhì)1(可加性)：a＞b?a＋c＞b＋c.(2)性質(zhì)2(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞0))?ac＞bc.(3)性質(zhì)3(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＜0))?ac＜bc.(4)性質(zhì)4(傳遞法)：a＞b，b＞c?a＞c.(5)性質(zhì)5(對稱性)：a＞b?b＜a.2．不等式性質(zhì)的推論(1)推論1(移項法則)：a＋b＞c?a＞c－b.(2)推論2(同向可加性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞d))?a＋c＞b＋d.(3)推論3(同向同正可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0，,c＞d＞0))?ac＞bd.(4)推論4(正數(shù)乘方性)：a＞b＞0?an＞bn(n∈N，n＞1)．(5)推論5(正數(shù)開方性)：a＞b＞0?eq\r(a)＞eq\r(b).利用不等式性質(zhì)應(yīng)留意哪些問題？[提示]在運用不等式時，肯定要弄清不等式(組)成立的前提條件．不行強化或弱化成立的條件．如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；可乘性中的“c的符號”等都須要留意．2.已知a≥b，可以推出()A．eq\f(1,a)≥eq\f(1,b) B．a(chǎn)c2≥bc2C．eq\f(a,c2)＞eq\f(b,c2) D．(ac)2≥(bc)2B[∵c2≥0，a≥b，∴ac2≥bc2.]3.思索辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a＞b，c＜d，則a－c＞b－d. ()(2)若a＞b，則eq\f(1,a)＜eq\f(1,b). ()(3)若a＞b＞0，c＞d＞0，則eq\f(a,d)＞eq\f(b,c). ()(4)已知a＞b，e＞f，c＞0，則f－ac＜e－bc. ()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√[提示](1)因為c＜d，所以－c＞－d，又a＞b.所以a－c＞b－d.(2)因為a＞b，若a＞0，b＜0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)錯誤．(3)因為c＞d＞0，所以eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，又因為a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c).(4)因為a＞b，c＞0，所以ac＞bc，故－ac＜－bc，又因為e＞f，即f＜e，所以f－ac＜e－bc.類型1比較兩數(shù)(式)的大小【例1】(對接教材P60例1)已知x≤1，比較3x3與3x2－x＋1的大?。甗解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1．把本例中“x≤1”改為“x∈R”，再比較3x3與3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵3x2＋1＞0，∴當(dāng)x＞1時，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1；當(dāng)x＝1時，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1；當(dāng)x＜1時，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1．作差法比較兩個實數(shù)(代數(shù)式)大小的基本步驟類型2利用不等式性質(zhì)推斷命題真假【例2】對于實數(shù)a，b，c，下列命題中的真命題是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＞b＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，則eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0[思路點撥]本題可以利用不等式的性質(zhì)干脆推斷命題的真假，也可以采納特別值法推斷．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0時，有ac2＝bc2，故A為假命題；由a＞b＞0，有ab＞0?eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)?eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B為假命題；a＜b＜0?－a＞－b＞0?－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0?eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C為假命題；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b?b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)?\f(1,a)－\f(1,b)＞0?\f(b－a,ab)＞0))?ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D為真命題．法二：特別值解除法．取c＝0，則ac2＝bc2，故A錯；取a＝2，b＝1，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1．有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B錯；取a＝－2，b＝－1，則eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C錯．故選D．]運用不等式的性質(zhì)推斷命題真假的技巧(1)運用不等式的性質(zhì)推斷時，要留意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不能隨意捏造性質(zhì)．(2)解有關(guān)不等式選擇題時，也可采納特別值法進行解除，留意取值肯定要遵循如下原則：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡潔，便于驗證計算．eq\o([跟進訓(xùn)練])1．下列命題正確的是()A．若a2＞b2，則a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＜bC．若ac＞bc，則a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，則a＜bD[A錯，例如(－3)2＞22；B錯，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C錯，例如當(dāng)c＝－2，a＝－3，b＝2時，有ac＞bc，但a＜b.故選D．]2．若a，b∈R，則使a＜b與eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)同時成立的條件是________．a(chǎn)＜b＜0或0＜a＜b[由eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)得eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＞0，即eq\f(b－a,ab)＞0①，又a＜b，故b－a＞0②，由①②得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b－a＞0，,ab＞0，))所以a＜b＜0或0＜a＜b.]類型3不等式性質(zhì)的應(yīng)用1．由－6<a<8，－4<b<2，兩邊分別相減得－2<a－b<6，你認為正確嗎？[提示]不正確．因為同向不等式具有可加性，但不能相減，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質(zhì)進行等價變形，而不行隨意“創(chuàng)建”性質(zhì)．2．你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.這怎么與－2<a＋b<2沖突了呢？[提示]利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要留意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉(zhuǎn)化不是等價變形．本題中將2<a－b<4與－2<a＋b<2兩邊相加得0<a<3，又將－4<b－a<－2與－2<a＋b<2兩邊相加得出－3<b<0，又將該式與0<a<3兩邊相加得出－3<a＋b<3，多次運用了這種轉(zhuǎn)化，導(dǎo)致了a＋b范圍的擴大．【例3】已知1＜a＜4,2＜b＜8，試求a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[思路點撥]依據(jù)不等式的性質(zhì)，找到－b與eq\f(1,b)的范圍，進而求出a－b與eq\f(a,b)的取值范圍．[解]因為1＜a＜4,2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2，所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因為eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的數(shù)或式子的取值范圍時，一要留意題設(shè)中的條件，二要正確運用不等式的性質(zhì)，尤其是兩個同方向的不等式可加不行減，可乘不行除.eq\o([跟進訓(xùn)練])3．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范圍．[解]∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，兩式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.1．設(shè)M＝(a＋1)(a－3)，N＝2a(aA．M＞NB．M≥NC．M＜ND．M≤NC[N－M＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)22．假如a＞b＞0，c＞d＞0，則下列不等式中不正確的是()A．a(chǎn)－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a(chǎn)＋d＞b＋c D．a(chǎn)c＞bdC[由已知及不等式的性質(zhì)可得a＋c＞b＋d，即a－d＞b－c，所以A正確；由c＞d＞0，得eq\f(1,d)＞eq\f(1,c)＞0，又a＞b＞0，所以eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)，－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)，即B正確；明顯D正確，因此不正確的選項是C．]3．若－1＜α＜β＜1，則下列各式中恒成立的是()A．－2＜α－β＜0 B．－2＜α－β＜－1C．－1＜α－β＜0 D．－1＜α－β＜1A[由－1＜α＜1，－1＜β＜1，得－1＜－β＜1．∴－2＜α－β＜2，但α＜β，故知－2＜α－β＜0.故選A．]4．(多選題)已知a，b，c為非零實數(shù)，且a－b≥0，則下列結(jié)論正確的有()A．a(chǎn)＋c≥b＋c B．－a≤－bC．a(chǎn)2≥b2 D．eq\f(1,ab2)≥eq\f(1,ba2)ABD[因為a－b≥0，所以a≥b.依據(jù)不等式的性質(zhì)可知A，B正確；因為a，b的符號不確定，所以C不正確；eq\f(1,ab2)－eq\f(1,ba2)＝eq\f(a－b,a2b2)≥0.可得eq\f(1,ab2)≥eq\f(1,ba2)，所以D正確．]5．已知60＜x＜84,28＜y＜33，則x－y的取值范圍是________，eq\f(x,y)的取值范圍是________．(27,56)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(20,11)，3))[由28＜y＜33得－33＜－y＜－28，eq\f(1,33)＜eq\f(1,y)＜eq\f(1,28)，則60－33＜x－y＜84－28，即27＜x－y＜56，則eq\f(60,33)＜eq\f(x,y)＜eq\f(84,28)，即eq\f(20,11)＜eq\f(x,y)＜3.]回顧本節(jié)學(xué)問，自我完成下列問題：1．作差比較法的四個步驟是什么？[提示](1)作差：對要比較大小的兩個式子作差．(2)變形：對差式通過通分、因式分解、配方、有理化等方法進行變形．(3)推斷符號：對變形后的結(jié)果結(jié)合題設(shè)條件推斷出差的符號．(4)作出結(jié)論．上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“推斷符號”是目的，“變形”是關(guān)鍵．2．利用不等式的性質(zhì)推斷正誤有哪2種方法？[提示](1)干脆法：對于說法正確的，要利用不等式的相關(guān)性質(zhì)或函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)證明；對于說法錯誤的只需舉出一個反例即可．(2)特別值法：留意取值肯定要遵循三個原則：一是滿意題設(shè)條件；二是取值要簡潔，便于驗證計算；三是所取的值要有代表性．實際問題中的不等關(guān)系糖水跟煲湯一樣，具有滋補養(yǎng)生的功效．可以作為糖水的材料有許多，不同的材料具有不同的功效，有的具有涼爽性，有的具有燥熱性．依據(jù)不同的主料來配搭不同輔料，可以達到相輔相成的效果．專家稱，喝糖水可緩解煩躁失眠．在煩躁而不簡潔入眠時，喝糖水可使體內(nèi)產(chǎn)生大量血清素，亦可助眠．下列關(guān)于糖水濃度的問題，能提煉出怎樣的不等關(guān)系呢？(1)假如向一杯糖水里加糖，糖水變甜了；(2)把原來的糖水(淡)與加糖后的糖水(濃)混合到一起，得到的糖水肯定比淡的濃、比濃的淡；(3)假如向一杯糖水里加水，糖水變淡了．[提示](1)設(shè)糖水b克，含糖a克，糖水濃度為eq\f(a,b)，加入m克糖，即證明不等式eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b)(其中a，b，m為正實數(shù)，且b＞a)成立．不妨用作差比較法，證明如下：eq\f(a＋m,b＋m)－eq\f(a,b)＝eq\f(ba＋m－ab＋m,bb＋m)＝eq\f(mb－a,bb＋m).∵a，b，m為正實數(shù)，且a＜b，∴b＋m＞0，b－a＞0，∴eq\f(mb－a,bb＋m)＞0，即eq\f(a＋m,b＋m)＞eq\f(a,b).(2)設(shè)原糖水b克，含糖a克，糖水濃度為eq\f(a,b)；另一份糖水d克，含糖c克，糖水濃度為eq\f(c,d)，且eq\f(a,b)＜eq\f(c,d)，求證：eq\f(a,b)＜eq\f(a＋c,b＋d)＜eq\f(c,d)(其中b＞a＞0，d＞c＞0)．證明：∵eq\f(a,b)＜eq\f(c,d)，且b＞a＞0，d＞c＞0，∴ad＜bc，即bc－ad＞0，eq\f(a,b)－e