2024-2025學年高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.1.1空間向量及其加減運算限時規(guī)范訓練含解析新人教A版選修2-1

PAGE第三章3.13.1.1基礎練習1.(多選題)給出下列命題，其中正確的命題是()A.零向量沒有確定的方向B.在正方體ABCDA1B1C1D1中，eq\x\to(AA1)＝－eq\x\to(C1C)C.若向量a與向量b的模相等，則a，b的方向相同或相反D.在四邊形ABCD中，必有eq\x\to(AB)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC)【答案】AB【解析】A正確；B正確，因為eq\x\to(AA1)與eq\x\to(C1C)的大小相等方向相反，即為互為相反向量，所以eq\x\to(AA1)＝－eq\x\to(C1C)；C中，|a|＝|b|，不能確定其方向，所以a與b的方向不能確定；D中只有當四邊形ABCD是平行四邊形時，才有eq\x\to(AB)＋eq\x\to(AD)＝eq\x\to(AC).故選AB.2．設有四邊形ABCD，O為空間隨意一點，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，則四邊形ABCD是()A．平行四邊形 B．空間四邊形C．等腰梯形 D．矩形【答案】A【解析】∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四邊形ABCD為平行四邊形．3．空間隨意四個點A，B，C，D，則eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up6(→)) B．eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AB,\s\up6(→)) D．eq\o(BA,\s\up6(→))【答案】D【解析】eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).4．如圖，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則用向量a，b，c表示向量eq\o(BD,\s\up6(→))1正確的是()A．a(chǎn)＋b＋c B．b－a＋cC．a(chǎn)＋b－c D．－a＋b－c【答案】B【解析】eq\o(BD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b－a＋c.故選B．5.給出下列幾個命題：①方向相反的兩個向量是相反向量；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③對于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正確命題的序號為.【答案】③【解析】對于①，長度相等且方向相反的兩個向量是相反向量，故①錯；對于②，若|a|＝|b|，則a與b的長度相等，但方向沒有任何聯(lián)系，故不正確.只有③正確.6．三棱柱ABCA1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，則eq\o(A1B,\s\up6(→))可用a，b，c表示為eq\o(A1B,\s\up6(→))＝________.【答案】－a＋b－c【解析】如圖所示，三棱柱ABCA1B1C1中，且eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，所以eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CC1,\s\up6(→))＝－a＋b－c.7．在四面體ABCD中，設eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(AD,\s\up6(→))＝d，用b,c，d表示eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).解：eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝d－b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝d－c.8．已知四面體ABCD中，G為△BCD的重心．E，F(xiàn)，H分別為棱CD，AD和BC的中點，化簡下列各式：(1)eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))；(2)eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))．解：(1)如圖所示，由G是△BCD的重心知eq\o(GE,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→)).又E，F(xiàn)分別為CD，AF的中點，∴EF∥AC且EF＝eq\f(1,2)AC，則eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(EF,\s\up6(→)).∴eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→))＋eq\o(GE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).(2)由向量加法的平行四邊形法則及幾何意義知eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AH,\s\up6(→))，eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).∴eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(AH,\s\up6(→))－eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(FH,\s\up6(→)).實力提升9．若A，B，C，D為空間四個不同的點，則下列各式結(jié)果為零向量的是()①eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))；②2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))；③eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))；④eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).A．①② B．②③C．②④ D．①④【答案】C【解析】eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))；2eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))＋3eq\o(CD,\s\up6(→))＋3eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AC,\s\up6(→))＋3eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝0；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))；eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0.故②④正確．10．在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H，P，Q分別是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中點，則()A．eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0 B．eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0C．eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))－eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0 D．eq\o(EF,\s\up6(→))－eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝0【答案】A【解析】eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(GH,\s\up6(→))＋eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))－eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CH,\s\up6(→))－eq\o(CG,\s\up6(→))＋eq\o(D1Q,\s\up6(→))－eq\o(D1P,\s\up6(→))＝0.故選A．11.已知正方體ABCDA′B′C′D′的中心為O，給出下列結(jié)論：①eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OD)與eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′)是一對相反向量；②eq\x\to(OB)－eq\x\to(OC)與eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OD′)是一對相反向量；③eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OB)＋eq\x\to(OC)＋eq\x\to(OD)與eq\x\to(OA′)＋eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′)＋eq\x\to(OD′)是一對相反向量；④eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OA)與eq\x\to(OC)－eq\x\to(OC′)是一對相反向量.其中正確結(jié)論的序號為.【答案】①③④【解析】如圖所示，①eq\x\to(OA)＝－eq\x\to(OC′)，eq\x\to(OD)＝－eq\x\to(OB′)，所以eq\x\to(OA)＋eq\x\to(OD)＝－(eq\x\to(OB′)＋eq\x\to(OC′))，是一對相反向量；②eq\x\to(OB)－eq\x\to(OC)＝eq\x\to(CB)，eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OD′)＝eq\x\to(D′A′)，而eq\x\to(CB)＝eq\x\to(D′A′)，故不是相反向量；③同①也是正確的；④eq\x\to(OA′)－eq\x\to(OA)＝eq\x\to(AA′)，eq\x\to(OC)－eq\x\to(OC′)＝eq\x\to(C′C)＝－eq\x\to(AA′)，是一對相反向量.12．如圖，在四棱柱A′B′C′D′ABCD中，求證：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\up6(→))＝eq\o(DD′,\s\up6(→)).證明：如圖，作向量eq\o(AA′,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→)).eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CA′,\s\u