2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第十一章立體幾何初步單元素養(yǎng)評價(jià)練習(xí)含解析新人教B版必修第四冊

PAGE單元素養(yǎng)評價(jià)(三)(第十一章)(120分鐘150分)一、單選題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2024·浙江高考)已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m,n,l,則“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】選B.已知m,n,l兩兩相交,可以推出m,n,l在同一個(gè)平面,反之,已知m,n,l在一個(gè)平面,可以推出m,n,l兩兩相交,或者m∥n,l與m,n相交等多種狀況,故“m,n,l在同一平面”是“m,n,l兩兩相交”的必要不充分條件.2.下列說法不正確的是 ()A.空間中,一組對邊平行且相等的四邊形肯定是平行四邊形B.同一平面的兩條垂線肯定共面C.過直線上一點(diǎn)可以作多數(shù)條直線與這條直線垂直,且這些直線都在同一平面內(nèi)D.過一條直線有且只有一個(gè)平面與已知平面垂直【解析】選D.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面DCC1D1,因此平面ABCD,平面AA1D1D均與平面DCC1D1垂直而且平面AA1D1D∩3.已知圓錐的底面半徑為1,且它的側(cè)面綻開圖是一個(gè)半圓,則這個(gè)圓錐的體積為 ()A.QUOTEπ B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.QUOTEπ【解析】選A.設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為R,如圖所示,則2πr=πR,因?yàn)閞=1,所以R=2,所以圓錐的高h(yuǎn)=QUOTE=QUOTE,所以圓錐的體積V=QUOTEπ×12×QUOTE=QUOTEπ.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接三棱柱,三棱柱的底面為等腰直角三角形,且此三角形內(nèi)接于圓柱的底面圓.假如圓柱的體積是V,那么三棱柱的體積是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.設(shè)圓柱的底面圓半徑為R,高為h,在等腰Rt△A1B1C1中,A1B1所以QUOTE=QUOTE(QUOTER)2=R2,又S圓=πR2,h=QUOTE,所以V三棱柱=h·QUOTE=hR2=QUOTE.4.如圖所示,有一個(gè)圓柱,在圓柱下底面的點(diǎn)A處有一只螞蟻,它想吃到上底面的點(diǎn)B處的食物.當(dāng)圓柱的高等于12cm,底面半徑為3cm時(shí),螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程是(π=3) ()A.12cm B.13cm C.15cm D.18cm【解析】選C.如圖所示,在圓柱的側(cè)面綻開圖中,BC的長為底面圓周長的一半,即BC=QUOTE×2π×3=3π,螞蟻所走路程為AB=QUOTE=QUOTE=15(cm).所以螞蟻沿圓柱表面爬行的最短路程是15cm.【補(bǔ)償訓(xùn)練】一個(gè)圓錐的高擴(kuò)大為原來的2倍,底面半徑縮小為原來的QUOTE,則圓錐的體積變?yōu)樵瓉淼?()A.一半 B.2倍 C.不變 D.3倍【解析】選A.設(shè)原圓錐的高為h,半徑為r,體積為V,則V=QUOTEπr2h;改變后圓錐的體積為V′=QUOTEπ·QUOTE·2h=QUOTE·QUOTEπr2h=QUOTEV.5.(2024·全國卷Ⅱ)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面【解析】選B.當(dāng)α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行,也可能兩平面相交,故A錯.同樣當(dāng)α,β平行于同一條直線或α,β垂直于同一平面時(shí),兩平面也可能相交,故C,D錯.由面面平行的判定定理可得B正確.6.如圖,在矩形ABCD中,EF∥AD,GH∥BC,BC=2,AF=FG=BG=1,現(xiàn)分別沿EF,GH將矩形折疊,使得AD與BC重合,則折疊后的幾何體的外接球的表面積為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.6π D.24π【解析】選B.由題意得,折疊后的幾何體為正三棱柱,且該三棱柱的底面邊長為1,高為2,如圖所示的正三棱柱AGF-CHE.設(shè)上下底面的中心分別為O1,O2,則球心O為O1,O2的中點(diǎn),連接OH,O2H,則O2H=QUOTE×QUOTE×1=QUOTE,OO2=1.所以O(shè)H=QUOTE=QUOTE=QUOTE,即球的半徑R=QUOTE.所以該幾何體的外接球的表面積為S=4πR2=4π×QUOTE=QUOTE.7.(2024·全國卷Ⅲ)如圖,點(diǎn)N為正方形ABCD的中心,△ECD為正三角形,平面ECD⊥平面ABCD,M是線段ED的中點(diǎn),則 ()A.BM=EN,且直線BM,EN是相交直線B.BM≠EN,且直線BM,EN是相交直線C.BM=EN,且直線BM,EN是異面直線D.BM≠EN,且直線BM,EN是異面直線【解析】選B.因?yàn)橹本€BM,EN都是平面BED內(nèi)的直線,且不平行,即直線BM,EN是相交直線.設(shè)正方形ABCD的邊長為2a,則由題意可得:DE=2a,DM=a,DN=QUOTEa,DB=2QUOTEa,依據(jù)余弦定理可得:BM2=DB2+DM2-2DB·DMcos∠BDE=9a2-4QUOTEa2cos∠BDE,EN2=DE2+DN2-2DE·DNcos∠BDE=6a2-4QUOTEa2cos∠BDE,所以BM≠EN.8.(2024·浙江高考)設(shè)三棱錐V-ABC的底面是正三角形,側(cè)棱長均相等,P是棱VA上的點(diǎn)(不含端點(diǎn)),記直線PB與直線AC所成角為α,直線PB與平面ABC所成角為β,二面角P-AC-B的平面角為γ,則 ()A.β<γ,α<γ B.β<α,β<γC.β<α,γ<α D.α<β,γ<β【解析】選B.方法一,如圖,G為AC中點(diǎn),連接VG,點(diǎn)V在底面ABC的投影為O,則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)D在線段AO上,過點(diǎn)D作DE垂直AC于E,易得PE∥VG,過點(diǎn)P作PF∥AC交VG于點(diǎn)F,過點(diǎn)D作DH∥AC,交BG于點(diǎn)H,則α=∠BPF,β=∠PBD,γ=∠PED,則cosα=QUOTE=QUOTE=QUOTE<QUOTE=cosβ,即α>β,tanγ=QUOTE>QUOTE=tanβ,即γ>β,綜上所述,答案為B.方法二:(特別位置)取V-ABC為正四面體,P為VA中點(diǎn),易得cosα=QUOTE?sinα=QUOTE,sinβ=QUOTE,sinγ=QUOTE可知B選項(xiàng)正確.二、多選題(本大題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)是符合題目要求的,全部選對的得5分,選對但不全的得3分,有選錯的得0分)9.設(shè)l為直線,α,β是兩個(gè)不同的平面,下列命題中錯誤的是 ()A.若l∥α,l∥β,則α∥βB.若l⊥α,l⊥β,則α∥βC.若l⊥α,l∥β,則α∥βD.若α⊥β,l∥α,則l⊥β【解析】選ACD.A中α,β也可相交,A不正確;由垂直同始終線的兩平面平行知,B正確;C中,α,β可垂直,C不正確;D中l(wèi)與β也可平行或l?β,D不正確.10.如圖,在三棱錐P-ABC中,已知PC⊥BC,PC⊥AC,點(diǎn)E,F,G分別是所在棱的中點(diǎn),則下面結(jié)論正確的有 ()A.平面EFG∥平面PBCB.平面EFG⊥平面ABCC.∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D.∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【解析】選ABC.A正確,因?yàn)镚F∥PC,GE∥CB,GF∩GE=G,PC∩CB=C,所以平面EFG∥平面PBC;B正確,因?yàn)镻C⊥BC,PC⊥AC,PC∥GF,所以GF⊥BC,GF⊥AC,又BC∩AC=C,所以GF⊥平面ABC,又GF?平面EFG,所以平面EFG⊥平面ABC;C正確,因?yàn)镋F∥BP,所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角;D錯誤,因?yàn)镚E與AB不垂直,所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角.11.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1A.D1P∥平面A1BC1B.D1P⊥BDC.平面PDB1⊥平面A1BC1D.三棱錐A1-BPC1的體積不變【解析】選ACD.對A,因?yàn)樵谡襟w中,D1A∥BC1,D1C∥BA1,且D1A∩D1C=D1,BC1所以平面D1AC∥平面A1BC1因?yàn)镻在面對角線AC上運(yùn)動,所以D1P∥平面A1BC1,所以A正確.對B,當(dāng)P位于AC的中點(diǎn)時(shí),D1P⊥BD不成立,所以B錯誤.對C,因?yàn)锳1C1⊥平面BDD1B1;所以A1C1⊥B同理A1B⊥B1D,因?yàn)锳1C1∩A1B=A1,所以B1D⊥平面A1BC1又B1D?平面PDB1,所以平面PDB1⊥平面A1BC1,所以C正確.對D,三棱錐A1-BPC1的體積等于三棱錐B-A1PC1的體積.△A1PC1的面積為定值QUOTEA1C1·AA1,B到平面A1PC1的高為定值,所以三棱錐A1-BPC1的體積不變,所以D正確.12.如圖,在四棱錐S-ABCD中,底面ABCD為正方形,且SA=SB=SC=SD,其中E,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),動點(diǎn)P在線段MN上運(yùn)動時(shí),下列結(jié)論正確的是 ()A.EP⊥AC B.EP∥BDC.EP∥平面SBD D.EP⊥平面SAC【解析】選AC.如圖所示,設(shè)AC,BD相交于點(diǎn)O,連接EM,EN,SO.對于A,由正四棱錐S-ABCD,可得SO⊥底面ABCD,AC⊥BD,所以SO⊥AC.因?yàn)镾O∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,因?yàn)镋,M,N分別是BC,CD,SC的中點(diǎn),所以EM∥BD,MN∥SD,而EM∩MN=M,BD∩SD=D,所以平面EMN∥平面SBD,所以AC⊥平面EMN,所以AC⊥EP,故A正確.對于B,由異面直線的定義可知:EP與BD是異面直線,不行能EP∥BD,因此B不正確.對于C,由A可知:平面EMN∥平面SBD,所以EP∥平面SBD,因此C正確.對于D,由A同理可得:EM⊥平面SAC,若EP⊥平面SAC,則EP∥EM,與EP∩EM=E相沖突,因此當(dāng)P與M不重合時(shí),EP與平面SAC不垂直,即D不正確.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.湖面上漂著一個(gè)小球,湖水結(jié)冰后將球取出,冰面上留下一個(gè)直徑為12cm、深2cm的空穴,則該球的半徑是cm,表面積是cm2.

【解析】設(shè)球的半徑為Rcm,由條件,知R2=62+(R-2)2,解得R=10,S表=4πR2=400π(cm2).答案:10400π14.在正方體ABCD-A′B′C′D′中,過對角線BD′的一個(gè)平面交AA′于點(diǎn)E,交CC′于點(diǎn)F,則:①四邊形BFD′E肯定是平行四邊形;②四邊形BFD′E有可能是正方形;③四邊形BFD′E在底面ABCD內(nèi)的投影肯定是正方形;④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D.以上結(jié)論正確的為.(寫出全部正確結(jié)論的編號)

【解析】如圖所示,因?yàn)锽E和D′F,BF和D′E分別是正方體兩平行平面被平面BFD′E所截,所以BE∥D′F,D′E∥BF,所以四邊形BFD′E為平行四邊形.所以①正確.②不正確.當(dāng)E,F分別為AA′,CC′中點(diǎn)時(shí),四邊形BFD′E為菱形,設(shè)正方體棱長為a,則BF2=D′F2=QUOTEa2,BD′2=3a2,即BF2+D′F2≠BD′2,四邊形BFD′E不行能為正方形.③正確.其投影是正方形ABCD.④正確.當(dāng)E,F分別是AA′,CC′中點(diǎn)時(shí),平面BFD′E⊥平面BB′D.答案:①③④15.如圖所示,以等腰直角三角形ABC斜邊BC上的高AD為折痕.使△ABD和△ACD折成相互垂直的兩個(gè)平面,則:(1)BD與CD的關(guān)系為;

(2)∠BAC=.

【解析】(1)AB=AC,AD⊥BC,所以BD⊥AD,CD⊥AD,所以∠BDC為二面角的平面角,∠BDC=90°,所以BD⊥DC.(2)設(shè)等腰直角三角形的直角邊長為a,則斜邊長為QUOTEa.所以BD=CD=QUOTEa.所以折疊后BC=QUOTE=a.所以折疊后△ABC為等邊三角形,所以∠BAC=60°.答案:(1)BD⊥CD(2)60°16.(2024·全國卷Ⅰ)已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為QUOTE,那么P到平面ABC的距離為.

【解析】作PD,PE分別垂直于AC,BC于點(diǎn)D,E,PO⊥平面ABC,連接OD,CO,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,所以CD⊥平面PDO,OD?平面PDO,所以CD⊥OD,因?yàn)镻D=PE=QUOTE,PC=2.所以sin∠PCE=sin∠PCD=QUOTE,所以∠PCB=∠PCA=60°,所以PO⊥CO,CO為∠ACB的平分線,所以∠OCD=45°,所以O(shè)D=CD=1,OC=QUOTE,又PC=2,所以PO=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE四、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(10分)如圖,已知點(diǎn)E,F,G,H分別為正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AB,BC,CC1,C1D1【證明】因?yàn)辄c(diǎn)E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn),連接BC1,GF,如圖.所以GF是△BCC1的中位線,所以GF∥BC1.因?yàn)锽E∥C1H,且BE=C1H,所以四邊形EBC1H是平行四邊形.所以EH∥BC1,所以GF∥EH.所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.因?yàn)镚F≠EH,故EF與HG必相交.設(shè)EF∩HG=I.因?yàn)镮∈GH,GH?平面CC1D1D,所以I∈平面CC1D1D.同理可證I∈平面ABCD.所以點(diǎn)I在交線DC上.即EF,HG,DC三線共點(diǎn).18.(12分)(2024·全國卷Ⅰ)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1(1)證明:MN∥平面C1DE.(2)求點(diǎn)C到平面C1DE的距離.【解析】(1)連接B1C,ME,C1因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),所以ME∥B1C,且ME=QUOTEB1C.又因?yàn)镹為A1D的中點(diǎn),所以ND=QUOTEA1D.由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MNED.又MN?平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)過C作C1E的垂線,垂足為H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,又BC∩C1C=C,所以DE⊥平面C1CE,故DE從而CH⊥平面C1DE,故CH的長即為點(diǎn)C到平面C1DE的距離,由已知可得CE=1,C1C所以C1E=QUOTE,故CH=QUOTE.所以點(diǎn)C到平面C1DE的距離為QUOTE.19.(12分)(2024·全國卷Ⅱ)如圖,長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,點(diǎn)E在棱AA1上,BE⊥EC1(1)證明:BE⊥平面EB1C1(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱錐E-BB1C【解析】(1)由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BEEC1∩B1C1=C1所以BE⊥平面EB1C1(2)由(1)知∠BEB1=90°.由題設(shè)知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EF⊥BB1,垂足為F,則EF⊥平面BB1C所以,四棱錐E-BB1C1C的體積V=QUOTE×3×6×3=18.20.(12分)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3,M,N分別為A1B和AC上的點(diǎn),A1M=AN=QUOTE.(1)求證:MN∥平面BB1C(2)求MN的長.【解析】(1)作NP∥BC,交AB于點(diǎn)P,連接MP,因?yàn)檎襟w的棱長為3,所以AC=A1B=3QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以MP∥AA1∥BB1,因?yàn)镸P?平面BB1C1C,BB1?所以MP∥平面BB1C又因?yàn)镹P∥BC,NP?平面BB1CBC?平面BB1C所以NP∥平面BB1C因?yàn)镹P∩MP=P,所以平面MNP∥平面BB1C因?yàn)镸N?平面MNP,所以MN∥平面BB1C(2)由(1)MP∥AA1,QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,MP=QUOTEAA1=2,同理NP=QUOTEAD=1,MP∥AA1,NP∥BC,∠MPN=90°,MN=QUOTE=QUOTE=QUOTE.21.(12分)如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,點(diǎn)E在線段PC上,PC⊥平面BDE.(1)證明:BD⊥平面PAC;(2)若PA=1,AD=2,求二面角B-PC-A的正切值.【解析】(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD,因?yàn)镻C⊥平面BDE,所以PC⊥BD,PA?平面PAC,PC?平面PAC,PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.(2)設(shè)AC與B